同濟(jì)高等數(shù)學(xué)幻燈片PPT教案

1、同濟(jì)高等數(shù)學(xué)幻燈片同濟(jì)高等數(shù)學(xué)幻燈片本章主要內(nèi)容本章主要內(nèi)容一、極限一、極限二、連續(xù)二、連續(xù)1.數(shù)列極限及函數(shù)極限的定義數(shù)列極限及函數(shù)極限的定義2.無(wú)窮小與無(wú)窮大量的概念及性質(zhì)無(wú)窮小與無(wú)窮大量的概念及性質(zhì)3.函數(shù)極限的性質(zhì)：函數(shù)極限的性質(zhì)：唯一性、唯一性、 局部有界性、局部有界性、局部保號(hào)性、局部保號(hào)性、 極限與單側(cè)極限的關(guān)系極限與單側(cè)極限的關(guān)系無(wú)窮小與極限的關(guān)系無(wú)窮小與極限的關(guān)系參見(jiàn)P74。 1.第1頁(yè)/共60頁(yè)左右極限左右極限兩個(gè)重要兩個(gè)重要極限極限求極限的常用方法求極限的常用方法無(wú)窮小無(wú)窮小的性質(zhì)的性質(zhì)極限存在的極限存在的充要條件充要條件判定極限判定極限存在的準(zhǔn)則存在的準(zhǔn)則無(wú)窮小的比較無(wú)

2、窮小的比較極限的性質(zhì)極限的性質(zhì)數(shù)列極限數(shù)列極限函函 數(shù)數(shù) 極極 限限axnn limAxfxx )(lim0Axfx )(lim等價(jià)無(wú)窮小等價(jià)無(wú)窮小及其性質(zhì)及其性質(zhì)唯一性唯一性無(wú)窮小無(wú)窮小0)(lim xf兩者的兩者的關(guān)系關(guān)系無(wú)窮大無(wú)窮大 )(limxf第2頁(yè)/共60頁(yè)二、連續(xù)二、連續(xù)1。函數(shù)在一點(diǎn)及單側(cè)連續(xù)的定義。函數(shù)在一點(diǎn)及單側(cè)連續(xù)的定義2。間斷點(diǎn)定義及分類(lèi)。間斷點(diǎn)定義及分類(lèi)3。連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法則：。連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法則：四則運(yùn)算法則四則運(yùn)算法則反函數(shù)反函數(shù)復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)4。初等函數(shù)的連續(xù)性。初等函數(shù)的連續(xù)性5。閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：。閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：最值定理、最值定理、 有界性

3、定理有界性定理介值性定理、介值性定理、 零點(diǎn)定理零點(diǎn)定理第3頁(yè)/共60頁(yè)左右連續(xù)左右連續(xù)在區(qū)間在區(qū)間a,ba,b上連續(xù)上連續(xù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)的的 性性 質(zhì)質(zhì)初等函數(shù)初等函數(shù)的連續(xù)性的連續(xù)性間斷點(diǎn)定義間斷點(diǎn)定義連連 續(xù)續(xù) 定定 義義0lim0 yx)()(lim00 xfxfxx 連續(xù)的連續(xù)的充要條件充要條件連續(xù)函數(shù)的連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)運(yùn)算性質(zhì)非初等函數(shù)非初等函數(shù)的連續(xù)性的連續(xù)性 振蕩間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn) 無(wú)窮間斷點(diǎn)無(wú)窮間斷點(diǎn) 跳躍間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn) 可去間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)第一第一類(lèi)類(lèi) 第二類(lèi)第二類(lèi)第4頁(yè)/共60頁(yè)典型方法及范例典型方法及范例一、求極限的基本方法一、求極限的基本方法1。利用極限的四則運(yùn)算

4、法則求極限。利用極限的四則運(yùn)算法則求極限要點(diǎn)：要點(diǎn)：(1)。參加運(yùn)算的函數(shù)的極限必須存在。參加運(yùn)算的函數(shù)的極限必須存在(2)。對(duì)于不定式，必須先消去其不定性。對(duì)于不定式，必須先消去其不定性無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小的和，變形后再討論。無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小的和，變形后再討論。例如：例如：“ ”,” ” 需要通過(guò)分子、分母有理化需要通過(guò)分子、分母有理化 或者分解因式消去零因子，或者分解因式消去零因子，00 通過(guò)初等變形化為通過(guò)初等變形化為型 型,00 第5頁(yè)/共60頁(yè)例例1。 ,11lim1 nmxxx。為正整數(shù)),(nm解：解： 原式原式= )1)(1()1)(1(lim111 nmxxxxx11lim111 n

5、mxxxnm 第6頁(yè)/共60頁(yè)例例2。 .12lim2xxxxx 解：解： 原式原式= )12()1()2(lim22 xxxxxxxx121lim22 xxxxxx221121111limxxxxxx 1 第7頁(yè)/共60頁(yè)例例3。 ),1311(lim31xxx 原式原式= 321131limxxxx 32112limxxxx 311)1)(2(limxxxx 1)2(lim21 xxxx1 解：解： 第8頁(yè)/共60頁(yè)例例4。 )1231(lim222nnnnn 原式原式= )21211(lim2nnnn 1 解：解： 第9頁(yè)/共60頁(yè)2。利用。利用有界函數(shù)和無(wú)窮小之積仍為無(wú)窮小有界函數(shù)和無(wú)

6、窮小之積仍為無(wú)窮小例例5。 21coslimxxxx 所以，原式所以，原式=0 注意到注意到 01lim2 xxx1|cos| x解：解： 第10頁(yè)/共60頁(yè)3.利用兩個(gè)重要極限利用兩個(gè)重要極限1sinlim) 1 (0e)11(lim)2(或e)1(lim10注注: 代表相同的表達(dá)式第11頁(yè)/共60頁(yè)例例6。 xxxtan2)(sinlim 21cossin22)cos1(lim xxxx )cos1()cos1(lim2sincos12sincos12xxxxxxx 2121ee 1 解：解： 第12頁(yè)/共60頁(yè)4.利用等價(jià)無(wú)窮小代換定理求極限利用等價(jià)無(wú)窮小代換定理求極限注意：求極限時(shí)，等

7、價(jià)無(wú)窮小代換不要輕易在加減法中注意：求極限時(shí)，等價(jià)無(wú)窮小代換不要輕易在加減法中使用。使用。sin x常用的等價(jià)無(wú)窮小（常用的等價(jià)無(wú)窮?。?時(shí)）時(shí)）0 xarcsin xtan xxarctanxex1 )0(ln1 aaxax xx )1ln( )0(ln)1(log aaxxa ,11nxxn 2cos12xx x第13頁(yè)/共60頁(yè)例例7。xxxxx20sinsintanlim xxxxx20sin)cos1(tanlim 3202limxxxx .21 解：解： 第14頁(yè)/共60頁(yè)例例8。210)(coslimxxx注意到注意到,20coslnlimxxx20)1cos1ln(limxxx

8、 201coslimxxx 2202limxxx 21 所以，原式所以，原式21 e解：解： 類(lèi)似地，可求類(lèi)似地，可求P75,9(5)第15頁(yè)/共60頁(yè)5.利用利用“夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則”、“單調(diào)有界準(zhǔn)則單調(diào)有界準(zhǔn)則”求極限求極限夾逼準(zhǔn)則不僅是判別極限存在的準(zhǔn)則，也提供了一種夾逼準(zhǔn)則不僅是判別極限存在的準(zhǔn)則，也提供了一種 求極限方法。求極限方法。)()()(xhxfxgAxhxg)(lim)(limAxf)(lim例例9。1lim0 xxx 注意到：注意到：xxx1111 而而 意味著意味著 0 x111 xxx又因?yàn)橛忠驗(yàn)?1lim)1(lim00 xxx所以原極限所以原極限=1解：解： 第16

9、頁(yè)/共60頁(yè)單調(diào)有界收斂準(zhǔn)則一般適用于由遞推式子給出的數(shù)列單調(diào)有界收斂準(zhǔn)則一般適用于由遞推式子給出的數(shù)列的極限問(wèn)題，分三步進(jìn)行，的極限問(wèn)題，分三步進(jìn)行，（1）驗(yàn)證數(shù)列單調(diào)遞減（遞增）。）驗(yàn)證數(shù)列單調(diào)遞減（遞增）。（2）驗(yàn)證數(shù)列有下界（有上界）。）驗(yàn)證數(shù)列有下界（有上界）。（3）證明數(shù)列收斂后，利用遞推公式兩邊取極限，）證明數(shù)列收斂后，利用遞推公式兩邊取極限， 得到該數(shù)列的極限。得到該數(shù)列的極限。例例10。證明數(shù)列。證明數(shù)列 的極限存在，并求極限。的極限存在，并求極限。), 2 , 1(6,1011 naaann思路：利用遞推公式，證明該數(shù)列單減，再證明其有 下界，最后求出極限。第17頁(yè)/共60

10、頁(yè)二、無(wú)窮小的比較二、無(wú)窮小的比較例例1111xcos1 當(dāng)當(dāng)0 x時(shí)，下列函數(shù)分別是時(shí)，下列函數(shù)分別是x的幾階無(wú)窮小的幾階無(wú)窮小xxx xx 1122x21xxxx 112x練習(xí)：練習(xí)： P74，3（1）第18頁(yè)/共60頁(yè)三、求分段函數(shù)的極限，判斷分段函數(shù)的三、求分段函數(shù)的極限，判斷分段函數(shù)的 連續(xù)性，間斷點(diǎn)的類(lèi)型連續(xù)性，間斷點(diǎn)的類(lèi)型例例1212).(lim,0,2sincos10,1sin)(02xfxxxxxxxxxfx 求 解：解： 2002sincos1lim)(limxxxxxfxx 20202sinlimcos1limxxxxxxx 02121 xxxfxx1sinlim)(li

11、m00 0 0)(lim)(lim00 xfxfxx第19頁(yè)/共60頁(yè)例例1212研究函數(shù)研究函數(shù)處的連續(xù)性。在00, 1, 0,11)(11 xxxeexfxx 解：解： xxxxeexf110011lim)(lim 1 xxxxeexf110011lim)(lim 11lim110 xxxee1 所以，所以， f(x)f(x)在在x=0處不連續(xù)，處不連續(xù)，x=0是其跳躍間斷點(diǎn)。是其跳躍間斷點(diǎn)。 練習(xí)：練習(xí)： P74，3（2）第20頁(yè)/共60頁(yè)例例1313確定常數(shù)確定常數(shù)a,b使使 處連續(xù)。在 00, 20,sin0,)31ln()( xxxxaxxbxxxf解：解： bxxxfxx)31l

12、n(lim)(lim00 233lim0 bbxxx23 bxaxxfxxsinlim)(lim00 2lim0 axaxx2 a練習(xí)：練習(xí)： P74，2第21頁(yè)/共60頁(yè)四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用例例1414至少有一個(gè)根。）內(nèi)，在開(kāi)區(qū)間（證明方程2201sin xx證明：證明： , 1sin)( xxxf設(shè)上連續(xù)，在2,2)( xf212)2sin()2( f0 2212)2sin()2( f,0 有有一一個(gè)個(gè)根根。方方程程在在該該開(kāi)開(kāi)區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)至至少少由由零零點(diǎn)點(diǎn)定定理理知知,第22頁(yè)/共60頁(yè)五、討論曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)五、討論曲線(xiàn)的漸近線(xiàn) xbk

13、xyL使使得得當(dāng)當(dāng)如如果果存存在在直直線(xiàn)線(xiàn),:),(x或或),()(yxMxfy上上的的動(dòng)動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)時(shí)時(shí)，曲曲線(xiàn)線(xiàn) )( 0),(xfyLLMdL 為為曲曲線(xiàn)線(xiàn)則則稱(chēng)稱(chēng)，的的距距離離到到直直線(xiàn)線(xiàn)為為斜斜漸漸近近線(xiàn)線(xiàn)。時(shí)時(shí)，稱(chēng)稱(chēng)的的斜斜率率的的漸漸近近線(xiàn)線(xiàn)。當(dāng)當(dāng)直直線(xiàn)線(xiàn)LkL0 的的漸漸近近線(xiàn)線(xiàn)的的充充要要條條件件為為為為曲曲線(xiàn)線(xiàn)證證明明：直直線(xiàn)線(xiàn))(xfyL .)(lim,)(limkxxfbxxfkxx 。是該曲線(xiàn)的水平漸近線(xiàn)是該曲線(xiàn)的水平漸近線(xiàn)時(shí)，時(shí)，即即當(dāng)當(dāng)bybxfkx )(lim, 0特別地，特別地，。是該曲線(xiàn)的鉛直漸近線(xiàn)是該曲線(xiàn)的鉛直漸近線(xiàn)時(shí)，時(shí)，0)(lim0 xxxfxx 第23頁(yè)

14、/共60頁(yè)有則曲線(xiàn))(xfy 斜漸近線(xiàn).bxky)(x或若,0)(limxfx)(bxk 0)(limxbkxxfxx0)(limxfx)(bxk 0)(limxbkxxfx)(limxbxxfkxxxfkx)(lim)(limxkxfbx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 )(x或)(x或( P76 題題14)第24頁(yè)/共60頁(yè)的的圖圖形形的的漸漸近近線(xiàn)線(xiàn)。求求函函數(shù)數(shù)224)(xxf 例例1515,024lim2 xx因因?yàn)闉榻猓航猓菏鞘瞧淦渌狡綕u漸近近線(xiàn)線(xiàn)。所所以以0 y,24lim2)2( xx是是其其鉛鉛直直漸漸近近線(xiàn)線(xiàn)。所所以以2 x,024lim)(lim2 xxxxfxx）

15、（而而所所以以沒(méi)沒(méi)有有斜斜漸漸近近線(xiàn)線(xiàn)。第25頁(yè)/共60頁(yè)第26頁(yè)/共60頁(yè)對(duì)極限性質(zhì)的理解對(duì)極限性質(zhì)的理解下列說(shuō)法對(duì)嗎？下列說(shuō)法對(duì)嗎？u發(fā)散數(shù)列一定無(wú)界發(fā)散數(shù)列一定無(wú)界u若若則則,0)( xflim( )0.f x u若若則則, )()(xgxf lim( )lim ( ).f xg x 概念辨析概念辨析第27頁(yè)/共60頁(yè)對(duì)無(wú)窮小的理解對(duì)無(wú)窮小的理解下列說(shuō)法對(duì)嗎？下列說(shuō)法對(duì)嗎？u 無(wú)窮小是一個(gè)很小的數(shù)無(wú)窮小是一個(gè)很小的數(shù).u 0是無(wú)窮小是無(wú)窮小.u 無(wú)限個(gè)無(wú)窮小之和仍是無(wú)窮小無(wú)限個(gè)無(wú)窮小之和仍是無(wú)窮小.u 兩個(gè)無(wú)窮小的比值仍是無(wú)窮小兩個(gè)無(wú)窮小的比值仍是無(wú)窮小.u 有人說(shuō)是無(wú)窮小，有人說(shuō)是無(wú)窮

16、大有人說(shuō)是無(wú)窮小，有人說(shuō)是無(wú)窮大.,1)(xxf 第28頁(yè)/共60頁(yè)(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4) xxx1lim1(5)(5)0 xxxsinlim(6)(6)03030 xxxxxxxxlimsintanlim)(limxf存在，存在，)(limxg不存在，不存在，)()(lim(xgxf 不存在不存在則則)(limxf不存在，不存在，)(limxg不存在，不存在，)()(lim(xgxf 不存在不存在則則)(limxf存在且不為零，存在且不為零，)(limxg不存在，不存在，)()(lim(xgxf不存在不存在則則判斷下列說(shuō)法的正確性判斷下列說(shuō)法的正確性第29頁(yè)/共60

17、頁(yè)（1 1）（6 6）（2 2）)(xf在在0 x處連續(xù)，處連續(xù)，)(xf在在0 x處也連續(xù)處也連續(xù). .（3 3）)(xf在在0 x處連續(xù)，處連續(xù)，)(xg在在0 x處不連續(xù)處不連續(xù))()(xgxf 在在0 x處一定不連續(xù)處一定不連續(xù). .（4 4）)(xf在在0 x處不連續(xù)，處不連續(xù)，)(xg在在處不連續(xù)處不連續(xù))()(xgxf 在在0 x處一定不連續(xù)處一定不連續(xù). .)(xf在在 ba,上不連續(xù)，則上不連續(xù)，則)(xf在在 ba,上無(wú)界上無(wú)界（5 5）一切初等函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)一切初等函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù). .判斷下列說(shuō)法的正確性判斷下列說(shuō)法的正確性)(xf在在0 x處連續(xù)，處連續(xù)，在

18、在0 x處也連續(xù)處也連續(xù). .| )(|xf第30頁(yè)/共60頁(yè)1、求曲線(xiàn)、求曲線(xiàn) 上與直線(xiàn)上與直線(xiàn) 平行的平行的切線(xiàn)方程。切線(xiàn)方程。3235yxx6210 xy 2、設(shè)函數(shù)、設(shè)函數(shù) 是由方程是由方程 確定，其中確定，其中 具有二階導(dǎo)數(shù)，且具有二階導(dǎo)數(shù)，且 求求( )yy x( )fyyxeef1f 22d ydx4、已知、已知 具有任意階導(dǎo)數(shù)，且具有任意階導(dǎo)數(shù)，且 求求 （其中（其中 為大于為大于2的正整數(shù)）的正整數(shù)）( )f x2( ) ( )fxf x( )( )nfxnlnxyex( )xy3、求函數(shù)、求函數(shù) 的反函數(shù)的反函數(shù) 的一階導(dǎo)數(shù)和二的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù)練習(xí)：第31頁(yè)/共6

19、0頁(yè)中值定理中值定理應(yīng)應(yīng)用用研究函數(shù)性質(zhì)及曲線(xiàn)性態(tài)利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題羅爾中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒公式 (第三節(jié))推廣推廣微分中值定理 與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 第32頁(yè)/共60頁(yè)二、拉格朗日二、拉格朗日( Lagrange )中值定理中值定理 三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理 中值定理 第三三章 第33頁(yè)/共60頁(yè),)(0有定義在xU且 )(0 xf 存在, )()(0 xfxf)(或0)(0 xf證證: 設(shè), )()(, )(0000 xfxxfxUxx則)(0 xf xxfxxfx)()(lim000)0(x)(0 xf)0(x)(0 xf000)(0 xf)(xfy

20、 費(fèi)馬 證畢xyO0 x第34頁(yè)/共60頁(yè))(xfy 滿(mǎn)足:(1) 在區(qū)間 a , b 上連續(xù)(2) 在區(qū)間 (a , b) 內(nèi)可導(dǎo)(3) f ( a ) = f ( b ),使. 0)(f證證:，上連續(xù)在因,)(baxf故在 a , b 上取得最大值 M 和最小值 m .若 M = m , 則, ,)(baxMxf因此.0)(, ),(fba在( a , b ) 內(nèi)至少存在一點(diǎn)xyab)(xfy O第35頁(yè)/共60頁(yè)不妨設(shè) , )(afM 則至少存在一點(diǎn), ),(ba使,)(Mf.0)(f注意注意:1) 定理?xiàng)l件條件不全具備, 結(jié)論不一定成立. 1,010,)(xxxxf則由費(fèi)馬引理得 1

21、, 1)(xxxf 1 ,0)(xxxfx1yOx1y1Ox1yOxyab)(xfy O不連續(xù)在 1 , 0不可導(dǎo)在) 1 , 0() 1 ()0(ff例如,第36頁(yè)/共60頁(yè)使本定理可推廣為)(xfy 在 ( a , b ) 內(nèi)可導(dǎo), 且)(limxfax)(limxfbx在( a , b ) 內(nèi)至少存在一點(diǎn),. 0)(f證明提示證明提示: 設(shè)證 F(x) 在 a , b 上滿(mǎn)足羅爾定理 . )(xFaxaf, )(bxaxf, )(bxbf, )(第37頁(yè)/共60頁(yè)0155 xx, 15)(5xxxf. 3) 1 (, 1)0(ff, 0)(0 xf, ) 1,0(011xxx) 1(5)

22、(4xxf),1,0(, 0 x有且僅有一個(gè)小于1 的正實(shí)根 .證證: 1) 存在性 .則)(xf在 0 , 1 連續(xù) , 且由介值定理知存在, ) 1 ,0(0 x使即方程有小于 1 的正根.0 x2) 唯一性 .假設(shè)另有, 0)(1xf使在以)(xf10, xx為端點(diǎn)的區(qū)間滿(mǎn)足羅爾定理?xiàng)l件 ,之間在10, xx至少存在一點(diǎn),.0)(f使但矛盾, 故假設(shè)不真!設(shè)第38頁(yè)/共60頁(yè) )( (1) 在區(qū)間 a , b 上連續(xù))(xfy 滿(mǎn)足:(2) 在區(qū)間 ( a , b ) 內(nèi)可導(dǎo)至少存在一點(diǎn), ),(ba使.)()()(abafbff思路思路: 利用逆向思維逆向思維找出一個(gè)滿(mǎn)足羅爾定理?xiàng)l件的

23、函數(shù)作輔助函數(shù)顯然 ,)(x在a, b 上連續(xù), 在(a, b)內(nèi)可導(dǎo), 且證證: 問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證)(x)(xfxabafbf)()()(a由羅爾定理知至少存在一點(diǎn), ),(ba,0)(使即定理結(jié)論成立 ., )(babbfaafb)()(拉氏 0)()()(abafbff證畢xyab)(xfy Oxyabafbf)()(第39頁(yè)/共60頁(yè)),(,)()()(baabafbff推論推論: 若函數(shù)在區(qū)間 I 上滿(mǎn)足,0)( xf則)(xf在 I 上必為常數(shù).)(xf證證: 在 I 上任取兩點(diǎn), )(,2121xxxx上用拉在,21xx格朗日中值公式 , 得0)()(12xfxf)(12xxf)(2

24、1xx)()(12xfxf由 的任意性知, 21,xx)(xf在 I 上為常數(shù) .) 10()(0 xxxfy,00 xxbxa令則第40頁(yè)/共60頁(yè). 1, 1,2arccosarcsinxxx證證: 設(shè),arccosarcsin)(xxxf上則在) 1, 1()(xf由推論可知Cxxxfarccosarcsin)( (常數(shù)) 令 x = 0 , 得.2C又,2) 1(f故所證等式在定義域 上成立. 1, 1自證自證:),(x,2cotarcarctanxx211x211x0經(jīng)驗(yàn)經(jīng)驗(yàn): 欲證Ix時(shí),)(0Cxf只需證在 I 上, 0)( xf,0Ix 且.)(00Cxf使第41頁(yè)/共60頁(yè)證

25、證: 設(shè), )1ln()(ttf上滿(mǎn)足拉格朗日在則,0)(xtf中值定理?xiàng)l件,即因?yàn)楣? )0()1ln(1xxxxx)0()(fxf)1ln(xxx0,11x xx1x)0()1ln(1xxxxxxxf0, )0)(因此應(yīng)有第42頁(yè)/共60頁(yè)0)()()()()()(fFaFbFafbf)(分析分析:)(xf及(1) 在閉區(qū)間 a , b 上連續(xù)(2) 在開(kāi)區(qū)間 ( a , b ) 內(nèi)可導(dǎo)(3)在開(kāi)區(qū)間 ( a , b ) 內(nèi)至少存在一點(diǎn), ),(ba使.)()()()()()(FfaFbFafbf滿(mǎn)足 :)(xF0)( xF)()(aFbF)(abFba0問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證)()()()()()

26、()(xfxFaFbFafbfx柯西 構(gòu)造輔助函數(shù)構(gòu)造輔助函數(shù)第43頁(yè)/共60頁(yè))()()()()()()(xfxFaFbFafbfx)()()()()()()()(baFbFbFafaFbfa,),(,)(內(nèi)可導(dǎo)在上連續(xù)在則babax且, ),(ba使, 0)(即由羅爾定理知, 至少存在一點(diǎn).)()()()()()(FfaFbFafbf思考思考: 柯西定理的下述證法對(duì)嗎 ?),(, )()()(baabfafbf),(, )()()(baabFaFbF兩個(gè) 不一定相同錯(cuò)錯(cuò)! !上面兩式相比即得結(jié)論. 第44頁(yè)/共60頁(yè))()()()()()(FfaFbFafbf)(F)(aF)()(tfyt

27、Fx)(af)(bF)(bf)()(ddtFtfxy注意:弦的斜率切線(xiàn)斜率xyO第45頁(yè)/共60頁(yè))0() 1 (ff)0() 1 (FF).0() 1 (2)(fff2)(01)0() 1 (fffxxxf)()(2,)(2xxF,) 1 ,0(, 1 ,0)(內(nèi)可導(dǎo)在上連續(xù)在xf至少存在一點(diǎn)),1,0(使證證: 問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證設(shè)則)(, )(xFxf在 0, 1 上滿(mǎn)足柯西中值定理?xiàng)l件, 因此在 ( 0 , 1 ) 內(nèi)至少存在一點(diǎn) , 使)(f )(F012即)0() 1 (2)(fff證明第46頁(yè)/共60頁(yè)11lncos1lnlne1lnsinlnesin)e, 1(,)()() 1 (e

28、) 1 (e)FfFFff)e, 1(使.lncos1sinlncos1sin 證證: 法法1 用柯西中值定理 .xxFxxfln)(,lnsin)(則 f (x) , F(x) 在 1 , e 上滿(mǎn)足柯西中值定理?xiàng)l件, 令因此 11lncoslncos1sin即分析分析:第47頁(yè)/共60頁(yè))e, 1(使.lncos1sin法法2 令xxflnsin)(則 f (x) 在 1 , e 上滿(mǎn)足羅爾中值定理?xiàng)l件,e), 1 (使0)(fxlncos)(xf1sinx1lncos1sin 因此存在x1xln1sin 第48頁(yè)/共60頁(yè)4412 34121. 填空題填空題1) 函數(shù)4)(xxf在區(qū)間

29、1, 2 上滿(mǎn)足拉格朗日定理?xiàng)l件, 則中值._2) 設(shè)有個(gè)根 , 它們分別在區(qū)間341530)( xf)4,3(, )2, 1 (, )3,2(上., )4)(3)(2)(1()(xxxxxf方程第49頁(yè)/共60頁(yè),0)(Cxf且在),0(內(nèi)可導(dǎo), 證明至少存在一點(diǎn), ),0(使.cot)()(ff提示提示: 由結(jié)論可知, 只需證0cos)(sin)(ff即0sin)(xxxf驗(yàn)證)(xF在,0上滿(mǎn)足羅爾定理?xiàng)l件.設(shè)xxfxFsin)()(第50頁(yè)/共60頁(yè)1. 微分中值定理的條件、結(jié)論及關(guān)系羅爾定理拉格朗日中值定理柯西中值定理)()(afbfxxF)()()(afbfxxF)(2. 微分中值定理的應(yīng)用(1) 證明恒等式(2) 證明不等式(3) 證明有關(guān)中值問(wèn)題的結(jié)論關(guān)鍵關(guān)鍵: 利用逆向思維設(shè)輔助函數(shù)費(fèi)馬引理第51頁(yè)/共60頁(yè) )(111nnfP134 7, 8 , 10 , 12 , 14 , *15提示提示:xxfxe)()(題*15. )(nxxf)0(f 0)0(f0題14. 考慮第二節(jié) 第52頁(yè)/共60頁(yè))(xf可導(dǎo), 試證在其兩個(gè)零點(diǎn)間一定有)()(xfxf的零點(diǎn). 提示提示: 設(shè),0)()(2121xxxfxf欲證:, ),(21xx使0)()(ff只要證0)()(ffee亦即0 )(exxxf作輔助函數(shù), )(e)(xfxFx驗(yàn)證)(xF在,