ch1-1集合、映射與函數(shù)

1、2008年9月24南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系1工科數(shù)學(xué)分析工科數(shù)學(xué)分析主講教師：毛徐新主講教師：毛徐新2008年9月24南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系2 通知：通知：國(guó)慶后到理學(xué)院大樓一樓傳達(dá)國(guó)慶后到理學(xué)院大樓一樓傳達(dá)室陸師傅處領(lǐng)取習(xí)題冊(cè)，室陸師傅處領(lǐng)取習(xí)題冊(cè)，20元元/套套2008年9月24南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系3名名 稱稱總總 學(xué)學(xué) 時(shí)時(shí)一學(xué)年一學(xué)年 (兩學(xué)期兩學(xué)期)教教 材材工科數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)工科數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)第二第二版版本學(xué)期本學(xué)期 112 學(xué)時(shí)學(xué)時(shí)王綿森王綿森 馬知恩馬知恩 主編主編工科數(shù)學(xué)分析工科數(shù)學(xué)分析2008年9月24南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系4參參 考考

2、書書數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析第三版第三版華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系 主編主編高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)第五版第五版同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系 主編主編2008年9月24南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系5書后習(xí)題書后習(xí)題參考書參考書工科數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)工科數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ) 學(xué)習(xí)指導(dǎo)與習(xí)題解析學(xué)習(xí)指導(dǎo)與習(xí)題解析孫清華孫清華 孫浩孫浩 主編主編習(xí)題冊(cè)參習(xí)題冊(cè)參 考考 書書數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 同步輔導(dǎo)及習(xí)同步輔導(dǎo)及習(xí)題精解題精解 華東師大華東師大 第三版第三版 張?zhí)斓聫執(zhí)斓?韓振來(lái)韓振來(lái) 主編主編2008年9月24南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系6南京航空航天大學(xué)南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院理學(xué)院 數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)系

3、“工科數(shù)學(xué)分析工科數(shù)學(xué)分析”是我校各工科學(xué)是我校各工科學(xué)院培優(yōu)班必修的一門重要基礎(chǔ)課，是傳院培優(yōu)班必修的一門重要基礎(chǔ)課，是傳統(tǒng)統(tǒng)“高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)”的強(qiáng)化課程。的強(qiáng)化課程。學(xué)時(shí)最長(zhǎng)學(xué)分最重A類課程績(jī)點(diǎn)加12008年9月24南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系7 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 工科數(shù)學(xué)分析工科數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 計(jì)算計(jì)算計(jì)算為主、計(jì)算為主、證明兼顧證明兼顧 證明證明2008年9月24南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系8南京航空航天大學(xué)南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院理學(xué)院 數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)系 “工科數(shù)學(xué)分析工科數(shù)學(xué)分析”通過系統(tǒng)地學(xué)習(xí)通過系統(tǒng)地學(xué)習(xí)極限、微分、積分的思想和方法，同時(shí)極限、微分、積分的思想和

4、方法，同時(shí)注重分析、幾何、代數(shù)內(nèi)容的有機(jī)結(jié)合，注重分析、幾何、代數(shù)內(nèi)容的有機(jī)結(jié)合，互相滲透，強(qiáng)調(diào)現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想和方法的互相滲透，強(qiáng)調(diào)現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想和方法的掌握以及數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的培養(yǎng)，為學(xué)習(xí)掌握以及數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的培養(yǎng)，為學(xué)習(xí)后續(xù)課程和解決實(shí)際問題奠定堅(jiān)實(shí)的數(shù)后續(xù)課程和解決實(shí)際問題奠定堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。學(xué)基礎(chǔ)。2008年9月24南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系9南京航空航天大學(xué)南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院理學(xué)院 數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)系 通過學(xué)習(xí)通過學(xué)習(xí)“工科數(shù)學(xué)分析工科數(shù)學(xué)分析”這門課程，這門課程，逐步培養(yǎng)抽象概括問題的能力、邏輯推理逐步培養(yǎng)抽象概括問題的能力、邏輯推理能力，創(chuàng)新思維能力、熟練的運(yùn)算能力和能力，創(chuàng)新思

5、維能力、熟練的運(yùn)算能力和自學(xué)能力，從而提高同學(xué)們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，自學(xué)能力，從而提高同學(xué)們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，培養(yǎng)大家創(chuàng)造性地應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)和技術(shù)來(lái)培養(yǎng)大家創(chuàng)造性地應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)和技術(shù)來(lái)分析、解決實(shí)際問題的能力。分析、解決實(shí)際問題的能力。2008年9月24南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系10南京航空航天大學(xué)南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院理學(xué)院 數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)系 “工科數(shù)學(xué)分析工科數(shù)學(xué)分析”這門課程介紹的概這門課程介紹的概念、理論和方法對(duì)于學(xué)生畢業(yè)后從事科念、理論和方法對(duì)于學(xué)生畢業(yè)后從事科學(xué)研究、工程技術(shù)與管理工作都是不可學(xué)研究、工程技術(shù)與管理工作都是不可缺少的內(nèi)容。同時(shí)也是參加具有選拔功缺少的內(nèi)容。同時(shí)也是參加具有選拔功

6、能的水平考試的必備基礎(chǔ)。能的水平考試的必備基礎(chǔ)。2008年9月24南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系11南京航空航天大學(xué)南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院理學(xué)院 數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)系知識(shí)基礎(chǔ)知識(shí)基礎(chǔ) 熟練掌握有關(guān)初等數(shù)學(xué)（初中和高中數(shù)學(xué)）的知識(shí)熟練掌握有關(guān)初等數(shù)學(xué)（初中和高中數(shù)學(xué)）的知識(shí)體系體系 ，具體包括：，具體包括： 算數(shù)、集合的基本概念和運(yùn)算、多項(xiàng)式的運(yùn)算、算數(shù)、集合的基本概念和運(yùn)算、多項(xiàng)式的運(yùn)算、一元二次方程和多元一次方程組的解法、函數(shù)的基一元二次方程和多元一次方程組的解法、函數(shù)的基本概念與性質(zhì)、幾種重要函數(shù)的基本性質(zhì)和運(yùn)算、本概念與性質(zhì)、幾種重要函數(shù)的基本性質(zhì)和運(yùn)算、初等幾何（平面幾何、立體幾何）、向量

7、的基本概初等幾何（平面幾何、立體幾何）、向量的基本概念和運(yùn)算、平面解析幾何以及基本的邏輯證明方法念和運(yùn)算、平面解析幾何以及基本的邏輯證明方法（反證法、數(shù)學(xué)歸納法等）和清晰的邏輯思維能力（反證法、數(shù)學(xué)歸納法等）和清晰的邏輯思維能力.2008年9月24南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系12南京航空航天大學(xué)南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院理學(xué)院 數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)系內(nèi)容體系內(nèi)容體系（一元和多元函數(shù)）微積分（一元和多元函數(shù)）微積分極限、微分（或?qū)?shù)）、積分級(jí)數(shù)理論空間解析幾何常微分方程2008年9月24南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系13本學(xué)期的教學(xué)內(nèi)容本學(xué)期的教學(xué)內(nèi)容1.1.一元函數(shù)的微分學(xué)一元函數(shù)的微分學(xué)；4.4.

8、無(wú)窮級(jí)數(shù)。無(wú)窮級(jí)數(shù)。2.2.一元函數(shù)的積分學(xué)一元函數(shù)的積分學(xué)；3.3.幾種簡(jiǎn)單的常微分方程求解；幾種簡(jiǎn)單的常微分方程求解；2008年9月24南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系14南京航空航天大學(xué)南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院理學(xué)院 數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)系課程網(wǎng)站課程網(wǎng)站教務(wù)處網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺(tái)：教務(wù)處網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺(tái)：http:/ 課堂資料（課件、講義）課堂資料（課件、講義） 課外資料（數(shù)學(xué)史料、數(shù)學(xué)家課外資料（數(shù)學(xué)史料、數(shù)學(xué)家傳記、數(shù)學(xué)問題）傳記、數(shù)學(xué)問題） 討論區(qū)討論區(qū) （討論題、解答）（討論題、解答）2008年9月24南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系15南京航空航天大學(xué)南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院理學(xué)院 數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)系考

9、核方法考核方法課程考核成績(jī)由平時(shí)成績(jī)、小測(cè)驗(yàn)成績(jī)、期中課程考核成績(jī)由平時(shí)成績(jī)、小測(cè)驗(yàn)成績(jī)、期中考試成績(jī)和期末考試成績(jī)構(gòu)成：考試成績(jī)和期末考試成績(jī)構(gòu)成：平時(shí)成績(jī)：平時(shí)成績(jī)：作業(yè)完成情況及出勤情況，占總評(píng)成績(jī)作業(yè)完成情況及出勤情況，占總評(píng)成績(jī)10%10%小測(cè)驗(yàn)成績(jī)：小測(cè)驗(yàn)成績(jī)：兩次小測(cè)驗(yàn)，占總評(píng)成績(jī)兩次小測(cè)驗(yàn)，占總評(píng)成績(jī)20%20%期中和期末考試：期中和期末考試：閉卷，分別占總評(píng)成績(jī)的閉卷，分別占總評(píng)成績(jī)的20%20%和和50%50%2008年9月24南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系16南京航空航天大學(xué)南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院理學(xué)院 數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的區(qū)別高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的區(qū)別 研

10、究?jī)?nèi)容：高等數(shù)學(xué)是連續(xù)量（函數(shù)或者變量）的研究?jī)?nèi)容：高等數(shù)學(xué)是連續(xù)量（函數(shù)或者變量）的運(yùn)算體系，涉及（微分、積分）分析運(yùn)算，初等數(shù)運(yùn)算體系，涉及（微分、積分）分析運(yùn)算，初等數(shù)學(xué)是離散量（常量）的運(yùn)算體系，涉及（加減乘除學(xué)是離散量（常量）的運(yùn)算體系，涉及（加減乘除等）算術(shù)運(yùn)算。等）算術(shù)運(yùn)算。學(xué)習(xí)方法：初、高中：被動(dòng)接受學(xué)習(xí)方法：初、高中：被動(dòng)接受 大學(xué)：大學(xué)： 個(gè)人自發(fā)個(gè)人自發(fā)2008年9月24南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系17南京航空航天大學(xué)南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院理學(xué)院 數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)系 微積分的概念微積分的概念 微積分的萌芽微積分的萌芽 微積分的發(fā)展微積分的發(fā)展 微積分的建立微積分的建立 微

11、積分創(chuàng)立的歷史意義微積分創(chuàng)立的歷史意義 牛頓與萊布尼茨牛頓與萊布尼茨 2008年9月24南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系18南京航空航天大學(xué)南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院理學(xué)院 數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)系 研究函數(shù)，從量的方面研究事物運(yùn)動(dòng)變化是研究函數(shù)，從量的方面研究事物運(yùn)動(dòng)變化是微積分的基本方法。這種方法叫做數(shù)學(xué)分析。微積分的基本方法。這種方法叫做數(shù)學(xué)分析。一、微積分的概念一、微積分的概念 微積分學(xué)是微分學(xué)和積分學(xué)的總稱。微積分微積分學(xué)是微分學(xué)和積分學(xué)的總稱。微積分是研究函數(shù)的微分、積分以及有關(guān)概念和應(yīng)用的是研究函數(shù)的微分、積分以及有關(guān)概念和應(yīng)用的數(shù)學(xué)分支科學(xué)。微積分中的基本概念是函數(shù)、極數(shù)學(xué)分支科學(xué)。微積分中

12、的基本概念是函數(shù)、極限、實(shí)數(shù)、導(dǎo)數(shù)、積分等，其中極限是微積分的限、實(shí)數(shù)、導(dǎo)數(shù)、積分等，其中極限是微積分的基石?；?。2008年9月24南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系19南京航空航天大學(xué)南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院理學(xué)院 數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)系 微分學(xué)的主要內(nèi)容包括：函數(shù)的極限理論、函數(shù)微分學(xué)的主要內(nèi)容包括：函數(shù)的極限理論、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、函數(shù)的微分等。的導(dǎo)數(shù)、函數(shù)的微分等。 從廣義上說，數(shù)學(xué)分析包括微積分、函數(shù)論等許從廣義上說，數(shù)學(xué)分析包括微積分、函數(shù)論等許多學(xué)科，但是現(xiàn)在一般已習(xí)慣于把數(shù)學(xué)分析和微積多學(xué)科，但是現(xiàn)在一般已習(xí)慣于把數(shù)學(xué)分析和微積分等同起來(lái)，數(shù)學(xué)分析成了微積分的同義詞，微積分等同起來(lái)，數(shù)學(xué)分析成

13、了微積分的同義詞，微積分的基本內(nèi)容包括微分學(xué)和積分學(xué)。分的基本內(nèi)容包括微分學(xué)和積分學(xué)。 積分學(xué)的主要內(nèi)容包括：函數(shù)的定積分、函數(shù)的不積分學(xué)的主要內(nèi)容包括：函數(shù)的定積分、函數(shù)的不定積分等。定積分等。 注：注：微積分的基本研究對(duì)象是函數(shù)。微積分的基本研究對(duì)象是函數(shù)。2008年9月24南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系20南京航空航天大學(xué)南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院理學(xué)院 數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)系（1 1）中國(guó)數(shù)學(xué)家的極限、積分思想）中國(guó)數(shù)學(xué)家的極限、積分思想 “割圓求周割圓求周”（三國(guó)三國(guó)劉徽劉徽）一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭（一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭（樸素、典型樸素、典型的極限概念的極限概念二、微積分的萌芽二

14、、微積分的萌芽2008年9月24南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系21南京航空航天大學(xué)南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院理學(xué)院 數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)系（2 2）外國(guó)數(shù)學(xué)家的極限、積分思想）外國(guó)數(shù)學(xué)家的極限、積分思想 公元前三世紀(jì)，古希臘的公元前三世紀(jì)，古希臘的阿基米德阿基米德在研究解決拋物弓形在研究解決拋物弓形的面積、球和球冠面積、螺線下面積和旋轉(zhuǎn)雙曲體的體積的面積、球和球冠面積、螺線下面積和旋轉(zhuǎn)雙曲體的體積的問題中，就隱含著近代積分學(xué)的思想。的問題中，就隱含著近代積分學(xué)的思想。 歐幾里得歐幾里得( (公元前公元前330330年前年前275275年年) )是古希臘數(shù)學(xué)家，以是古希臘數(shù)學(xué)家，以其所著的其所著的幾何原本

15、幾何原本聞名于世，其中對(duì)不可約量及面積聞名于世，其中對(duì)不可約量及面積與體積的研究，包含了窮竭法的萌芽。與體積的研究，包含了窮竭法的萌芽。2008年9月24南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系22南京航空航天大學(xué)南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院理學(xué)院 數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)系 到了十六到了十六十七世紀(jì)，有許多科學(xué)問題需要解決，十七世紀(jì)，有許多科學(xué)問題需要解決，由于航海、機(jī)械制造、軍事上的需要，運(yùn)動(dòng)的研究由于航海、機(jī)械制造、軍事上的需要，運(yùn)動(dòng)的研究成了自然科學(xué)的中心議題，于是在數(shù)學(xué)中開始研究成了自然科學(xué)的中心議題，于是在數(shù)學(xué)中開始研究各種變化過程中的量（變量）之間的依賴關(guān)系，變各種變化過程中的量（變量）之間的依賴關(guān)系，變

16、量的引進(jìn)，形成了數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)。量的引進(jìn)，形成了數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)。三、微積分的發(fā)展三、微積分的發(fā)展常量數(shù)學(xué)常量數(shù)學(xué)變量數(shù)學(xué)變量數(shù)學(xué)2008年9月24南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系23南京航空航天大學(xué)南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院理學(xué)院 數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)系 第一類是求瞬時(shí)速度的問題。第一類是求瞬時(shí)速度的問題。第二類問題是求曲線的切線的問題。第二類問題是求曲線的切線的問題。十七世紀(jì)中葉其他科學(xué)提出的四種亟待解決的數(shù)學(xué)問題：十七世紀(jì)中葉其他科學(xué)提出的四種亟待解決的數(shù)學(xué)問題： 天文學(xué)、力學(xué)等涉及許多非勻速運(yùn)動(dòng)，大多數(shù)也不是天文學(xué)、力學(xué)等涉及許多非勻速運(yùn)動(dòng)，大多數(shù)也不是直線運(yùn)動(dòng)，傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)方法無(wú)能為力，要求新的數(shù)學(xué)

17、工直線運(yùn)動(dòng)，傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)方法無(wú)能為力，要求新的數(shù)學(xué)工具。具。 不僅是幾何學(xué)的問題，而且也是許多其他科學(xué)問題的不僅是幾何學(xué)的問題，而且也是許多其他科學(xué)問題的要求，如物體作曲線運(yùn)動(dòng)，光的折射和反射。要求，如物體作曲線運(yùn)動(dòng)，光的折射和反射。2008年9月24南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系24南京航空航天大學(xué)南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院理學(xué)院 數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)系第三類問題是求函數(shù)的最大值和最小值問題。第三類問題是求函數(shù)的最大值和最小值問題。 第四類問題是求曲線長(zhǎng)、曲線圍成的面積、曲面圍第四類問題是求曲線長(zhǎng)、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積、物體的重心、一個(gè)體積相當(dāng)大的物體作用成的體積、物體的重心、一個(gè)體積相當(dāng)大的

18、物體作用于另一物體上的引力。于另一物體上的引力。 天文學(xué)和力學(xué)都有關(guān)，例如求行星運(yùn)動(dòng)的近日點(diǎn)遠(yuǎn)天文學(xué)和力學(xué)都有關(guān)，例如求行星運(yùn)動(dòng)的近日點(diǎn)遠(yuǎn)日點(diǎn)，拋射體的最大射程和高度等。日點(diǎn)，拋射體的最大射程和高度等。2008年9月24南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系25南京航空航天大學(xué)南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院理學(xué)院 數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)系 十七世紀(jì)下半葉，在前人工作的基礎(chǔ)上，英國(guó)大十七世紀(jì)下半葉，在前人工作的基礎(chǔ)上，英國(guó)大科學(xué)家科學(xué)家牛頓牛頓和德國(guó)大數(shù)學(xué)家和德國(guó)大數(shù)學(xué)家萊布尼茨萊布尼茨分別在自己的分別在自己的國(guó)度里獨(dú)自研究和完成了微積分的創(chuàng)立工作，雖然國(guó)度里獨(dú)自研究和完成了微積分的創(chuàng)立工作，雖然這只是十分初步的工作。

19、他們的最大功績(jī)是把兩個(gè)這只是十分初步的工作。他們的最大功績(jī)是把兩個(gè)貌似毫不相關(guān)的問題聯(lián)系在一起，一個(gè)是變化率問貌似毫不相關(guān)的問題聯(lián)系在一起，一個(gè)是變化率問題（微分學(xué)的中心問題，包括瞬時(shí)速度、切線等），題（微分學(xué)的中心問題，包括瞬時(shí)速度、切線等），一個(gè)是累積問題一個(gè)是累積問題 (積分學(xué)的中心問題，包括做功、曲積分學(xué)的中心問題，包括做功、曲線圍成面積等線圍成面積等)。 四、微積分的建立四、微積分的建立2008年9月24南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系26南京航空航天大學(xué)南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院理學(xué)院 數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)系 牛頓牛頓和和萊布尼茨萊布尼茨建立微積分的出發(fā)點(diǎn)是建立微積分的出發(fā)點(diǎn)是直觀的直觀的無(wú)窮

20、小量無(wú)窮小量，因此這門學(xué)科早期也稱為，因此這門學(xué)科早期也稱為無(wú)窮小分析無(wú)窮小分析，這正是現(xiàn)在數(shù)學(xué)中分析學(xué)這一，這正是現(xiàn)在數(shù)學(xué)中分析學(xué)這一大分支名稱的來(lái)源。大分支名稱的來(lái)源。牛頓牛頓研究微積分著重于研究微積分著重于從運(yùn)動(dòng)學(xué)來(lái)考慮，從運(yùn)動(dòng)學(xué)來(lái)考慮，萊布尼茨萊布尼茨卻是側(cè)重于幾何卻是側(cè)重于幾何學(xué)來(lái)考慮的。學(xué)來(lái)考慮的。2008年9月24南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系27南京航空航天大學(xué)南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院理學(xué)院 數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)系 微積分學(xué)的創(chuàng)立，極大地推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展，微積分學(xué)的創(chuàng)立，極大地推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展，過去很多初等數(shù)學(xué)束手無(wú)策的問題，運(yùn)用微積分，過去很多初等數(shù)學(xué)束手無(wú)策的問題，運(yùn)用微積分，往往

21、迎刃而解，顯示出微積分學(xué)的非凡威力。往往迎刃而解，顯示出微積分學(xué)的非凡威力。 一門科學(xué)的創(chuàng)立決不是某一個(gè)人的業(yè)績(jī)，他必一門科學(xué)的創(chuàng)立決不是某一個(gè)人的業(yè)績(jī)，他必定是經(jīng)過多少人的努力后，在積累了大量成果的基定是經(jīng)過多少人的努力后，在積累了大量成果的基礎(chǔ)上，最后由某個(gè)人或幾個(gè)人總結(jié)完成的。微積分礎(chǔ)上，最后由某個(gè)人或幾個(gè)人總結(jié)完成的。微積分也是這樣。也是這樣。 五、微積分創(chuàng)立的歷史意義五、微積分創(chuàng)立的歷史意義2008年9月24南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系28南京航空航天大學(xué)南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院理學(xué)院 數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)系 應(yīng)該指出，這是和歷史上任何一項(xiàng)重大理論的完應(yīng)該指出，這是和歷史上任何一項(xiàng)重大理論

22、的完成都要經(jīng)歷一段時(shí)間一樣，成都要經(jīng)歷一段時(shí)間一樣，牛頓牛頓和和萊布尼茨萊布尼茨的工作的工作也都是很不完善的。他們?cè)跓o(wú)窮和無(wú)窮小量這個(gè)問也都是很不完善的。他們?cè)跓o(wú)窮和無(wú)窮小量這個(gè)問題上，其說不一，十分含糊。題上，其說不一，十分含糊。牛頓牛頓的無(wú)窮小量，有的無(wú)窮小量，有時(shí)候是零，有時(shí)候不是零而是有限的小量；時(shí)候是零，有時(shí)候不是零而是有限的小量；萊布尼萊布尼茨茨的也不能自圓其說。這些基礎(chǔ)方面的缺陷，最終的也不能自圓其說。這些基礎(chǔ)方面的缺陷，最終導(dǎo)致了導(dǎo)致了第二次數(shù)學(xué)危機(jī)第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的產(chǎn)生。的產(chǎn)生。2008年9月24南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系29南京航空航天大學(xué)南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院理學(xué)院

23、 數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)系 直到世紀(jì)初，法國(guó)科學(xué)學(xué)院的科學(xué)家以直到世紀(jì)初，法國(guó)科學(xué)學(xué)院的科學(xué)家以柯西柯西為首，為首，對(duì)微積分的理論進(jìn)行了認(rèn)真研究，建立了極限理論，後來(lái)對(duì)微積分的理論進(jìn)行了認(rèn)真研究，建立了極限理論，後來(lái)又經(jīng)過德國(guó)數(shù)學(xué)家又經(jīng)過德國(guó)數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯魏爾斯特拉斯進(jìn)一步的嚴(yán)格化，建立了進(jìn)一步的嚴(yán)格化，建立了實(shí)數(shù)連續(xù)統(tǒng)理論，使極限理論成為了微積分的堅(jiān)定基礎(chǔ)。實(shí)數(shù)連續(xù)統(tǒng)理論，使極限理論成為了微積分的堅(jiān)定基礎(chǔ)。才使微積分進(jìn)一步的發(fā)展開來(lái)。才使微積分進(jìn)一步的發(fā)展開來(lái)。演算體系演算體系極限概念刻劃極限概念刻劃基石：實(shí)數(shù)連續(xù)統(tǒng)基石：實(shí)數(shù)連續(xù)統(tǒng)形成過程：牛頓、萊牛頓、萊布尼茨布尼茨柯西、波柯西、波爾察諾等爾察諾

24、等魏爾斯特拉斯、康魏爾斯特拉斯、康托、戴得金等托、戴得金等學(xué)習(xí)過程學(xué)習(xí)過程2008年9月24南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系30南京航空航天大學(xué)南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院理學(xué)院 數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)系 微積分是與應(yīng)用聯(lián)系著發(fā)展起來(lái)的，最初微積分是與應(yīng)用聯(lián)系著發(fā)展起來(lái)的，最初牛頓牛頓應(yīng)應(yīng)用微積分學(xué)及微分方程為了從萬(wàn)有引力定律導(dǎo)出了開用微積分學(xué)及微分方程為了從萬(wàn)有引力定律導(dǎo)出了開普勒行星運(yùn)動(dòng)三定律。此后，微積分學(xué)極大的推動(dòng)了普勒行星運(yùn)動(dòng)三定律。此后，微積分學(xué)極大的推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展，同時(shí)也極大的推動(dòng)了天文學(xué)、力學(xué)、物數(shù)學(xué)的發(fā)展，同時(shí)也極大的推動(dòng)了天文學(xué)、力學(xué)、物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、工程學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等自然科學(xué)、理學(xué)

25、、化學(xué)、生物學(xué)、工程學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)及應(yīng)用科學(xué)各個(gè)分支中的發(fā)展。并在這些學(xué)社會(huì)科學(xué)及應(yīng)用科學(xué)各個(gè)分支中的發(fā)展。并在這些學(xué)科中有越來(lái)越廣泛的應(yīng)用，特別是計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)更有科中有越來(lái)越廣泛的應(yīng)用，特別是計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)更有助于這些應(yīng)用的不斷發(fā)展。助于這些應(yīng)用的不斷發(fā)展。2008年9月24南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系31南京航空航天大學(xué)南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院理學(xué)院 數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)系 牛頓牛頓，是英國(guó)偉大的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、天文學(xué)家，是英國(guó)偉大的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、天文學(xué)家和自然哲學(xué)家。和自然哲學(xué)家。1642年年12月月25日生于英格蘭林肯郡格蘭日生于英格蘭林肯郡格蘭瑟姆附近的沃爾索普村瑟姆附

26、近的沃爾索普村,1727年年3月月20日在倫敦病逝。日在倫敦病逝。 牛頓牛頓1661年入英國(guó)劍橋大學(xué)三一學(xué)院，年入英國(guó)劍橋大學(xué)三一學(xué)院，1665年獲文年獲文學(xué)士學(xué)位。隨后兩年在家鄉(xiāng)躲避瘟疫。這兩年里，他學(xué)士學(xué)位。隨后兩年在家鄉(xiāng)躲避瘟疫。這兩年里，他制定了一生大多數(shù)重要科學(xué)創(chuàng)造的藍(lán)圖。制定了一生大多數(shù)重要科學(xué)創(chuàng)造的藍(lán)圖。1667年回劍年回劍橋后當(dāng)選為三一學(xué)院院委，次年獲碩士學(xué)位。橋后當(dāng)選為三一學(xué)院院委，次年獲碩士學(xué)位。1669年年任盧卡斯教授直到任盧卡斯教授直到1701年。年。1696年任皇家造幣廠監(jiān)督，年任皇家造幣廠監(jiān)督，并移居倫敦。并移居倫敦。1703年任英國(guó)皇家學(xué)會(huì)會(huì)長(zhǎng)。年任英國(guó)皇家學(xué)會(huì)會(huì)

27、長(zhǎng)。1706年受女年受女王安娜封爵。他晚年潛心于自然哲學(xué)與神學(xué)。王安娜封爵。他晚年潛心于自然哲學(xué)與神學(xué)。 牛頓牛頓在科學(xué)上最卓越的貢獻(xiàn)是微積分和經(jīng)典力學(xué)的在科學(xué)上最卓越的貢獻(xiàn)是微積分和經(jīng)典力學(xué)的創(chuàng)建。創(chuàng)建。2008年9月24南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系32南京航空航天大學(xué)南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院理學(xué)院 數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)系 牛頓牛頓在在1671年寫了年寫了流數(shù)法和無(wú)窮級(jí)流數(shù)法和無(wú)窮級(jí)數(shù)數(shù)，這本書直到，這本書直到1736年才出版，它在這年才出版，它在這本書里指出，變量是由點(diǎn)、線、面的連續(xù)本書里指出，變量是由點(diǎn)、線、面的連續(xù)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的，否定了以前自己認(rèn)為的變量運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的，否定了以前自己認(rèn)為的變量是無(wú)窮

28、小元素的靜止集合。他把連續(xù)變量是無(wú)窮小元素的靜止集合。他把連續(xù)變量叫做流動(dòng)量，把這些流動(dòng)量的導(dǎo)數(shù)叫做叫做流動(dòng)量，把這些流動(dòng)量的導(dǎo)數(shù)叫做流流數(shù)數(shù)。牛頓牛頓在流數(shù)術(shù)中所提出的中心問題是：在流數(shù)術(shù)中所提出的中心問題是：已知連續(xù)運(yùn)動(dòng)的路徑，求給定時(shí)刻的速度已知連續(xù)運(yùn)動(dòng)的路徑，求給定時(shí)刻的速度（微分法）；已知運(yùn)動(dòng)的速度求給定時(shí)間（微分法）；已知運(yùn)動(dòng)的速度求給定時(shí)間內(nèi)經(jīng)過的路程內(nèi)經(jīng)過的路程(積分法積分法)。2008年9月24南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系33南京航空航天大學(xué)南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院理學(xué)院 數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)系 萊布尼茨萊布尼茨，德國(guó)數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家，和牛頓同為微積分的創(chuàng)始，德國(guó)數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家，和牛

29、頓同為微積分的創(chuàng)始人；人；1646年年7月月1日生于萊比錫，日生于萊比錫，1716年年11月月14日卒于德國(guó)的漢諾日卒于德國(guó)的漢諾威。威。 他父親是萊比錫大學(xué)倫理學(xué)教授，家庭豐富的藏書引起他廣泛他父親是萊比錫大學(xué)倫理學(xué)教授，家庭豐富的藏書引起他廣泛的興趣。的興趣。1661年入萊比錫大學(xué)學(xué)習(xí)法律，又曾到耶拿大學(xué)學(xué)習(xí)幾年入萊比錫大學(xué)學(xué)習(xí)法律，又曾到耶拿大學(xué)學(xué)習(xí)幾何，何，1666年在紐倫堡阿爾特多夫取得法學(xué)博士學(xué)位。他當(dāng)時(shí)寫的年在紐倫堡阿爾特多夫取得法學(xué)博士學(xué)位。他當(dāng)時(shí)寫的論文論文論組合的技巧論組合的技巧已含有數(shù)理邏輯的早期思想，后來(lái)的工作已含有數(shù)理邏輯的早期思想，后來(lái)的工作使他成為數(shù)理邏輯的創(chuàng)始人

30、。使他成為數(shù)理邏輯的創(chuàng)始人。 1667年他投身外交界，曾到歐洲各國(guó)游歷。年他投身外交界，曾到歐洲各國(guó)游歷。1676年到漢諾威，年到漢諾威，任腓特烈公爵顧問及圖書館的館長(zhǎng)，并常居漢諾威，直到去世。任腓特烈公爵顧問及圖書館的館長(zhǎng)，并常居漢諾威，直到去世。 萊布尼茨萊布尼茨的多才多藝在歷史上很少有人能和他相比，他的著的多才多藝在歷史上很少有人能和他相比，他的著作包括數(shù)學(xué)、歷史、語(yǔ)言、生物、地質(zhì)、機(jī)械、物理、法律、外作包括數(shù)學(xué)、歷史、語(yǔ)言、生物、地質(zhì)、機(jī)械、物理、法律、外交等各個(gè)方面。交等各個(gè)方面。2008年9月24南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系34南京航空航天大學(xué)南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院理學(xué)院 數(shù)

31、學(xué)系數(shù)學(xué)系 萊布尼茨是一個(gè)博才多學(xué)的學(xué)者萊布尼茨是一個(gè)博才多學(xué)的學(xué)者,1684年他發(fā)表了現(xiàn)年他發(fā)表了現(xiàn)在世界上認(rèn)為是最早的微積分文獻(xiàn)，這篇文章有一個(gè)很在世界上認(rèn)為是最早的微積分文獻(xiàn)，這篇文章有一個(gè)很長(zhǎng)而且很古怪的名字長(zhǎng)而且很古怪的名字一種求極大極小和切線的新方法，一種求極大極小和切線的新方法，它也適用于分式和無(wú)理量，以及這種新方法的奇妙類型它也適用于分式和無(wú)理量，以及這種新方法的奇妙類型的計(jì)算的計(jì)算。就是這樣一篇說理也頗含糊的文章，卻有劃。就是這樣一篇說理也頗含糊的文章，卻有劃時(shí)代的意義。他以含有現(xiàn)代的微分符號(hào)和基本微分法則。時(shí)代的意義。他以含有現(xiàn)代的微分符號(hào)和基本微分法則。1686年，年，萊

32、布尼茨萊布尼茨發(fā)表了第一篇積分學(xué)的文獻(xiàn)。他是歷發(fā)表了第一篇積分學(xué)的文獻(xiàn)。他是歷史上最偉大的符號(hào)學(xué)者之一，他所創(chuàng)設(shè)的微積分符號(hào)，史上最偉大的符號(hào)學(xué)者之一，他所創(chuàng)設(shè)的微積分符號(hào)，遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于牛頓的符號(hào)，這對(duì)微積分的發(fā)展有極大的影響。遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于牛頓的符號(hào)，這對(duì)微積分的發(fā)展有極大的影響?，F(xiàn)在我們使用的微積分通用符號(hào)就是當(dāng)時(shí)現(xiàn)在我們使用的微積分通用符號(hào)就是當(dāng)時(shí)萊布尼茨萊布尼茨精心精心選用的選用的.2008年9月24南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系35第第1章章 函數(shù)、極限、連續(xù)函數(shù)、極限、連續(xù)第第1節(jié)節(jié) 集合、映射與函數(shù)集合、映射與函數(shù)第第2節(jié)節(jié) 數(shù)列的極限數(shù)列的極限第第3節(jié)節(jié) 函數(shù)的極限函數(shù)的極限第第4節(jié)節(jié)

33、 無(wú)窮小量及無(wú)窮大量無(wú)窮小量及無(wú)窮大量第第5節(jié)節(jié) 連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)2008年9月24南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系36 第第1節(jié)節(jié) 集合、映射與函數(shù)集合、映射與函數(shù) 1.1 集合及其運(yùn)算集合及其運(yùn)算 1.2 實(shí)數(shù)集的完備性與確界定理實(shí)數(shù)集的完備性與確界定理 1.3 映射與函數(shù)的概念映射與函數(shù)的概念 1.4 復(fù)合映射與復(fù)合函數(shù)復(fù)合映射與復(fù)合函數(shù)1.5 逆映射與反函數(shù)逆映射與反函數(shù) 1.6 初等函數(shù)與雙曲函數(shù)初等函數(shù)與雙曲函數(shù) 2008年9月24南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系37n 集合論產(chǎn)生于十九世紀(jì)七十年代，集合論產(chǎn)生于十九世紀(jì)七十年代，它是德國(guó)數(shù)學(xué)家它是德國(guó)數(shù)學(xué)家康托康托（CantorC

34、antor）創(chuàng)立的，）創(chuàng)立的，不僅是分析學(xué)的基礎(chǔ)，同時(shí)，它的一般不僅是分析學(xué)的基礎(chǔ)，同時(shí)，它的一般思想已滲入到數(shù)學(xué)的所有部門。思想已滲入到數(shù)學(xué)的所有部門?！凹霞险撚^點(diǎn)論觀點(diǎn)”與現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展不可分割地與現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展不可分割地聯(lián)系在一起。聯(lián)系在一起。2008年9月24南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系381.1 集合及其運(yùn)算集合及其運(yùn)算1、集合概念、集合概念具有某種具有某種確定性質(zhì)確定性質(zhì)對(duì)象的全體對(duì)象的全體.組成這個(gè)集合的個(gè)別對(duì)象稱為該組成這個(gè)集合的個(gè)別對(duì)象稱為該 集合集合元素元素(簡(jiǎn)稱簡(jiǎn)稱元元)(集集)元素元素.集合的集合的通常以大寫字母通常以大寫字母,MBA等表示集合等表示集合,以小寫

35、字母以小寫字母等表示集合的元素等表示集合的元素.,mba;Aa Aa ,的元素的元素是是若若Aa否則否則記記記作記作,Aa屬屬于于則則說說或或.a A 注：集合中的元素具有確定性、無(wú)重復(fù)性、無(wú)序性。注：集合中的元素具有確定性、無(wú)重復(fù)性、無(wú)序性。2008年9月24南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系392 2 表示法表示法(1) (1) 列舉法列舉法： 把集合的全部元素一一列出來(lái)把集合的全部元素一一列出來(lái),例例有限集合有限集合naaaA,21niia1自然數(shù)集自然數(shù)集,2,1,0Nn(2) (2) 描述法描述法： Mx x 所具有的性質(zhì)所具有的性質(zhì)P( (x) )例例 整數(shù)集合整數(shù)集合 ZxNx 或

36、或Nx 有理數(shù)集有理數(shù)集qpQZ,N ,pq p p 與與 q q 互質(zhì)互質(zhì)實(shí)數(shù)集合實(shí)數(shù)集合 Rx x 為有理數(shù)或無(wú)理數(shù)為有理數(shù)或無(wú)理數(shù) N1 , 2 ,n 外加花括號(hào)外加花括號(hào).正整數(shù)集正整數(shù)集2008年9月24南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系403 集合的關(guān)系集合的關(guān)系,Ax 若若的的是是BA兩個(gè)集合兩個(gè)集合 ,2 , 1 A.BA中中的的每每一一個(gè)個(gè)元元素素都都屬屬于于一般地一般地,AB 若若.BA ,2 , 1 A如如,0232 xxxB.BA 則則,Bx 則則必必子集子集則稱則稱集合集合A與與B相等相等, ,AB 記作記作則稱則稱子集子集,(讀作讀作A含含于于B)或或BA (讀作讀作

37、B包含包含 A).集合相等集合相等,BA 且且記作記作 1,2,3,4B 2008年9月24南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系41).(記記作作如如 01,2xRxx空集空集. .不含任何元素的集合稱為不含任何元素的集合稱為,ABAB 若若且且則稱則稱的的是是BA真子集真子集記作記作A .B如如 NZQR. 真子集真子集,空集空集規(guī)定規(guī)定空集為任何集合的子集空集為任何集合的子集.今后在今后在提到一個(gè)集提到一個(gè)集合時(shí)合時(shí),一般都是一般都是如不加特別聲明如不加特別聲明,非空集非空集.2008年9月24南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系42集合之間的相等與包含關(guān)系具有以下幾個(gè)性質(zhì)集合之間的相等與包含關(guān)系

38、具有以下幾個(gè)性質(zhì):(1) 反身性反身性(2) 反對(duì)稱性反對(duì)稱性(3) 傳遞性傳遞性AA ,ABBAAB 則則,AB BCAC 則則 注：注： 空集是唯一的。 2008年9月24南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系43 例 確定下列命題是否為真 （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6）a a； （7） a a； （8） a a，a； （9） a a，a。 注注:（i）理解符號(hào) 和的區(qū)別和聯(lián)系 (ii ) 理解集合 和 ； a 和a 的區(qū)別和聯(lián)系。 2008年9月24南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系44給定兩個(gè)集合給定兩個(gè)集合 A, , B, , 并集并集 xBAAx交集交集

39、 xBAAxBx且且差集差集 xBAAxBx且且定義下列運(yùn)算定義下列運(yùn)算: :ABABBABABx或或4 集合的三種基本運(yùn)算集合的三種基本運(yùn)算2008年9月24南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系45A注注研究某個(gè)問題時(shí)所考慮的對(duì)象的全體研究某個(gè)問題時(shí)所考慮的對(duì)象的全體記作記作.CA例如例如, , ,6 , 5 , 4 , 3,4 , 3 , 2 , 1 BA設(shè)設(shè)則則BA .2 , 1 ,6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 ,4 , 3 余集余集或或補(bǔ)集補(bǔ)集. .ABAB并用并用 X 表示表示,稱為稱為全集全集或或基本集基本集, ,并把差積并把差積特別稱為特別稱為A的的XA例如例如, ,在

40、在實(shí)數(shù)集實(shí)數(shù)集R中中, 集合集合10 xxA的的余集余集 CA10 xx或或.xB關(guān)于關(guān)于A 余余( (補(bǔ)補(bǔ)) )集集()AC BA BBA 其中AC BB2008年9月24南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系46 1,2,5B 2,4C ， D=5，求出以下集合。 ，例例 設(shè)1,2,3,4,5E 1,4A ，(1) AB(2) BC(4) BA(3) A(5) AD11,52,3,51,2,3,52008年9月24南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系47例例 用文氏圖表示下列集合。 (1) ()() ()ABABBA對(duì)稱差運(yùn)算2008年9月24南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系48 (2) AB200

41、8年9月24南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系49(3) ()ABC2008年9月24南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系50例例 用集合公式表示下列文氏圖中的陰影部分(1) 解：解： ABC2008年9月24南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系51(2) 解：解： ()()()ABACBC2008年9月24南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系525. 集合的運(yùn)算法則集合的運(yùn)算法則CBA,設(shè)設(shè)為任意三個(gè)集合為任意三個(gè)集合, 則下列法則成立則下列法則成立:(1) 交換律交換律 AB =BA, AB=BA ;(2) 結(jié)合律結(jié)合律 ( AB ) C = A ( B C ) , ( AB ) C = A ( B C

42、 ) ;(3) 分配律分配律 ( AB )C= ( A C )( B C ) , ( AB )C= ( A C ) ( B C ) ;(4) 對(duì)偶律對(duì)偶律 (AB)C= AC BC ,(AB)C= AC BC ;2008年9月24南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系53(5) 冪等律冪等律 AAAA(6) 吸收律吸收律 A= A,= A;= A, A= .2008年9月24南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系54 定義定義 兩個(gè)確定了先后次序的元素a, b組成的元素對(duì), 稱為有序元素對(duì), 簡(jiǎn)稱為有序偶, 記為(a, b)。且規(guī)定 笛卡兒乘積 (a, b) =(c, d) 當(dāng)且僅當(dāng) a=c, b=d.

43、注: 有序偶 (a, b) 和集合a, b的區(qū)別.2008年9月24南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系55 定義定義 有序偶集合(a, b) | a A, b B稱為集合A和B的笛卡兒乘積, 記為AB. 例例 設(shè)A=1, 2, 3 , B= x, y , 求AB, BA 。 (2) 一般的, AB BA。 注注: (1) A = B= ;特例特例: :RR記記2R為平面上的全體點(diǎn)集為平面上的全體點(diǎn)集2008年9月24南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系562013年10月11日南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系56 工科數(shù)學(xué)分析工科數(shù)學(xué)分析研究的基本對(duì)象是函數(shù)，研究的基本對(duì)象是函數(shù)，這里的這里的“函數(shù)

44、函數(shù)”是定義在是定義在“實(shí)數(shù)集實(shí)數(shù)集”上的上的. . 因此，我們需要了解實(shí)數(shù)集的一些簡(jiǎn)單而常因此，我們需要了解實(shí)數(shù)集的一些簡(jiǎn)單而常用的性質(zhì)用的性質(zhì). .1.2 實(shí)數(shù)集的完備性與確界定理實(shí)數(shù)集的完備性與確界定理2008年9月24南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系57實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)無(wú)無(wú)限限不不循循環(huán)環(huán)的的小小數(shù)數(shù) 有有限限或或無(wú)無(wú)限限循循環(huán)環(huán)的的小小數(shù)數(shù) 有有理理數(shù)數(shù) 無(wú)理數(shù)無(wú)理數(shù)實(shí)數(shù)的概念及其性質(zhì)實(shí)數(shù)的概念及其性質(zhì)實(shí)數(shù)的定義實(shí)數(shù)的定義0)( ,Z,qpqpp實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)2008年9月24南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系582013年10月11日南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系58實(shí)數(shù)集的一些重要性質(zhì)實(shí)數(shù)集的

45、一些重要性質(zhì)(1) 四則運(yùn)算封閉性四則運(yùn)算封閉性： 對(duì)任意兩個(gè)實(shí)數(shù)施行有理運(yùn)算對(duì)任意兩個(gè)實(shí)數(shù)施行有理運(yùn)算(即加、減、乘、即加、減、乘、除，除法要求分母不為零除，除法要求分母不為零)后仍為實(shí)數(shù)后仍為實(shí)數(shù).2008年9月24南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系592013年10月11日南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系59實(shí)數(shù)集的一些重要性質(zhì)實(shí)數(shù)集的一些重要性質(zhì)(2) 有序性與傳遞性有序性與傳遞性：對(duì)任意兩個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a與與b, 有且僅有下列關(guān)系有且僅有下列關(guān)系之一成立：之一成立：,ababab , .abbcac 并并 且且 ， 若若則則 必必 有有2008年9月24南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院

46、數(shù)學(xué)系602013年10月11日南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系60實(shí)數(shù)集的一些重要性質(zhì)實(shí)數(shù)集的一些重要性質(zhì)(3) 稠密性：稠密性： 任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)之間還有另一個(gè)實(shí)數(shù)，任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)之間還有另一個(gè)實(shí)數(shù)， 注：有理數(shù)集也具有四則運(yùn)算封閉性、有序性、傳注：有理數(shù)集也具有四則運(yùn)算封閉性、有序性、傳遞性和稠密性！遞性和稠密性！因而任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)之間必存在無(wú)窮多個(gè)實(shí)數(shù)因而任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)之間必存在無(wú)窮多個(gè)實(shí)數(shù).2008年9月24南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系612013年10月11日南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系61o1R全全體體實(shí)實(shí)數(shù)數(shù) 和和數(shù)數(shù)軸軸上上的的點(diǎn)點(diǎn)建建立立了了一

47、一一一對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng).的關(guān)系的關(guān)系 O 在在一一直直線線上上確確定定一一點(diǎn)點(diǎn) 作作為為原原點(diǎn)點(diǎn), , 指指定定一一個(gè)個(gè)方方向向?yàn)闉檎蛳? , 并并且且規(guī)規(guī)定定一一個(gè)個(gè)單單位位長(zhǎng)長(zhǎng)度度, , 建建立立數(shù)數(shù)軸軸. . 注：有理數(shù)集不具有！注：有理數(shù)集不具有！2-實(shí)數(shù)集的完備性或連續(xù)性實(shí)數(shù)集的完備性或連續(xù)性.完備性是實(shí)數(shù)集的本質(zhì)屬性完備性是實(shí)數(shù)集的本質(zhì)屬性(4) 完備性或連續(xù)性：完備性或連續(xù)性：2008年9月24南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系622013年10月11日南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系62常見邏輯符號(hào)：常見邏輯符號(hào)： 表示表示“任取任取”1. 全稱量詞符號(hào)全稱量詞符號(hào)“ ” ：英文英文

48、Any (每一個(gè)每一個(gè))或或 All (所有的所有的)的首字母的首字母A的倒寫的倒寫或或“任意給定任意給定”.2008年9月24南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系632013年10月11日南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系63 表示表示“存在存在”2. 存在量詞符號(hào)存在量詞符號(hào)“ ” ：或或“能夠找到能夠找到”.英文英文Exist(存在存在)的首字母的首字母E的倒寫的倒寫“ ” 表示表示 “蘊(yùn)含蘊(yùn)含 ”,或或 “推推出出”.“ ” 表示表示 “等價(jià)等價(jià) ”,或或 “充分必充分必要要”.2008年9月24南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系64讀讀作作“希希格格瑪瑪”， 211nniiaaaa121 n

49、iniaaaa ,max21naaa,min21naaa2008年9月24南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系652 絕對(duì)值與不等式絕對(duì)值與不等式 00aaaaa)0( a運(yùn)算性質(zhì)運(yùn)算性質(zhì)aaaaa 或或0a ;baab 0).aabbb （2aa 2008年9月24南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系66(1)xb ;bxb (2)(0)xa a ;axax 或或幾個(gè)常用的絕對(duì)值不等式幾個(gè)常用的絕對(duì)值不等式: :(3)xab ;abxab (4)abab 2008年9月24南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系67幾個(gè)重要不等式幾個(gè)重要不等式Bernoulli() Cauchy() 伯伯努努利利柯柯西西幾

50、幾何何與與算算術(shù)術(shù)平平均均Bernoulli()伯伯努努利利 不不等等式式111)nxnxxnN （）（,注： 用數(shù)學(xué)歸納法可證。222i=1i=1i=1nnni iiiabab（） （）(）Cauchy()柯柯西西 不不等等式式2008年9月24南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系6812 ,na aaR平均值不等式12i=11nnnia aaan幾何平幾何平均值均值算術(shù)平算術(shù)平均值均值2008年9月24南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系69 區(qū)間是用得較多的一類數(shù)集區(qū)間是用得較多的一類數(shù)集 (實(shí)數(shù)集合實(shí)數(shù)集合), 具體是具體是指介于某兩個(gè)實(shí)數(shù)之間的全體實(shí)數(shù)指介于某兩個(gè)實(shí)數(shù)之間的全體實(shí)數(shù). 這兩個(gè)

51、實(shí)數(shù)叫這兩個(gè)實(shí)數(shù)叫做區(qū)間的端點(diǎn)做區(qū)間的端點(diǎn).a,b a,bR,ab. 設(shè)設(shè)是是實(shí)實(shí)數(shù)數(shù), ,即即且且 x axb, a, b . 則則實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)集集稱稱為為開開區(qū)區(qū)間間 記記作作 在數(shù)軸上可表示為在數(shù)軸上可表示為oxab3. 3. 區(qū)間區(qū)間2008年9月24南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系70 x axb, a, b .而實(shí)數(shù)集稱為閉區(qū)間 記作而實(shí)數(shù)集稱為閉區(qū)間 記作 在數(shù)軸上可表示為在數(shù)軸上可表示為 除了開區(qū)間和閉區(qū)間外除了開區(qū)間和閉區(qū)間外, 我們還可類似定義如下區(qū)間我們還可類似定義如下區(qū)間:x axb, a, b). 實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)集集稱稱為為半半開開區(qū)區(qū)間間 記記作作 x axb, a, b.

52、實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)集集稱稱為為半半開開區(qū)區(qū)間間 記記作作( (oxab2008年9月24南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系71 除了有限區(qū)間外除了有限區(qū)間外, 我們還可以定義所謂的無(wú)限區(qū)我們還可以定義所謂的無(wú)限區(qū)間間. 通過引入記號(hào)通過引入記號(hào)+ (讀作正無(wú)窮大讀作正無(wú)窮大)及及- (讀作負(fù)無(wú)讀作負(fù)無(wú)窮大窮大), 則可類似地表示無(wú)限區(qū)間則可類似地表示無(wú)限區(qū)間. 如如: 注注: 以上這些區(qū)間均稱為有限區(qū)間以上這些區(qū)間均稱為有限區(qū)間, 數(shù)數(shù)ba稱為稱為這些區(qū)間的長(zhǎng)度這些區(qū)間的長(zhǎng)度(區(qū)間兩端點(diǎn)間的距離區(qū)間兩端點(diǎn)間的距離), 從數(shù)軸上看從數(shù)軸上看,這些有限區(qū)間是長(zhǎng)度有限的線段這些有限區(qū)間是長(zhǎng)度有限的線段.a,)x

53、 ax 在在數(shù)數(shù)軸軸上上可可表表示示為為oxa2008年9月24南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系72(,b)x xb 在在數(shù)數(shù)軸軸上上可可表表示示為為oxb 注注: 在不需要辨明所論區(qū)間是否包含端點(diǎn)在不需要辨明所論區(qū)間是否包含端點(diǎn), 以及是以及是有限區(qū)間還是無(wú)限區(qū)間時(shí)有限區(qū)間還是無(wú)限區(qū)間時(shí), 我們可簡(jiǎn)單地稱其為我們可簡(jiǎn)單地稱其為“區(qū)間區(qū)間”, 且常用且常用I表示表示. 全體實(shí)數(shù)全體實(shí)數(shù)R可記作可記作(- , + ), 為一無(wú)窮區(qū)間為一無(wú)窮區(qū)間.2008年9月24南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系73 : aa,U a . 定定義義以以點(diǎn)點(diǎn) 為為中中心心的的任任何何開開區(qū)區(qū)間間稱稱為為點(diǎn)點(diǎn) 的的鄰

54、鄰域域記記作作,叫做這鄰域的中心叫做這鄰域的中心點(diǎn)點(diǎn)a.叫叫做做這這鄰鄰域域的的半半徑徑 U(a,)x axa x xa. a,0. a,aa, a, U(a,), 設(shè)設(shè) 與與 是是兩兩個(gè)個(gè)實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)且且則則開開區(qū)區(qū)間間就就是是點(diǎn)點(diǎn) 的的一一個(gè)個(gè)鄰鄰域域 稱稱為為點(diǎn)點(diǎn) 的的 鄰鄰域域 記記作作即即4 4 鄰域鄰域: :2008年9月24南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系74( , ).U ax axa xa a a 2008年9月24南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系75a, aU(a,), 有有時(shí)時(shí)用用到到的的鄰鄰域域需需要要把把鄰鄰域域中中心心去去掉掉, ,點(diǎn)點(diǎn) 的的 鄰鄰域域去去掉掉中中心心a

55、 a后后 稱稱為為點(diǎn)點(diǎn) 的的去去心心的的 鄰鄰域域, ,記記作作即即U(a,)x 0 xa, 0 xaxa. 這這里里表表明明 , a,aaa,aa 為為了了方方便便 有有時(shí)時(shí)把把開開區(qū)區(qū)間間稱稱為為 的的左左 鄰鄰域域, , 把把開開區(qū)區(qū)間間稱稱為為 的的右右 鄰鄰域域. . : .注注區(qū)區(qū) 間間 和和 鄰鄰 域域 均均 為為 特特 殊殊 的的 實(shí)實(shí) 數(shù)數(shù) 集集 合合2008年9月24南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系762013年10月11日南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系76 完備性是實(shí)數(shù)集的本質(zhì)屬性，為了從數(shù)學(xué)上完備性是實(shí)數(shù)集的本質(zhì)屬性，為了從數(shù)學(xué)上更深刻地揭示它的內(nèi)涵，需要從不同的側(cè)面

56、對(duì)它更深刻地揭示它的內(nèi)涵，需要從不同的側(cè)面對(duì)它進(jìn)行研究進(jìn)行研究. 下面介紹的確界存在定理就是刻畫實(shí)下面介紹的確界存在定理就是刻畫實(shí)數(shù)完備性的一個(gè)常用定理數(shù)完備性的一個(gè)常用定理. 首先介紹幾個(gè)與確界存在定理相關(guān)的概念首先介紹幾個(gè)與確界存在定理相關(guān)的概念.2008年9月24南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系772013年10月12日南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系77定義定義1 (集合的有界性）集合的有界性） R,.AA 設(shè)設(shè)(1)R,Lx Ax LL 若若使使 得得都都 有有則則 稱稱 為為,.AA的的一一個(gè)個(gè)稱稱數(shù)數(shù)集集上上界界有有上上界界 111: = 1, , ,23AnZn 例例如如1 A

57、是是數(shù)數(shù)集集的的一一個(gè)個(gè)上上界界, , A事事實(shí)實(shí)上上 數(shù)數(shù)集集有有無(wú)無(wú)窮窮多多個(gè)個(gè)上上界界. . 注注: 若數(shù)集有上界若數(shù)集有上界, 則該數(shù)集的上界有無(wú)窮多個(gè)則該數(shù)集的上界有無(wú)窮多個(gè).2.5 A也也 是是 數(shù)數(shù) 集集 的的 一一 個(gè)個(gè) 上上 界界 . .2008年9月24南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系782013年10月12日南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系78定義定義1 (集合的有界性）集合的有界性） R,.AA 設(shè)設(shè) 111: = 1, , ,23AnZn 例例如如0 A是是 數(shù)數(shù) 集集 的的 一一 個(gè)個(gè) 下下 界界 , , A事事實(shí)實(shí)上上 數(shù)數(shù)集集 有有無(wú)無(wú)窮窮多多個(gè)個(gè)下下界界. .

58、(2)R,xA x 若若使使得得則則稱稱 為為,.AA的的一一個(gè)個(gè)稱稱數(shù)數(shù)集集下下界界有有下下界界 注注: 若數(shù)集有下界若數(shù)集有下界, 則該數(shù)集的下界有無(wú)窮多個(gè)則該數(shù)集的下界有無(wú)窮多個(gè).-1 A也也 是是 數(shù)數(shù) 集集 的的 一一 個(gè)個(gè) 下下 界界 , ,2008年9月24南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系792013年10月12日南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系79定義定義1 (集合的有界性）集合的有界性） R,.AA 設(shè)設(shè) 111: = 1, , ,23AnZn 例例如如有有界界(3), .AA若若 既既有有上上界界又又有有下下界界 則則稱稱 為為有有界界集集2008年9月24南京航空航天大學(xué)

59、 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系802013年10月12日南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系80集合有界性的刻畫定理集合有界性的刻畫定理:R,. AA 設(shè)設(shè)則則0,|.AMxAxM 為為有有界界集集使使有有()充充分分性性: 證證 明明0,| |.Mx AxM 設(shè)設(shè)使使有有,.x AMx M 則則有有- - MA 是是的的一一個(gè)個(gè)下下界界, , M A這這說說明明 是是 的的一一個(gè)個(gè)上上界界, ,1A由由定定義義 知知 為為有有界界集集. .2008年9月24南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系812013年10月12日南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系81集合有界性的刻畫定理集合有界性的刻畫定理:R,. AA 設(shè)設(shè)

60、則則0,|.AMxAxM 為為有有界界集集使使有有()必必要要性性: 證證 明明 ,AA設(shè)設(shè) 為為 有有 界界 集集 , ,則則 既既 有有 上上 界界 又又 有有 下下 界界, .xAMxMxM 則則有有- -即即 m ax, ,ML 令令, ,.LRxAxL 即即使使有有2008年9月24南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系822013年10月11日南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系82 我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了數(shù)集的有界性定義，下面討論其我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了數(shù)集的有界性定義，下面討論其否定形式否定形式.定義定義1* (集合的無(wú)界性）集合的無(wú)界性） R,.AA 設(shè)設(shè)*(1)A數(shù)數(shù) 集集 無(wú)無(wú) 上上 界界 ：: