MathematicalModeling

1、數(shù)學建模講義第10章統(tǒng)計回歸模型統(tǒng)計回歸模型主講人主講人 齊潔齊潔東華大學信息學院自動化系東華大學信息學院自動化系回歸模型是用統(tǒng)計分析方法建立的最常用的一類模型回歸模型是用統(tǒng)計分析方法建立的最常用的一類模型 數(shù)學建模的基本方法數(shù)學建模的基本方法機理分析機理分析測試分析測試分析通過對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析，找出與數(shù)據(jù)擬合最好的模型通過對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析，找出與數(shù)據(jù)擬合最好的模型 不涉及回歸分析的數(shù)學原理和方法不涉及回歸分析的數(shù)學原理和方法 通過實例討論如何選擇不同類型的模型通過實例討論如何選擇不同類型的模型 對軟件得到的結(jié)果進行分析，對模型進行改進對軟件得到的結(jié)果進行分析，對模型進行改進 由于客觀事物內(nèi)部

2、規(guī)律的復雜及人們認識程度的限制由于客觀事物內(nèi)部規(guī)律的復雜及人們認識程度的限制,無法分析實際對象內(nèi)在的因果關(guān)系，建立合乎機理規(guī)無法分析實際對象內(nèi)在的因果關(guān)系，建立合乎機理規(guī)律的數(shù)學模型。律的數(shù)學模型。 回歸分析n“回歸回歸”就是從兩個或兩個以上隨機變量的觀測值就是從兩個或兩個以上隨機變量的觀測值分析它們之間的函數(shù)關(guān)系（令一個變化，看另一分析它們之間的函數(shù)關(guān)系（令一個變化，看另一個隨其變化的規(guī)律），即從兩個隨機變量的有限個隨其變化的規(guī)律），即從兩個隨機變量的有限數(shù)據(jù)序列中提取它們的相關(guān)關(guān)系函數(shù)。數(shù)據(jù)序列中提取它們的相關(guān)關(guān)系函數(shù)。n回歸和擬合的聯(lián)系和區(qū)別回歸和擬合的聯(lián)系和區(qū)別 傳統(tǒng)物理學常常認為兩個

3、變量之間的關(guān)系是確定傳統(tǒng)物理學常常認為兩個變量之間的關(guān)系是確定的，測量數(shù)據(jù)偏離規(guī)律只是由于存在測量誤差，的，測量數(shù)據(jù)偏離規(guī)律只是由于存在測量誤差，那么就稱之為擬合。那么就稱之為擬合。 統(tǒng)計學認為兩個隨機變量之間并不存在確定的依賴統(tǒng)計學認為兩個隨機變量之間并不存在確定的依賴關(guān)系，只能從大量的數(shù)據(jù)中分析它們之間的統(tǒng)計關(guān)系，只能從大量的數(shù)據(jù)中分析它們之間的統(tǒng)計規(guī)律。規(guī)律。回歸分析的分類n按照回歸模型中變量個數(shù)分（一元回歸，多元回歸）；n按照回歸函數(shù)(曲線)的形態(tài)分（線性回歸，非線性回歸）；n按照是否要求總體分布類型已知分（參數(shù)回歸，非參數(shù)回歸）回歸分析的步驟n確定基函數(shù)確定基函數(shù)（線性，非線性多項式

4、，雙曲線，冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)）n參數(shù)估計參數(shù)估計最小二乘估計，擬合曲線必須最接近于所有N個觀測數(shù)據(jù)，而接近程度的測量依賴于一個數(shù)據(jù)點與它在擬合曲線上對應點之間的距離最短。偏差的平方和最小。n檢驗檢驗：(1)回歸方程的顯著性(2)回歸系數(shù)的置信區(qū)間。n預測與控制預測與控制預測預測：(1)點預測(2) 區(qū)間預測控制控制：控制x的值，以便將y的值控制在指定的范圍內(nèi)。第八章第八章 離散模型離散模型 離散模型：離散模型：代數(shù)方程與代數(shù)方程與差分方程（第差分方程（第6章）、整數(shù)規(guī)劃（第章）、整數(shù)規(guī)劃（第4章）、圖論、對策章）、圖論、對策論、網(wǎng)絡流、論、網(wǎng)絡流、 應用較廣應用較廣, ,是分析社會經(jīng)濟系統(tǒng)的有力

5、工具是分析社會經(jīng)濟系統(tǒng)的有力工具. . 只用到代數(shù)、集合及只用到代數(shù)、集合及( (少許少許) )圖論的知識圖論的知識. .8.1 層次分析模型層次分析模型背背景景 日常工作、生活中的決策問題日常工作、生活中的決策問題. 涉及經(jīng)濟、社會等方面的因素涉及經(jīng)濟、社會等方面的因素. 作比較判斷時人的主觀選擇起相當大作比較判斷時人的主觀選擇起相當大 的作用，各因素的重要性難以量化的作用，各因素的重要性難以量化. Saaty于于20世紀世紀70年代提出層次分析法年代提出層次分析法 AHP (Analytic Hierarchy Process) AHP一種一種定性與定量相結(jié)合的、定性與定量相結(jié)合的、 系統(tǒng)

6、化、層次化系統(tǒng)化、層次化的分析方法的分析方法目標層目標層O(選擇旅游地選擇旅游地)P2黃山黃山P1桂林桂林P3北戴河北戴河準則層準則層方案層方案層C3居住居住C1景色景色C2費用費用C4飲食飲食C5旅途旅途一一. . 層次分析法的基本步驟層次分析法的基本步驟例例. . 選擇旅游地選擇旅游地如何在如何在3 3個目的地中按照景色、個目的地中按照景色、費用、居住條件等因素選擇費用、居住條件等因素選擇. .“選擇旅游地選擇旅游地”思維過程的歸思維過程的歸納納 將決策問題分為將決策問題分為3個個層次層次：目標層：目標層O，準則層，準則層C， 方案層方案層P；每層有若干元素，；每層有若干元素， 各層元素間

7、的關(guān)系各層元素間的關(guān)系 用相連的直線表示用相連的直線表示. 通過通過相互比較相互比較確定各準則對目標的確定各準則對目標的權(quán)重權(quán)重，及各方，及各方 案對每一準則的權(quán)重案對每一準則的權(quán)重. 將上述兩組權(quán)重進行將上述兩組權(quán)重進行綜合綜合，確定各方案對目標的，確定各方案對目標的 權(quán)重權(quán)重.層次分析法將層次分析法將定性分析與定量分析定性分析與定量分析結(jié)合起來結(jié)合起來完成以上步驟，給出決策問題的定量結(jié)果完成以上步驟，給出決策問題的定量結(jié)果.1135/13/11125/13/13/12/117/14/1557123342/11AijjiijnnijaaaaA1, 0,)(層次分析法的基本步驟層次分析法的基本

8、步驟成對比較陣成對比較陣和權(quán)向量和權(quán)向量 元素之間兩兩對比，對比采用相對尺度元素之間兩兩對比，對比采用相對尺度 設要比較各準則設要比較各準則C1,C2,Cn對目標對目標O的重要性的重要性ijjiaCC:A成對比較陣成對比較陣A是正互反陣是正互反陣要由要由A確定確定C1,Cn對對O的權(quán)向量的權(quán)向量選選擇擇旅旅游游地地nnnnnnwwwwwwwwwwwwwwwwwwA21222121211171242/11A成對比較的不一致情況成對比較的不一致情況):(2/ 12112CCa ):(43113CCa ):(83223CCa 一致比較一致比較允許不一致，但要確定不一致的允許范圍允許不一致，但要確定不

9、一致的允許范圍考察完全一致的情況考察完全一致的情況nwwwW,)(211 jiijwwa/令權(quán)向量),(Tnwwww21成對比較陣和權(quán)向量成對比較陣和權(quán)向量不一致不一致nnnnnwwwwwwwwwwwwA2112111成對比較完全一致的情況成對比較完全一致的情況nkjiaaaikjkij,21滿足滿足的正互反陣的正互反陣A稱稱一致陣一致陣，如，如 A的秩為的秩為1，A的唯一非零特征根為的唯一非零特征根為n A的任一列向量是對應于的任一列向量是對應于n 的特征向量的特征向量 A的歸一化特征向量可作為權(quán)向量的歸一化特征向量可作為權(quán)向量一致陣一致陣性質(zhì)性質(zhì)成對比較陣和權(quán)向量成對比較陣和權(quán)向量對于不一

10、致對于不一致( (但在允許范圍內(nèi)但在允許范圍內(nèi)) )的成對比較陣的成對比較陣A, ,建議用對應于最大特征根建議用對應于最大特征根 的特征向量作為權(quán)的特征向量作為權(quán)向量向量w ，即，即wAw 2 4 6 8比較尺度比較尺度aij Saaty等人提出等人提出19尺度尺度, 即即aij 取值取值1,2,9及其互反數(shù)及其互反數(shù)1,1/2, ,1/9尺度尺度 1 3 5 7 9 ija相同相同 稍強稍強 強強 明顯強明顯強 絕對強絕對強的重要性jiCC :jiCC :aij = 1,1/2, ,1/9的重要性與上面相反的重要性與上面相反 心理學家認為成對比較的因素不宜超過心理學家認為成對比較的因素不宜超

11、過9個個. 用用13,15,117,1p9p (p=2,3,4,5), d+0.1d+0.9 (d=1,2,3,4)等等27種比較尺度對若干實例構(gòu)造成對比較種比較尺度對若干實例構(gòu)造成對比較陣，算出權(quán)向量，與實際對比發(fā)現(xiàn)，陣，算出權(quán)向量，與實際對比發(fā)現(xiàn)， 19尺度較優(yōu)尺度較優(yōu). 便于定性到定量的轉(zhuǎn)化：便于定性到定量的轉(zhuǎn)化：成對比較陣和權(quán)向量成對比較陣和權(quán)向量一致性檢驗一致性檢驗對對A確定不一致的允許范圍確定不一致的允許范圍已知：已知：n 階一致陣的唯一非零特征根為階一致陣的唯一非零特征根為n可證：可證：n 階正互反陣最大特征根階正互反陣最大特征根 n, 且且 =n時為一致陣時為一致陣1nnCI定

12、義一致性指標定義一致性指標:CI 越大，不一致越嚴重越大，不一致越嚴重RI0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51 n1 234567891110為衡量為衡量CI 的大小，引入的大小，引入隨機一致性指標隨機一致性指標 RI隨機隨機模擬得到模擬得到aij , 形成形成A，計算，計算CI 即得即得RI.定義一致性比率定義一致性比率CR = CI/RI當當CR0.1時通過一致性檢驗時通過一致性檢驗Saaty的結(jié)果如下的結(jié)果如下“選擇旅游地選擇旅游地”中中準則層對目標的權(quán)準則層對目標的權(quán)向量及一致性檢驗向量及一致性檢驗1135/13/11125/

13、13/13/12/117/14/1557123342/11A準則層對目標的準則層對目標的成對比較陣成對比較陣最大特征根最大特征根 =5.073權(quán)向量權(quán)向量( (特征向量特征向量) )w =(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T018.0155073.5CI一致性指標一致性指標隨機一致性指標隨機一致性指標 RI=1.12 (查表查表)一致性比率一致性比率CR=0.018/1.12=0.0160.1通過一致性通過一致性檢驗檢驗!組合權(quán)向量組合權(quán)向量記第記第2層（準則）對第層（準則）對第1層（目標）層（目標）的權(quán)向量為的權(quán)向量為Tnwww),()2()2(1)2(同樣求第同

14、樣求第3層層(方案方案)對第對第2層每一元素層每一元素(準則準則)的權(quán)向量的權(quán)向量12/15/1212/15211B方案層對方案層對C1(景色景色)的成對比較陣的成對比較陣1383/1138/13/112B方案層對方案層對C2(費用費用)的成對比較陣的成對比較陣CnBn最大特征根最大特征根 1 2 n 權(quán)向量權(quán)向量 w1(3) w2(3) wn(3) 第第3層對第層對第2層的計算結(jié)果層的計算結(jié)果k)3(kwkkCI10.5950.2770.1293.0050.0030.00100.00503.0020.6820.2360.082230.1420.4290.42933.0090.1750.193

15、0.633430.6680.1660.1665組合權(quán)向量組合權(quán)向量RI= =0.58 (n=3), CIk 均可通過一致性檢驗均可通過一致性檢驗 w(2) 0.2630.4750.0550.0900.110方案方案P1對目標的組合權(quán)重為對目標的組合權(quán)重為0.595 0.263+ =0.300方案層對目標的組合權(quán)向量為方案層對目標的組合權(quán)向量為 (0.300, 0.246, 0.456)TTnwww),()2()2(1)2()2()3()3(wWw組合組合權(quán)向量權(quán)向量第第1層層O第第2層層C1,Cn第第3層層P1, ,PmnkwwwTkmkk, 2 , 1,),()3()3(1)3(第第2層對第

16、層對第1層的權(quán)向量層的權(quán)向量第第3層對第層對第2層各元素的權(quán)向量層各元素的權(quán)向量,)3()3(1)3(nwwW構(gòu)造矩陣構(gòu)造矩陣則第則第3層對第層對第1層的組合權(quán)向量層的組合權(quán)向量)2()3() 1()()(wWWWwsss第第s層對第層對第1層的組合權(quán)向量層的組合權(quán)向量其中其中W(p)是第是第p層對第層對第p-1層的權(quán)向量組成的矩陣層的權(quán)向量組成的矩陣.層次分析法的基本步驟層次分析法的基本步驟1）建立層次分析結(jié)構(gòu)模型）建立層次分析結(jié)構(gòu)模型深入分析實際問題，將有關(guān)因素自上而下分層（目標深入分析實際問題，將有關(guān)因素自上而下分層（目標準則或指標準則或指標方案或?qū)ο螅?，上層受下層影響，而層?nèi)方案或?qū)ο?/p>

17、），上層受下層影響，而層內(nèi)各因素基本上相對獨立各因素基本上相對獨立.2）構(gòu)造成對比較陣）構(gòu)造成對比較陣用成對比較法和用成對比較法和19尺度，構(gòu)造各層對上一層每一因素的尺度，構(gòu)造各層對上一層每一因素的成對比較陣成對比較陣. .3）計算權(quán)向量并作一致性檢驗）計算權(quán)向量并作一致性檢驗對每一成對比較陣計算最大特征根和特征向量，作一致性對每一成對比較陣計算最大特征根和特征向量，作一致性檢驗，若通過，則特征向量為權(quán)向量檢驗，若通過，則特征向量為權(quán)向量.4）計算組合權(quán)向量（作組合一致性檢驗）計算組合權(quán)向量（作組合一致性檢驗*）組合權(quán)向量可作為決策的定量依據(jù)組合權(quán)向量可作為決策的定量依據(jù).二二. . 層次分析

18、法的廣泛應用層次分析法的廣泛應用 應用領(lǐng)域：應用領(lǐng)域：經(jīng)濟計劃和管理、能源政策和分配、經(jīng)濟計劃和管理、能源政策和分配、 人才選拔和評價、生產(chǎn)決策、交通運輸、科研選人才選拔和評價、生產(chǎn)決策、交通運輸、科研選 題、產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)、教育、醫(yī)療、環(huán)境、軍事等題、產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)、教育、醫(yī)療、環(huán)境、軍事等. 處理問題類型：處理問題類型：決策、評價、分析、預測等決策、評價、分析、預測等. 建立建立層次分析結(jié)構(gòu)模型層次分析結(jié)構(gòu)模型是關(guān)鍵一步，要有主要決是關(guān)鍵一步，要有主要決 策層參與策層參與. 構(gòu)造構(gòu)造成對比較陣成對比較陣是數(shù)量依據(jù)，應由經(jīng)驗豐富、判是數(shù)量依據(jù)，應由經(jīng)驗豐富、判 斷力強的專家給出斷力強的專家給出.國家綜合

19、實力國家綜合實力美、俄、中、日、德等大國美、俄、中、日、德等大國國民國民收入收入軍事軍事力量力量科技科技水平水平社會社會穩(wěn)定穩(wěn)定對外對外貿(mào)易貿(mào)易工作選擇工作選擇供選擇的崗位供選擇的崗位貢貢獻獻收收入入發(fā)發(fā)展展聲聲譽譽關(guān)關(guān)系系位位置置例例1 國家國家實力分析實力分析例例2 工作選擇工作選擇廣泛應用廣泛應用過河的效益過河的效益 A經(jīng)濟效益經(jīng)濟效益B1社會效益社會效益B2環(huán)境效益環(huán)境效益B3橋梁橋梁D1隧道隧道D2渡船渡船D3節(jié)節(jié)省省時時間間C1收收入入C2岸岸間間商商業(yè)業(yè)C3當當?shù)氐厣躺虡I(yè)業(yè)C4建建筑筑就就業(yè)業(yè)C5安安全全可可靠靠C6交交往往溝溝通通C7自自豪豪感感C8舒舒適適C9進進出出方方便便

20、C10美美化化C11（1）過河效益層次結(jié)構(gòu)）過河效益層次結(jié)構(gòu)例例3 橫渡橫渡江河、海峽江河、海峽方案的抉擇方案的抉擇廣泛應用廣泛應用過河的代價過河的代價 A經(jīng)濟代價經(jīng)濟代價 B1環(huán)境代價環(huán)境代價B3社會代價社會代價B2橋梁橋梁D1隧道隧道D2渡船渡船D3投投入入資資金金C1操操作作維維護護C2沖沖擊擊渡渡船船業(yè)業(yè)C3沖沖擊擊生生活活方方式式C4交交通通擁擁擠擠C5居居民民搬搬遷遷C6汽汽車車排排放放物物C7對對水水的的污污染染C8對對生生態(tài)態(tài)的的破破壞壞C9（2）過河代價層次結(jié)構(gòu)）過河代價層次結(jié)構(gòu)例例3 橫渡橫渡江河、海峽江河、海峽方案的抉擇方案的抉擇廣泛應用廣泛應用待評價的科技成果待評價的科

21、技成果直接直接經(jīng)濟經(jīng)濟效益效益 C11間接間接經(jīng)濟經(jīng)濟效益效益 C12社會社會效益效益 C13學識學識水平水平 C21學術(shù)學術(shù)創(chuàng)新創(chuàng)新 C22技術(shù)技術(shù)水平水平 C23技術(shù)技術(shù)創(chuàng)新創(chuàng)新 C24效益效益C1水平水平C2規(guī)模規(guī)模C3科技成果評價科技成果評價例例4 科技科技成果的綜成果的綜合評價合評價廣泛應用廣泛應用三三. 層次分析法的若干問題層次分析法的若干問題 正互反陣的最大特征根是否為正互反陣的最大特征根是否為正數(shù)正數(shù)？特征向量？特征向量 是否為是否為正向量正向量？一致性指標能否反映正互反陣？一致性指標能否反映正互反陣 接近一致陣的程度？接近一致陣的程度？ 怎樣怎樣簡化計算簡化計算正互反陣的最大

22、特征根和特征向量？正互反陣的最大特征根和特征向量？ 為什么為什么用特征向量作為權(quán)向量？用特征向量作為權(quán)向量？ 當層次結(jié)構(gòu)不完全或成對比較陣有當層次結(jié)構(gòu)不完全或成對比較陣有空缺空缺時怎樣用時怎樣用 層次分析法？層次分析法？1. 正互反陣的最大特征根和特征向量的性質(zhì)正互反陣的最大特征根和特征向量的性質(zhì)定理定理1 1 正矩陣正矩陣A 的的最大特征根最大特征根 是正單根，對應是正單根，對應正特征向量正特征向量w，且，且TTlim,(1,1,1)kkkA ewee A e定理定理2 2 n階階正互反陣正互反陣A的最大特征根的最大特征根 n , = n是是A為一致陣的充要條件為一致陣的充要條件. 正互反陣

23、的最大特征根是正數(shù)，正互反陣的最大特征根是正數(shù)，特征向量是正向量特征向量是正向量.一致性指標一致性指標 定義合理定義合理1nnCI2. 正互反陣最大特征根和特征向量的簡化計算正互反陣最大特征根和特征向量的簡化計算 精確計算復雜且不必要精確計算復雜且不必要. 簡化計算的思路簡化計算的思路一致陣的任一列向量都是一致陣的任一列向量都是 特征向量，一致性尚好的正互反陣的列向量都特征向量，一致性尚好的正互反陣的列向量都 應近似特征向量，可取其某種意義下的平均應近似特征向量，可取其某種意義下的平均. .和法和法取列向量的算術(shù)平均取列向量的算術(shù)平均14/ 16/ 1412/ 1621A例091. 0077.

24、 01 . 0364. 0308. 03 . 0545. 0615. 06 . 0w089. 0324. 0587. 0286. 0974. 0769. 1Aw009. 3)089. 0268. 0324. 0974. 0587. 0769. 1(31列向量列向量歸一化歸一化算術(shù)算術(shù)平均平均wAw精確結(jié)果精確結(jié)果: w=(0.588,0.322,0.090)T, =3.010根法根法取列向量的幾何平均取列向量的幾何平均冪法冪法迭代算法迭代算法1）任取初始向量）任取初始向量w(0), k:=0，設置精度，設置精度 )()1(kkAww2) 計算計算nikikkwww1)1()1()1(/3）歸一

25、化）歸一化nikikiwwn1)()1(15) 計算計算簡化簡化計算計算4）若）若 ，停止；，停止；否則，否則，k:=k+1, 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)2)()1(maxkikiiww3. 為什么為什么特征向量作為權(quán)向量特征向量作為權(quán)向量問題問題一致陣一致陣A, 權(quán)向量權(quán)向量w=(w1,wn)T, aij=wi/wjA不一致不一致, 應選權(quán)向量應選權(quán)向量w使使wi/wj與與 aij相差相差盡量?。▽λ斜M量小（對所有i,j)211),1(min ninjjiijniwwwai用擬合方法確定用擬合方法確定w非線性非線性最小二乘最小二乘211),1(lnlnmin ninjjiijniwwwai線性化線性化對數(shù)最小二

26、乘對數(shù)最小二乘結(jié)果與根法相同結(jié)果與根法相同 按不同準則確定的權(quán)向量不同，按不同準則確定的權(quán)向量不同， 選特征向量為權(quán)向量的優(yōu)點：選特征向量為權(quán)向量的優(yōu)點：成對比較成對比較Ci:Cj (直接比較）直接比較）aij 1 1步比較的強度步比較的強度)()2(2ijaA sjnsisijaaa1)2(aisasj Ci通過通過Cs 與與Cj的比較的比較aij(2) 2步比較的強度步比較的強度更能反映更能反映Ci對對Cj 的強度的強度多步累積效應多步累積效應), 1,)()()()(00nsaaaakkkjikjskiskjskis（或定理定理1 1weAeeAkTkklim特征向量體現(xiàn)特征向量體現(xiàn)多步

27、累積效應多步累積效應當當k足夠大足夠大, Ak第第i行元素反映行元素反映Ci的權(quán)重的權(quán)重求求Ak的行和的行和 k步比較強度，步比較強度，反映反映多步比較效應多步比較效應)()(),(kijkijkaaA 4.不完全層次結(jié)構(gòu)中組合權(quán)向量的計算不完全層次結(jié)構(gòu)中組合權(quán)向量的計算完全層次結(jié)構(gòu)：上層每一元素與下層所有元素相關(guān)聯(lián)完全層次結(jié)構(gòu)：上層每一元素與下層所有元素相關(guān)聯(lián)不完全層次結(jié)構(gòu)不完全層次結(jié)構(gòu)設已知第設已知第2層對第層對第1層權(quán)層權(quán)向量向量 w(2) =(w1(2),w2(2)T及第及第3層對第層對第2層權(quán)向量層權(quán)向量w1(3) =(w11(3),w12(3),w13(3),0)Tw2(3) =(

28、0,0,w23(3),w24(3)T討論由討論由w(2),W(3)=(w1(3), w2(3)計算計算第第3層對第層對第1層權(quán)向量層權(quán)向量w(3）的方法的方法.貢獻貢獻O教學教學C1科研科研C2P2 P1P3P4例例: 評價教師貢獻的層次結(jié)構(gòu)評價教師貢獻的層次結(jié)構(gòu)P1,P2只作教學只作教學, P4只作科研只作科研, P3兼作教學、科研兼作教學、科研.C1,C2支配元素的數(shù)目不等支配元素的數(shù)目不等(2)(2)(2) T(2)(2)11221122(,) /()wnwn wnwn w 不考慮支配元素數(shù)目不等的影響不考慮支配元素數(shù)目不等的影響)2()3()3(wWw 仍用仍用 計算計算 支配元素越多權(quán)重越大支配元素越多權(quán)重越大用支配元素數(shù)目用支配元素數(shù)目n1,n2對對w(2)加權(quán)修正加權(quán)修正公正的評價應為：公正的評價應為： P1:P2:P3:P4=1:1:2:1 再用再用 計算計算)2()3()3(wWww(3)=(1/6,1/6,5/12,1/4)Tw(3)=(1/5,1/5,2/5,1/5)T12(2)T3,2,(3/5,2/5)nnw 支配元素越多