第五章頻率分析法

1、 開環(huán)頻率特性繪制 Nyquist穩(wěn)定判據(jù) 本章小結(jié)引 言n頻率響應(yīng)是指系統(tǒng)對正弦正弦輸入的穩(wěn)態(tài)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)n頻率響應(yīng)法是以頻率特性為基礎(chǔ)研究系統(tǒng)的性能n頻率分析法特點(diǎn)：1. 應(yīng)用奈奎斯特判據(jù)，根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性來分析閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性；2. 根據(jù)頻率特性和性能指標(biāo)的關(guān)系分析系統(tǒng)的瞬態(tài)性能和穩(wěn)定性指標(biāo)；3. 頻率特性可以通過實(shí)驗(yàn)方法測得；4. 可以推廣應(yīng)用于某些非線性系統(tǒng)；5. 圖解方法，直觀性強(qiáng)，在工程上得到廣泛應(yīng)用。5.1 頻率特性的基本概念及作圖n頻率特性定義n頻率特性和傳遞函數(shù)的關(guān)系n頻率特性作圖( )( )( )ooidu tTu tu tdt( )1( )( )1oiUsG sU sT

2、s( )siniiu tUt若則22( )iiUU ss222211( )( )111ioiUABscUsU sTsTssTss12222( )sin(tan)11tiiToU TUu tetTTT當(dāng)t 時(shí)，有：122lim( )sin(tan)1sin()oiotouUu ttTTUt比較輸入信號(hào)( )siniiu tUt1、輸出電壓穩(wěn)態(tài)值是與輸入信號(hào)同頻率的正弦信號(hào)；2、幅值和相角與輸入不同，與頻率和系統(tǒng)參數(shù)T有關(guān)；令：221( )1oiUAUT11( )tan0tanTT A()和()反映了RC網(wǎng)絡(luò)頻率響應(yīng)的振幅和相位隨頻率變換的規(guī)律。:0 A()和()聯(lián)合起來稱為系統(tǒng)的頻率特性。結(jié)論：

3、()( )( )|()jsjAeG sG j 為討論方便，不考慮重極點(diǎn)1222( )( )( )( )( )( )()()()( )sin( )()()nY sN sN sG sX sD sspspspx tXtXXX sssjsj2211( )( )( )( )()()nnicciiN sXY sG s X sspspsKKKspsjsj1( )inp tj tj ticciy tK eK eK e當(dāng)系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)：( )|j tj ttccy tK eK e寫出穩(wěn)態(tài)響應(yīng)表達(dá)式：()( )()|()()2csjXGjXKG ssjsjsjj ()( )()|()()2csjXG jXKG ssj

4、sjsjj() |()|jG jG je() |()|()|jjGjGjeG je ()()G jGj、共軛( )|()|2|()| sin()sin()jtjtyeey tX G jjX G jtYt幅頻特性：相頻特性：( )|()|YAG jX( )()yxG j 得到頻率特性和傳函的關(guān)系為：()( )( )|()jsjAeG sG j 頻率特性是頻域頻率特性是頻域中的數(shù)學(xué)模型。中的數(shù)學(xué)模型。代數(shù)式：()( )( )G jPjQ極坐標(biāo)式：() | ()|()( )( )G jG jG jA 指數(shù)式：()()() |()|( )j G jjG jG jeAe ( )Q( )P實(shí)部；虛部；A(

5、 ) |()|G j()G j ( )=相頻特性；幅頻特性；關(guān)系：221( )( ) cos ( )( )( )( )( )( )( ) sin ( )( )tan( )PAAPQQQAP 頻率特性曲線：1、極坐標(biāo)頻率特性曲線奈奎斯特(Nyquist)曲線；2、對數(shù)頻率特性曲線伯德(Bode)曲線；3、對數(shù)幅相特性曲線尼柯爾斯(Nichols)曲線。：0向量G(j)在復(fù)平面上的運(yùn)動(dòng)軌跡。G(-j)、 G(j)共軛，頻率特性曲線對稱于實(shí)軸。()( )( )G jPjQ() | ()|()( )( )G jG jG jA 21212110lglglg/lg10 1 2121212lglglg/lg

6、2 0.301 ( ) 20lg ( )LA均勻分度，單位分貝(db)5.2 典型環(huán)節(jié)的頻率特性n比例環(huán)節(jié)n積分環(huán)節(jié)n慣性環(huán)節(jié)n振蕩環(huán)節(jié)n微分環(huán)節(jié)n延遲環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)：頻率特性：( )G sK0()jG jK e1、極坐標(biāo)頻率特性曲線：( ) |()|AG jK( )()0G j 2、對數(shù)頻率特性曲線：( )20lg( )20lgLAK( )0 ( )KG ss2()jKKG jej1、極坐標(biāo)頻率特性曲線：( ) |()|KAG j( )()90G j 2、對數(shù)頻率特性曲線：( )20lg( )20lg20lgLAK( )90 ( )1KG sTs()1KG jjT1、極坐標(biāo)頻率特性曲線：22(

7、 ) |()|1KAG jT1( )tanT 當(dāng)由0變化到時(shí)，慣性環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)特性曲線是一個(gè)半圓。證明：22( )1KPT22( )1KTQT222221KPQKPT222()()22KKPQ圓心(K/2,0)，半徑K/2，實(shí)軸下方半圓。2、對數(shù)頻率特性曲線：22( )20lg( )20lg20lg 1LAKT1( )tanT 低頻段時(shí)，很小，T1，高頻漸近線：( )20lg20lgLKT1T( )20lgLK( )45 交接頻率或轉(zhuǎn)折頻率誤差：=真實(shí)值-近似值221,20lg 1 TT 221,20lg 120lgTTT 1T處存在最大誤差：20lg 1 1=-3.01dB 22222( )

8、221nnnKKG sssT sTs22222()()2()(1)2nnnKKG jjjTjT 不妨取K=12222221( )(1)(2)TPTT 22222( )(1)(2)TQTT 1、極坐標(biāo)頻率特性曲線：22221( )(1)(2)ATT 1222( )tan1TT 以為參變量，繪制振蕩環(huán)節(jié)極坐標(biāo)曲線0, ( )1, ( )0A 11, ( ), ( )22AT 曲線與負(fù)虛軸相交, ( )0, ( )A 曲線沿負(fù)實(shí)軸方向趨向原點(diǎn)，且與負(fù)實(shí)軸相切。p時(shí)，A()具有最大值，()ppMA22221( )(1)(2)ATT ( )0dAd2222( )(1)(2)gTT 2211 21 200

9、.707pnT21()21ppMA211 2()tanp p與有關(guān)， p稱為諧振頻率或峰值頻率。2、對數(shù)頻率特性曲線：2222( )20lg( )20lg20lg(1)(2)LAKTT 1T低頻段，( )20lg10L 低頻漸近線1T高頻段，2( )20lg()40lgLTT 高頻漸近線1T( )20lg10L ( )90 兩漸近線相交，振蕩環(huán)節(jié)的交接頻率或轉(zhuǎn)折頻率。相頻特性曲線：1222( )tan1TT 0, ( )0 1, ( )2T , ( ) ( )G sKs()G jjK1、純微分環(huán)節(jié)( )AK( )90 ( )20lg( )20lg20lg20lgLAKK與積分環(huán)節(jié)對比？與積分環(huán)

10、節(jié)對比？22( )20lg( )20lg20lg 1LAKT2、一階微分環(huán)節(jié)( )(1)G sK Ts()(1)G jKjT22( )1AKT1( )tanT 3、二階微分環(huán)節(jié)22( )(21)G sKss22()(1)2G jKj 2222( )(1)(2)AK 1222( )tan1 2222( )20lg( )20lg20lg(1)(2)LAK ( )sG se()jG je( )1A( ) ( )20lg( )0LAdB1( )57.3 時(shí)5.3 開環(huán)頻率特性繪制n極坐標(biāo)特性曲線的繪制n對數(shù)頻率特性曲線的繪制n最小相與非最小相系統(tǒng)()()( )( )( )jG jAePjQ 例：設(shè)開環(huán)

11、系統(tǒng)的頻率特性為：12()(1)(1)KG jjTjT1）列寫實(shí)頻特性和虛頻特性的表達(dá)式；2）當(dāng)K=10、T1=1、T2=5時(shí)，試?yán)L制極坐標(biāo)圖。12222212122221212222212(1)(1)()(1)(1)(1)(1)(1)()(1)(1)KjTjTKG jjTjTTTKT TjK TTTT21 2222212(1)( )(1)(1)KTTPTT12222212()( )(1)(1)K TTQTT將G(j)有理化：帶入K=10、T1=1、T2=5，取為不同值計(jì)算，描點(diǎn)21 2222212(1)( )(1)(1)KTTPTT12222212()( )(1)(1)K TTQTT一般地：

12、0(0),(0)0PK Q,1 2121 21( )0,( )K TTPQTTTT 起點(diǎn)：與虛軸交點(diǎn)：終點(diǎn)：( )0,( )0PQ ,例：設(shè)開環(huán)系統(tǒng)的頻率特性為：12()(1)(1)KG jjjTjT試?yán)L制極坐標(biāo)特性曲線。12222212()( )(1)(1)K TTPTT21 2222212(1)( )(1)(1)KTTQTT將G(j)有理化：120(0)(),(0)PK TTQ ,1 2121 21( )0, ( )KTTQPTTTT 起點(diǎn)：與實(shí)軸交點(diǎn)：終點(diǎn)：( )0,( )0PQ ,極坐標(biāo)特性曲線：1、保持準(zhǔn)確曲線的重要特征，如起點(diǎn)、終點(diǎn)、與實(shí)軸或虛軸的交叉點(diǎn)；2、在重要點(diǎn)的附近有足夠準(zhǔn)

13、確性。一般系統(tǒng)：1111(1)(),()(1)miinjjKjG jnnjjT 111|1|( )|() |1|miinjjKjAjjT 111( )(1)(1)2nmijijjj T 1、起點(diǎn)：0()()KG jj,0( ), ( )0AK ,0( ), ( )2A ,起點(diǎn)與系統(tǒng)類型和增益有關(guān)2、終點(diǎn)：對于實(shí)際的物理系統(tǒng)，一般nm()0()()2G jG jnm ,3、與實(shí)、虛軸交點(diǎn)：4、中頻部分曲線形狀和頻率特性的參數(shù)密切相關(guān)。零點(diǎn)的影響：Re ()0 xG jIm ()0yG j312(1)()(1)(1)KjTG jjjTjT12()()()G jGjGj 已知各環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性，開

14、環(huán)系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性和相頻特性分別為：12( )20lg|()|( )( )LG jLL12( )()( )( )G j 將開環(huán)系統(tǒng)寫成典型環(huán)節(jié)時(shí)間常數(shù)的實(shí)系數(shù)形式121222112211(1)(21)( )(1)(21)mmikkkikknnjllljlsssKGsssss 121222nnnmmm2）繪制對數(shù)幅頻特性的低頻漸近線，即0()( )20lg20 lg()KG jLKj,1, (1)20lg, ( )0LKK L對數(shù)幅頻實(shí)際繪制時(shí)按以下步驟一次完成：1）確定K、v以及各個(gè)環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率。1111;ikjlikjl將各轉(zhuǎn)折頻率從小到大標(biāo)注在頻率軸上。4）分段直線的最后一段5）在轉(zhuǎn)折

15、頻率附近進(jìn)行修正，可得到較準(zhǔn)確曲線。斜率：-20(n-m)dB/dec3）以低頻漸近線作為分段直線的第一段，從低頻段開始沿頻率增大的方向，每遇到一個(gè)交接頻率改變一次分段直線的斜率。當(dāng)遇到i時(shí)，斜率變化量為+20dB/dec；當(dāng)遇到k時(shí)，斜率變化量為+40dB/dec；當(dāng)遇到j(luò)時(shí)，斜率變化量為-20dB/dec；當(dāng)遇到l時(shí)，斜率變化量為-40dB/dec；對數(shù)相頻特性曲線的繪制： 利用典型環(huán)節(jié)的各對數(shù)相頻特性相加，或直接利用相頻特性表達(dá)式計(jì)算。12121122111122112( )tantan12tantan21mmkkiikknmlljjll 0lim ( )lim( )()22nm 例：設(shè)

16、某系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：2160( )(4)(1.64)G ssss試?yán)L制開環(huán)系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性。整理：210( )(0.251)(0.250.41)G ssss1）K=10, v=0慣性環(huán)節(jié)：T1=0.25, 1=1/T1=4振蕩環(huán)節(jié)： T2=0.5, 2=1/T2=22）低頻段3）繪制近似對數(shù)幅頻特性曲線( )20lg20LKdB相頻特性：1120.4( )tan0.25tan1 0.25 例：設(shè)某系統(tǒng)的頻率特性為：32210 (1100 )()() (110 )(10.125 )(10.05 )jG jjjjj試?yán)L制用分段直線表示的對數(shù)幅頻特性。1）轉(zhuǎn)折頻率12340.01,0.1,8

17、,202）低頻段3210()()G jj31, ( )20lg1060LdB 斜率:-40dB/dec3）繪制近似對數(shù)幅頻曲線例：延遲環(huán)節(jié)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：0.53( )1seG ss試?yán)L制開環(huán)系統(tǒng)的對數(shù)頻率特性。12()()()G jGjGj0.51()jGje23()1Gjj122( )( )( )( )LLLL12( )( )( ) 2211.2!sess 例：1211(),()011jjGjGjTjTjT222212( )( )20lg 120lg 1LLT 111( )tantanT 112( )tantanT 利用對數(shù)幅頻特性曲線確定最小相位系統(tǒng)傳函12(1)( )(1)K T s

18、G ss T s22( )21KG sT sTs120lg625.4 Nyquist穩(wěn)定判據(jù)n輔助函數(shù)F(s)與開環(huán)、閉環(huán)傳遞函數(shù)零點(diǎn)和極點(diǎn)的關(guān)系n幅角定理n奈氏(Nyquist)穩(wěn)定判據(jù)n奈氏判據(jù)在、型系統(tǒng)中的應(yīng)用n對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù) 1932年，奈奎斯特(Nyquist)提出了頻率法的穩(wěn)定判據(jù)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)。 奈氏判據(jù)由開環(huán)系統(tǒng)頻率特性判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，在控制理論中占有重要地位。系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)：構(gòu)造一輔助函數(shù)：F(s)特點(diǎn): 1、 F(s)零點(diǎn)是閉環(huán)極點(diǎn)； 2、 F(s)極點(diǎn)是開環(huán)極點(diǎn)； 3、 由于n=m，因此系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)的數(shù)目等于開環(huán)極點(diǎn)的數(shù)目 （即F(s)零點(diǎn)數(shù)等于極點(diǎn)數(shù)）。如何

19、求F(s)零點(diǎn)？( )( )( )B sG sA s( )( )( )1( )( )A sB sF sG sA s 1、映射關(guān)系、映射關(guān)系S平面上的任一條不通過F(s)奇異點(diǎn)的封閉曲線，F(xiàn)(s)平面上存在與其相對應(yīng)的封閉曲線。 F(s)平面原點(diǎn)被包圍的次數(shù)和方向，對穩(wěn)定性有重要意義。2、幅角定理、幅角定理 由幅角變化，導(dǎo)出F(s)平面原點(diǎn)被包圍的次數(shù)和方向。例：11( )1( )( )szF sG s H ssp 11( )()()F sszsp 當(dāng)s沿封閉曲線變化時(shí)，復(fù)數(shù)F(s)的幅角變化：11( )()()F sszsp 問題： s沿封閉曲線順時(shí)針移動(dòng)一周，( )?F sa）z1、p1未被

20、包圍11()0,()0szsp( )0F s不包圍原點(diǎn)b）z1被包圍( )2F s 順時(shí)針包圍原點(diǎn)一周N=1c）p1被包圍( )2F s逆時(shí)針包圍原點(diǎn)一周N=-1NZP如何判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性？1、奈氏路徑 為判斷右半平面F(s)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，取如下包圍整個(gè)右半s平面的封閉曲線為奈氏路徑。1)正虛軸，由s=j; :0+;2)半徑無窮大的正半圓，由,:22jsReR 3)負(fù)虛軸，由s=-j; :0-;2、奈氏路徑在F(s)平面上的映射1)半徑無窮大的右半圓0lim( )snmG snm常數(shù)一個(gè)點(diǎn)( )()1():0F sF jG j 2)正虛軸3)負(fù)虛軸( )()1()F sFjGj 與F(j)對稱于實(shí)

21、軸。3、F(s)平面轉(zhuǎn)化為G(s)平面()() 1G jF j奈氏曲線F(j)曲線對原點(diǎn)的包圍情況與G(j)曲線對(-1,j0)點(diǎn)的包圍情況相當(dāng)。奈氏路徑順時(shí)針包圍了F(s)的Z個(gè)零點(diǎn)和P個(gè)極點(diǎn)，則G(s)平面上的映射曲線G(j)(開環(huán)頻率特性曲線)順時(shí)針包圍點(diǎn)(-1,j0)N次NZP4、奈氏判據(jù) 設(shè)開環(huán)傳函在右半s平面上的極點(diǎn)數(shù)為P，則閉環(huán)穩(wěn)定的充要條件是： 在G(s)平面上的開環(huán)頻率特性曲線G(j)當(dāng) ：-+時(shí)，將以逆時(shí)針的方向圍繞(-1,j0)點(diǎn)P圈，即NP 若閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，則閉環(huán)系統(tǒng)在右半s平面上的極點(diǎn)個(gè)數(shù)：ZNPN開環(huán)頻率特性曲線順時(shí)針方向包圍(-1,j0)點(diǎn)的圈數(shù)。推論： 開環(huán)系

22、統(tǒng)穩(wěn)定P=0，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是N=0，即開環(huán)頻率特性曲線G(j)當(dāng):- +時(shí)不包圍點(diǎn)(-1,j0)。例1：12( )(1)(1)KG sT sT s0P 例2：252( )(2)(25)G ssss1、概略繪制奈氏曲線222222252()(2)(52 )52(104)52 (9)(4)(5)4G jjjj2、判斷穩(wěn)定性0P 何時(shí)處于臨界穩(wěn)定？例3：P=1，穩(wěn)定N=-1，即逆時(shí)針包圍(-1,j0)一圈，K111(1)( )(1)miiknjjsKGssT s開環(huán)系統(tǒng)傳函：1、重新選取奈氏路徑半徑為無窮小的右半圓,0,:22jsR eR2、奈氏曲線的畫法半徑為無窮小的半圓上的點(diǎn)jsR

23、e1000(1)lim( )|lim()(1)lim()jjijjs R eRRjjjRKR eG sR eT R eKeR e 1:0:02222 1:0,:02222 型系統(tǒng)：型系統(tǒng)：1:0,:022 :00?含有積分環(huán)節(jié)完整的極坐標(biāo)頻率特性曲線：1）：0+ 2）=0+ 逆時(shí)針補(bǔ)畫v 90圓弧3）以實(shí)軸為對稱軸，畫出：-0時(shí)的奈氏曲線例1：12( )(1)(1)KG ss T sT s例2：2(1)( )(1)KsG sTs Ts 若若 ？ TT注：1）簡便起見，G(j)， ：0 對點(diǎn)(-1,j0)的包圍2ZPNNG(j)， ：0 變化，順時(shí)針圍繞(-1,j0)圈數(shù)。2PN穩(wěn)定2）利用正負(fù)穿越討論對點(diǎn)(-1,j0)的包圍 穿越：極坐標(biāo)曲線穿過點(diǎn)(-1,j0)以左的負(fù)實(shí)軸。正穿越： ,() 自上向下，逆時(shí)針N+表示半次穿越 設(shè)開環(huán)傳函在右半s