一元函數(shù)微分學(xué)課件

1、第二章 一元函數(shù)微分學(xué)一 導(dǎo)數(shù)二 微分三 微分中值定理四 洛必達(dá)法則五 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)0 xxx當(dāng) 自 變 量 在 處 取 得 增 量 時(shí) ，00()( )yyf xxf x 函 數(shù) 的 增 量；0 xxy 如 果當(dāng)時(shí) 的 極 限 存 在 ，定義定義0( )yf xx設(shè)函數(shù)在點(diǎn) 的某鄰域有定義，0( )yf xx稱 函 數(shù)在 點(diǎn) 處 可 導(dǎo) ，00lim( )xyxxf xy 稱這個(gè)極限為函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)000( )x xx xx xdydf xydxdx記為，或（一）（一） 導(dǎo)數(shù)的概念與性質(zhì)導(dǎo)數(shù)的概念與性質(zhì).)()(lim)(0000hxfhxfxfh 其它形式其它形式.)()(li

2、m)(0000 xxxfxfxfxx xxfxxfxyyxxxx )()(limlim00000即即000( )x xx xx xdydf xydxdx記為，或0.x導(dǎo)數(shù)是因變量在點(diǎn) 處的變化率，它反映了因變量隨自變量的變化而變化的快慢程度( )( ).yf xIf xI如果函數(shù)在開區(qū)間 內(nèi)的每點(diǎn)處都可導(dǎo)，就稱函數(shù)在開區(qū)內(nèi)可導(dǎo)間關(guān)于導(dǎo)數(shù)的說明：關(guān)于導(dǎo)數(shù)的說明：,( )xIf x 對(duì)于任一都對(duì)應(yīng)著的一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)值。構(gòu)成一個(gè)函數(shù)關(guān)系。( )( ),( ),.dydf xf xyfxdxdx稱函數(shù)的，記作或?qū)Ш瘮?shù)明顯明顯: :00()( )x xfxfx。2.右導(dǎo)數(shù)右導(dǎo)數(shù):單側(cè)導(dǎo)數(shù)單側(cè)導(dǎo)數(shù)1.左導(dǎo)

3、數(shù)左導(dǎo)數(shù):;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx ;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx 如果如果)(xf在開區(qū)間在開區(qū)間 ba,內(nèi)可導(dǎo)，且內(nèi)可導(dǎo)，且)(af 及及)(bf 都存在，就說都存在，就說)(xf在閉區(qū)間在閉區(qū)間 ba,上可導(dǎo)上可導(dǎo).()lim( )xafafx()lim( )xbfbfx稱為導(dǎo)函數(shù)的右極限稱為導(dǎo)函數(shù)的左極限( )( , )( )f xa bfx在開區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)為( ) , ( , )( )f xa ba bfx設(shè)在閉區(qū)間連續(xù)，開區(qū)間內(nèi)的可導(dǎo)，記導(dǎo)函數(shù)為(0)( )(0)

4、( )faf xafbf xb若存在，則在 點(diǎn)右可導(dǎo)，若存在，則在 點(diǎn)左可導(dǎo)( )(0)( )(0)fafafbfb且，oxy)(xfy T0 x幾何意義幾何意義0000()( )(,(),()tan,()fxyf xM xf xfxx表示曲線在點(diǎn)處的切線的斜率 即為切線與 軸正向的夾角M切線切線方程為：方程為：法線法線方程為：方程為：).)(000 xxxfyy 0001()()yyxxfx oxy)(xfy T0 xM可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系定理：可導(dǎo)連續(xù) （逆否命題）不連續(xù)不可導(dǎo) （逆命題）連續(xù)可導(dǎo)？不一定 例：y=|x|在x=0處連續(xù)，但在x=0處不可導(dǎo)。100)0()(lim)0(0 xxx

5、yxyyx100)0()(lim)0(0 xxxyxyyx(二)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則設(shè)u=u(x),v=v(x)都可導(dǎo)，則反函數(shù)的求導(dǎo)法則反函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則隱函數(shù)求導(dǎo)法則隱函數(shù)求導(dǎo)法則設(shè)y=f(x)由方程F(x,y)=0確定，求y,只需直接由方程F(x,y)=0關(guān)于x求導(dǎo)，將y當(dāng)做中間變量，依復(fù)合函數(shù)鏈?zhǔn)椒▌t求之。由參數(shù)方程確定的函數(shù)求導(dǎo)法則由參數(shù)方程確定的函數(shù)求導(dǎo)法則對(duì)數(shù)求導(dǎo)法對(duì)數(shù)求導(dǎo)法練習(xí)練習(xí)p28例1 例5 例8 例16 例23 例24 例25 例31 例36第二節(jié) 微分先看個(gè)例子：

6、微分的運(yùn)算法則微分的運(yùn)算法則復(fù)合函數(shù)的微分復(fù)合函數(shù)的微分這個(gè)性質(zhì)稱為一階微分形式不變性。練習(xí)p36 例37 例40 例44 第三節(jié) 微分中值定理若函數(shù)若函數(shù)f（x)在區(qū)間在區(qū)間I上導(dǎo)數(shù)恒為零，則上導(dǎo)數(shù)恒為零，則f(x)在區(qū)間在區(qū)間I上是一個(gè)常數(shù)。上是一個(gè)常數(shù)。若在區(qū)間若在區(qū)間(a,b)內(nèi)，恒有內(nèi)，恒有f(x)=g(x)，則在，則在(a,b)內(nèi)必有內(nèi)必有f(x)=g(x)+C,其中其中C為某個(gè)常數(shù)。為某個(gè)常數(shù)。推論p39 例47 例48 練習(xí)第四節(jié) 洛必達(dá)法則可轉(zhuǎn)化為洛必達(dá)的形式可轉(zhuǎn)化為洛必達(dá)的形式例例例解例例練習(xí)p43 例51 例57第五節(jié) 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（一）求曲線的切線方程與法線方程（二）函數(shù)

7、的單調(diào)性與極值（三）函數(shù)的最值（四）曲線的凸凹性（一）求曲線的切線方程與法線方程當(dāng)0時(shí)，法線方程為-1/（二）函數(shù)的單調(diào)性與極值1 函數(shù)單調(diào)性定理2 函數(shù)的極值定理定理（極值的必要條件）（極值的必要條件） 設(shè)設(shè)f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，且處可導(dǎo)，且x0為為f(x)的極值點(diǎn)，則的極值點(diǎn)，則f(x0)=0.（三）函數(shù)的最大值與最小值設(shè)函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間a,b上有定義，x0a,b,若對(duì)于任意xa,b,恒有f(x)f(x0)（或f(x)f(x0),則f(x0)為函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間a,b上的最大值（或最小值），稱點(diǎn)x0為f(x)在a,b上的最大值點(diǎn)（或最小值點(diǎn)）。注注 極值與最值的區(qū)別極值

8、與最值的區(qū)別 極值是一個(gè)局部概念 ，只是某個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值與它附近點(diǎn)的函數(shù)值比較最大或最小，并不意味著它在函數(shù)整個(gè)定義域內(nèi)最大或最小。而最值是對(duì)整個(gè)定義域而言，是一個(gè)整體性的概念。函數(shù)最值求法步驟：(1)求出求出 ) (xf的所有極值點(diǎn)的所有極值點(diǎn)(駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在 的點(diǎn)的點(diǎn));(2)計(jì)算并比較計(jì)算并比較f(x)在所有極值點(diǎn)及兩個(gè)端點(diǎn)處的值在所有極值點(diǎn)及兩個(gè)端點(diǎn)處的值,其中最大者就其中最大者就是最大值是最大值,最小者就是最小值。最小者就是最小值。（四）曲線的凸凹性凹凸定理定理1曲線的拐點(diǎn)曲線的拐點(diǎn)漸近線定義定義 當(dāng)曲線上一點(diǎn)當(dāng)曲線上一點(diǎn)M沿曲線沿曲線y=f(x)無限遠(yuǎn)離原點(diǎn)時(shí)，如果無限遠(yuǎn)離原點(diǎn)時(shí)，如果M到一條直線到一條直線L的的距離無限趨近于零，那么這條直線稱為這條曲線的漸近線。距離無限趨近于零，那么這條直線稱為這條曲線的漸近線。 若直線若直線L與與x軸