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1、學(xué)習(xí)好資料歡迎下載排列組合易錯(cuò)題分析排列組合問(wèn)題類型繁多、方法豐富、富于變化,稍不注意,極易出錯(cuò).本文選擇一些在教學(xué)中學(xué)生常見(jiàn)的錯(cuò)誤進(jìn)行正誤解析,以饗讀者.1沒(méi)有理解兩個(gè)基本原理出錯(cuò)排列組合問(wèn)題基于兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理,即加法原理和乘法原理,故理解分類用加、分步用乘”是解決排列組合問(wèn)題的前提.例1 ( 1995年上海高考題)從 6臺(tái)原裝計(jì)算機(jī)和5臺(tái)組裝計(jì)算機(jī)中任意選取 5臺(tái),其中至少有原 裝與組裝計(jì)算機(jī)各兩臺(tái),則不同的取法有種.誤解:因?yàn)榭梢匀?2臺(tái)原裝與3臺(tái)組裝計(jì)算機(jī)或是 3臺(tái)原裝與2臺(tái)組裝計(jì)算機(jī),所以只有 2種 取法.錯(cuò)因分析:誤解的原因在于沒(méi)有意識(shí)到選取2臺(tái)原裝與3臺(tái)組裝計(jì)算機(jī)或是 3臺(tái)原裝

2、與2臺(tái)組裝計(jì)算機(jī)”是完成任務(wù)的兩 類”辦法,每類辦法中都還有不同的取法.正解:由分析,完成第一類辦法還可以分成兩步:第一步在原裝計(jì)算機(jī)中任意選取2臺(tái),有Cl種方法;第二步是在組裝計(jì)算機(jī)任意選取 3臺(tái),有C53種方法,據(jù)乘法原理共有Ce C5種方法.同理, 完成第二類辦法中有 Ce C5種方法.據(jù)加法原理完成全部的選取過(guò)程共有 Cl C5 Ce C5 =350種方 法.例2在一次運(yùn)動(dòng)會(huì)上有四項(xiàng)比賽的冠軍在甲、乙、丙三人中產(chǎn)生,那么不同的奪冠情況共有( )種.(A) A4( B)43( C) 34( D)C4誤解:把四個(gè)冠軍,排在甲、乙、丙三個(gè)位置上,選A.錯(cuò)因分析:誤解是沒(méi)有理解乘法原理的概念,

3、盲目地套用公式正解:四項(xiàng)比賽的冠軍依次在甲、乙、丙三人中選取,每項(xiàng)冠軍都有3種選取方法,由乘法原理共有3 3 3 3 =34種.說(shuō)明:本題還有同學(xué)這樣誤解,甲乙丙奪冠均有四種情況,由乘法原理得43 .這是由于沒(méi)有考慮到某項(xiàng)冠軍一旦被一人奪得后,其他人就不再有4種奪冠可能.2判斷不出是排列還是組合出錯(cuò)在判斷一個(gè)問(wèn)題是排列還是組合問(wèn)題時(shí),主要看元素的組成有沒(méi)有順序性,有順序的是排列,無(wú)順序的是組合.例3有大小形狀相同的3個(gè)紅色小球和5個(gè)白色小球,排成一排,共有多少種不同的排列方法?誤解:因?yàn)槭?個(gè)小球的全排列,所以共有 As種方法.錯(cuò)因分析:誤解中沒(méi)有考慮3個(gè)紅色小球是完全相同的,5個(gè)白色小球也是

4、完全相同的,同色球之間互換位置是同一種排法 .正解:8個(gè)小球排好后對(duì)應(yīng)著 8個(gè)位置,題中的排法相當(dāng)于在8個(gè)位置中選出3個(gè)位置給紅球,剩下的位置給白球,由于這 3個(gè)紅球完全相同,所以沒(méi)有順序,是組合問(wèn)題.這樣共有:Cs =56排法.3重復(fù)計(jì)算出錯(cuò)學(xué)習(xí)好資料歡迎下載在排列組合中常會(huì)遇到元素分配問(wèn)題、平均分組問(wèn)題等,這些問(wèn)題要注意避免重復(fù)計(jì)數(shù),產(chǎn)生 錯(cuò)誤。例4 (2002年北京文科高考題)5本不同的書全部分給 4個(gè)學(xué)生,每個(gè)學(xué)生至少一本,不同的 分法種數(shù)為()(A)480 種(B)240 種 (C) 120 種(D)96 種誤解:先從5本書中取4本分給4個(gè)人,有a54種方法,剩下的1本書可以給任意一

5、個(gè)人有4種分法,共有4 A54 =480種不同的分法,選 A.錯(cuò)因分析:設(shè) 5本書為a、b、c、d、e,四個(gè)人為甲、乙、丙、丁.按照上述分法可能如下的表1和表2:甲乙丙丁abcde甲乙丙丁ebcda表1是甲首先分得表a、乙分得b、丙分得c、丁分得d,最后一本書e給甲的情況;表2是甲首先分 得e、乙分得b、丙分得c、丁分得d,最后一本書a給甲的情況.這兩種情況是完全相同的,而在 誤解中計(jì)算成了不同的情況。正好重復(fù)了一次正解:首先把5本書轉(zhuǎn)化成4本書,然后分給4個(gè)人.第一步:從5本書中任意取出2本捆綁成 一本書,有Cs種方法;第二步:再把4本書分給4個(gè)學(xué)生,有A;種方法.由乘法原理,共有Cs A4

6、 =240 種方法,故選B.例5某交通崗共有3人,從周一到周日的七天中,每天安排一人值班,每人至少值2天,其不同的排法共有()種.(A)5040( B)1260( C)210( D)630誤解:第一個(gè)人先挑選 2天,第二個(gè)人再挑選 2天,剩下的3天給第三個(gè)人,這三個(gè)人再進(jìn)行 全排列.共有:拆機(jī)人3 =1260,選B.錯(cuò)因分析:這里是均勻分組問(wèn)題.比如:第一人挑選的是周一、周二,第二人挑選的是周三、周四;也可能是第一個(gè)人挑選的是周三、周四,第二人挑選的是周一、周二,所以在全排列的過(guò)程中 就重復(fù)計(jì)算了 .正解:C7 C5 A3 乂30種24遺漏計(jì)算出錯(cuò)在排列組合問(wèn)題中還可能由于考慮問(wèn)題不夠全面,因

7、為遺漏某些情況,而出錯(cuò)。例6用數(shù)字0, 1,2,3,4組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的比 1000大的奇數(shù)共有()(A)36 個(gè) (B)48 個(gè)(C)66 個(gè)(D)72 個(gè)誤解:如右圖,最后一位只能是1或3有兩種取法,又因?yàn)榈?位不能是0,在最后一位取定后只有3種取丨丨丨1,3法,剩下3個(gè)數(shù)排中間兩個(gè)位置有 A種排法,共有2 3 A/ =36個(gè).錯(cuò)因分析:誤解只考慮了四位數(shù)的情況,而比1000大的奇數(shù)還可能是五位數(shù) .正解:任一個(gè)五位的奇數(shù)都符合要求,共有2 3 A33 =36個(gè),再由前面分析四位數(shù)個(gè)數(shù)和五位數(shù)個(gè)數(shù)之和共有 72個(gè),選D. 5忽視題設(shè)條件出錯(cuò)在解決排列組合問(wèn)題時(shí)一定要注意題目中的每一句話甚至

8、每一個(gè)字和符號(hào),不然就可能多解或 者漏解.例7(2003全國(guó)高考題)如圖,一個(gè)地區(qū)分為5個(gè)行政區(qū)域,現(xiàn)給地圖著色, 要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色,現(xiàn)有 種顏色可供選擇,則不同的著色方法共有誤解:先著色第一區(qū)域,有4種方法,剩下3種顏色涂四個(gè)區(qū)域,即有一種顏色涂相對(duì)的兩塊區(qū)域,有C3 2 A2 =12種,由乘法原理共有:4 12 =48種.錯(cuò)因分析:據(jù)報(bào)導(dǎo),在高考中有很多考生填了48種.這主要是沒(méi)有看清題設(shè) 有4種顏色可供選.擇”不一定需要4種顏色全部使用,用 3種也可以完成任務(wù).正解:當(dāng)使用四種顏色時(shí),由前面的誤解知有48種著色方法;當(dāng)僅使用三種顏色時(shí):從4種顏色中選取3種有C4種方法,先著色

9、第一區(qū)域,有 3種方法,剩下2種顏色涂四個(gè)區(qū)域,只能是一種顏色涂第2、4區(qū)域,另一種顏色涂第3、5區(qū)域,有2種著色方法,由乘法原理有C43 3 2 =24種.綜上共有:48*24 =72種.例8已知ax2 -b =0是關(guān)于x的一元二次方程,其中a、1,2,3,4,求解集不同的一元二次方程的個(gè)數(shù).誤解:從集合1,2,3,4中任意取兩個(gè)元素作為a、b,方程有 A個(gè),當(dāng)a、b取同一個(gè)數(shù)時(shí)方程有1個(gè),共有A; V =13個(gè).錯(cuò)因分析:誤解中沒(méi)有注意到題設(shè)中:求解集不同的”所以在上述解法中要去掉同解情況,ffff由于f =和=2同解、嚴(yán)二2和/ =4同解,故要減去2個(gè)。b =2 p =4p =1 b =

10、2正解:由分析,共有13 2-11個(gè)解集不冋的一兀二次方程.6未考慮特殊情況出錯(cuò)在排列組合中要特別注意一些特殊情況,一有疏漏就會(huì)出錯(cuò)例9現(xiàn)有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、50元人民幣各一張,100元人民幣2張, 從中至少取一張,共可組成不同的幣值種數(shù)是()(A)1024 種 (B)1023 種 (C)1536 種 (D)1535 種誤解:因?yàn)楣灿腥嗣駧?10張,每張人民幣都有取和不取2種情況,減去全不取的1種情況,共有 210 1 =1023 種.錯(cuò)因分析:這里100元面值比較特殊有兩張,在誤解中被計(jì)算成4種情況,實(shí)際上只有不取、取一張和取二張 3種情況.正解:除100元人民幣以

11、外每張均有取和不取2種情況,100元人民幣的取法有 3種情況,再減去全不取的1種情況,所以共有29 3 -1 =1535種.7題意的理解偏差出錯(cuò)例10現(xiàn)有8個(gè)人排成一排照相,其中有甲、乙、丙三人不能相鄰的排法有()種.學(xué)習(xí)好資料歡迎下載(A)A A (B) A8 - A6 A (C) A; A (D) A; A4誤解:除了甲、乙、丙三人以外的5人先排,有A55種排法,5人排好后產(chǎn)生6個(gè)空檔,插入甲、乙、丙三人有 A種方法,這樣共有 A A5種排法,選A.錯(cuò)因分析:誤解中沒(méi)有理解甲、乙、丙三人不能相鄰”的含義,得到的結(jié)果是 甲、乙、丙三人互不相鄰”的情況.甲、乙、丙三人不能相鄰”是指甲、乙、丙三

12、人不能同時(shí)相鄰,但允許其中有兩人 相鄰.正解:在8個(gè)人全排列的方法數(shù)中減去甲、乙、丙全相鄰的方法數(shù),就得到甲、乙、丙三人不 相鄰的方法數(shù),即a8 _a6 A,故選B.8解題策略的選擇不當(dāng)出錯(cuò)有些排列組合問(wèn)題用直接法或分類討論比較困難,要采取適當(dāng)?shù)慕鉀Q策略,如間接法、插入法、 捆綁法、概率法等,有助于問(wèn)題的解決.例10高三年級(jí)的三個(gè)班到甲、乙、丙、丁四個(gè)工廠進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐,其中工廠甲必須有班級(jí)去,每班去何工廠可自由選擇,則不同的分配方案有().(A)16 種(B)18 種(C) 37種(D)48 種誤解:甲工廠先派一個(gè)班去,有3種選派方法,剩下的2個(gè)班均有4種選擇,這樣共有3 4 4 = 48 種方案.錯(cuò)因分析:顯然這里有重復(fù)計(jì)算.如:a班先派去了甲工廠,b班選擇時(shí)也去了甲工廠, 這與b班 先派去

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