機構學與機器人學-5機器人運動學

1、第第 五五 章章機機 器器 人人 運運 動動 學學 一、一、 二、二、 齊次變換形式：齊次變換形式：11010PPRPBBAABA 4X1的列矢量表示三維空間的點，稱為點的齊次坐標，的列矢量表示三維空間的點，稱為點的齊次坐標，仍然記為：仍然記為：PPBA或PTPBABA100BAABABPRT 描述描述B系相對于系相對于A系的方位，系的方位， 為為B系相對于系相對于A系的平系的平移矢量。移矢量。RAB0BAP 坐標原點的矢量，即零矢量表示為坐標原點的矢量，即零矢量表示為0,0,0,1T。矢量。矢量0,0,0,0T沒有定義。具有形如沒有定義。具有形如a,b,c,0T的矢量表示無限遠的矢量表示無限

2、遠矢量，用來表示方向，即矢量，用來表示方向，即1,0,0,0T，0,1,0,0T，0,0,1,0T分別表示分別表示x，y，z軸的方向。軸的方向。 例：已知點例：已知點u=7i+3j+2k，對它進行繞，對它進行繞z軸旋轉軸旋轉90的齊次的齊次變換為：變換為：127312371000010000010010v 三、機器人運動學方程的表示三、機器人運動學方程的表示 同理，若同理，若A3表示第三個連桿相對于第二個連桿的位置和姿表示第三個連桿相對于第二個連桿的位置和姿態(tài)，則有：態(tài)，則有：1、 可以把任何機器人的機械手看做是一系列由關節(jié)連接起來可以把任何機器人的機械手看做是一系列由關節(jié)連接起來的連桿構成。

3、機械手每一個連桿建立一個坐標系，并用齊次變的連桿構成。機械手每一個連桿建立一個坐標系，并用齊次變換來描述這些坐標間的相對位置和姿態(tài)。通常把描述一個連桿換來描述這些坐標間的相對位置和姿態(tài)。通常把描述一個連桿與下一個連桿間相對關系的齊次變換叫做與下一個連桿間相對關系的齊次變換叫做A矩陣。一個矩陣。一個A矩陣就矩陣就是一個描述連桿坐標系間相對平移和旋轉的齊次變換。如果是一個描述連桿坐標系間相對平移和旋轉的齊次變換。如果A1表示第一個連桿對于基系的位置和姿態(tài)，表示第一個連桿對于基系的位置和姿態(tài)，A2表示第二個連桿相表示第二個連桿相對于第一個連桿的位置和姿態(tài)，那么第二個連桿在基系中的位對于第一個連桿的位

4、置和姿態(tài)，那么第二個連桿在基系中的位置和姿態(tài)可由下列矩陣的乘積給出：置和姿態(tài)可由下列矩陣的乘積給出： 六連桿機械手有下列矩陣：六連桿機械手有下列矩陣： T2=A1A2 T3=A1A2A3 T6=A1A2A3A4A5A6 2、機械手的運動方向、機械手的運動方向六連桿機械手的六連桿機械手的T矩陣（矩陣（T6）可由其）可由其16個元素的數(shù)值來確個元素的數(shù)值來確定，其中只有定，其中只有12個元素具有實際含義。個元素具有實際含義。 機器人的運動方程，又稱位姿方程，都是用位姿矩陣表示機器人的運動方程，又稱位姿方程，都是用位姿矩陣表示機器人的運動方程，即以各桿之間的關節(jié)變量為變量的方程式，機器人的運動方程，

5、即以各桿之間的關節(jié)變量為變量的方程式，這可分成兩類問題求解。這可分成兩類問題求解。Si3、機械手運動方程的求解、機械手運動方程的求解 1）求解運動方程時，從）求解運動方程時，從T6開始求解關節(jié)位置。使開始求解關節(jié)位置。使T6的符號表達式的符號表達式的各元素等于其一般形式，并據(jù)此確定的各元素等于其一般形式，并據(jù)此確定1，其他五個關節(jié)參數(shù)不可能，其他五個關節(jié)參數(shù)不可能從從T6求的，因此可從其他求的，因此可從其他T矩陣來求解它們。一旦求的矩陣來求解它們。一旦求的1之后，可由之后，可由A1-1 左乘左乘T6的一般形式，得：的一般形式，得：61611TTA 式中左邊為式中左邊為1和和T6各元的函數(shù)，此式

6、可用來求解其他各關節(jié)變量，各元的函數(shù)，此式可用來求解其他各關節(jié)變量，如如2。不斷的用不斷的用A的逆矩陣左乘，可得另外四個矩陣方程式：的逆矩陣左乘，可得另外四個矩陣方程式：6561112131415646111213146361112136261112TTAAAAATTAAAATTAAATTAA 求解運動學方程，即求的機械手各關節(jié)坐標，這對機械手的控制求解運動學方程，即求的機械手各關節(jié)坐標，這對機械手的控制至關重要。根據(jù)至關重要。根據(jù)T6知道機械手要移動到什么地方，知道各關節(jié)坐標，知道機械手要移動到什么地方，知道各關節(jié)坐標，一邊進一步確定如何移動。一邊進一步確定如何移動。 2）繞三軸轉動的變換解

7、）繞三軸轉動的變換解 令：令：),(),(),(xRotyRotzRotT ),(),(),(xRotyRotzRotT ),(),(),(1xRotyRotTzRot),(),(1000100001000000 xRotyRotpaonpaonpaoncssczzzzyyyyxxxx 其中，其中，f11=cx+sy，f12=-sx+cy，f13=z, 而而x,y和和z為為f11, f12和和f13的各的各相應分量，例如：相應分量，例如： f11(p)=cpx+spy f12(a)=-sax+cay 令令f12(n)與右式對應元素相等，可得：與右式對應元素相等，可得： 四、四、10000111

8、1111111iiiiiiiiiiiiiiiiiiicdcscsssdscccsascT1000001000 10000100000 10000010000 1000010000004443444333233322222221111110csdascTcsascTcsdscTcsscT100000010000100000010000666665555554csscTcsscT , , , ,10000565650066056565611060633161322131644363655464TTTTTTTTTTTTccssscssscccTTT6523)64654(-s23 )65464( 1c

9、6523)64654s1c23o)65464( 16523)64654c1c23o6523)64654(-s23)64654( 16523)64654(23 1)64654( 16523)64654(23 1yxsscsssccoscsccssscssccscsccsssscssccsscsscccnscccsccssssccccsnscccsscsssscccccnzzyx d4c23-a2s2-a3s23p d2c1d4s23-a3c23s1a2c2pd2s1-d4s23-a3c23c1a2c2p5235523541)5235423( 1541)5235423( 1zyxccscsassc

10、cssccsassccsscccazyx經(jīng)驗算：經(jīng)驗算：10003001421002010,0654,903,02,90160adadT（3-66）（3-67）（3-68）（3-70）（3-72）（3-74）（3-75）（3-80）（3-83）（3-84） 在對機器人進行操作與控制時，常常涉及到機械手位置和姿在對機器人進行操作與控制時，常常涉及到機械手位置和姿態(tài)的微小變化。這些變化可由描述機械手位置的齊次變換矩陣態(tài)的微小變化。這些變化可由描述機械手位置的齊次變換矩陣的微小變化來表示。在數(shù)學上，這種微小變化可用微分變化來的微小變化來表示。在數(shù)學上，這種微小變化可用微分變化來表達。機械手運動過程中

11、的微分關系是很重要的。表達。機械手運動過程中的微分關系是很重要的。 例如，當用攝像機來觀察機械手的末端執(zhí)行裝置時，我們例如，當用攝像機來觀察機械手的末端執(zhí)行裝置時，我們需要把對于一個坐標系的微分變化變換為對于另一坐標系的微需要把對于一個坐標系的微分變化變換為對于另一坐標系的微分變化。比如說，把攝像機的坐標系建立在分變化。比如說，把攝像機的坐標系建立在T6上。應用微分關上。應用微分關系對于研究機械手的動力學問題，也是十分重要的。系對于研究機械手的動力學問題，也是十分重要的。機器人的雅可比公式機器人的雅可比公式機器人的微分運動機器人的微分運動 已知一個變換，其元素為某個變量的函數(shù)，那么對已知一個變

12、換，其元素為某個變量的函數(shù)，那么對這個變量的微分變換就是這樣的變換，其元素為原變換元這個變量的微分變換就是這樣的變換，其元素為原變換元素的導數(shù)。研究出一種方法，使得對坐標系素的導數(shù)。研究出一種方法，使得對坐標系T的微分變換的微分變換等價于對基系的變換。等價于對基系的變換。 既可以用給定的坐標系也可以用基坐標系來表示既可以用給定的坐標系也可以用基坐標系來表示微分平移和旋轉微分平移和旋轉.（3-85）（3-86）（3-87）（3-88）（3-89）（3-90）（3-91）（3-92）（3-93）（3-94）（3-95）（3-96）（3-97）（3-98）（3-99）（3-100）（3-101）（3

13、-102） 設有兩坐標系設有兩坐標系A和和B，B相對于相對于A而定義，微分運而定義，微分運動變換圖為：動變換圖為：BAABBABBBBABBA 115CAM5A6TTBBTACAMTCAMTABCAM 116166TTBBTACAMTCAMTABCAM 116166100050010010101001CAM因此：因此：1000501000012100100081000001001010005001001010100T1000501000012100Tn o a pkjikjidTT01 . 00 102 . 0 66 微分坐標變換矩陣微分坐標變換矩陣T T可以從圖中直接求出：可以從圖中直接求出

14、：即從已知的微分變化變即從已知的微分變化變換的箭頭起，回溯到待換的箭頭起，回溯到待求的等價微分變化止所求的等價微分變化止所經(jīng)過的路徑。經(jīng)過的路徑。（3-106）（3-107）（3-108）（3-109）（3-110）（3-111）（3-112）（3-113）（3-114）（3-115）（3-116）（3-117）（3-118）（3-119）（3-120）（3-121）（3-122）機器人雅可比矩陣計算實例機器人雅可比矩陣計算實例 下面舉例說明計算具體機器人微分運動和雅可比矩陣的方下面舉例說明計算具體機器人微分運動和雅可比矩陣的方法。先建立西博特奇（法。先建立西博特奇（Cybotech）V-80

15、 機器人的雅可比矩機器人的雅可比矩陣，再計算陣，再計算PUMA560機器人的雅可比矩陣。機器人的雅可比矩陣。1、V-80機器人的雅可比矩陣機器人的雅可比矩陣 如圖表示法國西博特奇公司生產的如圖表示法國西博特奇公司生產的V-80工業(yè)機器人工業(yè)機器人的外形略圖及其停止位置。圖（的外形略圖及其停止位置。圖（b）中，停止位置是這樣選擇）中，停止位置是這樣選擇的，使得懸臂與基系坐標的，使得懸臂與基系坐標x軸平行，而機械手的夾手垂直向上。軸平行，而機械手的夾手垂直向上。V-80的連桿和關節(jié)參數(shù)表示于表，其的連桿和關節(jié)參數(shù)表示于表，其6個關節(jié)的運動都是轉動個關節(jié)的運動都是轉動的。的。V-80 機械手連桿與關

16、節(jié)參數(shù)機械手連桿與關節(jié)參數(shù) 在建立在建立V-80操作機器人的雅可比矩陣時，應用了如此圖所示操作機器人的雅可比矩陣時，應用了如此圖所示的變換圖。的變換圖。2、PUMA 560機器人的雅可比矩陣機器人的雅可比矩陣 PUMA 560的的6個關節(jié)也都是轉動的，其雅可比矩陣含有個關節(jié)也都是轉動的，其雅可比矩陣含有6列。列。根據(jù)式根據(jù)式（3.121）可計算各列元素。現(xiàn)分別用兩種方法計算?？捎嬎愀髁性亍，F(xiàn)分別用兩種方法計算。1000001000 10000100000 10000010000 1000010000004443444333233322222221111110csdascTcsascTcsds

17、cTcsscT100000010000100000010000666665555554csscTcsscT100000010000100000010000666665555554csscTcsscT1000001000 10000100000 10000010000 1000010000004443444333233322222221111110csdascTcsascTcsdscTcsscT1000001000 10000100000 10000010000 1000010000004443444333233322222221111110csdascTcsascTcsdscTcsscT6523)64654(-s23 )65464( 1c6523)64654s1c23o)65464( 16523)64654c1c23o6523)64