初等代數(shù)研究(緒言第一章數(shù))2011913

1、第一部分：初等代數(shù)研究第一部分：初等代數(shù)研究贛南師范學(xué)院數(shù)計學(xué)院贛南師范學(xué)院數(shù)計學(xué)院 曾建國曾建國 E-mail: 電話：電話中學(xué)數(shù)學(xué)研究中學(xué)數(shù)學(xué)研究2022-5-12初等代數(shù)研究2緒 言 問題：問題：1.自然數(shù)是如何產(chǎn)生的？自然數(shù)是如何產(chǎn)生的？2.為什么為什么1+1=2？ 為什么為什么53？3.為什么為什么“負(fù)負(fù)得正負(fù)負(fù)得正”？4.什么是解析式、代數(shù)式？二者有無差別？什么是解析式、代數(shù)式？二者有無差別？5.兩直線平行，則同位角相等。為什么？兩直線平行，則同位角相等。為什么？作為未來的中學(xué)數(shù)學(xué)教師，我們必須掌握中學(xué)課本以外的作為未來的中學(xué)數(shù)學(xué)教師，我們必須掌握中學(xué)課本

2、以外的一些知識一些知識,如：如：數(shù)學(xué)知識相關(guān)的歷史背景數(shù)學(xué)知識相關(guān)的歷史背景對有關(guān)知識的更深層次的理解對有關(guān)知識的更深層次的理解 教給學(xué)生一杯水，教師必須先有一桶水！教給學(xué)生一杯水，教師必須先有一桶水！2022-5-12初等代數(shù)研究3緒 言 1 關(guān)于代數(shù)學(xué)發(fā)展的幾個歷史觀點(diǎn)關(guān)于代數(shù)學(xué)發(fā)展的幾個歷史觀點(diǎn) 0、代數(shù)學(xué)簡史、代數(shù)學(xué)簡史 代數(shù)學(xué)起源可以追溯到公元前代數(shù)學(xué)起源可以追溯到公元前1800年左右，代數(shù)學(xué)奠年左右，代數(shù)學(xué)奠基于基于16世紀(jì)和世紀(jì)和17世紀(jì)初。世紀(jì)初。 公元公元820年前后時，花剌子模（穆罕默德年前后時，花剌子模（穆罕默德伊本伊本穆斯穆斯阿阿里里花剌子?；ㄘ葑幽?數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家）

3、的著作數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家）的著作Kitab al jabrwal-mugabala，意思是，意思是“整理整理”和和“對比對比”。到。到14世紀(jì)，世紀(jì)，aljabr演變成了演變成了algebra，這就是拉丁文的，這就是拉丁文的“代數(shù)代數(shù)學(xué)學(xué)”。其中。其中Algoritmi是花拉子模的拉丁譯名，現(xiàn)代術(shù)語是花拉子模的拉丁譯名，現(xiàn)代術(shù)語“算法算法”（Algorithm）即源于此。）即源于此。 1859年年 清代數(shù)學(xué)家李善蘭譯清代數(shù)學(xué)家李善蘭譯algebra為為“代數(shù)學(xué)代數(shù)學(xué)”。2022-5-12初等代數(shù)研究4緒 言 1 關(guān)于代數(shù)學(xué)發(fā)展的幾個歷史觀點(diǎn)關(guān)于代數(shù)學(xué)發(fā)展的幾個歷史觀點(diǎn) 0、代數(shù)學(xué)簡史、代數(shù)學(xué)簡史

4、 初等代數(shù)的形成高等代數(shù)的創(chuàng)建抽象代數(shù)的產(chǎn)生和深化用字母代替數(shù)、方程的出現(xiàn)用字母代替數(shù)、方程的出現(xiàn)九章算術(shù)九章算術(shù)中正負(fù)數(shù)的使用（公元中正負(fù)數(shù)的使用（公元1世紀(jì)）世紀(jì)）丟番圖采用符號（公元丟番圖采用符號（公元250年年 ） 16世紀(jì)世紀(jì)方程理論的形成方程理論的形成（矩陣、行列式）（矩陣、行列式） （ 1618世紀(jì)）世紀(jì)）近世代數(shù)近世代數(shù)研究各種代數(shù)結(jié)構(gòu)研究各種代數(shù)結(jié)構(gòu)（19世紀(jì)世紀(jì)至今）至今）2022-5-12初等代數(shù)研究5緒 言 1 關(guān)于代數(shù)學(xué)發(fā)展的幾個歷史觀點(diǎn)關(guān)于代數(shù)學(xué)發(fā)展的幾個歷史觀點(diǎn) 一、代數(shù)學(xué)是研究字母運(yùn)算的科學(xué)一、代數(shù)學(xué)是研究字母運(yùn)算的科學(xué) （18世紀(jì)后期世紀(jì)后期） 韋達(dá)韋達(dá)是第一

5、個系統(tǒng)使用字母，從而使符號化代數(shù)實(shí)是第一個系統(tǒng)使用字母，從而使符號化代數(shù)實(shí)現(xiàn)的數(shù)學(xué)家?，F(xiàn)的數(shù)學(xué)家。 1768年，年，歐拉歐拉發(fā)表發(fā)表對代數(shù)的完整的介紹對代數(shù)的完整的介紹，系統(tǒng)，系統(tǒng)地論述了方程理論和其它代數(shù)知識，表明初等代數(shù)已地論述了方程理論和其它代數(shù)知識，表明初等代數(shù)已經(jīng)完全形成。經(jīng)完全形成。 認(rèn)為代數(shù)學(xué)是研究字母運(yùn)算的科學(xué)，這是代數(shù)學(xué)認(rèn)為代數(shù)學(xué)是研究字母運(yùn)算的科學(xué)，這是代數(shù)學(xué)的原始觀點(diǎn)，這種觀點(diǎn)一直延續(xù)到的原始觀點(diǎn)，這種觀點(diǎn)一直延續(xù)到18世紀(jì)后期。世紀(jì)后期。2022-5-12初等代數(shù)研究6二、代數(shù)學(xué)是研究方程理論的科學(xué)二、代數(shù)學(xué)是研究方程理論的科學(xué)（18世紀(jì)后期世紀(jì)后期19世紀(jì)后期）世紀(jì)后

6、期） 三、代數(shù)學(xué)是研究各種代數(shù)結(jié)構(gòu)的科學(xué)三、代數(shù)學(xué)是研究各種代數(shù)結(jié)構(gòu)的科學(xué)（19世紀(jì)世紀(jì) ）1 關(guān)于代數(shù)學(xué)發(fā)展的幾個歷史觀點(diǎn)關(guān)于代數(shù)學(xué)發(fā)展的幾個歷史觀點(diǎn)代數(shù)學(xué)以研究方程理論為中心，包括矩陣、行列式、代數(shù)學(xué)以研究方程理論為中心，包括矩陣、行列式、二次型在內(nèi)的高等代數(shù)內(nèi)容。二次型在內(nèi)的高等代數(shù)內(nèi)容。19世紀(jì)，在伽羅瓦群以后，代數(shù)的研究內(nèi)容從原來世紀(jì)，在伽羅瓦群以后，代數(shù)的研究內(nèi)容從原來以研究代數(shù)方程的理論為中心，轉(zhuǎn)變到研究定義在以研究代數(shù)方程的理論為中心，轉(zhuǎn)變到研究定義在任意性質(zhì)的元素集上的代數(shù)運(yùn)算規(guī)律和性質(zhì)。任意性質(zhì)的元素集上的代數(shù)運(yùn)算規(guī)律和性質(zhì)。緒 言2022-5-12初等代數(shù)研究71、數(shù)、數(shù)

7、2、式、式3、函數(shù)、函數(shù)4、方程、方程5、不等式、不等式6、數(shù)列、數(shù)列 2 作為教學(xué)科目的中學(xué)代數(shù)作為教學(xué)科目的中學(xué)代數(shù)緒 言2022-5-12初等代數(shù)研究8第一章 數(shù)1 數(shù)系的擴(kuò)展數(shù)系的擴(kuò)展2 整數(shù)的整除性整數(shù)的整除性2022-5-12初等代數(shù)研究9數(shù)的概念的形成大約是在數(shù)的概念的形成大約是在3030萬年以前萬年以前.最早是手指計數(shù)。十進(jìn)制、五進(jìn)制多發(fā)于此最早是手指計數(shù)。十進(jìn)制、五進(jìn)制多發(fā)于此.石子計數(shù)。但計數(shù)的石子堆很難長久保存信息石子計數(shù)。但計數(shù)的石子堆很難長久保存信息.結(jié)繩計數(shù)、刻痕計數(shù)結(jié)繩計數(shù)、刻痕計數(shù)1、數(shù)的形成和發(fā)展、數(shù)的形成和發(fā)展1 1 數(shù)系的擴(kuò)展數(shù)系的擴(kuò)展2022-5-121

8、01937年，捷克出土的幼狼脛骨上年，捷克出土的幼狼脛骨上邊有邊有55道刻痕。距今約道刻痕。距今約3萬年。萬年。日本琉球群島的結(jié)繩。日本琉球群島的結(jié)繩。1 數(shù)系的擴(kuò)展1、數(shù)的形成和發(fā)展、數(shù)的形成和發(fā)展臺灣高山族的結(jié)繩（現(xiàn)藏中央民族大學(xué)）臺灣高山族的結(jié)繩（現(xiàn)藏中央民族大學(xué)）中國古籍上記有伏羲中國古籍上記有伏羲“結(jié)繩而治結(jié)繩而治”。2022-5-12111 數(shù)系的擴(kuò)展1、數(shù)的形成和發(fā)展、數(shù)的形成和發(fā)展 結(jié)繩法最早出現(xiàn)在印加帝國，結(jié)繩法最早出現(xiàn)在印加帝國，是利用一種十進(jìn)的位置值系統(tǒng)在繩是利用一種十進(jìn)的位置值系統(tǒng)在繩上打結(jié)的記事方式。上打結(jié)的記事方式。2022-5-12初等代數(shù)研究12秘魯?shù)挠〉诎踩说?/p>

9、結(jié)繩法秘魯?shù)挠〉诎踩说慕Y(jié)繩法中國的甲骨文計數(shù)法中國的甲骨文計數(shù)法2022-5-12初等代數(shù)研究13易易.系辭系辭載：載：“上古結(jié)繩而上古結(jié)繩而治，后世圣人易之以書目契。治，后世圣人易之以書目契?！蔽覈糯募坠俏闹械奈覈糯募坠俏闹械摹皵?shù)數(shù)”字，字，左邊表示打結(jié)的繩，右邊是一只手，左邊表示打結(jié)的繩，右邊是一只手，表示古人用結(jié)繩記數(shù)表示古人用結(jié)繩記數(shù)2022-5-12初等代數(shù)研究14一、數(shù)的發(fā)展簡史一、數(shù)的發(fā)展簡史1 1 數(shù)系的擴(kuò)展數(shù)系的擴(kuò)展1、數(shù)的形成和發(fā)展、數(shù)的形成和發(fā)展正整數(shù)正整數(shù)正有理數(shù)正有理數(shù)非負(fù)有理數(shù)非負(fù)有理數(shù)實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)添負(fù)數(shù)添負(fù)數(shù)添零添零添正分?jǐn)?shù)添正分?jǐn)?shù)有理數(shù)有理數(shù)添無理數(shù)

10、添無理數(shù)添虛數(shù)添虛數(shù)從歷史上看，人類對于數(shù)的認(rèn)識，大體上是從歷史上看，人類對于數(shù)的認(rèn)識，大體上是按照如下順序進(jìn)行的按照如下順序進(jìn)行的:2022-5-12初等代數(shù)研究15一、數(shù)的發(fā)展簡史一、數(shù)的發(fā)展簡史1 1 數(shù)系的擴(kuò)展數(shù)系的擴(kuò)展1、數(shù)的形成和發(fā)展、數(shù)的形成和發(fā)展以下是按時間順序列舉的世界上幾以下是按時間順序列舉的世界上幾種古老文明的早期記數(shù)系統(tǒng)：種古老文明的早期記數(shù)系統(tǒng)：2022-5-12初等代數(shù)研究16世界上幾種古老文明的早期記數(shù)系統(tǒng)：世界上幾種古老文明的早期記數(shù)系統(tǒng)：2022-5-12初等代數(shù)研究17世界上幾種古老文明的早期記數(shù)系統(tǒng)：世界上幾種古老文明的早期記數(shù)系統(tǒng)：2022-5-12初等

11、代數(shù)研究18一、數(shù)的發(fā)展簡史一、數(shù)的發(fā)展簡史1 1 數(shù)系的擴(kuò)展數(shù)系的擴(kuò)展2、數(shù)的擴(kuò)展方法與擴(kuò)展原則、數(shù)的擴(kuò)展方法與擴(kuò)展原則 不同于歷史上人們認(rèn)識數(shù)的過程中數(shù)集擴(kuò)充的不同于歷史上人們認(rèn)識數(shù)的過程中數(shù)集擴(kuò)充的順序，順序，“數(shù)系數(shù)系”的邏輯擴(kuò)展應(yīng)該如下所示的順序的邏輯擴(kuò)展應(yīng)該如下所示的順序:*1, 2,3,NZ（ 整 數(shù) ）Q（ 有 理 ）R（ 實(shí) 數(shù) ）C（ 復(fù) 數(shù) ） 數(shù)系（數(shù)系（number systemnumber system）通常是指通常是指對加法和對加法和乘法運(yùn)算封閉的數(shù)集。主要有自然數(shù)系、整數(shù)系、乘法運(yùn)算封閉的數(shù)集。主要有自然數(shù)系、整數(shù)系、有理數(shù)系、實(shí)數(shù)系和復(fù)數(shù)系。有理數(shù)系、實(shí)數(shù)系和

12、復(fù)數(shù)系。2022-5-12初等代數(shù)研究19一、數(shù)的發(fā)展簡史一、數(shù)的發(fā)展簡史1 數(shù)系的擴(kuò)展 數(shù)系（集）擴(kuò)充一般有兩種方法：數(shù)系（集）擴(kuò)充一般有兩種方法： 一是添加元素法。一是添加元素法。 二是構(gòu)造法。二是構(gòu)造法。 所謂構(gòu)造法指的是先用舊數(shù)集所謂構(gòu)造法指的是先用舊數(shù)集A中的數(shù)為材料構(gòu)成一個中的數(shù)為材料構(gòu)成一個新數(shù)集新數(shù)集B，然后指出新數(shù)集，然后指出新數(shù)集B中某一真子集與中某一真子集與A相等（嚴(yán)格相等（嚴(yán)格講，是講，是B的某個真子集與的某個真子集與A同構(gòu)），復(fù)數(shù)系的建立就是采用同構(gòu)），復(fù)數(shù)系的建立就是采用這一種方法這一種方法. 2、數(shù)的擴(kuò)展方法與擴(kuò)展原則、數(shù)的擴(kuò)展方法與擴(kuò)展原則2022-5-1220

13、一、數(shù)的發(fā)展簡史一、數(shù)的發(fā)展簡史1 數(shù)系的擴(kuò)展 數(shù)集擴(kuò)充應(yīng)遵循的原則：數(shù)集擴(kuò)充應(yīng)遵循的原則： 從數(shù)集從數(shù)集A擴(kuò)充為數(shù)集擴(kuò)充為數(shù)集B，必須遵循下列原則：，必須遵循下列原則： （1）A B，即，即A是是B的真子集；的真子集； （2）A中已定義的元素之間的基本關(guān)系和運(yùn)算，在中已定義的元素之間的基本關(guān)系和運(yùn)算，在B中也有中也有相應(yīng)的定義，并且相應(yīng)的定義，并且B中的定義，對于中的定義，對于B的子集的子集A中的元素來說，中的元素來說，與原來與原來A中的定義一致；中的定義一致； （3）在）在A中不是總能施行的某種運(yùn)算，在中不是總能施行的某種運(yùn)算，在B中總能施行中總能施行 （在（在A中無解的某類方程，在集中無

14、解的某類方程，在集B中有解）；中有解）； （4）B是滿足上述三個原則的是滿足上述三個原則的A的所有擴(kuò)充中的最小擴(kuò)充的所有擴(kuò)充中的最小擴(kuò)充. 2、數(shù)的擴(kuò)展方法與擴(kuò)展原則、數(shù)的擴(kuò)展方法與擴(kuò)展原則2022-5-12初等代數(shù)研究21二、正整數(shù)理論二、正整數(shù)理論1 數(shù)系的擴(kuò)展 盡管早在盡管早在30萬年以前，人們可能已經(jīng)開始萬年以前，人們可能已經(jīng)開始形成了數(shù)的概念，但自然數(shù)理論的完善、即把形成了數(shù)的概念，但自然數(shù)理論的完善、即把自然數(shù)作為嚴(yán)格的邏輯系統(tǒng)，采用公理化的方自然數(shù)作為嚴(yán)格的邏輯系統(tǒng)，采用公理化的方法來研究，卻直到法來研究，卻直到19世紀(jì)末才得以實(shí)現(xiàn)。世紀(jì)末才得以實(shí)現(xiàn)。2022-5-12初等代數(shù)研

15、究22建立自然數(shù)（正整數(shù)）理論的幾種方案建立自然數(shù)（正整數(shù)）理論的幾種方案康托爾的集合論為基礎(chǔ)建立自然數(shù)基數(shù)理論康托爾的集合論為基礎(chǔ)建立自然數(shù)基數(shù)理論皮亞諾以公理法為基礎(chǔ)建立自然數(shù)序數(shù)理論皮亞諾以公理法為基礎(chǔ)建立自然數(shù)序數(shù)理論羅素等人試圖用純邏輯學(xué)建立自然數(shù)理論羅素等人試圖用純邏輯學(xué)建立自然數(shù)理論二、正整數(shù)理論二、正整數(shù)理論1 數(shù)系的擴(kuò)展2022-5-12初等代數(shù)研究231 數(shù)系的擴(kuò)展二、正整數(shù)理論二、正整數(shù)理論1、正整數(shù)的基數(shù)理論、正整數(shù)的基數(shù)理論18741874年年康托爾康托爾創(chuàng)立了集合論，在此基礎(chǔ)上，建立起創(chuàng)立了集合論，在此基礎(chǔ)上，建立起自然數(shù)（正整數(shù)）的基數(shù)理論：自然數(shù)（正整數(shù)）的基數(shù)

16、理論：（1）集合等價）集合等價 如果集合如果集合A和和B的元素之間可以建立一一對應(yīng)的關(guān)系，就稱的元素之間可以建立一一對應(yīng)的關(guān)系，就稱集合集合A和和B等價，記作等價，記作AB集合的等價具有性質(zhì)：集合的等價具有性質(zhì)： AA（反身性）（反身性） AB，則，則BA（對稱性）（對稱性） AB，BC，AC（傳遞性）（傳遞性）2022-5-12初等代數(shù)研究241 數(shù)系的擴(kuò)展（1）集合等價）集合等價 （2）集合的基數(shù)（勢）集合的基數(shù)（勢）彼此等價的所有集合的彼此等價的所有集合的共同特征的標(biāo)志共同特征的標(biāo)志 叫做叫做 基數(shù)基數(shù)（3）正整數(shù)的定義）正整數(shù)的定義定義定義1 1.非空有限集合的基數(shù)叫做正整數(shù)。非空有限

17、集合的基數(shù)叫做正整數(shù)。 空集的基數(shù)叫做空集的基數(shù)叫做0，集合的，集合的A的基數(shù)記作的基數(shù)記作|A|。1、正整數(shù)的基數(shù)理論、正整數(shù)的基數(shù)理論一切正整數(shù)組成的集合，叫做正整數(shù)集，記為一切正整數(shù)組成的集合，叫做正整數(shù)集，記為N N* * 。2022-5-12初等代數(shù)研究25（4）正整數(shù)的順序）正整數(shù)的順序定義定義2 2 設(shè)非空有限集合設(shè)非空有限集合A和和B的基數(shù)分別的基數(shù)分別a和和b （1）若）若A B ，則稱，則稱a等于等于b，記作，記作a=b （2）若）若A A B ，則稱，則稱a大于大于b，記作，記作ab （圖示）（圖示） （3）若）若A B BB ，則稱，則稱a小于小于b，記作，記作ab 定

18、理定理1 1 自然數(shù)順序關(guān)系具有下列性質(zhì)：自然數(shù)順序關(guān)系具有下列性質(zhì)： 設(shè)設(shè)a，b N*,當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)ab時，時， ba(對逆性對逆性) 設(shè)設(shè)a，b N*,若若ab且且bc，則，則a c(傳遞性傳遞性) 對任意對任意a，b N* ，在，在ab，a=b，ab中有中有 且只有且只有 一個成立一個成立（正整數(shù)的全序性（三歧性）（正整數(shù)的全序性（三歧性） 1 數(shù)系的擴(kuò)展1、正整數(shù)的基數(shù)理論、正整數(shù)的基數(shù)理論自然數(shù)的相等關(guān)系具有自然數(shù)的相等關(guān)系具有反身性、對稱反身性、對稱 性、傳性、傳遞性自然數(shù)的相等關(guān)遞性自然數(shù)的相等關(guān)系是一系是一 個等價關(guān)系個等價關(guān)系2022-5-12初等代數(shù)研究26（5）正整數(shù)

19、的加法運(yùn)算）正整數(shù)的加法運(yùn)算 定義定義3 3 設(shè)設(shè)A和和B是非空有限集，是非空有限集，AB= ， |A|= a，|B|=b，如果，如果AB=C，則稱，則稱|C|=c為為a與與b的和，記作的和，記作a+b=c其中其中a，b叫做加數(shù)，求和的運(yùn)算叫做加法叫做加數(shù)，求和的運(yùn)算叫做加法. 定理定理2 2 自然數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律和加法單調(diào)律自然數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律和加法單調(diào)律（1） a+b=b+a 交換律交換律（2）（）（a+b)+c=a+(b+c) 結(jié)合律結(jié)合律（3） ab a+cb+c a=b a+c=b+c 加法單調(diào)律加法單調(diào)律 ab a+cb 則則 a cb c a=b 則則 a c

20、=b c ab 則則 a cb c 1 數(shù)系的擴(kuò)展1、正整數(shù)的基數(shù)理論、正整數(shù)的基數(shù)理論2022-5-12初等代數(shù)研究29（7）正整數(shù)的減法和除法）正整數(shù)的減法和除法定義定義5 5 設(shè)設(shè)a、bN* * ，如果存在一個正整數(shù)，如果存在一個正整數(shù)c，使得，使得b+c=a，那么那么c叫做叫做a與與b的差，記作的差，記作a-b=c。 a叫做被減數(shù)，叫做被減數(shù)，b叫做減數(shù)。求兩數(shù)差的運(yùn)算叫做減法叫做減數(shù)。求兩數(shù)差的運(yùn)算叫做減法定義定義6 6 設(shè)設(shè)a、bN* * ，如果存在一個正整數(shù)，如果存在一個正整數(shù)c，使得，使得b c=a，那么那么c叫做叫做a除以除以b的商，記作的商，記作ab=c（或（或a/b=c）

21、。）。a叫叫做被除數(shù)，做被除數(shù)，b叫做除數(shù)。求兩數(shù)商的運(yùn)算叫做除法。叫做除數(shù)。求兩數(shù)商的運(yùn)算叫做除法。1 數(shù)系的擴(kuò)展1、正整數(shù)的基數(shù)理論、正整數(shù)的基數(shù)理論2022-5-12初等代數(shù)研究30 基數(shù)理論刻畫了正整數(shù)在數(shù)量上的意義，但沒有很基數(shù)理論刻畫了正整數(shù)在數(shù)量上的意義，但沒有很好地揭示正整數(shù)在順序上的意義。也沒有給出加法、好地揭示正整數(shù)在順序上的意義。也沒有給出加法、乘法運(yùn)算的具體方法。序數(shù)理論彌補(bǔ)了這一缺陷。乘法運(yùn)算的具體方法。序數(shù)理論彌補(bǔ)了這一缺陷。 正整數(shù)的序數(shù)理論，是意大利數(shù)學(xué)家皮亞諾在他的正整數(shù)的序數(shù)理論，是意大利數(shù)學(xué)家皮亞諾在他的算術(shù)原理新方法算術(shù)原理新方法（1889年）中提出的他

22、用公理年）中提出的他用公理化方法從順序著眼揭示了自然數(shù)的意義，并給出正整化方法從順序著眼揭示了自然數(shù)的意義，并給出正整數(shù)加、乘運(yùn)算的歸納定義數(shù)加、乘運(yùn)算的歸納定義.1 數(shù)系的擴(kuò)展2、正整數(shù)的序數(shù)理論、正整數(shù)的序數(shù)理論2022-5-12初等代數(shù)研究31 （一）皮亞諾公理（一）皮亞諾公理 定義定義7 7 一個非空集合一個非空集合N* *的元素叫做正整數(shù)的元素叫做正整數(shù), ,如果如果N* *的元的元素之間有一個基本關(guān)系素之間有一個基本關(guān)系“后繼后繼”(b(b后繼于后繼于a,a,記為記為b=a)b=a)，并滿足下列公理：，并滿足下列公理：（1 1）11N* *。即。即N N* *中存在一個元素中存在一

23、個元素1 1；（2 2） a a N* *，有，有a1a1。即。即1 1不是任何元素的后繼；不是任何元素的后繼；（3 3） a a N* *，存在，存在a a N* *；（4）若）若aa= bb（ a a，b b N* * ），則），則a=ba=b。即。即N* *中任一中任一元素不會是兩個不同元素的后繼。元素不會是兩個不同元素的后繼。1 數(shù)系的擴(kuò)展2、正整數(shù)的序數(shù)理論、正整數(shù)的序數(shù)理論2022-5-12初等代數(shù)研究321 數(shù)系的擴(kuò)展2、正整數(shù)的序數(shù)理論、正整數(shù)的序數(shù)理論（一）皮亞諾公理（一）皮亞諾公理（5）（歸納公理）如果）（歸納公理）如果M是是N*的一個子集，且的一個子集，且 1M； 若若a

24、M，則，則aM. 那么，那么，M= N*. 有了這組公理就把正整數(shù)集里的元素完全定下來了。有了這組公理就把正整數(shù)集里的元素完全定下來了。從從1出發(fā)，記出發(fā)，記 1 = 2，2 = 3，如此繼續(xù)下去，就，如此繼續(xù)下去，就得到正整數(shù)數(shù)列：得到正整數(shù)數(shù)列：1，2，3，4，2022-5-12初等代數(shù)研究33定義定義8 8. .正整數(shù)的加法是指這樣的對應(yīng)：對于每一正整數(shù)的加法是指這樣的對應(yīng)：對于每一對正整數(shù)對正整數(shù)a a、b b，有且僅有一個正整數(shù)（記為，有且僅有一個正整數(shù)（記為a+ba+b）與之對應(yīng)，且具有下列性質(zhì)：）與之對應(yīng)，且具有下列性質(zhì)：（1 1）對任意）對任意aaN* *，a+1=aa+1=a

25、，（2 2）對任意）對任意a a、bNbN* *，a+ba+b= = (a+ba+b)，其中其中a a、b b稱為加數(shù)，稱為加數(shù)，a+ba+b稱為稱為a a、b b的和的和. . （二）正整數(shù)的加法（二）正整數(shù)的加法2、正整數(shù)的序數(shù)理論、正整數(shù)的序數(shù)理論1 數(shù)系的擴(kuò)展2022-5-12初等代數(shù)研究34定義定義8 8. .正整數(shù)的加法是指這樣的對應(yīng)：對于每一對正整數(shù)正整數(shù)的加法是指這樣的對應(yīng)：對于每一對正整數(shù)a a、b b，有，有且僅有一個正整數(shù)（記為且僅有一個正整數(shù)（記為a+ba+b）與之對應(yīng)，且具有下列性質(zhì)：）與之對應(yīng)，且具有下列性質(zhì)：（1 1）對任意）對任意aaN* *，a+1=aa+1=

26、a，（2 2）對任意）對任意a a、bNbN* *，a+ba+b= = (a+ba+b)，其中，其中a a、b b稱為加數(shù)，稱為加數(shù)，a+ba+b稱稱為為a a、b b的和的和. . （二）正整數(shù)的加法（二）正整數(shù)的加法2、正整數(shù)的序數(shù)理論、正整數(shù)的序數(shù)理論例例.根據(jù)正整數(shù)的序數(shù)理論證明：根據(jù)正整數(shù)的序數(shù)理論證明： 3+2=5.2022-5-12初等代數(shù)研究35（三）正整數(shù)的乘法（三）正整數(shù)的乘法定義定義9 9 正整數(shù)的乘法是指這樣的對應(yīng)：對于正整數(shù)的乘法是指這樣的對應(yīng)：對于每一對正整數(shù)每一對正整數(shù)a a、b b，有且僅有一個正整數(shù)，有且僅有一個正整數(shù)（記為（記為a ab b）與之對應(yīng)，且具有

27、下述性質(zhì)：）與之對應(yīng)，且具有下述性質(zhì)： （1 1）a a1=a1=a； （2 2）a ab=ab=ab+a.b+a.這里這里a a、b b稱為乘數(shù)，稱為乘數(shù)，a ab b稱為稱為a a、b b的積的積. .2、正整數(shù)的序數(shù)理論、正整數(shù)的序數(shù)理論1 數(shù)系的擴(kuò)展2022-5-12初等代數(shù)研究36（四）正整數(shù)的減法與除法的定義（四）正整數(shù)的減法與除法的定義減法減法 設(shè)設(shè)a a、bNbN* *，如果存在，如果存在xNxN，使，使b+x=ab+x=a，則稱，則稱x x為為a a減去減去b b的差，記作的差，記作a-ba-b，a a叫做被減數(shù)，叫做被減數(shù)，b b叫做減叫做減數(shù)，求兩數(shù)差的運(yùn)算叫做減法數(shù)，求

28、兩數(shù)差的運(yùn)算叫做減法. .除法除法 設(shè)設(shè)a a、bNbN* *，如果存在，如果存在xNxN* *，使使b bx=ax=a，則稱則稱x x是是a a除以除以b b的商，記作的商，記作a/ba/b，a a叫做被除數(shù)，叫做被除數(shù)，b b叫做除叫做除數(shù)，求兩數(shù)商的運(yùn)算叫做除法數(shù)，求兩數(shù)商的運(yùn)算叫做除法. .2、正整數(shù)的序數(shù)理論、正整數(shù)的序數(shù)理論1 數(shù)系的擴(kuò)展2022-5-12初等代數(shù)研究37（五）、正整數(shù)的順序關(guān)系（五）、正整數(shù)的順序關(guān)系定義定義10 10 設(shè)設(shè)a a、bNbN* *，如果存在一個正整數(shù)，如果存在一個正整數(shù)k k，使，使a=b+ka=b+k，就說，就說a a大于大于b b，記為，記為a

29、 ab b；或說或說b b小于小于a a，記為，記為b ba.a.2、正整數(shù)的序數(shù)理論、正整數(shù)的序數(shù)理論1 數(shù)系的擴(kuò)展2022-5-12初等代數(shù)研究382、正整數(shù)的序數(shù)理論、正整數(shù)的序數(shù)理論根據(jù)正整數(shù)的序數(shù)理論同樣可以證明正整數(shù)的加法、乘法滿足的各種運(yùn)算律。例例1.1.設(shè)設(shè)a a、b b、cNcN* *，證明，證明 （a+ba+b）+c = a+c = a+（b+cb+c）. .例例2.2.設(shè)設(shè)a a、b b、cNcN* *，證明：，證明：a ab b=b=ba a1 數(shù)系的擴(kuò)展2022-5-12初等代數(shù)研究39性質(zhì)性質(zhì)1 1 在正整數(shù)集中，消去律成立在正整數(shù)集中，消去律成立. .即即（1 1

30、）若）若a+c=b+ca+c=b+c，則，則a=ba=b；（2 2）若）若a ac=bc=bc c，則，則a=b. a=b. 性質(zhì)性質(zhì)2 2 在正整數(shù)集在正整數(shù)集N N* *中，中，1 1是最小數(shù)，即對于是最小數(shù)，即對于任何正整數(shù)任何正整數(shù)a a，a1.a1.3、正整數(shù)的性質(zhì)、正整數(shù)的性質(zhì)1 數(shù)系的擴(kuò)展2022-5-12初等代數(shù)研究40性質(zhì)性質(zhì)3 3（正整數(shù)的離散性）任兩個相鄰的正整數(shù)（正整數(shù)的離散性）任兩個相鄰的正整數(shù)a a與與aa之間，不存在正整數(shù)之間，不存在正整數(shù)b b，使得，使得aab ba.a.性質(zhì)性質(zhì)4 4（阿基米德性質(zhì)）對任意正整數(shù)阿基米德性質(zhì)）對任意正整數(shù)a a、b b，必有正

31、整，必有正整數(shù)數(shù)n n，使，使nanab.b. 3、正整數(shù)的性質(zhì)、正整數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)5 5（最小數(shù)原理）（最小數(shù)原理）N N* *的任何一個非空子集必有最小數(shù)的任何一個非空子集必有最小數(shù). .1 數(shù)系的擴(kuò)展2022-5-12初等代數(shù)研究41（1 1）、第一數(shù)學(xué)歸納法）、第一數(shù)學(xué)歸納法 設(shè)設(shè) f（n）是一個與正整數(shù)有關(guān)的命題，如果是一個與正整數(shù)有關(guān)的命題，如果 1 1 f（l l）成立；）成立； 2 2若若f（k）成立，則）成立，則 f（k）成立）成立. . 那么，那么，f（n）對一切正整數(shù)）對一切正整數(shù)n都成立都成立. .4、數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法1 數(shù)系的擴(kuò)展2022-5-12初等代數(shù)研究4

32、2 設(shè)設(shè) f（n）是一個與正整數(shù)有關(guān)的命題，如果）是一個與正整數(shù)有關(guān)的命題，如果 1 1 f（1 1）成立；）成立； 2 2 假設(shè)假設(shè) f（m）對所有）對所有 m 0時，稱時，稱- -a為為“負(fù)數(shù)負(fù)數(shù)”，即，即 a+(- -a)=0 (a0 ）；）； 1、負(fù)、負(fù)數(shù)的引入數(shù)的引入2022-5-12初等代數(shù)研究49 （1）加法運(yùn)算）加法運(yùn)算 （2）乘法運(yùn)算）乘法運(yùn)算 “負(fù)負(fù)得正負(fù)負(fù)得正”的一種解釋的一種解釋 （3）順序關(guān)系）順序關(guān)系 三、有理數(shù)三、有理數(shù)集及其性質(zhì)集及其性質(zhì)1 數(shù)系的擴(kuò)展1、負(fù)、負(fù)數(shù)的引入數(shù)的引入（詳見課本）（詳見課本）2022-5-12初等代數(shù)研究50三、有理數(shù)三、有理數(shù)集及其性

33、質(zhì)集及其性質(zhì)1 數(shù)系的擴(kuò)展 根據(jù)上面的嘗試、采用上述添元素法的設(shè)想可行，根據(jù)上面的嘗試、采用上述添元素法的設(shè)想可行，以下按照公理化方法給出有理數(shù)的概念。以下按照公理化方法給出有理數(shù)的概念。 2、有理數(shù)的概念、有理數(shù)的概念3、有理數(shù)的順序、有理數(shù)的順序4、有理數(shù)的運(yùn)算、有理數(shù)的運(yùn)算（詳見課本）（詳見課本）2022-5-1251三、有理數(shù)三、有理數(shù)集及其性質(zhì)集及其性質(zhì)5、有理數(shù)的性質(zhì)、有理數(shù)的性質(zhì)2022-5-12初等代數(shù)研究52三、有理數(shù)三、有理數(shù)集及其性質(zhì)集及其性質(zhì)1 數(shù)系的擴(kuò)展 數(shù)系數(shù)系對某種運(yùn)算封閉的數(shù)集。對某種運(yùn)算封閉的數(shù)集。 數(shù)環(huán)數(shù)環(huán)至少含有一個數(shù)的數(shù)集，至少含有一個數(shù)的數(shù)集，對加法、

34、對加法、減法、乘法封閉減法、乘法封閉的數(shù)系。的數(shù)系。 數(shù)域數(shù)域?qū)Τǚ忾]的數(shù)環(huán)。即對除法封閉的數(shù)環(huán)。即對加減乘除對加減乘除運(yùn)算都封閉運(yùn)算都封閉的數(shù)系。的數(shù)系。2022-5-12初等代數(shù)研究53三、有理數(shù)三、有理數(shù)集及其性質(zhì)集及其性質(zhì)1 數(shù)系的擴(kuò)展 性質(zhì)性質(zhì)1：有理數(shù)集是數(shù)域，且是最小的數(shù)域。：有理數(shù)集是數(shù)域，且是最小的數(shù)域。 注：注：Q、R、C都是數(shù)域。都是數(shù)域。 性質(zhì)性質(zhì)2：有理數(shù)域是一個有序域。：有理數(shù)域是一個有序域。 性質(zhì)性質(zhì)3： 對于對于a、bQ，有，有 （1） aba-b0； （2） a=ba-b=0 ； （3） aba-bb。 性質(zhì)性質(zhì)5（有理數(shù)的稠密性）：在任意兩個相異的有理（有

35、理數(shù)的稠密性）：在任意兩個相異的有理數(shù)之間，總存在無限多個有理數(shù)。數(shù)之間，總存在無限多個有理數(shù)。 性質(zhì)性質(zhì)6：有理數(shù)集是一個可數(shù)集：有理數(shù)集是一個可數(shù)集. 可數(shù)集可數(shù)集可與正整數(shù)列可與正整數(shù)列“1，2，3，”建立一一對建立一一對應(yīng)的集合。應(yīng)的集合。證證明明2022-5-12初等代數(shù)研究55四、實(shí)數(shù)四、實(shí)數(shù)集及其性質(zhì)集及其性質(zhì)1 數(shù)系的擴(kuò)展 性質(zhì)性質(zhì)1：實(shí)數(shù)集是一個數(shù)域。：實(shí)數(shù)集是一個數(shù)域。 性質(zhì)性質(zhì)2：實(shí)數(shù)集是有序域。：實(shí)數(shù)集是有序域。 性質(zhì)性質(zhì)3：（阿基米德性質(zhì)）：對于兩個正實(shí)：（阿基米德性質(zhì)）：對于兩個正實(shí)數(shù)數(shù)a，b，存在一個正整數(shù)，存在一個正整數(shù)n，使得，使得 nab。 性質(zhì)性質(zhì)4：實(shí)數(shù)

36、集具有稠密性。：實(shí)數(shù)集具有稠密性。 性質(zhì)性質(zhì)5： 實(shí)數(shù)集具有連續(xù)性。實(shí)數(shù)集具有連續(xù)性。 性質(zhì)性質(zhì)6：實(shí)數(shù)集是：實(shí)數(shù)集是不可數(shù)集不可數(shù)集.2022-5-12初等代數(shù)研究56四、復(fù)數(shù)四、復(fù)數(shù)集及其性質(zhì)集及其性質(zhì)1 數(shù)系的擴(kuò)展 性質(zhì)性質(zhì)1 1：復(fù)數(shù)集是一個數(shù)域。：復(fù)數(shù)集是一個數(shù)域。 性質(zhì)性質(zhì)2 2：復(fù)數(shù)集：復(fù)數(shù)集不是有序域不是有序域。 性質(zhì)性質(zhì)3 3：復(fù)數(shù)集內(nèi)，開：復(fù)數(shù)集內(nèi)，開n n次方運(yùn)算總是可實(shí)施的，次方運(yùn)算總是可實(shí)施的，任何非零復(fù)數(shù)有任何非零復(fù)數(shù)有n n個不相等的個不相等的n n次方根。次方根。 性質(zhì)性質(zhì)4 4：復(fù)數(shù)集具有稠密性。復(fù)平面上任一區(qū)：復(fù)數(shù)集具有稠密性。復(fù)平面上任一區(qū)域里，都有無限多

37、個復(fù)數(shù)。域里，都有無限多個復(fù)數(shù)。 性質(zhì)性質(zhì)5 5： 復(fù)數(shù)在復(fù)平面上的分布是連續(xù)的。復(fù)數(shù)在復(fù)平面上的分布是連續(xù)的。57韋達(dá)（1540-1603） 法國數(shù)學(xué)家，年法國數(shù)學(xué)家，年青時學(xué)習(xí)法青時學(xué)習(xí)法律當(dāng)過律師，后從事政治活動，律當(dāng)過律師，后從事政治活動，當(dāng)過議會議員，在西班牙的戰(zhàn)當(dāng)過議會議員，在西班牙的戰(zhàn)爭中曾為政府破譯敵軍密碼。爭中曾為政府破譯敵軍密碼。韋達(dá)還致力于數(shù)學(xué)研究，第一韋達(dá)還致力于數(shù)學(xué)研究，第一個有意識地和系統(tǒng)地使個有意識地和系統(tǒng)地使用字母來表示用字母來表示 已知數(shù)、未知數(shù)及其乘冪，帶來了代數(shù)理已知數(shù)、未知數(shù)及其乘冪，帶來了代數(shù)理論研究的重大進(jìn)步。韋達(dá)討論了方程根的多種有理變換，論研究的重大進(jìn)步。韋達(dá)討論了方程根的多種有理變換，發(fā)現(xiàn)了方程根與分?jǐn)?shù)的關(guān)系，韋達(dá)在歐洲被尊稱為發(fā)現(xiàn)了方程根與分?jǐn)?shù)的關(guān)系，韋達(dá)在歐洲被尊稱為“代代數(shù)學(xué)之父數(shù)學(xué)之父”。1579年，韋達(dá)出版年，韋達(dá)出版應(yīng)用于三角形