《間斷點及其分類》ppt課件

1、1.5.1.5.4 4 間斷點及其分類間斷點及其分類 如果函數(shù))(xf有下列三種情況之一：（1） 在xx沒有定義；（2） 雖在xx有定義，但)(limxfxx不存在；（3） 雖在xx有定義，且)(limxfxx存在，但)()(limxfxfxx， 則xxf )(在點不連續(xù)。1 1. .間間斷斷點點的的定定義義定定義義 3 3 若函數(shù)),()(xNxf在有定義，且xxf )(在點 不連續(xù)，則稱點)(xfx 為的不不連連續(xù)續(xù)點點（或間間斷斷點點） 。2 2. .間間斷斷點點的的分分類類（2）第第二二類類間間斷斷點點（設的是 )( xfx間斷點。 ）（1）第第一一類類間間斷斷點點 若)0(xf和)0

2、(xf都存在，則稱的是 )( xfx第一類間斷點。若)0()0(xfxf，則稱的是 )( xfx跳跳躍躍間間斷斷點點；若)0()0(xfxf，則稱的是 )( xfx可可去去間間斷斷點點。若)0(xf和)0(xf中至少有一個不存在，則是稱 x的 )(xf第二類間斷點。其中極限為者稱為無無窮窮間間斷斷點點。例1xy tan在2x處無定義， 2x是xy tan的一個間斷點。xxtanlim2，2x是xy tan的第第二二類類間間斷斷點點，且是無無窮窮間間斷斷點點。例2xy1sin在0 x處無定義， 0 x是xy1sin的一個間斷點。 xx1sinlim0不存在，0 x是xy1sin的第第二二類類間間

3、斷斷點點。例311)(2xxxf在點1x處無定義，1x是11)(2xxxf的一個間斷點。2) 1(lim11lim)(lim1211xxxxfxxx，1x是11)(2xxxf的第第一一類類間間斷斷點點，且是可可去去間間斷斷點點。若補充定義：2) 1 ( f，則 1 , 2 1 ,11)(2xxxxxf在點1x處連續(xù)。例 4設0 , 11sin0 , 0 0 , sin )(xxxxxxxxf，1sinlim)00(0 xxfx，1) 11sin(lim)00(0 xxfx，1)(lim0 xfx，但0)0(1)(lim0fxfx， 點0 x是)(xf的第第一一類類間間斷斷點點，且是可可去去間間

4、斷斷點點。若改變定義：1)0(f，則)(xf在點0 x處連續(xù)。例 5討論下列函數(shù)的連續(xù)性，并指出間斷點的類型。（1）xxexf111)(解：間斷點為0 x，1x，) (1, ,1) , 0( ,0) ,( )(在xf內(nèi)連續(xù)。xxxxexf10011lim)(lim，0 x為第第二二類類間間斷斷點點，且是無無窮窮間間斷斷點點。011lim)(lim111xxxxexf，111lim)(lim111xxxxexf，1x為第第一一類類間間斷斷點點，且是跳跳躍躍間間斷斷點點。（2） 1 , 1 ,11arctan) 1()(2xxxxxxf. 當1x時， 根據(jù)初等函數(shù)在其定義區(qū)間上是連續(xù)的結論，知)(

5、xf在) (1, 1), , 1( 1), ,(內(nèi)連續(xù)。解：)(xf是分段函數(shù)，1x是“分界點” 。011arctan) 1(lim)(lim211xxxfxx，1) 1 (f，) 1 ()(lim1fxfx，故1x為第第一一類類間間斷斷點點，且是可可去去間間斷斷點點。11arctan) 1(lim)(lim21 1 xxxfxx，11arctan) 1(lim)(lim21 1 xxxfxx，)(lim1 xfx不存在，故1x為第第一一類類間間斷斷點點，且是跳跳躍躍間間斷斷點點。1.5.1.5.5 5 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 注注：如果不是閉區(qū)間而是開區(qū)間，那么定理的結

6、論 不一定成立。 例如：) 1 , 0(1)(Cxxf，但)(xf在) 1 , 0(內(nèi)無界。定定理理 4 4（有有界界性性定定理理） 設 ,baCf ，則 , baf 在 上有界，即0 M， ,bax，有Mxf)(。xyoab)(xfy)(xf)(xf xx 定定理理 5 5（最最大大最最小小值值定定理理）設 ,baCf ，則存在 , ,baxx ， ,bax，有)()()(xfxfxf 。 （2）如果)(xf在閉區(qū)間上有間斷點，那么定理的結論 不一定成立。例如：1,0 , 10 0,0,1 , 1)(xxxxxxf在 1 , 1上無最大值和最小值。注注： （1）如果不是閉區(qū)間而是開區(qū)間，那么

7、定理的結論不 一定成立。例如：xxf)(在) 1 , 1(內(nèi)連續(xù)，但 xxf)(在) 1 , 1(內(nèi)無最大值也無最小值。xy11-1-1o定定理理 6 6（零零點點定定理理） 設 ,baCf ，且0)()(bfaf， 則至少存在一點) ,(bac，使得0)(cf。xyoab)(xfyc定理 6 的幾何意義是： 若連續(xù)曲線弧)(xfy的兩個端點位于軸 x的不同側(cè)，則這段曲線弧與軸 x至少有一個交點。定定理理 7 7（介介值值定定理理） 設 ,baCf ，且)(min,xfmbax，)(max,xfMbax，則對任意 ,Mm，都存在 ,bac，使得)(cf。定理 7 的幾何意義是：連續(xù)曲線弧)(x

8、fy與直線y 至少有一個交點。xyoab)(xfycMm 由定定理理 6 6，存在,) ,( baxxc ， 則 , xxCF ，證證明明：若Mm，則)(xf在 ,ba上為常數(shù)，結論成立。 設Mm，由定定理理 5 5，存在 , ,baxx ，使得 Mxfmxf )( ,)(。不妨設xx 。若)( )(xfxf 或，則xcxc 或取即可。且0)()(xfxF，0)()( xfxF，使得0)(cF， 若)( )(xfxf ，令 )()(xfxF，即)(cf。 證證明明：令12)(xxxf，則 1 , 0Cf ， 01)0(f，01) 1 (f， 存在) 1 , 0(c，使012)(cccf，即方程

9、012xx在) 1 , 0(內(nèi)至少有一個實數(shù)根。例 6證明方程012xx在) 1 , 0(內(nèi)至少有一個實數(shù)根。例7證明：實系數(shù)方程023cbxaxx必有實根。證證明明：令cbxaxxxf23)(，則)(xf在) ,(內(nèi)連續(xù)。 )1 (lim)(lim323 xcxbxaxxfxx，)1 (lim)(lim323 xcxbxaxxfxx，必存在)( ,2121xxxx，使得0)( , 0)(21xfxf， 而 , )(21xxxf在上連續(xù)，故由零點定理知，必存在) ,( 21xxc，使得0)(cf，即方程023cbxaxx必有實根。例 8設 ,baCf ，證明：若bxxxak21（k為某一正整數(shù)） ，則存在 ,bac，使kiixfkcf1)(1)(。證證明明： ,