理論力學 第三章

1、第三章第三章力矩與平面力偶理論力矩與平面力偶理論3-1 3-1 平面力矩的概念與計算平面力矩的概念與計算一、平面力對點之矩（力矩）力矩作用面，力矩作用面，O稱為稱為矩心矩心，O到到力的作用線的垂直距力的作用線的垂直距離離d稱為稱為力臂力臂1.1.大小：力大?。毫 F與力臂的乘積與力臂的乘積2.2.方向：轉(zhuǎn)動方向方向：轉(zhuǎn)動方向兩個要素：兩個要素：dAB力力對點之矩是對點之矩是一個代數(shù)量一個代數(shù)量力矩的絕對值等于力的大小與力臂的乘力矩的絕對值等于力的大小與力臂的乘積；積；力矩的正負：力使物體繞矩心逆時針轉(zhuǎn)力矩的正負：力使物體繞矩心逆時針轉(zhuǎn)向時為正，反之為負。向時為正，反之為負。力矩常用單位力矩常

2、用單位N Nm m或或kNkNm mdFFMO)(dAB 由圖可知，力矩大小亦可以用力由圖可知，力矩大小亦可以用力F F為底邊，矩心為底邊，矩心O O為頂為頂點所構(gòu)成的三角形面積的兩倍來表示，因此力矩又可表示點所構(gòu)成的三角形面積的兩倍來表示，因此力矩又可表示為為OABdFFMO2)(二、合力矩定理平面匯交力系平面匯交力系OROiMFMF該定理適用于任何合力存在的力系該定理適用于任何合力存在的力系 合力對某點的矩等于各個分力對合力對某點的矩等于各個分力對同一點力矩的同一點力矩的代數(shù)和代數(shù)和-合力矩定理合力矩定理力矩的幾個性質(zhì)力矩的幾個性質(zhì)(1)(1)力力F F對于對于O O點之矩不僅取決于點之矩

3、不僅取決于F F 的大小，同時還與矩心的大小，同時還與矩心O O 的位置的位置 有關(guān)。矩心位置不同，力矩隨之而異。有關(guān)。矩心位置不同，力矩隨之而異。(2)(2)力力F F 對于任一點之矩，不因該力的作用點沿其作用線移動而改對于任一點之矩，不因該力的作用點沿其作用線移動而改變變( (因力及力臂的大小均未改變因力及力臂的大小均未改變) )。(3)(3)力的大小等于零或力的作用線通過矩心時，力矩等于零。力的大小等于零或力的作用線通過矩心時，力矩等于零。(4)(4)互成平衡的兩個力對于同一點之矩的代數(shù)和等于零。互成平衡的兩個力對于同一點之矩的代數(shù)和等于零。三、力矩與合力矩的解析表達式 sincosOO

4、yOxyxMFMFMFx Fy Fx Fy F ixiiyiROFyFxFM iOROFMFM例例3-1求: .FMO解解:1:1、直接按力矩定義直接按力矩定義 cos78.93N mOMFF hF r 2、按合力矩定理、按合力矩定理cos78.93N mOOtOrMFMFMFF r,2060mmr 已知: F=1400N, 例例3-23-2求：求：解：解：由由杠桿平衡條件杠桿平衡條件0sincoslFxFyFCDBB解得解得lxFyFFBBCDsincos;,lyxFBB已知：已知：平衡時，平衡時，CD桿的拉力桿的拉力. .CDCD為二力桿，取踏板為二力桿，取踏板例例3-33-3求：求：解：

5、解：qlxqqlxqlxPl21d0由由合力矩定理合力矩定理xqlxxxqhPlldd020 得得lh32已知：已知：q,l；合力及合力作用線位置合力及合力作用線位置.取微元如圖取微元如圖計算下列各圖中力計算下列各圖中力F對對O點之矩點之矩FlFmO)(0)(FmOsin)(FlFmOFaFmO)()()(rlFFmO22sin)(baFFmO空間力對點的矩則以矢量表示空間力對點的矩則以矢量表示 力矩矢量力矩矢量( )OM Fr F （3 3）作用面：力矩作用面）作用面：力矩作用面. .（2 2）方向）方向: :轉(zhuǎn)動方向轉(zhuǎn)動方向(1(1）大?。┐笮? :力力F F與力臂的乘積與力臂的乘積三要素

6、：三要素：這部分內(nèi)容請同學們自己學習這部分內(nèi)容請同學們自己學習6 63 3 6 64 4兩節(jié)兩節(jié) 3-2 3-2 平面力偶理論平面力偶理論一一. .力偶和力偶矩力偶和力偶矩FF , 1、力偶：、力偶： 由兩個等值、反向、不共線的兩平行由兩個等值、反向、不共線的兩平行力組成的力系稱為力組成的力系稱為力偶，記作，記作 。 力偶作用效果：引起物體的轉(zhuǎn)動力偶作用效果：引起物體的轉(zhuǎn)動平面力偶兩個要素：平面力偶兩個要素：a.a.大小：力與力偶臂乘積大?。毫εc力偶臂乘積b.b.方向：轉(zhuǎn)動方向方向：轉(zhuǎn)動方向2MF dABC 2.力偶矩：力偶中兩力所在平面稱為力偶作用力偶矩：力偶中兩力所在平面稱為力偶作用面，力

7、偶兩力之間的垂直距離稱為力偶臂面，力偶兩力之間的垂直距離稱為力偶臂力偶矩的符號：力偶矩的符號：M平面力偶矩平面力偶矩M M是矢量還是標量是矢量還是標量？ 力偶矩正負規(guī)定：若力偶有使物體逆時針旋轉(zhuǎn)的趨若力偶有使物體逆時針旋轉(zhuǎn)的趨勢，力偶矩取正號；反之，取負號。勢，力偶矩取正號；反之，取負號。性質(zhì)性質(zhì)1.1.力偶沒有合力，力偶只能由力偶來平衡力偶沒有合力，力偶只能由力偶來平衡. .二二. . 力偶與力偶矩的性質(zhì)力偶與力偶矩的性質(zhì)力偶是一個不能由一個力平衡的力偶是一個不能由一個力平衡的非平衡力系非平衡力系，力偶是一個靜力學的力偶是一個靜力學的基本量基本量。力偶在任意坐標軸上的投影等于零力偶在任意坐標

8、軸上的投影等于零. FdxFxdFFMFMFFMOOO11111,性質(zhì)性質(zhì)2.2.力偶對任意點的矩恒等于力偶矩，力偶對任意點的矩恒等于力偶矩，不因矩心不因矩心的改變而改變。，因此，力偶對于物體的效應(yīng)用力的改變而改變。，因此，力偶對于物體的效應(yīng)用力偶矩度量，在平面問題中力偶矩是個代數(shù)量。偶矩度量，在平面問題中力偶矩是個代數(shù)量。FddFxFxdFFFMO 22,2力偶矩的符號力偶矩的符號 M性質(zhì)性質(zhì)3. 作用在同一平面內(nèi)的兩個力偶，若其力偶矩的作用在同一平面內(nèi)的兩個力偶，若其力偶矩的大小相等，轉(zhuǎn)向相同，則該兩個力偶彼此等效。這就大小相等，轉(zhuǎn)向相同，則該兩個力偶彼此等效。這就是平面力偶的等效定理。是

9、平面力偶的等效定理。= 推論推論1 1：只要保持力偶矩不變，力偶可在其作：只要保持力偶矩不變，力偶可在其作用面內(nèi)任意移轉(zhuǎn)。用面內(nèi)任意移轉(zhuǎn)。 推論推論2 2：可以同時改變力偶中力的大小與力臂：可以同時改變力偶中力的大小與力臂的長短，對剛體的作用效果不變的長短，對剛體的作用效果不變. .ABDABCABDABC？12RRRM FFF dABD ，,2M F FFdABC =因此，可用圓箭頭來表示力偶。因此，可用圓箭頭來表示力偶。M = F1 d=F 1 d 唯一決定平面內(nèi)力偶效應(yīng)的特征量是力偶矩的代唯一決定平面內(nèi)力偶效應(yīng)的特征量是力偶矩的代數(shù)值。即保持力偶矩不變，可以改變其力或力臂的大數(shù)值。即保持

10、力偶矩不變，可以改變其力或力臂的大小。小。F1dF2 dF2F1 =F FM=已知：;,21nMMM任選一段距離任選一段距離d d11FdMdFM1122FdMdFMnnnnFdMdFM22三三. .平面力偶系的合成和平衡條件平面力偶系的合成和平衡條件=nRFFFF21nRFFFF21=dFMRdFdFdFn21nMMM21iniiMMM1 結(jié)論結(jié)論：平面力偶系的合成結(jié)果是一個合力偶，合力偶的：平面力偶系的合成結(jié)果是一個合力偶，合力偶的力偶矩等于各個力偶的代數(shù)和力偶矩等于各個力偶的代數(shù)和iniiMMM1平面力偶系平衡的充要條件合力偶平面力偶系平衡的充要條件合力偶 M = 0= 0，平衡方程平衡

11、方程如下：如下：0iM 平面力偶系平衡的必要和充分條件是：所有各力平面力偶系平衡的必要和充分條件是：所有各力偶矩的代數(shù)和等于零。偶矩的代數(shù)和等于零。AB桿稱為桿稱為力偶與力偶平衡的桿力偶與力偶平衡的桿例例;200,20,10321mmmNmNlMMM求：求： 光滑螺柱光滑螺柱AB所受水平力所受水平力. .已知：已知： 0M0321MMMlFA解得N200321lMMMFFBA解：由力偶只能由力偶平衡的性質(zhì)，解：由力偶只能由力偶平衡的性質(zhì)，其受力圖為其受力圖為解：解：桿桿ABAB為二力桿。為二力桿。 例例 如圖所示的鉸接四連桿機構(gòu)如圖所示的鉸接四連桿機構(gòu)OABD，在桿在桿OA和和BD上分別上分別

12、作用著矩為作用著矩為 M1 和和 M2 的力偶，而使機構(gòu)在圖示位置處于平衡。的力偶，而使機構(gòu)在圖示位置處于平衡。已知已知力偶矩力偶矩M2， OA= r，DB= 2r，= 30，不計桿重，試求不計桿重，試求力偶矩力偶矩M1 的值。的值。DM2BFDFBAFOFABOM1AOBDM1M2A由于力偶只能與力偶平衡，由于力偶只能與力偶平衡， 則則AOAO桿與桿與BDBD桿的受力如圖所示。桿的受力如圖所示。M1 r FAB cos= 0 M1 = M2 / 2分別寫出桿分別寫出桿AOAO和和BDBD的平衡方程：的平衡方程： M2 + 2r FBA cos= 00iMFAB = FBA 因為因為得得FOF

13、ABOM1ADM2BFDFBA桿桿AO桿桿BD0iM 例例 曲柄曲柄OAOA長長r r，作有用力偶矩為，作有用力偶矩為M M的力偶，通過連桿的力偶，通過連桿ABAB帶動滑塊帶動滑塊B B作水平往復(fù)運動。假設(shè)在圖作水平往復(fù)運動。假設(shè)在圖a位置時，整個機構(gòu)處位置時，整個機構(gòu)處于靜止狀態(tài)，已知作用在滑塊于靜止狀態(tài)，已知作用在滑塊B B的水平力的水平力F F，角度，角度、和曲和曲柄長柄長r r，不計機構(gòu)重量、摩擦和滑塊尺寸，求作用在曲柄，不計機構(gòu)重量、摩擦和滑塊尺寸，求作用在曲柄OAOA上上的力偶的力偶M M。F(a)OABrMFOABrM取曲桿取曲桿OAOA為研究對象，由于為研究對象，由于力偶只能與

14、力偶平衡力偶只能與力偶平衡，受力受力如圖如圖b所示。所示。取滑塊取滑塊B B為研究對象，受力如圖為研究對象，受力如圖c c所示。所示。解：解：連桿連桿AB為二力體。為二力體。 (b)MOA+rFABFO(c)FBAFFBBxr FAB sin(+) M = 0 0iM由由得得FBA cos F = 0, 0 xF解得解得cos)sin( FrMxzyF1F2F31F3F2F 例 圖示是正方體剛體的一半。在圖示是正方體剛體的一半。在其中三個側(cè)面分別作用著一個力偶。其中三個側(cè)面分別作用著一個力偶。已知力偶（已知力偶（F1，F(xiàn)1）的矩的矩M1=20 Nm；力偶（力偶（F2，F(xiàn)2 ）的矩的矩M2=10 Nm；力偶（力偶（F3 ，F(xiàn)3）的矩的矩M3=30 Nm。試試求合力偶矩矢求合力偶矩矢MR。為了使這個剛體平。為了使這個剛體平衡，則還需要施加怎樣一個力偶？衡，則還需要施加怎樣一個力偶？0RxMmN 2 .1145cos32RMMMymN 2 .4145sin31RMMMz 1. .畫出各力偶矩矢。畫出各力偶矩矢。2