人口的預測和控制

1、 人口的預測和控制一、指數(shù)增長模型二、阻滯增長模型-Logistic模型三、模型的參數(shù)估計、檢驗和預報一、指數(shù)增長模型最簡單的人口增長模型是人所共知的：記今年人口為X0，K年后人口數(shù)為Xk，年增長率為r，則 Xk=X0(1+r)k （1）顯然，這個公式的基本條件是r保持不變。 200多年前英國人口學家T.Malthus調查了英國10多年前的人口統(tǒng)計資料，得出了人口增長不變的的假設，并據(jù)此建立了著名的人口指數(shù)增長模型。 記時刻t的人口為x（t），當考察一個國家或較大地區(qū)的人口時，x（t）是一個很大的整數(shù)，為了利用微積分這一數(shù)學工具，將x（t）視為連續(xù)、可微的函數(shù)。記初始時刻（t=0）的人口為x0

2、.假設人口 增長率為常數(shù)r，即單位時間內x（t）的增量 等于r乘以x（t），于是得到x（t）滿足微分方程 =rx，x（0）=x0 （2）txddtxdd 由這個方程很容易解出 x（t）=x0ert （3）r0時，（3）式表示人口按指數(shù)規(guī)律隨時間無限增長，成為指數(shù)增長模型。二、阻滯增長模型-Logistic模型 分析人口增長到一定數(shù)量后增長率下降的主要原因，人們注意到，自然資源、環(huán)境條件等因素對人口的增長起著阻滯增長，并且隨著人口的增加，阻滯作用越來越大，所謂阻滯增長模型就是考慮到這個因素，對指數(shù)增長模型的基本假設進行修改后得到的。 阻滯作用體現(xiàn)在對人口增長率r的影響上，使得r隨著人口數(shù)量x的增

3、加而下降。若將r表示為x的函數(shù)，則它應該是減函數(shù)。于是方程（2）寫作 =r(x)x，x(0)=x0 (4)對r（x）的一個最簡單的假定是，設r(x)為x的線性函數(shù)，即 r(x)=r-sx (r,s0) (5)這里稱r為固有增長率，表示人口很少時(理論上是x=0)的增長率。為了確定系數(shù)s的意義，引入自然資源和環(huán)境條件所能容納的最大人口數(shù)量xm時人口不再增長，即增長率r(xm)=0,代入(5)式的s=r/xm，于是r(x)=r(1-x/xm),將r(x)代入方程(4) 得 =rx(1- ) , x(0)=x0 (6)txddtxddmxx方程(6)右端的因子rx體現(xiàn)人口自身的增長趨勢，因子(1- )則體現(xiàn)了環(huán)境和資源對人口增長的阻滯作用。顯然，x越大，前一因子越大，后一因子越小，人口增長是兩個因子共同作用的結果，(6)式稱為阻滯增長模型。 如果以x為橫軸，以 為縱軸作出方程(6)的圖形(如圖1-1)，可以分析人口增長速