選修二5.1.2導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義（）

1、5.1.2導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義 本節(jié)課選自2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修二第四章數(shù)列，本節(jié)課主要學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義本節(jié)內(nèi)容通過分析上節(jié)中，高臺(tái)跳水問題、曲線上某點(diǎn)處切線斜率的問題，總結(jié)歸納出導(dǎo)數(shù)的概念，并引出導(dǎo)數(shù)的幾何意義。導(dǎo)數(shù)及其幾何意義是本章中的核心概念，它是研究函數(shù)的基礎(chǔ)。在學(xué)習(xí)過程中，注意特殊到一般、數(shù)形結(jié)合、極限等數(shù)學(xué)思想方法的滲透。課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)A.經(jīng)歷由平均變化率到瞬時(shí)變化率的過程，體會(huì)導(dǎo)數(shù)的概念的實(shí)際背景B.了解導(dǎo)函數(shù)的概念，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義1.數(shù)學(xué)抽象：導(dǎo)數(shù)的概念2.邏輯推理：導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)數(shù)的幾何意義 3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：求曲線在某點(diǎn)處切線的斜率 4.直觀想象：導(dǎo)數(shù)的

2、幾何意義 重點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義 難點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)中蘊(yùn)含的極限思想和以直代曲的思想方法的理解多媒體教學(xué)過程教學(xué)設(shè)計(jì)意圖核心素養(yǎng)目標(biāo)一、 新知探究前面我們研究了兩類變化率問題：一類是物理學(xué)中的問題，涉及平均速度和瞬時(shí)速度；另一類是幾何學(xué)中的問題，涉及割線斜率和切線斜率。這兩類問題來自不同的學(xué)科領(lǐng)域，但在解決問題時(shí)，都采用了由“平均變化率”逼近“瞬時(shí)變化率”的思想方法；問題的答案也是一樣的表示形式。下面我們用上述思想方法研究更一般的問題。 探究1： 對(duì)于函數(shù)y=f(x) ，設(shè)自變量x從x0變化到x0+ x ，相應(yīng)地，函數(shù)值y就從f(x0)變化到f(x+x0) 。這時(shí)，

3、 x的變化量為x，y的變化量為y=fx0+x-f(x0)我們把比值yx，即yx=fx0+x-f(x0) x叫做函數(shù)從x0到x0+x的平均變化率。1導(dǎo)數(shù)的概念如果當(dāng)x0時(shí)，平均變化率無限趨近于一個(gè)確定的值，即有極限，則稱yf (x)在xx0處_，并把這個(gè)_叫做yf (x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)(也稱為_)，記作f (x0)或_，即f (x0) .可導(dǎo)； 確定的值； 瞬時(shí)變化率； y|； ； 由導(dǎo)數(shù)的定義可知，問題1中運(yùn)動(dòng)員在t =1時(shí)的瞬時(shí)速度v(1) ，就是函數(shù)h(t)4.9t24.8t11.在t =1處的導(dǎo)數(shù)h'(1) ；問題2中拋物fx=x2線在點(diǎn)P0(1,1)處的切

4、線P0T的斜率k0，就是函數(shù)fx=x2在x =1處的導(dǎo)數(shù)f'(1) ，實(shí)際上，導(dǎo)數(shù)可以描述任何運(yùn)動(dòng)變化事物的瞬時(shí)變化率，如效率、國內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）的增長率等。例1 設(shè)fx=1x, 求f'1. 解：f'1=x0lim   f1+x-f(1) x=x0lim   11+x-1 x=x0lim   -11+x =-1利用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)(1)取極限前，要注意化簡(jiǎn)，保證使x0時(shí)分母不為0.(2)函數(shù)在x0處的導(dǎo)數(shù)f (x0)只與x0有關(guān)，與x無關(guān).(3)導(dǎo)數(shù)

5、可以描述事物的瞬時(shí)變化率，應(yīng)用非常廣泛.跟蹤訓(xùn)練1.(1)若函數(shù)yf (x)在xx0處可導(dǎo)，則 等于()Af (x0) B2f (x0) C2f (x0) D0(2)求函數(shù)y3x2在x1處的導(dǎo)數(shù)(1)Bx(x0h)(x0h)2h. 2 2f (x0)故選B.(2)解：yf (1x)f (1)3(1x)236x3(x)2，63x，f (1) (63x)6.跟蹤訓(xùn)練2建造一棟面積為x m2的房屋需要成本y萬元，y是x的函數(shù)，yf (x)0.3，求f (100)，并解釋它的實(shí)際意義 解根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，得f (100) 0.105.f (100)0.105表示當(dāng)建筑面積為100 m2時(shí)，成本增加的速度

6、為1 050元/m2. 探究2：我們知道，導(dǎo)數(shù)f'x0表示函數(shù)y=fx在x=x0處的瞬時(shí)變化率，反映了函數(shù)y=fx在x=x0附近的變化情況，那么導(dǎo)數(shù)f'x0的幾何意義是什么？觀察函數(shù)y=fx的圖像 ，平均變化率yx=fx0+x-f(x0) x表示什么?瞬時(shí)變化率f'x0=x0lim   yx=x0lim   fx0+x-f(x0) x表示什么？2導(dǎo)數(shù)的幾何意義(1)導(dǎo)數(shù)的幾何意義如圖，割線P0P的斜率k_.記xxx0，當(dāng)點(diǎn)P沿著曲線yf (x)無限趨近于點(diǎn)P0時(shí)，即當(dāng)x0時(shí)，k無限

7、趨近于函數(shù)yf (x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)，因此，函數(shù)yf (x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)f (x0)就是_的斜率k0，即k0 f (x0)；切線P0T3導(dǎo)函數(shù)對(duì)于函數(shù)yf (x)，當(dāng)xx0時(shí)，f (x0)是一個(gè)唯一確定的數(shù)，當(dāng)x變化時(shí)，f (x)便是x的一個(gè)函數(shù)，我們稱它為yf (x)的導(dǎo)函數(shù)(簡(jiǎn)稱為導(dǎo)數(shù))，即f (x)y . 例4. 如圖是高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中運(yùn)動(dòng)員的重心相對(duì)于水面的高度隨時(shí)間變化的函數(shù)h(t)4.9t24.8t11的圖像，根據(jù)圖像，請(qǐng)描述、比較曲線h(t)在t=t0,t1,t2附近的變化情況。解：我們用曲線h(t)在t=t0,t1,t2處的切線斜率，刻畫曲線h(t) 在上述三個(gè)時(shí)刻附近的變

8、化情況（1）當(dāng)t=t0時(shí)，曲線h(t)在t=t0處的切線l0平行于t軸，h't0=0,這時(shí)，在t=t0附近曲線比較平坦，幾乎沒有升降；（2）當(dāng)t=t1時(shí)，曲線h(t)在t=t1處的切線l1的斜率h't1<0,這時(shí),在t=t1附近曲線下降，即函數(shù)h(t)在t=t1附近單調(diào)遞減；（3）當(dāng)t=t2時(shí)，曲線h(t)在t=t2處的切線l2的斜率h't2<0,這時(shí),在t=t2附近曲線下降，即函數(shù)h(t)在t=t2附近單調(diào)遞減；從圖可以看出，直線l1傾斜程度小于直線l2傾斜程度，這說明曲線h(t)在t=t1附近比在t=t2附近下降得緩慢。導(dǎo)數(shù)幾何意義理解中的兩個(gè)關(guān)鍵關(guān)鍵點(diǎn)

9、一：yf (x)在點(diǎn)xx0處的切線斜率為k，則k0f (x0)0；k0f (x0)0；k0f (x0)0.關(guān)鍵點(diǎn)二：|f (x0)|越大在x0處瞬時(shí)變化越快；|f (x0)|越小在x0處瞬時(shí)變化越慢.跟蹤訓(xùn)練3(1)已知函數(shù)yf (x)的圖象如圖所示，則其導(dǎo)函數(shù)yf (x)的圖象可能是() A B CD(2)某家電制造集團(tuán)為盡快實(shí)現(xiàn)家電下鄉(xiāng)提出四種運(yùn)輸方案，據(jù)預(yù)測(cè)，這四種方案均能在規(guī)定時(shí)間T內(nèi)完成預(yù)期的運(yùn)輸任務(wù)Q0，各種方案的運(yùn)輸總量Q與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系如下所示在這四種方案中，運(yùn)輸效率(單位時(shí)間內(nèi)的運(yùn)輸量)逐步提高的是()A B C D思路探究(1)切線斜率大于零，則f (x)0；切線斜率小于

10、零，則f (x)0；(2)要明確運(yùn)輸效率的含義，題設(shè)中已經(jīng)給出運(yùn)輸效率即單位時(shí)間內(nèi)的運(yùn)輸量，因此，運(yùn)輸效率逐步提高就是指Q(t)不斷增大(1)B(2)B(1)由yf (x)的圖象及導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，當(dāng)x0時(shí)，f (x)0；當(dāng)x0時(shí)，f (x)0；當(dāng)x0時(shí)，f (x)0，故B符合(2)從函數(shù)圖象上看，要求圖象在0，T上越來越陡峭，在各選項(xiàng)中，只有B項(xiàng)中圖象的切線斜率在不斷增大，即運(yùn)輸效率(單位時(shí)間內(nèi)的運(yùn)輸量)逐步提高故選B.通過對(duì)上節(jié)兩個(gè)基本問題的回顧，引導(dǎo)學(xué)生歸納、抽象出導(dǎo)數(shù)的概念。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。 通過具體問題的思考和分析，進(jìn)一步理解導(dǎo)數(shù)的意義。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)

11、抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。通過典型例題的分析，幫助學(xué)生掌握求解函數(shù)導(dǎo)數(shù)的基本步驟。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。 通過回顧曲線上某點(diǎn)出割線與切線斜率的問題，歸納出導(dǎo)數(shù)的幾何意義，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素通過典型例題的分析和解決，幫助學(xué)生理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，及求曲線上某點(diǎn)處切線斜率的基本方法，發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。三、達(dá)標(biāo)檢測(cè)1判斷正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)函數(shù)yf (x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)即為在該點(diǎn)處的斜率，也就是kf (x0)()(2)f (x1)f

12、(x2)反映了曲線在xx1處比在xx2處瞬時(shí)變化率較大()(3)f (x0)就是導(dǎo)函數(shù)yf (x)在x0處的函數(shù)值()(4)若f (x0)0，則曲線在xx0處切線不存在()解析： (1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義知正確(2)若|f (x0)|越大，瞬時(shí)變化率越大，故錯(cuò)誤(3)根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的定義知正確(4)若f (x0)0說明曲線在xx0處切線平行于x軸，不能說不存在答案(1)(2)×(3)(4)×2已知函數(shù)yf (x)是可導(dǎo)函數(shù)，且f (1)2，則 ()A B2C1D1C由題意可得： f (1)，即： ×21.故應(yīng)選C.3已知yf (x)的圖象如圖所示，則f (xA)與f

13、(xB)的大小關(guān)系是()Af (xA)f (xB) Bf (xA)f (xB)Cf (xA)f (xB) D不能確定B解析：由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，f (xA)，f (xB)分別是切線在點(diǎn)A、B處切線的斜率，由圖象可知f (xA)f (xB)4.若曲線yx2axb在點(diǎn)(0，b)處的切線方程是xy10，則()Aa1，b1 Ba1，b1Ca1，b1 Da1，b1A解析：由題意，知ky|x0 1，a1.又點(diǎn)(0，b)在切線上，b1，故選A.5已知曲線y2x27在點(diǎn)P處的切線方程為8xy150，求切點(diǎn)P的坐標(biāo)解設(shè)切點(diǎn)P(m，n)，切線斜率為k，由y (4x2x)4x，得ky|xm4m.由題意可知4m8，m2.代入y2x27得n1.故所求切點(diǎn)P為(2，1