復(fù)變函數(shù)與積分變換課程考試大綱(一)

1、復(fù)變函數(shù)與積分變換課程考試大綱(一)（物理學(xué)、自動化、電子信息工程、信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)，54學(xué)時）一、 教 材：復(fù)變函數(shù)與積分變換（第二版），華中科技大學(xué)數(shù)學(xué)系編，高等教學(xué)出版社，2003年。二、 考試范圍： 教材第一、二、三、四、五(第4節(jié)不考)、六、八、九章的全部內(nèi)容。三、 復(fù)習(xí)的總體要求： 認(rèn)真閱讀教材及各章后面的小結(jié)，掌握概念、理解定理并能應(yīng)用定理解決一些實(shí)際問題；有關(guān)定理的證明看懂即可；熟練掌握各種形式的復(fù)積分、留數(shù)、Fourier變換和Laplace變換的計(jì)算；能在指定區(qū)域內(nèi)對復(fù)變函數(shù)進(jìn)行Taylor展開或 Laurent展開。四、復(fù)習(xí)的具體要求：第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)熟練掌握復(fù)數(shù)

2、的各種表示方法及相應(yīng)的運(yùn)算，掌握復(fù)數(shù)的性質(zhì),理解輻角的多值性以及復(fù)數(shù)與平面上點(diǎn)的一一對應(yīng)關(guān)系；了解復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)的不同點(diǎn)。理解和掌握平面點(diǎn)集的有關(guān)概念，如鄰域、去心鄰域、邊界點(diǎn)、區(qū)域、閉區(qū)域、有界集、無界集、曲線的光滑和按段光滑、簡單曲線、單連通區(qū)域和多連通區(qū)域等。了解無窮大與復(fù)球面。理解復(fù)變函數(shù)及與之相關(guān)的概念，如復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性、復(fù)變函數(shù)與映射的關(guān)系等。第二章 解析函數(shù)正確理解復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與解析函數(shù)這兩個重要概念，并熟練掌握判斷復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)與解析的方法，牢固掌握Cauchy-Reimann方程及其在函數(shù)可導(dǎo)與解析性判別中的應(yīng)用。能區(qū)別復(fù)變函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo)與一點(diǎn)解析的異同；能熟練進(jìn)行導(dǎo)數(shù)的

3、各種運(yùn)算。理解調(diào)和函數(shù)與共軛調(diào)和函數(shù)的概念，會根據(jù)解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系求適合初始條件的解析函數(shù)。掌握各種初等函數(shù)，如指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、反三角函數(shù)等的定義及有關(guān)運(yùn)算，了解這些函數(shù)的解析區(qū)域。對根式函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的多值性、主支、單值分支等概念要正確理解。第三章 復(fù)變函數(shù)的積分 理解復(fù)變函數(shù)積分的定義和性質(zhì)以及原函數(shù)的概念；深刻理解和掌握Cauchy積分定理和Cauchy積分公式（包括高階導(dǎo)數(shù)公式），并能熟練地利用它們計(jì)算復(fù)積分。理解解析函數(shù)的平均值公式、最大模原理，了解Liouville定理。第四章 解析函數(shù)的級數(shù)表示 理解復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)及其收斂的概念，掌握復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂的判別

4、法。理解關(guān)于冪級數(shù)的Abel定理，熟練掌握計(jì)算冪級數(shù)的收斂半徑和收斂域；能熟練地用直接方法和間接方法將解析函數(shù)在指定區(qū)域內(nèi)展開成Taylor級數(shù)。理解Laurent級數(shù)的概念，掌握Laurent定理，并能熟練地將函數(shù)在指定的圓環(huán)或某點(diǎn)的去心鄰域內(nèi)展開成Laurent級數(shù)。特別要掌握將同一個函數(shù)在不同區(qū)域上展開成Taylor級數(shù)或Laurent級數(shù)的方法及其意義。第五章 留數(shù)及其應(yīng)用正確理解孤立奇點(diǎn)的定義，熟練掌握對孤立奇點(diǎn)類型的判別方法。掌握函數(shù)的零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系并能計(jì)算它們的階數(shù)。掌握復(fù)變函數(shù)留數(shù)的概念、留數(shù)定理，掌握函數(shù)在各種奇點(diǎn)處留數(shù)的計(jì)算，并能利用留數(shù)計(jì)算幾類實(shí)變量函數(shù)的定積分。第六章

5、 共形映射理解復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)的模和輻角的幾何意義，了解保角映射、共形映射的概念。掌握分式線性映射的定義及其性質(zhì)，如保形性、保對稱性和保圓性等，能比較熟練地利用分式線性映射實(shí)現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)區(qū)域（圓域、半平面或角形區(qū)域）之間的共形映射。了解初等函數(shù)及其特有的變換功能。第八章Fourier變換理解和掌握周期函數(shù)的Fourier級數(shù)的復(fù)指數(shù)形式及相關(guān)概念，如振幅、離散頻譜、離散相位譜、離散振幅譜、振幅譜、相位譜等；掌握Fourier積分、Fourier變換、Fourier逆變換的定義，能熟練地應(yīng)用定義求函數(shù)的Fourier積分和Fourier變換，了解對函數(shù)進(jìn)行Fourier變換所需的條件。掌握單位脈沖函數(shù)的定

6、義性質(zhì)及其Fourier變換。熟練掌握Fourier變換的性質(zhì)及其應(yīng)用；熟練掌握函數(shù)卷積的定義、性質(zhì)及其計(jì)算。1. Laplace變換 熟練掌握Laplace變換、Laplace逆變換及其性質(zhì)，并能利用定義熟練地求函數(shù)的Laplace變換；了解像函數(shù)、原像函數(shù)的定義。掌握卷積定理、反演積分公式，并能進(jìn)行相應(yīng)的計(jì)算。掌握利用留數(shù)計(jì)算反演積分，利用Laplace變換求解常微分方程（組）的方法。（完） 五、 試卷題型1. 單項(xiàng)選擇題； 2. 填空題; 3. 計(jì)算題; 4. 證明題. 其中, 選擇題和填空題兩類客觀題占1/3左右. (完) 大綱制定者：王建平 教授大綱審定者：盛寶懷 教授 2006年9

7、月復(fù)變函數(shù)與積分變換課程考試大綱(二)（物理學(xué)、自動化、電子信息工程、信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)，36學(xué)時）一、 教 材：復(fù)變函數(shù)與積分變換（第二版），華中科技大學(xué)數(shù)學(xué)系編，高等教學(xué)出版社，2003年。二、考試范圍： 教材第一、二、三、四、五(第3、4節(jié)不考)、八、九章的全部內(nèi)容。三、 復(fù)習(xí)的總體要求： 認(rèn)真閱讀教材及各章后面的小結(jié)，掌握概念、理解定理；有關(guān)定理的證明看懂即可；熟練計(jì)算各種形式的復(fù)積分、留數(shù)、Fourier變換和Laplace變換；能在指定區(qū)域內(nèi)對復(fù)變函數(shù)進(jìn)行Taylor展開或 Laurent展開。四、考試的具體要求：第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)熟練掌握復(fù)數(shù)的各種表示方法及相應(yīng)的運(yùn)算，掌握復(fù)

8、數(shù)的性質(zhì),理解輻角的多值性以及復(fù)數(shù)與平面上點(diǎn)的一一對應(yīng)關(guān)系。理解和掌握平面點(diǎn)集的有關(guān)概念，如鄰域、去心鄰域、邊界點(diǎn)、區(qū)域、閉區(qū)域、有界集、無界集、曲線的光滑和按段光滑、簡單曲線、單連通區(qū)域和多連通區(qū)域等。了解無窮大與復(fù)球面。理解復(fù)變函數(shù)及與之相關(guān)的概念，如復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性、復(fù)變函數(shù)與映射的關(guān)系等。第二章 解析函數(shù)正確理解復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與解析函數(shù)這兩個重要概念，并熟練握判斷復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)與解析的方法，牢固掌握Cauchy-Reimann方程及其在函數(shù)可導(dǎo)與解析性判別中的應(yīng)用。能熟練進(jìn)行導(dǎo)數(shù)的各種運(yùn)算。理解調(diào)和函數(shù)與共軛調(diào)和函數(shù)的概念，會根據(jù)解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系求適合初始條件的解析函數(shù)。掌

9、握主要幾種初等函數(shù)，如指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的定義及有關(guān)運(yùn)算，了解這些函數(shù)的解析區(qū)域。對根式函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的多值性和主支等概念有所了解。第三章 復(fù)變函數(shù)的積分理解復(fù)變函數(shù)積分的定義和性質(zhì)；深刻理解和掌握Cauchy積分定理和Cauchy積分公式（包括高階導(dǎo)數(shù)公式），并能熟練地利用它們計(jì)算復(fù)積分。了解解析函數(shù)的平均值公式和最大模原理。第四章 解析函數(shù)的級數(shù)表示 理解復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)及其收斂的概念，掌握復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂的判別法。理解關(guān)于冪級數(shù)的Abel定理，掌握計(jì)算冪級數(shù)的收斂半徑和收斂域；能熟練地用直接方法和間接方法將解析函數(shù)在指定區(qū)域內(nèi)展開成Taylor級數(shù)。理解Laurent級數(shù)的概念

10、，掌握Laurent定理，并能熟練地將函數(shù)在指定的圓環(huán)或某點(diǎn)的去心鄰域內(nèi)展開成Laurent級數(shù)。特別要掌握將同一個函數(shù)在不同區(qū)域上展開成Taylor級數(shù)或Laurent級數(shù)的方法及其意義。第五章 留數(shù)及其應(yīng)用理解孤立奇點(diǎn)的定義及其分類方法。掌握函數(shù)的零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系并能計(jì)算它們的階數(shù)。掌握復(fù)變函數(shù)留數(shù)的概念、留數(shù)定理，掌握函數(shù)在奇點(diǎn)處留數(shù)的計(jì)算。第八章Fourier變換理解和掌握周期函數(shù)的Fourier級數(shù)的復(fù)指數(shù)形式及相關(guān)概念，如振幅、離散頻譜、離散相位譜、離散振幅譜、振幅譜、相位譜等；掌握Fourier積分、Fourier變換、Fourier逆變換的定義，能熟練地應(yīng)用定義求函數(shù)的Fourier積分和Fourier變換。掌握單位脈沖函數(shù)的定義性質(zhì)及其Fourier變換。熟練掌握Fourier變換的性質(zhì)及其應(yīng)用；掌握函數(shù)卷積的定義、性質(zhì)及其計(jì)算。第九章 Laplace變換 熟練掌握Laplace變換、Laplace逆變換及其性質(zhì)，并能利用定義熟練地計(jì)算求函數(shù)的Laplace變換；了解像函數(shù)、原像函數(shù)