高考數(shù)學立體幾何大題30題

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上立體幾何大題1如下圖，一個等腰直角三角形的硬紙片ABC中，ACB90°，AC4cm，CD是斜邊上的高沿CD把ABC折成直二面角ABC第1題圖ABCD第1題圖（1）如果你手中只有一把能度量長度的直尺，應該如何確定A，B的位置，使二面角ACDB是直二面角？證明你的結論（2）試在平面ABC上確定一個P，使DP與平面ABC內(nèi)任意一條直線都垂直，證明你的結論（3）如果在折成的三棱錐內(nèi)有一個小球，求出小球半徑的最大值解：（1）用直尺度量折后的AB長，若AB4cm，則二面角ACDB為直二面角 ABC是等腰直角三角形，又 ADDC，BDDC ADC是二面角ACDB的平面角（

2、2）取ABC的中心P，連DP，則DP滿足條件 ABC為正三角形，且 ADBDCD 三棱錐DABC是正三棱錐，由P為ABC的中心，知DP平面ABC， DP與平面內(nèi)任意一條直線都垂直（3）當小球半徑最大時，此小球與三棱錐的4個面都相切，設小球球心為0，半徑為r，連結OA，OB，OC，OD，三棱錐被分為4個小三棱錐，且每個小三棱錐中有一個面上的高都為r，故有代入得，即半徑最大的小球半徑為 2如圖，已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面邊長為3，側棱長為4，連結A1B，過A作AFA1B垂足為F，且AF的延長線交B1B于E。（）求證：D1B平面AEC；（）求三棱錐BAEC的體積；（）求二面角BAEC

3、的大小.證（）ABCDA1B1C1D1是正四棱柱，D1DABCD.連AC，又底面ABCD是正方形，ACBD，由三垂線定理知 D1BAC.同理，D1BAE，AEAC = A，D1B平面AEC . 解（）VBAEC = VEABC . EB平面ABC，EB的長為E點到平面ABC的距離.RtABE RtA1AB，EB =VBAEC = VEABC =SABC·EB =××3×3× = （10分） 解（）連CF， CB平面A1B1BA，又BFAE，由三垂線定理知，CFAE .于是，BFC為二面角BAEC的平面角，在RtABE中，BF =，在RtCBF中

4、，tgBFC =， BFC = arctg.ABCA1B1C1M第3題圖即二面角BAEC的大小為arctg. 3如圖，正三棱柱ABCA1B1C1的底面邊長為1，點M在BC上，AMC1是以M為直角頂點的等腰直角三角形.（I）求證：點M為BC的中點；（）求點B到平面AMC1的距離；（）求二面角MAC1B的正切值.答案：（I）證明：AMC1是以點M為直角頂點的等腰直角三角形，AMMC1且AM=MC1在正三棱柱ABCA1B1C1中，有CC1底面ABC.C1M在底面內(nèi)的射影為CM，由三垂線逆定理，得AMCM.底面ABC是邊長為1的正三角形，點M為BC中點.（II）解法（一） 過點B作BHC1M交其延長線

5、于H. 由（I）知AMC1M，AMCB， AM平面C1CBB1. AMBH. BH平面AMC1. BH為點B到平面AMC1的距離. BHMC1CM. AM=C1M= 在RtCC1M中，可求出CC1 解法（二）設點B到平面AMC1的距離為h.則由（I）知 AMC1M，AMCB，AM平面C1CBB1AB=1，BM= （III）過點B作BIAC1于I，連結HI. BH平面C1AM，HI為BI在平面C1AM內(nèi)的射影.HIAC1，BIH為二面角MAC1B的平面角.在RtBHM中，AMC1為等腰直角三角形，AC1M=45°.C1IH也是等腰直角三角形.由C1M= 4如圖，已知多面體ABCDE中，

6、AB平面ACD，DE平面ACD，三角形ACD是正三角形，且AD=DE=2，AB=1，F(xiàn)是CD的中點 （）求證：AF平面BCE；（）求多面體ABCDE的體積；（）求二面角C-BE-D 的正切值 證：（）取CE中點M，連結FM，BM，則有四邊形AFMB是平行四邊形AF/BM，平面BCE，平面BCE，AF/平面BCE （）由于DE平面ACD，則DEAF又ACD是等邊三角形，則AFCD而CDDE=D，因此AF平面CDE又BM/AF，則BM平面CDE （）設G為AD中點，連結CG，則CGAD由DE平面ACD，平面ACD，則DECG，又ADDE=D，CG平面ADEB作GHBE于H，連結CH，則CHBECH

7、G為二面角C-BE-D的平面角 由已知AB=1，DE=AD=2，則，不難算出，5已知：ABCD是矩形，設PA=a，PA平面ABCD.M、N分別是AB、PC的中點.（）求證：MNAB；（）若PD=AB，且平面MND平面PCD，求二面角PCDA的大??；（）在（）的條件下，求三棱錐DAMN的體積.（）連結AC，AN. 由BCAB，AB是PB在底面ABCD上的射影. 則有BCPB. 又BN是RtPBC斜邊PC的中線， 即. 由PA底面ABCD，有PAAC，則AN是RtPAC斜邊PC的中線，即 又M是AB的中點， （也可由三垂線定理證明） （）由PA平面ABCD，ADDC，有PDDC. 則PDA為平面P

8、CD與平面ABCD所成二面角的平面角 由PA=a，設AD=BC=b，CD=AB=c， 又由AB=PD=DC，N是PC中點，則有DNPC 又平面MND平面PCD于ND， PC平面MND PCMN，而N是PC中點，則必有PM=MC. 此時.即二面角PCDA的大小為 （），連結BD交AC于O，連結NO，則NO PA. 且NO平面AMD，由PA=aABCDPA1B1C1D1第6題圖MN. 6如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中，P、M、N分別為棱DD1、AB、BC的中點。 （I）求二面角B1MNB的正切值； （II）證明：PB平面MNB1；（III）畫出一個正方體表面展開圖，使其滿足“有4個正方形面

9、相連成一個長方形”的條件，并求出展開圖中P、B兩點間的距離。 解：（I）連接BD交MN于F，則BFMN， 連接B1F B1B平面ABCD B1FMN 2分 則B1FB為二面角B1MNB的平面角 在RtB1FB中，設B1B=1，則 4分 （II）過點P作PEAA1，則PEDA，連接BE 又DA平面ABB1A1，PE平面ABB1A1 又BEB1M PBMB1 又MNAC，BDAC，BDMN 又PD平面ABCD PBMN，所以PB平面MNB1 11分 （III），符合條件的正方體表面展開圖可以是以下6種之一：7如圖，四棱錐PABCD的底面是正方形,PA底面ABCD，PA=AD=2，點M、N分別在棱P

10、D、PC上，且PC平面AMN.（）求證：AMPD；（）求二面角PAMN的大小；（）求直線CD與平面AMN所成角的大小. （I）證明：ABCD是正方形，CDAD，PA底面ABCD，PACD.CD平面PAD AM平面PAD，CDAM.PC平面AMN，PCAM.AM平面PCD.AMPD （II）解：AM平面PCD（已證）.AMPM，AMNM.PMN為二面角P-AM-N的平面角 PN平面AMN，PNNM.在直角PCD中，CD=2，PD=2，PC=2.PA=AD，AMPD，M為PD的中點，PM=PD=由RtPMNRtPCD，得 . 即二面角PAMN的大小為. （III）解：延長NM，CD交于點E.PC平

11、面AMN，NE為CE在平面AMN內(nèi)的射影CEN為CD（即（CE）與平在AMN所成的角 CDPD，ENPN，CEN=MPN.在RtPMN中，CD與平面AMN所成的角的大小為 8如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB=90°. BC=CC1=a，AC=2a.（I）求證：AB1BC1；（II）求二面角BAB1C的大??；（III）求點A1到平面AB1C的距離.（1）證明：ABCA1B1C1是直三棱柱，CC1平面ABC， ACCC1.ACBC， AC平面B1BCC1.B1C是AB1在平面B1BCC1上的射影.BC=CC1， 四邊形B1BCC1是正方形，BC1B1C. 根據(jù)三垂線定理得，

12、AB1BC1 （2）解：設BC1B1C=O，作OPAB1于點P，連結BP.BOAC，且BOB1 C， BO平面AB1C.OP是BP在平面AB1C上的射影.根據(jù)三垂線定理得，AB1BP.OPB是二面角BAB1C的平面角 OPB1ACB1， 在RtPOB中，二面角BAB1C的大小為 （3）解：解法1 A1C1/AC，A1C1平面AB1C，A1C1/平面AB1C. 點A1到平面AB1C的距離與點C1到平面AB1C.的距離相等.BC1平面AB1C， 線段C1O的長度為點A1到平面AB1C的距離.點A1到平面AB1C的距離為 解法2連結A1C，有，設點A1到平面AB1C的距離為h.B1C1平面ACC1A

13、1， ，又， 點A1到平面AB1C的距離為 9在長方體ABCDA1B1C1D1中，已知AB=BC=2，BB1=3，連接BC1，過B1作B1EBC1交CC1于點E ()求證：AC1平面B1D1E； ()求三棱錐C1B1D1E1的體積； ()求二面角EB1D1C1的平面角大小(1)證明：連接A1C1交B1D1于點OABCDA1B1C1D1是長方體AA1平面A1B1C1D1，A1C1是AC1在平面A1B1C1D1上的射影AB=BC，A1C1B1D1，根據(jù)三垂線定理得：AC1B1D1； AB平面BCC1B1，且BC1B1E，AC1B1EB1D1B1E=B1，AC1平面B1D1E1 (2)解：在RTBB

14、1C1中，在RTEC1B1中，C1E=B1C1·tgC1B1E=B1C1·ctgBC1B1=2， VC1B1D1E = VD1B1C1E = (3)解：連接OE，B1C1E1 D1C1E1 ， B1E=D1EO是B1D1中點， B1D1OE，C1OE是二面角EB1D1C1的平面角 在RTOC1E中，所以，二面角EB1D1C1的平面角為， 10在矩形ABCD中，AB4，BC3，E為DC的中點，沿AE將AED折起，使二面角DAEB為60 （）求DE與平面AC所成角的大??；（）求二面角DECB的大小ADBCEABCED第10題圖答案：如圖1，過點D作DMAE于M，延長D

15、M與BC交于N，在翻折過程中DMAE，MNAE保持不變，翻折后，如圖2，DMN為二面角DAEB的平面角，DMN60 ，AE平面DMN，又因為AE平面AC，則AC平面DMN （）在平面DMN內(nèi)，作DOMN于O，平面AC平面DMN，DO平面AC連結OE，DOOE，DEO為DE與平面AC所成的角如圖1，在直角三角形ADE中，AD3，DE2，如圖2，在直角三角形DOM中，在直角三角形DOE中，則DE與平面AC所成的角為 （）如圖2，在平面AC內(nèi)，作OFEC于F，連結DF，DO平面AC，DFEC，DFO為二面角DECB的平面角如圖1，作OFDC于F，則RtEMDRtOFD，如圖2，在RtDOM

16、中，OMDMcosDMODM·cos60 如圖1，在RtDFO中，二面角DECB的大小為 11直三棱柱ABCA1B1C1中，ACCBAA12，ACB90°，E是BB1的中點，DAB，A1DE90°.（）求證：CD平面ABB1A1；（）求二面角DA1CA的大小.（）解：12如圖，已知斜三棱柱ABCA1B1C1中，BCA=90°，AC=BC=a，點A1在底面ABC上的射影ABB1C1A1DC恰為AC的中點D，BA1AC1。（I）求證：BC平面A1ACC1； （II）求點A1到AB的距離（III）求二面角BAA1C的正切值 解：答案：如圖，已知斜三棱

17、柱ABCA1B1C1中，BCA=90°，AC=BC=a，點A1在底面ABC上的射影恰為AC的中點D，BA1AC1。（I）求證：BC平面A1ACC1； （II）求點A1到AB的距離（III）求二面角BAA1C的正切值 解：（1）由題意，A1D平面ABC，A1DBC。又ACBC，BC平面A1ACC1（II）過D作DHAB于H，又A1D平面ABC，ABA1HA1H是H1到AB的距離BA1AC1，BC平面A1ACC1，由三垂線定理逆定理，得A1CAC1 A1ACC1是菱形 A1A=AC=a, A1D=.13如圖，正三棱柱AC1中，AB=2，D是AB的中點，E是A1C1的中點，F(xiàn)是B1B中點，

18、異面直線CF與DE所成的角為90°. （1）求此三棱柱的高； （2）求二面角CAFB的大小.解：（1）取BC、C1C的中點分別為H、N，連結HC1，連結FN，交HC1于點K，則點K為HC1的中點，因FN/HC，則HMCFMK，因H為BC中點BC=AB=2，則KN=，則HM=，在RtHCC1，HC2=HM·HC1，解得HC1=，C1C=2.另解：取AC中點O，以OB為x軸，OC為y軸，按右手系建立空間坐標系，設棱柱高為h，則C（0，1，0），F(xiàn)（），D（），E（0，0，h），由CFDE，得，解得h=2. （2）連CD，易得CD面AA1B1B，作DGAF，連CG，由三垂線定理得

19、CGAF，所以CGD是二面角CAFB的平面角，又在RtAFB中，AD=1，BF=1，AF=，從而DG=tanCGD=，故二面角CAFB大小為arctan.14.已知ABCD是矩形，PD平面ABCD，PD=DC=a，M、N分別是AD、PB的中點。（）求證：平面MNC平面PBC；（）求點A到平面MNC的距離。解：（I）連PM、MB PD平面ABCD PDMD1分PM=BM 又PN=NB MNPB3分得NCPBPB平面MNC5分 平面PBC平面MNC平面PBC6分（II）取BC中點E，連AE，則AE/MCAE/平面MNC，A點與E點到平面MNC的距離相等7分取NC中點F，連EF，則EF平行且等于BN

20、 BN平面MNC EF平面MNC，EF長為E點到平面MNC的距離9分 PD平面ABCD，BCDC BCPC. 即點A到平面MNC的距離為12分15如圖，正三棱柱ABCA1B1C1的底面邊長的3，側棱AA1=D是CB延長線上一點，且BD=BC. （）求證：直線BC1/平面AB1D； （）求二面角B1ADB的大小； （）求三棱錐C1ABB1的體積. （）證明：CD/C1B1，又BD=BC=B1C1， 四邊形BDB1C1是平行四邊形， BC1/DB1.又DB1平面AB1D，BC1平面AB1D，直線BC1/平面AB1D.（）解：過B作BEAD于E，連結EB1，B1B平面ABD，B1EAD ，B1EB是

21、二面角B1ADB的平面角，BD=BC=AB，E是AD的中點， 在RtB1BE中，B1EB=60°。即二面角B1ADB的大小為60° （）解法一：過A作AFBC于F，B1B平面ABC，平面ABC平面BB1C1C，AF平面BB1C1C，且AF= 即三棱錐C1ABB1的體積為 解法二：在三棱柱ABCA1B1C1中， 即三棱錐C1ABB1的體積為16如圖，正三棱柱ABCA1B1C1，BC=BB1=1，D為BC上一點，且滿足ADC1D.（I）求證：截面ADC1側面BC1；（II）求二面角CAC1D的正弦值；（III）求直線A1B與截面ADC1距離.（I）由題知：4分I（II）故CEF

22、為二面角CAC1D的平面角6分在RtC1CD中，求出8分（III）A1B面AC1D，設B到面ADC1距離為d10分12分注：其他證法相應給分17如圖，在底面是直角梯形的四棱錐中，ADBC，ABC90°，且，又PA平面ABCD，AD3AB3PA3a。 （I）求二面角PCDA的正切值； （II）求點A到平面PBC的距離。解：（1）在底面ABCD內(nèi)，過A作AECD，垂足為E，連結PE PA平面ABCD，由三垂線定理知：PECD PEA是二面角PCDA的平面角2分 在中， 4分 在中， 二面角PCDA的正切值為6分 （II）在平面APB中，過A作AHPB，垂足為H PA平面ABCD，PABC

23、 又ABBC，BC平面PAB 平面PBC平面PAB AH平面PBC 故AH的長即為點A到平面PBC的距離10分 在等腰直角三角形PAB中，所以點A到平面PBC的距離為12分18直角梯形ABCD中，BCAD，ADAB，VA平面ABCD。 （1）求證：VCCD。 （2）若，求CV與平面VAD所成的角。（1）連結AC 取AD中點G，連CG，則ABCG為正方形 又 （4分） VA平面ABCD，DCAC 由三垂線定理：VCCD（6分） （2）連VG，由面VAD 是CV與平面VAD所成的角（9分） CV與平面VAD所成角為（12分）19如圖，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1=AB，點E、M分別

24、為A1B、C1C的中點，過點A1，B，M三點的平面A1BMN交C1D1于點N. （）求證：EM平面A1B1C1D1； （）求二面角BA1NB1的正切值.（A）（）證明：取A1B1的中點F，連EF，C1FE為A1B中點EF BB12分又M為CC1中點 EF C1M四邊形EFC1M為平行四邊形 EMFC1 4分而EM 平面A1B1C1D1 . FC1平面A1B1C1D1 .EM平面A1B1C1D16分（）由（）EM平面A1B1C1D1 EM平面A1BMN平面A1BMN平面A1B1C1D1=A1N A1N/ EM/ FC1 N為C1D1 中點過B1作B1HA1N于H，連BH，根據(jù)三垂線定理 BHA1

25、NBHB1即為二面角BA1NB1的平面角8分設AA1=a， 則AB=2a， A1B1C1D1為正方形A1H= 又A1B1HNA1D1B1H=在RtBB1H中，tanBHB1= 即二面角BA1NB1的正切值為12分（B）（）建立如圖所示空間直角坐標系，設AB=2a，AA1=a(a>0)，則A1（2a，0，a），B（2a, 2a , 0）, C（0，2a，0），C1（0，2a，a）2分E為A1B的中點，M為CC1的中點 E（2a , a , ），M（0，2a, ）EM/ A1B1C1D1 6分（）設平面A1BM的法向量為=（x, y , z ）又=（0，2a , a ） 由，得9分而平面A1

26、B1C1D1的法向量為.設二面角為，則又：二面角為銳二面角 ，11分從而12分20如圖，PA平面AC，四邊形ABCD是矩形，E、F分別是AB、PD的中點.（）求證：AF平面PCE；（）若二面角PCDB為45°，AD=2，CD=3，求點F到平面PCE的距離.（）取PC中點M，連結ME、MF. ，即四邊形AFME是平行四邊形，2/；。分AF/EM，AF平在PCE，AF平面PCE.4分（）PA平面AC，CDAD，根據(jù)三垂線定理知，CDPD PDA是二面角PCDB的平面角，則PDA=45°6分 于是，PAD是等腰直角三角形，AFPD，又AFCDAF面PCD.而EM/AF, EM面P

27、CD.又EM平面PEC, 面PEC面PCD.8分在面PCD內(nèi)過F作FHPC于H，則FH為點F到平面PCE的距離.10分由已知，PD=2，PF=PFHPCD 12分21如圖，正三棱柱AC1中，AB=2，D是AB的中點，E是A1C1的中點，F(xiàn)是B1B中點，異面直線CF與DE所成的角為90°. （1）求此三棱柱的高； （2）求二面角CAFB的大小.解：（1）取BC、C1C的中點分別為H、N，連結HC1，連結FN，交HC1于點K，則點K為HC1的中點，因FN/HC，則HMCFMK，因H為BC中點BC=AB=2，則KN=，則HM=，在RtHCC1，HC2=HM·HC1，解得HC1=，

28、C1C=2.另解：取AC中點O，以OB為x軸，OC為y軸，按右手系建立空間坐標系，設棱柱高為h，則C（0，1，0），F(xiàn)（），D（），E（0，0，h），由CFDE，得，解得h=2. （2）連CD，易得CD面AA1B1B，作DGAF，連CG，由三垂線定理得CGAF，所以CGD是二面角CAFB的平面角，又在RtAFB中，AD=1，BF=1，AF=，從而DG=tanCGD=，故二面角CAFB大小為arctan.22如圖，正方體，棱長為a，E、F分別為AB、BC上的點，且AEBFx（1）當x為何值時，三棱錐的體積最大？（2）求三棱椎的體積最大時，二面角的正切值；（3）（理科做）求異面直線與所成的角的取值

29、范圍（1），當時，三棱錐的體積最大（2）取EF中點O，由，所以就是二面角的平面角在Rt中（3）在AD上取點H使AHBFAE，則，所以（或補角）是異面直線與所成的角在Rt中，在Rt中，在RtHAE中，在中，因為，所以，23 已知，如圖四棱錐PABCD中，底面ABCD是平行四邊形，PG平面ABCD，垂足為G，G在AD上，且AG=GD，BGGC，GB=GC=2，E是BC的中點，四面體PBCG的體積為.（）求異面直線GE與PC所成的角；（）求點D到平面PBG的距離；（）若F點是棱PC上一點，且DFGC，求的值.解法一： （I）由已知PG=42如圖所示，以G點為原點建立空間直角坐標系oxyz，則B（2，

30、0，0），C（0，2，0），P（0，0，4）故E（1，1，0）異面直線GE與PC所成的角為arccos4（II）平面PBG的單位法向量點D到平面PBG的距離為8（III）設F（0，y , z）在平面PGC內(nèi)過F點作FMGC，M為垂足，則12解法二： （I）由已知PG=42在平面ABCD內(nèi)，過C點作CH/EG交AD于H，連結PH，則PCH（或其補角）就是異面直線GE與PC所成的角.3在PCH中，由余弦定理得，cosPCH=異面直線GE與PC所成的角為arccos4（II）PG平面ABCD，PG平面PBG平面PBG平面ABCD在平面ABCD內(nèi)，過D作DKBG，交BG延長線于K，則DK平面PBGDK

31、的長就是點D到平面PBG的距離6在DKG，DK=DGsin45°=點D到平面PBG的距離為8（III）在平面ABCD內(nèi)，過D作DMGC，M為垂足，連結MF，又因為DFGCGC平面MFD， GCFM由平面PGC平面ABCD，F(xiàn)M平面ABCD FM/PG由GMMD得：GM=GD·cos45°=101224如圖，已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2，M、N分別為AA1、BB1的中點，求：（I）CM與D1N所成角的余弦值；（II）異面直線CM與D1N的距離解：（I）如圖，以D為原點，DA、DC、DD1分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標系，1則C（0，2，0）、D

32、1（0，0，2）、M（2，0，1）、N （2，2，1），（2，2，1），（2， 2，1），3設CM與D1N所成的角為，則cos0為鈍角，CM與D1N所成的角為，即cos（解法2：設CM與D1N所成的角為，則cos）6（II）取DD1的中點E，分別連接EM、EB，則EMBC，EBD1N，B、C、E、M共面且D1N平面BCEM，D1到平面BCEM的距離d等于異面直線CM與D1N的距離， 8、（）·2310、即SBCEM·d而SBCEMBM·BC2d 12、解法2： 設，的法向量為（x，y，z）則，取（0，1，2）8異面直線CM與D1N的距離d 1225如圖，四棱錐PA

33、BCD的底面是正方形,PA底面ABCD，PA=AD=2，點M、N分別在棱PD、PC上，且PC平面AMN.（）求證：AMPD；（）求二面角PAMN的大?。唬ǎ┣笾本€CD與平面AMN所成角的大小. （I）證明：ABCD是正方形，CDAD，PA底面ABCD，PACD.CD平面PAD3分AM平面PAD，CDAM.PC平面AMN，PCAM.AM平面PCD.AMPD.5分 （II）解：AM平面PCD（已證）.AMPM，AMNM.PMN為二面角P-AM-N的平面角.7分PN平面AMN，PNNM.在直角PCD中，CD=2，PD=2，PC=2.PA=AD，AMPD，M為PD的中點，PM=PD=由RtPMNRtP

34、CD，得 .10分即二面角PAMN的大小為. （III）解：延長NM，CD交于點E.PC平面AMN，NE為CE在平面AMN內(nèi)的射影CEN為CD（即（CE）與平在AMN所成的角.12分CDPD，ENPN，CEN=MPN.在RtPMN中，CD與平面AMN所成的角的大小為15分26如圖，直三棱柱ABCA1B1C1中，D為棱CC1上的一動點，M、N分別為的重心（1）求證：；（2）若二面角CABD的大小為，求點C1到平面A1B1D的距離；（3）若點C在上的射影正好為M，試判斷點C1在的射影是否 為N？并說明理由解：（1）連結并延長，分別交于，連結，分別為的重心，則分別為的中點在直三棱柱中，（2）連結即為

35、二面角的平面角在中，PQ 連結同上可知，設（3）PQCC1DNM .（另解）9(B)空間向量解法：以C1為原點，如圖建立空間直角坐標系。（1） 設，依題意有： 因為M、N分別為的重心所以 （2） 因為平面ABC的法向量， 設平面ABD的法 向量 令，設二面角CABD為，則由因此 設平面A1B1D的法向量為，則設C1到平面A1B1D的距離為，則（3）若點C在平面ABD上的射影正好為M，則· 即（舍） 因為D為CC1的中點，根據(jù)對稱性可知C1在平面A1B1D的射影正好為N。27在RtABC中，ACB=30，B=90，D為AC中點，E為BD的中點，AE的延長線交BC于F，將ABD沿BD折起，二面角ABDC大小記為。BAPCFDOEPAECDFB（1） 求證：面AEF面BCD；（2） 為何值時，ABCD。（1）證明：在RtABC中，C=30，D為AC的中點，則ABD是等邊三角形又因E是BD的中點， BDAE，BDEF，折起后，AEEF=E， BD面AEF BD面BCD，面AEF面BCD。（2）過A作AP面BCD于P，則P在FE的延長線上，設BP與CD相交于Q，令AB=1，則ABD是邊長為1的等邊三角形，若ABCD，則BQCDPE=AE=又AE=折后有cosAEP=由于AEF=就是二面角ABDC的平面角，當=arccos時，ABCD28如圖，在斜三棱柱ABCA1B1C1中