CH3_4深圳大學(xué)激光器原理與技術(shù)

1、 4.3 4.3典型激光器速率方程典型激光器速率方程激光器速率方程組和參與產(chǎn)生激光過程的能級(jí)結(jié)構(gòu)和工作粒子(原子、分子等)在這些能級(jí)間的躍遷特性有關(guān)。不同激光工作物質(zhì)的能級(jí)結(jié)構(gòu)和躍遷特性可能很不相同，而且很復(fù)雜。但是，我們還是可以從中歸納出一些共同的、主要的物理過程，從而針對(duì)一些簡(jiǎn)化的、具有代表性的模型列出速率方程組，這就是所謂三能級(jí)系統(tǒng)和四能級(jí)系統(tǒng)。上述關(guān)系建立在能級(jí)無限窄，因而自發(fā)輻射是單色的假設(shè)基礎(chǔ)上。實(shí)際上，自發(fā)輻射并不是單色的，因此在建立速率方程之前，必須對(duì)上述關(guān)系式進(jìn)行必要的修正。 hnchBA 332121822121nAdtdnsp 212111212BWnWdtdnst 22

2、121nWdtdnst 221112fBfB 激光器腔內(nèi)光子數(shù)和工作物質(zhì)各有關(guān)能級(jí)上的原子數(shù)隨時(shí)間變化的微分方程組，稱為激光器速率方程組。激光器速率方程理論的出發(fā)點(diǎn)是原子的自發(fā)輻射、受激輻射和受激吸收幾率的基本關(guān)系式。第一章，唯象方法得到的關(guān)系式：一、自發(fā)輻射、受激輻射和受激吸收幾率所以，線型函數(shù)g(,0)也可理解為躍遷幾率按頻率的分布函數(shù)。P)(P),(g 0),(gAhn0212 ),(gA)(A02121 表示在總自發(fā)躍遷幾率A21中，分配在頻率處單位頻帶內(nèi)的自發(fā)躍遷幾率。其中),(gP)(P0 )(Ahn 212 21221221And )(An)dtdn(sp 22121nA)dtd

3、n(sp 以前，表示n2個(gè)原子中單位時(shí)間內(nèi)發(fā)生自發(fā)躍遷的原子總數(shù)現(xiàn)根據(jù) 進(jìn)行修正;),(gA)(A02121 譜線加寬對(duì)單位時(shí)間內(nèi)發(fā)生自發(fā)躍遷的原子總數(shù)沒有影響。再根據(jù)B21與A21的關(guān)系式：),()(8802133213321 gAhcAhcB 或)(8),()(213302121 AhcgBB 因此,在輻射場(chǎng)的作用下的總受激躍遷幾率，分配在頻率處單位頻帶內(nèi)的受激躍遷幾率: ),(gB)(B)(W0212121 ),(gB)(B),(gAhc)(Ahc)(BAhcB0212102133213321213321888 積分與輻射場(chǎng)的帶寬有關(guān)，以下對(duì)兩種極限情況進(jìn)行討論。單位時(shí)間內(nèi)，由高能級(jí)E2

4、受激輻射到低能級(jí)E1的粒子數(shù)： d),(gBnd)(Wn)dtdn(st021221221 1.原子和連續(xù)譜光輻射場(chǎng)的相互作用輻射場(chǎng)分布在的頻帶范圍內(nèi)，為單色能量密度。積分式的被積函數(shù)只在原子中心頻率0附近的很小頻率范圍()內(nèi)才有非零值。在此頻率范圍內(nèi)可近似認(rèn)為為常數(shù)。于是有：原子和連續(xù)譜場(chǎng)相互作用(4.4.6)(4.4.7)g(,0)0212021221 Bnd),(gBn)dtdn(st 0是連續(xù)譜輻射場(chǎng)在原子中心頻率0處的單色能量密度?？梢?，這和具有連續(xù)譜黑體輻射場(chǎng)一致。012112 Bn)dtdn(st 同理，有：0012122121 BWBW 或：此時(shí)積分式的被積函數(shù)只在中心頻率附近

5、的一個(gè)極窄范圍內(nèi)才有非零值。在此頻率范圍內(nèi)，g(,0)可以近似看成不變。為求此積分，可將單色能量密度表示為函數(shù)形式:=(-)2.原子和準(zhǔn)單色光輻射場(chǎng)相互作用輻射場(chǎng)的中心頻率為，帶寬為，并滿足條件0，由于激光的高度單色性，所以激光器內(nèi)的光波場(chǎng)和原子相互作用都屬于這種情況。原子和準(zhǔn)單色場(chǎng)相互作用根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)有：因此，表示頻率為的準(zhǔn)單色光輻射場(chǎng)的總能量密度，其量綱為Jm-3得：同理受激躍遷修正： dd)( ),()(),()(0212021221gBndgBndtdnst ),()(012112gBndtdnst 在頻率為的單色輻射場(chǎng)的作用下，受激躍遷幾率：物理意義：由于譜線加寬，和原子相互作用的

6、單色光的頻率并不一定要精確等于原子發(fā)光的中心頻率0才能產(chǎn)生受激躍遷，而是在=0附近一個(gè)頻率范圍內(nèi)都能產(chǎn)生受激躍遷。只是當(dāng)=0時(shí)，躍遷幾率最大；當(dāng)偏離0時(shí)，躍遷幾率急劇下降。 ),(),(0121202121gBWgBW W12，W21可表示為與Nl有關(guān)的形式： llN),(gnAffWN),(gnAW021121202121 32221112332121012120212188cnhNfBfBhnchBA),(gBW),(gBWl 激光器內(nèi)與第 l 模內(nèi)的光子數(shù)密度Nl的關(guān)系： hNl 腔內(nèi)單位體積中頻率處于附近的單位頻率間隔內(nèi)的光波模式數(shù):328cn 將分子分母同乘以光腔體積V，并令nl=N

7、lV，則得A21g(,0)是分配到頻率為處單位頻帶內(nèi)的自發(fā)輻射幾率，所以A21g(,0) /nV表示分配在光腔內(nèi)頻率為的一個(gè)模式上的自發(fā)輻射躍遷幾率，用al表示。而W21/nl是一個(gè)模式內(nèi)的一個(gè)光子引起的受激躍遷幾率，因此根據(jù)關(guān)系式一個(gè)模式內(nèi)的一個(gè)光子引起的受激躍遷幾率等于分配到同一模式上的自發(fā)躍遷幾率。lllnVngAVNVngANngAW ),(),(),(02102102121 VngAanWll ),(02121 llN),(gnAffWN),(gnAW021121202121 nl為光腔內(nèi)第l 模的總光子數(shù) llllNNgnAffWNNgnAW ),(),(),(),(0120211

8、21202102121式中v為工作物質(zhì)中的光速；21(,0)和12(,0)分別稱為發(fā)射截面和吸收截面，它們有面積的量綱，可表示為),(8),(),(8),(02022112012020221021 gAffgA 腔內(nèi)單位體積中頻率處于附近的單位頻率間隔內(nèi)的光波模式數(shù):328cn 中心頻率處的發(fā)射截面與吸收截面最大。當(dāng)=0時(shí)，均勻加寬工作物質(zhì)(具有洛侖茲線型)的發(fā)射截面:非均勻加寬工作物質(zhì)(具有高斯線型)的發(fā)射截面:HA 202212214DA 20232122142ln對(duì)于一般固體激光工作物質(zhì)來說，譜線線型函數(shù)的具體形式很難從理論上求得?？梢愿鶕?jù)上式對(duì)W21作出近似估算。設(shè)譜線的總自發(fā)輻射躍遷

9、幾率為A21，譜線寬度為，并假設(shè)A21均勻分配在所包含的所有模式上，則分配在一個(gè)模式上的自發(fā)輻射躍遷幾率: VnAVcAal2132218llNnAVnnAW 212121 nNAffVnnAffWffWll21122112211212 llllnaffWnaW121221受激輻射和受激吸收概率改寫：二、單模振蕩速率方程組激光振蕩可以在滿足振蕩條件的各種不同模式上產(chǎn)生，每一個(gè)振蕩模式是具有一定頻率(模式諧振頻率)和一定腔內(nèi)損耗的準(zhǔn)單色光(具有極窄的模式頻帶寬度)。腔內(nèi)損耗可由光腔的光子壽命R描述。首先討論激光器內(nèi)只有第 l 個(gè)模式振蕩時(shí)的單模速率方程組。?212121 WnWn21221121

10、212121WnWWnWnWn 221112fBfB ),(),(0121202121gBWgBW 122112ffBB 21122112BBWW llNNgnAW ),(),(02102121 21212121221121212121WnffnWnWWnWnWn lNnffnWnWn ),(0212121212121 1212ffnnnlNnWnWn ),(021212121 參與激光產(chǎn)生過程的有三個(gè)能級(jí)：E1E2E3三能級(jí)系統(tǒng)激光工作物質(zhì)的能級(jí)簡(jiǎn)圖。1.三能級(jí)系統(tǒng)速率方程組E2為亞穩(wěn)態(tài)能級(jí)，（激光上能級(jí)）E3為抽運(yùn)高能級(jí)?；鶓B(tài)（激光下能級(jí)）E1，E1E2E3W13A31S31S32三能級(jí)系

11、統(tǒng)激光工作物質(zhì)的能級(jí)簡(jiǎn)圖。粒子在這些能級(jí)間的躍遷過程：(1)在激勵(lì)泵源的作用下，基態(tài)E1上的粒子被抽運(yùn)到能級(jí)E3上，抽運(yùn)幾率設(shè)為W13。在光激勵(lì)情況下，W13即為受激吸收躍遷幾率。對(duì)于其他激勵(lì)方或，則W13只表示粒子在單位時(shí)間內(nèi)被抽運(yùn)到E3的幾率。 (2)到達(dá)高能級(jí)E3的粒子數(shù)時(shí)將主要以無輻射躍遷(熱弛豫)的形式極為迅速地轉(zhuǎn)移到激光上能級(jí)E2，其幾率設(shè)為S32。另外，n3也能以自發(fā)輻射(幾率A31)和無輻射躍遷(幾率S31)等方式返回基態(tài)E1。但對(duì)于一般激光工作物質(zhì)，這種消激勵(lì)過程的幾率很小，即S31S32，A31S32。W13A31S31E1E2E3S32A21S21W21W12三能級(jí)系統(tǒng)激

12、光工作物質(zhì)的能級(jí)簡(jiǎn)圖。(3)激光上能級(jí)E2一般都是亞穩(wěn)能級(jí)，在未形成集居數(shù)反轉(zhuǎn)之前，n2粒子將主要以自發(fā)躍遷(幾率A21)形式返回E1，并且A21較小，即粒子在E2上的壽命較長(zhǎng)。另外，n2粒子也可能通過無輻射躍遷(幾率S21)返回E1，一般情況下S21f2n1/f1)。一旦出現(xiàn)這種情況，則在E2和E1間的受激輻射和吸收躍遷(W21和W12)將占絕對(duì)優(yōu)勢(shì)。三能級(jí)系統(tǒng)激光工作物質(zhì)的典型例子是紅寶石晶體。紅寶石在室溫下的一些躍遷幾率數(shù)據(jù)為:S320.5107s-1； A313105s-1；A210.3103s-1；S21、S310.可以寫出各能級(jí)集居數(shù)隨時(shí)間變化的方程nnnnSnASnWnWndtd

13、nASnWndtdn 321323212122121212313231313)()(E1E2E3W13A31S31S32A21S21W21W12n為單位體積工作物質(zhì)內(nèi)的總粒子數(shù)。一般情況下S31很小，故予以忽略了。激光器光腔內(nèi)的光子數(shù)密度(單位體積內(nèi)的光子數(shù))隨時(shí)間的變化規(guī)律。若第l個(gè)模式的光子壽命為Rl，工作物質(zhì)長(zhǎng)度l等于腔長(zhǎng)L，則其光子數(shù)密度的速率方程：忽略了進(jìn)入l 模內(nèi)的少量自發(fā)輻射非相干光子。得到三能級(jí)系統(tǒng)的速率方程組：lRllNWnWndtdN 211212lRllllNvNnffndtdNnnnnSnASnvNnffndtdnASnWndtdn ),()()(),()()(0211

14、1223213232121202111222313231313對(duì)于多數(shù)激光工作物質(zhì)來說，四能級(jí)系統(tǒng)更具有代表性，因?yàn)樗哪芗?jí)系統(tǒng)更容易實(shí)現(xiàn)集居數(shù)反轉(zhuǎn)。氦氖激光器以及Nd:YAG等都屬于四能級(jí)系統(tǒng)。 2.四能級(jí)系統(tǒng)速率方程組E0E3E2E1具有四能級(jí)系統(tǒng)的激光工作物質(zhì)的能級(jí)簡(jiǎn)圖參與產(chǎn)生激光的有四個(gè)能級(jí):它的主要特點(diǎn)是，激光下能級(jí)E1不再是基態(tài)能級(jí)，因而在熱平衡狀態(tài)下處于E1的粒子數(shù)很少，有利于在E2和E1之間形成集居數(shù)反轉(zhuǎn)狀態(tài)。 各符號(hào)代表的物理意義與三能級(jí)系 統(tǒng)相同?；鶓B(tài)能級(jí)E0（抽運(yùn)過程的低能級(jí)）抽運(yùn)高能級(jí)E3、激光上能級(jí)E2（亞穩(wěn)能級(jí)）和激光下能級(jí)E1。E0E3E2E1W03W12W21S1

15、0S21S32S30A30A21具有四能級(jí)系統(tǒng)的激光工作物質(zhì)的能級(jí)簡(jiǎn)圖著重指出兩點(diǎn)。 (1)對(duì)于實(shí)際的激光工作物質(zhì)，仍有S30，A30S32，S21KT，這就保證在熱平衡情況下E1能級(jí)上的粒子數(shù)可忽略。另一方面，當(dāng)粒子由于受激輻射和自發(fā)輻射由E2躍遷到E1后，必須使它們以某種方式迅速地轉(zhuǎn)移到基態(tài)，即要求S10較大。 S10也稱為激光下能級(jí)的抽空速率。參照能級(jí)圖，根據(jù)和三能級(jí)系統(tǒng)完全相同的考慮，可得四能級(jí)系統(tǒng)的速率方程組：lRllllNvNnffndtdNnnnnnAnWnSndtdnSnASnvNnffndtdnASnWndtdn ),()()(),()()(02111223210303030

16、10103232121202111222303230303E0E3E2E1W03W12W21S10S21S32S30A30A21四能級(jí)系統(tǒng)的激光工作物質(zhì)的能級(jí)簡(jiǎn)圖忽略了n3W30項(xiàng)，因?yàn)閚3很小，故n3W30n0W03對(duì)于四能級(jí)系統(tǒng)，另有一種常見的粒子數(shù)密度速率方程的寫法:R1、R2為單位體積中，在單位時(shí)間內(nèi)激勵(lì)至E1、E2能級(jí)的粒子數(shù)；1，2為E1，E2能級(jí)的壽命，21為E2能級(jí)由于至E1能級(jí)的躍遷造成的有限壽命。前者采用激勵(lì)速率和能級(jí)壽命來描述粒子數(shù)變化速率而不涉及具體的激勵(lì)及躍遷過程；后者則忽略了激光下能級(jí)的激勵(lì)過程，對(duì)大部分激光工作物質(zhì)來說，這一忽略是允許的。可根據(jù)所研究工作物質(zhì)的激勵(lì)

17、與躍遷過程選擇或建立適用的速率方程。3232121202111222)(),()(SnASnvNnffndtdnl llvN),()nffn(nnRdtdnvN),()nffn(nRdtdn0211122212111102111222222 如果激光器中有m個(gè)模振蕩，其中第l個(gè)模的頻率：l，光子數(shù)密度：N l 光子壽命：Rl。則E2能級(jí)的粒子數(shù)密度速率方程：每個(gè)模式的頻率、損耗、g(l,0)值不同，必須建立m個(gè)光子數(shù)密度速率方程，其中第l個(gè)模的光子數(shù)密度速率方程：3232121202111222)(),()(SnASnNnffndtdnlll 三、多模振蕩速率方程lRllllNvNnffndt

18、dN ),()(0211122為簡(jiǎn)化計(jì)，假設(shè)：(1)假設(shè)各個(gè)模式的衍射損耗比腔內(nèi)工作物質(zhì)的損耗及反射鏡透射損耗小得多，因而可以認(rèn)為各個(gè)模式的損耗相同。(2)將線型函數(shù)g(l,0)用一矩形譜線g(,0)代替，并使矩形譜線的高度與譜線輪廓中心點(diǎn)的高度相等，矩形譜線所包含的面積與原有譜線包含的面積相等。即),(1),(),(00000 ggg 對(duì)洛侖茲線型與高斯線型，等效線寬:FF 2ln21,2光譜線的線型函數(shù)及等效線型函數(shù)用工作物質(zhì)的自發(fā)輻射熒光譜線寬度F統(tǒng)一表示均勻加寬線寬H和非均勻加寬線寬i.按照以上簡(jiǎn)化模型，四能級(jí)多模振蕩的速率方程：nnnnnWnSndtdnSnAnNnffndtdnSnWndtdnNNnffndtdNR 321003010103232212211122213230303211