邏輯學(xué) 第七章復(fù)合命題的重言式及重言等值式推理

1、復(fù)合命題的重言式及重言等值式推理復(fù)合命題的重言式及重言等值式推理 一、復(fù)合命題公式的分類一、復(fù)合命題公式的分類 任何復(fù)合命題都可以用簡(jiǎn)單命題和五個(gè)基本的命題聯(lián)結(jié)詞任何復(fù)合命題都可以用簡(jiǎn)單命題和五個(gè)基本的命題聯(lián)結(jié)詞的組合來表達(dá)，任何復(fù)合命題的形式都可以用命題變項(xiàng)和五個(gè)的組合來表達(dá)，任何復(fù)合命題的形式都可以用命題變項(xiàng)和五個(gè)基本的真值聯(lián)結(jié)詞的組合來表示?；镜恼嬷德?lián)結(jié)詞的組合來表示。 這樣表達(dá)出來的復(fù)合命題的形式，稱之為復(fù)合命題公式這樣表達(dá)出來的復(fù)合命題的形式，稱之為復(fù)合命題公式. .復(fù)合命題公式根據(jù)其真假情況可分成三種。復(fù)合命題公式根據(jù)其真假情況可分成三種。 1 1、重言式、重言式 重言式就是指常

2、真的公式，也就是無論命題變項(xiàng)如何賦值重言式就是指常真的公式，也就是無論命題變項(xiàng)如何賦值（即變項(xiàng)無論為真還是為假），它總是真的。例如，（即變項(xiàng)無論為真還是為假），它總是真的。例如，pppp就就是個(gè)重言式。是個(gè)重言式。 2 2、矛盾式、矛盾式 矛盾式是指常假的公式，也就是無論命題變項(xiàng)如何賦值，矛盾式是指常假的公式，也就是無論命題變項(xiàng)如何賦值，它總是它總是假的，例如，假的，例如，pppp就是個(gè)矛盾式。就是個(gè)矛盾式。 3 3、可滿足式、可滿足式 可滿足式就是指可真可假的公式，也就是在命題變項(xiàng)賦可滿足式就是指可真可假的公式，也就是在命題變項(xiàng)賦值中，復(fù)合命題公式值中，復(fù)合命題公式可能為真，也可能為假可能為

3、真，也可能為假。例如，。例如，pqpq就是個(gè)可滿足式。就是個(gè)可滿足式。 二、重言式的判定方法二、重言式的判定方法 重言式反映邏輯規(guī)律，是進(jìn)行正確推理的依據(jù)。重言式反映邏輯規(guī)律，是進(jìn)行正確推理的依據(jù)。那么如何判定一個(gè)公式是否是重言式呢？那么如何判定一個(gè)公式是否是重言式呢？下面介紹兩種判定方法。下面介紹兩種判定方法。 1 1、真值表法、真值表法 真值表，就是指能真值表，就是指能顯示一個(gè)真值形式在它的命題變項(xiàng)的各種顯示一個(gè)真值形式在它的命題變項(xiàng)的各種真值組合下所取真值的圖表。真值組合下所取真值的圖表。 真值表法的判定程序有以下三個(gè)步驟：真值表法的判定程序有以下三個(gè)步驟： 第一，找出給定真值形式里的所

4、有變項(xiàng)，列出這些變項(xiàng)的第一，找出給定真值形式里的所有變項(xiàng)，列出這些變項(xiàng)的各種真值組合情況。各種真值組合情況。 例例1 （pq) q p其中變項(xiàng)為其中變項(xiàng)為p、q，其真值組合情況為：，其真值組合情況為： 第二，公式的構(gòu)成過程，由簡(jiǎn)到繁地列舉出該公式的各第二，公式的構(gòu)成過程，由簡(jiǎn)到繁地列舉出該公式的各個(gè)組成部分，最后為該公式本身。個(gè)組成部分，最后為該公式本身。 第三，第三，根據(jù)（根據(jù)（1）（5）五個(gè)基本真值形式的真值表）五個(gè)基本真值形式的真值表，一步，一步步地計(jì)算出步地計(jì)算出每個(gè)組成部分的真值每個(gè)組成部分的真值，最后得出該公式的真值。最后得出該公式的真值。如果如果這個(gè)公式在，否則就判定它不是重言式

5、。這個(gè)公式在，否則就判定它不是重言式。 例例2 判定下列公式是否是重言式：判定下列公式是否是重言式：pp，pp，p p。用真值表法判定如下：。用真值表法判定如下： 例例2 判定下列公式是否是重言式：判定下列公式是否是重言式：pp，pp，p p。用真值表法判定如下：。用真值表法判定如下： p p pp pp p p + + + + + 可見，可見，pp為重言式，而為重言式，而pp是可滿足式，是可滿足式，p p是矛盾式。是矛盾式。例例3 用真值表法判定公式（用真值表法判定公式（pq）（qr）（pr）是）是否為重言式。否為重言式。 p q r pq qr （pq)(qr) pr （pq）(qr)(p

6、r) + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +例例3 用真值表法判定公式（用真值表法判定公式（pq）（qr）（pr）是）是否為重言式。否為重言式。 2、歸謬賦值法、歸謬賦值法 上面我們講的真值表法可用來判定各種公式是否為重言式。但是，對(duì)于含上面我們講的真值表法可用來判定各種公式是否為重言式。但是，對(duì)于含有較多命題變項(xiàng)的公式來說，盡管我們總能計(jì)算出最后的真值，用這種方法就有較多命題變項(xiàng)的公式來說，盡管我們總能計(jì)算出最后的真值，用這種方法就顯得很繁瑣。因此，我們引進(jìn)了歸謬賦值法。顯得很繁瑣。因此，我們

7、引進(jìn)了歸謬賦值法。 歸謬賦值法只適用于蘊(yùn)涵式。歸謬賦值法只適用于蘊(yùn)涵式。其主要思路是：如果一個(gè)蘊(yùn)涵式是重言式，那么該公式的變項(xiàng)無論賦什么值，其主要思路是：如果一個(gè)蘊(yùn)涵式是重言式，那么該公式的變項(xiàng)無論賦什么值，前件真而后件假是不可能的，即如果前件真而后件假，前件真而后件假是不可能的，即如果前件真而后件假，則命題變項(xiàng)在賦值時(shí)必則命題變項(xiàng)在賦值時(shí)必然導(dǎo)致邏輯矛盾。然導(dǎo)致邏輯矛盾。 例例1 判定（判定（pq） pq是否是重言式。是否是重言式。 假設(shè)這一蘊(yùn)涵式的前件（假設(shè)這一蘊(yùn)涵式的前件（pq） p為真，而后件為真，而后件q為假。為假。 則有則有 （p q） p q （1） - （2） + - （3）

8、+ + （4） + - - 其中，命題變項(xiàng)其中，命題變項(xiàng)p的賦值出現(xiàn)矛盾。既然出現(xiàn)矛盾，就表明原假設(shè)不成立的賦值出現(xiàn)矛盾。既然出現(xiàn)矛盾，就表明原假設(shè)不成立，即不可能是前件真而后假。，即不可能是前件真而后假。 所以，（所以，（pq） pq是重言式。是重言式。 從從例例1中可以看出，歸謬賦值法的判定程序可分三個(gè)步驟：中可以看出，歸謬賦值法的判定程序可分三個(gè)步驟： 第一，第一，假設(shè)被判定的公式為假，為此，要在主聯(lián)結(jié)詞下面假設(shè)被判定的公式為假，為此，要在主聯(lián)結(jié)詞下面寫上寫上“一一”； 第二，根據(jù)這一假設(shè)，即前件真而后件假，根據(jù)真值聯(lián)結(jié)第二，根據(jù)這一假設(shè)，即前件真而后件假，根據(jù)真值聯(lián)結(jié)詞的邏輯性質(zhì)，依次

9、對(duì)公式中的各部分公式賦以相應(yīng)的真值，詞的邏輯性質(zhì)，依次對(duì)公式中的各部分公式賦以相應(yīng)的真值，直到直到所有的命題變項(xiàng)被賦以確定的真值為止所有的命題變項(xiàng)被賦以確定的真值為止； 第三，檢查所有命題第三，檢查所有命題變項(xiàng)的真值，如果至少有一個(gè)命題變變項(xiàng)的真值，如果至少有一個(gè)命題變項(xiàng)賦值出現(xiàn)矛盾，那么這個(gè)被判定的公式就是重言式。項(xiàng)賦值出現(xiàn)矛盾，那么這個(gè)被判定的公式就是重言式。例例 （pq） p q例例 （pq）rp(qr) 例例 p q r p q r作業(yè)：判定下列公式是否是重言式作業(yè)：判定下列公式是否是重言式例例4 p q p q 例例 （pq） p q + + + + + - - + 因?yàn)檫@種假設(shè)未導(dǎo)

10、致矛盾，所以該公式不是重言式。因?yàn)檫@種假設(shè)未導(dǎo)致矛盾，所以該公式不是重言式。 例例 （pq）rp(qr) 這是個(gè)等值式。根據(jù)等值規(guī)則，可以將等值式化為兩個(gè)蘊(yùn)這是個(gè)等值式。根據(jù)等值規(guī)則，可以將等值式化為兩個(gè)蘊(yùn)涵式，然后分別判定兩個(gè)蘊(yùn)涵式是否是重言式。涵式，然后分別判定兩個(gè)蘊(yùn)涵式是否是重言式。 （1）（）（pq）r）（p(qr)） + - + + - - + - + - - 其中，其中，q的賦值出現(xiàn)矛盾，所以（的賦值出現(xiàn)矛盾，所以（1）式是重言式。）式是重言式。 （2）（）（p(qr)）（(pq)r） + + + + + + + 其中，其中，r的賦值出現(xiàn)矛盾，所以（的賦值出現(xiàn)矛盾，所以（2）式也是

11、重言式。）式也是重言式。 故（故（pq）r) (p(qr)是重言式。是重言式。 例例 在一起兇殺案中，偵查人員了解到以下一些情況：在一起兇殺案中，偵查人員了解到以下一些情況： （1）兇手是甲或乙或丙；）兇手是甲或乙或丙； （2）只有是盜竊殺人案，甲才是兇手；）只有是盜竊殺人案，甲才是兇手； （3）如果是盜竊殺人案，那么被害人的財(cái)物會(huì)丟失；）如果是盜竊殺人案，那么被害人的財(cái)物會(huì)丟失； （4）如果乙是兇手，那么案件發(fā)生在中午）如果乙是兇手，那么案件發(fā)生在中午12點(diǎn)以后；點(diǎn)以后； （5）案件發(fā)生在中午）案件發(fā)生在中午12點(diǎn)以前，并且被害人的財(cái)物沒有丟點(diǎn)以前，并且被害人的財(cái)物沒有丟失。失。解解 簡(jiǎn)單命

12、題用符號(hào)表示如下：簡(jiǎn)單命題用符號(hào)表示如下： p：甲是兇手：甲是兇手 q：乙是兇手：乙是兇手 r：丙是兇手：丙是兇手 s：本案是盜竊殺人案：本案是盜竊殺人案 t：被害人的財(cái)物丟失：被害人的財(cái)物丟失 u：案件發(fā)生在中午：案件發(fā)生在中午12點(diǎn)以后點(diǎn)以后 推理如下：推理如下： （1）1 pqr （2）2 s p （3）3 st （4）4 qu （5）5 u t （6）5 u （7）4、5 q （8）5 t （9）3、5 s （10）2、3、5 p （11）2、3、4、5 p q （12）1、2、3、4、5 r 例例 在一起兇殺案中，公安人員掌握了如下情況：在一起兇殺案中，公安人員掌握了如下情況： （1

13、）甲或乙是兇手；）甲或乙是兇手； （2）如果甲是兇手，那么作案地點(diǎn)不在辦公室；）如果甲是兇手，那么作案地點(diǎn)不在辦公室； （3）如果丙的證詞真實(shí)，則辦公室里有槍聲；）如果丙的證詞真實(shí)，則辦公室里有槍聲； （4）只有作案地點(diǎn)在辦公室，丙的證詞才不真實(shí)。）只有作案地點(diǎn)在辦公室，丙的證詞才不真實(shí)。 公安人員因此得出：如果辦公室里無槍聲，那么兇手是乙公安人員因此得出：如果辦公室里無槍聲，那么兇手是乙不是甲。不是甲。 問：此推理是否有效？問：此推理是否有效？ 解：簡(jiǎn)單命題用符號(hào)表示如下：解：簡(jiǎn)單命題用符號(hào)表示如下： p：甲是兇手：甲是兇手 q：乙是兇手：乙是兇手 r：作案地點(diǎn)在辦公室：作案地點(diǎn)在辦公室 s：丙證詞真實(shí)：丙證詞真實(shí) t：辦公室里有槍聲：辦公室里有槍聲 判定如