2.1-常數(shù)項級數(shù)的概念及性質(zhì)ppt課件

1、21. 1nxxx 33332.10100100010n 1 ( 1)1xx 13 0.33333 引例：引例： 用圓內(nèi)接正多邊形面積逼近圓面積用圓內(nèi)接正多邊形面積逼近圓面積.依次作圓內(nèi)接正依次作圓內(nèi)接正3 2 (0,1, 2,)nn邊形邊形, 這個和逼近于圓的面積這個和逼近于圓的面積 A .0a1 a2 a na設(shè)設(shè) a0 表表示示, 時時n即即012nAaaaa內(nèi)接正三角形面積內(nèi)接正三角形面積, ak 表示邊數(shù)表示邊數(shù)增加時增加的面積增加時增加的面積, 則圓內(nèi)接正則圓內(nèi)接正3 2n 邊形面積為邊形面積為無窮級數(shù) 無窮級數(shù)無窮級數(shù)常數(shù)項級數(shù)常數(shù)項級數(shù)冪級數(shù)冪級數(shù)第九章主要研究無限個量相加的問

2、題，包括主要研究無限個量相加的問題，包括無限個數(shù)和無限個函數(shù)相加的問題無限個數(shù)和無限個函數(shù)相加的問題 。常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì) 一、常數(shù)項級數(shù)的概念一、常數(shù)項級數(shù)的概念 二、無窮級數(shù)的基本性質(zhì)二、無窮級數(shù)的基本性質(zhì) 三、級數(shù)收斂的必要條件三、級數(shù)收斂的必要條件 第一節(jié) 第九章 1.定義：定義：給定一個數(shù)列給定一個數(shù)列123,nuuuu將各項依將各項依1nnu 即即1nnu 123 (1)nuuuu稱為常數(shù)項無窮級數(shù)稱為常數(shù)項無窮級數(shù).第第 n 項項nu叫做級數(shù)的一般項叫做級數(shù)的一般項.級數(shù)的前級數(shù)的前 n 項和項和1nnkkSu 稱為級數(shù)的部分和稱為級數(shù)的部分和.123 nuuuu次相加所構(gòu)成

3、的式子：次相加所構(gòu)成的式子： 其中其中幾個概念：幾個概念：稱稱 為級數(shù)的部分和數(shù)列為級數(shù)的部分和數(shù)列.ns簡記為簡記為123nuuuu ,11us ,212uus ,3213uuus ,21nnuuus ,一、常數(shù)項級數(shù)的概念一、常數(shù)項級數(shù)的概念無窮多個數(shù)相加的含義是什么?33331101001000103n 12345? ,limssnn 1nnu; 1sunn ns 1nnu2.級數(shù)的收斂與發(fā)散：級數(shù)的收斂與發(fā)散：ns 1nnunns limnsns12limlimlimlimnnn knnnnnssssssss 數(shù)列收斂，則它的任意子數(shù)列都收斂nnssr 21nnuu 1iinu nnr

4、lim121 ，niisuuuu nnnuuuuu3211，ssn nr )(limnnss0 nnnsslimlim顯然顯然nns lim1nnu 級級數(shù)數(shù)收收斂斂lim0nnr 3.級數(shù)的斂散性舉例：級數(shù)的斂散性舉例：nun (1)limlim2nnnn ns ns 123n 123n(1)2n n 1()2nnn aaS 111nnaa qSq 例例2. 討論等比級數(shù)討論等比級數(shù) (又稱幾何級數(shù)又稱幾何級數(shù))解：解：時時如如果果1 q12 nnaqaqaqasqaqan 1,11qaqqan lim0nnq lim1nnasq limnnq nnslim 收斂收斂 發(fā)散發(fā)散1 q1 q1

5、2 nnaqaqaqas1q 當(dāng)當(dāng)時時， nasn 發(fā)散發(fā)散1q 當(dāng)當(dāng)時時， nnnaqaqaqaaq20)0( a的斂散性的斂散性. 1q 當(dāng)當(dāng)時時，1( 1)naaaaa 111nnaa qSq lim0(1)nnqq 因而因而 nSn 為奇數(shù)為奇數(shù)n 為偶數(shù)為偶數(shù)從而從而limnnS,a0,不存在不存在 , 因此級數(shù)發(fā)散因此級數(shù)發(fā)散. 0nnaq1 q1 qnn 1)21( 1131) 1(nnn 1)23(nn 1111 首首項項其其和和為為公公比比111222 2 23 3（ ） （ ）23411113333其和為其和為1.1q 當(dāng)當(dāng)時時，1( 1)naaaaa 2035nnn 20

6、3933515nnn 解解nnnu 1232,3441 n已知級數(shù)為等比級數(shù)，已知級數(shù)為等比級數(shù)，,34 q公比公比, 1| q.原級數(shù)發(fā)散原級數(shù)發(fā)散解：解：，)11ln(nun )134232ln(nn 所以級數(shù)的部分和為：所以級數(shù)的部分和為：)1ln( n) 1ln(limlim nsnnn ns例例3. 1)11ln(nn， 判斷級數(shù)判斷級數(shù)的斂散性的斂散性.所以原級數(shù)發(fā)散所以原級數(shù)發(fā)散. 2ln 23ln 34lnnn1ln 注意：注意： 判斷斂散性的方法：判斷斂散性的方法： (1)找找,ns(2)求極限求極限().n ) 1(1 nnun，111 nn )211 (ns，111 n

7、1 )1(1nnn nnslim1 111.(1)nn n )3121( )4131()111( nn)111 (lim nn技巧技巧: 利用利用 “拆項相消拆項相消” 求求和和解解)12)(12(1 nnun),121121(21 nn)12()12(1531311 nnsn)121121(21)5131(21)311(21 nn例例5.)1211(21limlim nsnnn),1211(21 n,21 .21, 和和為為級級數(shù)數(shù)收收斂斂二、無窮級數(shù)的基本性質(zhì)常數(shù)項級數(shù)二、無窮級數(shù)的基本性質(zhì)常數(shù)項級數(shù) 函數(shù)項級數(shù)都使用）函數(shù)項級數(shù)都使用） 性質(zhì)性質(zhì)1. 若級數(shù)若級數(shù)1nnu 收斂于收斂于

8、s ,1,nnsu 則各項則各項乘以常數(shù)乘以常數(shù) c 所得級數(shù)所得級數(shù)1nncu 也收斂也收斂 ,證證: 令令1,nnkkSu 那么那么1nnkkcu ,nc S limnn cs 這說明這說明1nncu 收斂收斂 , 其和為其和為 c s . limnncS 即即其和為其和為 c s .11.nnnncucu 即即結(jié)論結(jié)論: : 級數(shù)的每一項同乘一個不為零的常數(shù)級數(shù)的每一項同乘一個不為零的常數(shù), ,斂散性不變斂散性不變. .發(fā)散級數(shù)沒有可比性11,nnnnkuu斂散性相同斂散性相同即0k 性質(zhì)性質(zhì)2. 設(shè)有兩個收斂級數(shù)設(shè)有兩個收斂級數(shù)11,nnnnsuv 則級數(shù)則級數(shù)1()nnnuv 也收斂

9、也收斂, 其和為其和為.s 證證: 令令1,nnkkSu 1,nnkkv 那那么么1()nnkkkuv nnS ()sn 這說明級數(shù)這說明級數(shù)1()nnnuv 也收斂也收斂, 其和為其和為.s 111()().nnnnnnnuvuv 即即結(jié)論結(jié)論: : 收斂級數(shù)可以逐項相加與逐項相減收斂級數(shù)可以逐項相加與逐項相減. .說明說明:(2) 若兩級數(shù)中一個收斂一個發(fā)散若兩級數(shù)中一個收斂一個發(fā)散 , 那那么么1()nnnuv 必發(fā)散必發(fā)散 . 但若二級數(shù)都發(fā)散但若二級數(shù)都發(fā)散 ,1()nnnuv 不一定發(fā)散不一定發(fā)散.例如例如, 2( 1) ,nnu 取取21( 1),nnv 0nnuv而而(1) 性

10、質(zhì)性質(zhì)2 表明收斂級數(shù)可逐項相加或減表明收斂級數(shù)可逐項相加或減 .也說明加法也說明加法的交換律及結(jié)合律在級數(shù)收斂的條件下是成立的的交換律及結(jié)合律在級數(shù)收斂的條件下是成立的.(用反證法可證用反證法可證)即即 收斂收斂+收斂收斂=收斂，收斂收斂，收斂+發(fā)散發(fā)散=發(fā)散，發(fā)散， 發(fā)散發(fā)散+發(fā)散就不一定發(fā)散發(fā)散就不一定發(fā)散151()(1)2nnn n 1151,(1)2nnnn n 解解11114 2)()nn n由由例例 ( 知( 知11511155()()nnn nn n,211是是等等比比級級數(shù)數(shù) nn，首首項項是是公公比比21, 121 q111211212,nn . 61521)1(51 nn

11、nn故故由性質(zhì)由性質(zhì)1知知性質(zhì)性質(zhì)3.在級數(shù)前面加上或去掉有限項在級數(shù)前面加上或去掉有限項, 不會影響級數(shù)不會影響級數(shù)的斂散性的斂散性.證證: 將級數(shù)將級數(shù)1nnu 的前的前 k 項去掉項去掉,1k nnu 的部分和為的部分和為1nnk llu knkSS nk nS 與與數(shù)斂散性相同數(shù)斂散性相同. 當(dāng)級數(shù)收斂時當(dāng)級數(shù)收斂時, 其和的關(guān)系為其和的關(guān)系為.kSS 極限狀況相同極限狀況相同, 故新舊兩級故新舊兩級所得新級數(shù)所得新級數(shù)n 由由于于時，時，說明說明: (1) 收斂收斂1nnu 若若1nknu 收斂收斂(2)2(1)1aa aq aqqq 由由于于2aqaq 1aqq nn kaq 1q

12、 第一項2.級數(shù)的斂散性和前有限項沒有關(guān)系級數(shù)的斂散性和前有限項沒有關(guān)系. 性質(zhì)性質(zhì)4. 收斂級數(shù)加括弧后所成的級數(shù)仍收斂于原級數(shù)收斂級數(shù)加括弧后所成的級數(shù)仍收斂于原級數(shù)的和的和.證證: 設(shè)收斂級數(shù)設(shè)收斂級數(shù)1,nnsu 若按某一規(guī)律加括弧若按某一規(guī)律加括弧,12345()()uuuuu 則新級數(shù)的部分和序列則新級數(shù)的部分和序列 (1,2,)mm 為原級數(shù)部分和為原級數(shù)部分和序列序列 (1, 2 ,)nSn 的一個子序列的一個子序列,limlimmnmnS s 因此必有因此必有例如例如 收斂加括號后收斂加括號后收斂注意注意即收斂級數(shù)去括弧后所成的級數(shù)不一定收斂即收斂級數(shù)去括弧后所成的級數(shù)不一定

13、收斂. )11()11(例例如如 1111 收斂收斂 發(fā)散發(fā)散1、(逆命題不一定成立逆命題不一定成立)加括號后的級數(shù)收斂，加括號后的級數(shù)收斂，原原級數(shù)不一定收斂級數(shù)不一定收斂.例例7 7 判斷級數(shù)的斂散性判斷級數(shù)的斂散性: :141141131131121121解解: : 考慮加括號后的級數(shù)考慮加括號后的級數(shù))()()(1411411311311211211111nn 12n221nn 而而發(fā)散, 從而原級數(shù)發(fā)散 .12nn 例例7 7 證明證明2111122nnssnnn 122nn .,s其其和和為為假假設(shè)設(shè)調(diào)調(diào)和和級級數(shù)數(shù)收收斂斂)lim(2nnnss 于是于是ss , 0 .級級數(shù)數(shù)發(fā)

14、發(fā)散散1111,.23n 調(diào)調(diào)和和級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散證明證明20()nnssn 由由( (1 1) )知知，矛盾！矛盾?。?）請熟記：調(diào)和級數(shù)請熟記：調(diào)和級數(shù)11nn 是發(fā)散的是發(fā)散的 .例例5.證明調(diào)和級數(shù)證明調(diào)和級數(shù) 是發(fā)散的是發(fā)散的 .111123n 解解: 考慮加括號后的級數(shù)考慮加括號后的級數(shù)1111111(1)()()2345678 limnns 于于是是即加括弧后的級數(shù)發(fā)散即加括弧后的級數(shù)發(fā)散 , 從而原級數(shù)發(fā)散從而原級數(shù)發(fā)散 .1易易知知每每括括弧弧內(nèi)內(nèi)的的都都大大于于2 2請熟記：調(diào)和級數(shù)請熟記：調(diào)和級數(shù)11nn 是發(fā)散的是發(fā)散的 .111111122nnnnnnk ，發(fā)散嗎？證

15、證: 1nnnuSS 1limlimlimnnnnnnuSS 0ss. 0lim nnu性質(zhì)性質(zhì)5：收收斂斂若若級級數(shù)數(shù) 1nnu 1nnus nnulim， 0nnaq1 q nnaqlim. 0limnnSs 由由已已知知注意：注意：1.反之不成立反之不成立( 是級數(shù)收斂的必要條件，不充分是級數(shù)收斂的必要條件，不充分)11ln(1)nn 例例如如1limln(1)0nn雖雖然然但它是發(fā)散的但它是發(fā)散的.1lim0nnnnuu 收斂故時級數(shù)發(fā)散11nn 又又如如1lim0nn 雖雖然然但它是發(fā)散的但它是發(fā)散的.lim0nnu 2.如果級數(shù)的一般項不趨于零如果級數(shù)的一般項不趨于零,則級數(shù)發(fā)散則

16、級數(shù)發(fā)散.(逆否命題逆否命題)1232341nn 例例如如： 所以是發(fā)散的所以是發(fā)散的.011lim nnn由于由于. 0lim nnu收收斂斂若若級級數(shù)數(shù) 1nnu 1111 例例如如：不存在不存在由于由于nnu lim1sin3nn 又又如如limsin0)3nn 由由于于不不存存在在( (1111(1) ,sinnnnnnn 又又如如lim0nnu 1nnu 此必要條件只能用于判定級數(shù)發(fā)散而不能判定收斂此必要條件只能用于判定級數(shù)發(fā)散而不能判定收斂.1lim0.nnnnuu 級級數(shù)數(shù)收收斂斂, ,若若則則u判斷級數(shù)發(fā)散的方法判斷級數(shù)發(fā)散的方法: (1)定定義義法法：limnns 不不存存在

17、在；lim3)0.(nnu (2)性性質(zhì)質(zhì)法法. .21().nnnn 例例 判判斷斷級級數(shù)數(shù)的的斂斂散散性性7 72lim()nnnn 因因為為解解2limnnnnn 120 ，21().nnnn 所所以以級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散0.nu 實際上的速度越快，的速度越快，1nnu 收斂的可能性越大收斂的可能性越大limlnlimln11nnnnnnnn 由由于于（）1ln1nnnn 例例8 8：判斷級數(shù)：判斷級數(shù) 的斂散性的斂散性. .解答：解答：1limln1(1)nnn 1 1lne 0 121().2nnn 判判斷斷級級數(shù)數(shù)的的例例斂斂散散性性9 911 ,nn 發(fā)發(fā)散散12 ,nn 發(fā)發(fā)散散111,22nnq 而而是是公公比比的的等等比比級級數(shù)數(shù).是是收收斂斂的的2,則則有有性性質(zhì)質(zhì)121().2nnn 級級數(shù)數(shù)是是發(fā)發(fā)散散的的1231nnnuuuuu nns limnns lim小結(jié)小結(jié)lim0nnu 1nnu 12nnu ， 1nnus， 1nnv 1()nnnuv .