數(shù)學(xué)__第2章_數(shù)和代數(shù)式已講

1、GCT-數(shù)學(xué)基礎(chǔ)能力測試 模塊精講班 第2章 數(shù)和代數(shù)式 主講：張乃岳一、實(shí)數(shù)第2章 數(shù)和代數(shù)式二、復(fù)數(shù)三、代數(shù)式 （整式、分式、根式）一、實(shí)數(shù)結(jié)論：1、實(shí)數(shù)的分類實(shí)數(shù)有理數(shù)無理數(shù)（無限不循環(huán)小數(shù)）整數(shù)分?jǐn)?shù),2,e實(shí)數(shù)充滿了整個數(shù)軸。o實(shí)數(shù)數(shù)軸上的點(diǎn) 2、實(shí)數(shù)的運(yùn)算 （、乘方、開方、絕對值） 實(shí)數(shù) 的 次乘方（簡稱 次方）annaaaan 設(shè) 實(shí)數(shù) ， aa的平方根： 若實(shí)數(shù) 滿足：xax2則稱 為 的平方根。xaaa的算術(shù)平方根：aa的立方根：ax3開方開平方：開立方：求平方根的運(yùn)算。求立方根的運(yùn)算。 補(bǔ)已知 是4的平方根， 是 的算術(shù)平方根，則代數(shù)式 的值為（ ）.C2)3(xyyxxyx

2、yA. B. C. D. 5157513517解由題意知,2x3y（只需把 代入即可）3,2yx322323yxxyxy1253513 設(shè) 實(shí)數(shù) ， a,|aaa0a0a由定義知，0|a |00)(2|0 例 實(shí)數(shù) 在數(shù)軸上的位置如圖所示。圖中 為原點(diǎn)，則代數(shù)式（ ）.（04年）Accaabba|A. B. C. D. ca23cba,Ooxcabcaba2ba2a3解0,0ba0c且有：cabccaabba|cacabba)()()(ca23例 設(shè) 為坐標(biāo)軸的原點(diǎn)， 的 大小關(guān)系如圖所示，則 的值是（ ）.（2011年）Baccbba111111cba,OoxcabA. B. C. D. 0

3、a2b2c2解0,0ab0c且有：abcaccbba111111)11()11(11cacbba.2a二、復(fù)數(shù)1. 復(fù)數(shù)的概念及表示形如： 的數(shù)。bia z（ 為實(shí)數(shù)，ba,12i）abz的實(shí)部，記作：zRez的虛部，記作：zIm,bia zz稱為 的共軛復(fù)數(shù)。z由定義知，任一復(fù)數(shù)均由其實(shí)部和虛部決定。在坐標(biāo)平面上，復(fù)數(shù) 可用點(diǎn)bia z),(baz或向量 表示。ozoxy),(bazrrz.（一一對應(yīng)） 的模z的模（絕對值）oxy),(baz.r| z,bia z設(shè)則22|baz例 設(shè) 求 。,21iz| z解5)2(1|22z 模的性質(zhì)：|zz 復(fù)平面： 用坐標(biāo)面上的點(diǎn)表示復(fù)數(shù)。實(shí)軸軸x虛

4、軸軸除去原點(diǎn)的部分。y 復(fù)數(shù)的分類 復(fù)數(shù)biaz實(shí)數(shù)虛數(shù)0b（ ）0b（ ）純虛數(shù)：0,0ba如：,2i, ii5 結(jié)論 復(fù)數(shù)復(fù)平面上的點(diǎn)oxy),(baz.rbiaz例 復(fù)平面上一等腰直角三角形 的3個頂點(diǎn)按逆時針方向依次為 （原點(diǎn)）、 和 ， ，若 對應(yīng)復(fù)數(shù) ，則 對應(yīng)復(fù)數(shù) （ ）A. B. C. D. oD1Z2Z221OZZ1Ziz3112Z2zi31 i31 i3i3解由圖中兩三角形全等知)1,3(2Z.32iz法二法一（畫圖 觀察點(diǎn) 的特點(diǎn)）2Z不用計(jì)算！131Zox2Z 滿足的運(yùn)算律 i, 12i,3ii14i例 復(fù)數(shù)（07年）（P16 例3）,765432iiiiiiiz求.

5、|iz 解765432iiiiiiiziiii1111|iz|1|i21)1(22以上講的是復(fù)數(shù)的第一種形式 代數(shù)形式。 復(fù)數(shù)的指數(shù)形式 biazoxy),(baz.rirez 形如：rz的模（絕對值），22barz的輻角。（以 軸的正半軸為始邊，向量 所在xoz的射線為終邊的角）它滿足它滿足：tanba（但滿足此式的 不一定均為 的輻角）zz的輻角主值：20zarg2arg0z 復(fù)數(shù)的三角形式 )sin(cosirz形如：歐拉公式：sincosiei 復(fù)數(shù)的三種形式（總結(jié)）1、代數(shù)形式biaz2、指數(shù)形式irez 3、三角形式)sin(cosirz 復(fù)數(shù)的三種形式之間可以互相轉(zhuǎn)換。例 把復(fù)數(shù)

6、 表示成指數(shù)形式和三角形式。i3解213roxy)1 ,3(z1331tan33又i3對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，6故623iei)6sin6(cos23ii)62(611或例 把復(fù)數(shù) 表示成指數(shù)形式和三角形式。i1解211roxy)1, 1(z111tan又i1對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，4故)4(21iei)4sin()4cos(21ii4247或例 把復(fù)數(shù) 表示成指數(shù)形式。1解, 1roxy1由 和 的定義得ie1或r或)(1ie2. 復(fù)數(shù)的運(yùn)算（、乘方、開方、絕對值） 絕對值,bia z設(shè)則22|baz| z實(shí)數(shù)且有：結(jié)論： 兩復(fù)數(shù)經(jīng)過加、減、乘、除、乘方后仍為一個復(fù)數(shù)。（其中，加、減、乘、乘方與多項(xiàng)

7、式類似）例 計(jì)算 ).43()21(ii解.24)43()21(iii例 計(jì)算 ).43)(21(ii解28643)43)(21(iiiii.211i另解iii)64()83()43)(21(.211i )(biabia zz例 計(jì)算 .22ba互為共軛的兩復(fù)數(shù)的積是一實(shí)數(shù)，它等于每個復(fù)數(shù)模的平方。即22|zzzz例 計(jì)算 ).43()21(ii解)43()21(iiii4321)43)(43()43)(21(iiii25105i.5251i例 復(fù)數(shù) 的共軛復(fù)數(shù) 是（ ）.iz1（P16 例2）（06年）zA. B. C. D. ii11解iz1iii1i. iz A例 若復(fù)數(shù) ,111iz（

8、09年）B. C. D. 34522,52322iiz則|21zzC（ ）.解iz111iii11.1i32252iiz.52i21zz )52()1(ii.43i|21zz故.5|43|iA. 例 若復(fù)數(shù) ,111322iiiiiz（2010年）A. B. C. D. 22122則| zA（ ）.解322111iiiiiziii111.1i| z|1|i.2例 若復(fù)數(shù) ,111iiz（2011年）A. B. C. D. 213則|21zz（ ）.,)1()1(222iiz2C解)1)(1()1(2iiiiiz1112212ii . i222)1()1(iiz121121ii.1|21zz|1

9、|i.2補(bǔ)已知復(fù)數(shù) 滿足： 則 （ ）.z,11izz|1|zA. B. C. D. 0122解,11izz由 得iziz1izi1)1(iiz11)1)(1()1)(1(iiii.22ii故|1|z|1|i.2C 乘方?)21(100i以上講的都是用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式運(yùn)算的。那么復(fù)數(shù)的其它兩種形式有什么用呢？ 當(dāng)復(fù)數(shù) 用指數(shù)形式（或三角形式）表示后，復(fù)數(shù)的乘、除、乘方、開方運(yùn)算，有時較為方便！z,111ierz設(shè),222ierz則有：21zz2121iierer,)(2121ierr21zz2121iierer.)(2121ierr乘除|,|2121zzzz.|2121zzzz由此得由此得 補(bǔ)設(shè)

10、復(fù)數(shù) ,311izA. B. C. D. 13232,32iz解|12zzA則 （ ）.由復(fù)數(shù)模的性質(zhì)，得|12zz|12zz|31|3|ii.13113注意： 此題千萬不要先計(jì)算出 ，再求模！12zz,irez 設(shè)則有：nz乘方.inner.|nnzz由此得 模的性質(zhì)（總結(jié)） |zz 22|zzzz|,|2121zzzz|2121zzzznnzz|例 復(fù)數(shù) 的模 （ ）. 2)1(iz（P21 第3題）（05年） | zA. B. C. D. 42222C解由復(fù)數(shù)模的性質(zhì)，得 | z|)1(|2i2|1|i2)2(.2例 是虛數(shù)單位， 的模等于（ ）. 6)1(i（P21 第4題）（08年）

11、A. B. C. D. 6426822C解由復(fù)數(shù)模的性質(zhì)，得|)1(|6i6|1|i6)2(.8i 開方設(shè)z復(fù)數(shù)，z的 次方根：n若,zxn則xz的 次方根。n上方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)有 個根。要求出這 個根，nn必須把 寫成指數(shù)形式：z.irez z的 次方根是：n.2nkinkerx（ ）1,2, 1 ,0nk共 個n例 設(shè)（P21 第2題）A. B. C. D. B, 1,2321i則1的三次方根是（ ）。2, 12, 11 ,1 , 1解,1)3(i2321321ie32ie3又332)( ie2ie1可排除C, D是1的一個三次方根，又1)(33不是1的一個三次方根或1)()(2332故選

12、 B三、代數(shù)式 （整式、分式、根式）1. 整式 整式的加法、減法、乘法的結(jié)果仍為整式。單項(xiàng)式：多項(xiàng)式：若干個字母與數(shù)相乘所得的式子。若干個單項(xiàng)式之和的式子。 整式的除法（類似于整數(shù)的除法）結(jié)論： 任意兩個實(shí)系數(shù)的多項(xiàng)式 可相除，)(),(xgxf得商式 ，余式)( xQ).( xR即)()()()(xRxQxgxf（其中： 的次數(shù) 的次數(shù) 或 ）)( xR)( xg0)(xR若 除以 所得余式為0，)()()(xQxgxf)( xf)( xg即則稱 整除 。此時， 就是 的一個因式。)( xg)( xf)( xf)( xg（此時， ）)()()(xQxgxf例 如果 整除（P21 第9題）D1

13、x則實(shí)數(shù) （ ）a, 1223axxaxA. B. C. D. 01221或解)()1(1223xqxaxxax令 ，得1x022 aa2a或1由題意得（P18 例2）例 試求 除以8354)(23xxxxf12)(2xxxg所得的商式和余式。解835423xxx122xxx4xxx484238732xx33632xx5 x故所求的商式為：,34x余式為：.5 x 缺項(xiàng)的一定要留空位。 因式分解把一個整式化為若干個其它整式之積的運(yùn)算。結(jié)論： 一元 次多項(xiàng)式nnnnnaxaxaxa1110在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，總可以分解為若干個一次因式和二次因式的乘積。在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，總可以分解為 個一次因式的n乘積。例

14、)1)(1(123xxxx（實(shí)數(shù)范圍內(nèi)） 因式分解的方法公式法（ ）（倒過來）P17如bcacabcbacba222)(2222對于二次多項(xiàng)式，可十字相乘法。對于高次多項(xiàng)式，用試根法。（后面舉例）利用結(jié)論（ P17 ）：設(shè) 是方程 的兩個根， 21, xx02cbxax則有：)(212xxxxacbxax例將 因式分解。6532)(23xxxxf解試 是否是方程 的根？, 1x,2210)(xf1x是方程 的根0)(xf1x是 的一個因式，)( xf22 xx6)(1()(xxf653223xxx)62)(1()(2xxxxf1x2322xxxx52xx266x66x0)32)(2)(1(xxx6532)(23xxxxf66)22(223xxxxx)1(6)1()1(22xxxxx)62)(1(2xxx)32)(2)(1(xxx122343或 992pxx（P21 第10題）（05年）A. B. C. D. )11)(9(xx解例設(shè) 為正數(shù)，則p（ ）.)11)(9(xx)11)(9(xx)11)(9(xx（驗(yàn)證）C2. 分式形如： 的式子。)()(xgxf（其中， 為整式）)(),(xgxf且 ）0