數(shù)學(xué)建模路燈

1、YUNNANNORMALUNIVERSITY數(shù)學(xué)模型實(shí)驗(yàn)論文路燈安置優(yōu)化問題一、摘要：現(xiàn)代社會(huì)，經(jīng)濟(jì)不斷發(fā)展人民生活水平不斷提高，國家采取了一系列的措施讓人民生活得更舒適，而在路上安裝路燈就是其中一項(xiàng)重要的舉措。這里我從一盞燈的照明情況的分析出發(fā)，研究怎樣合理的設(shè)計(jì)路燈的度和路燈之間的間距才能滿足人們的需求。首先分析路燈照明的特性，然后建立一盞燈時(shí)面積使最大的模型及兩盞燈時(shí)時(shí)路燈間距最大的模型，在此基礎(chǔ)上建立一排路燈及兩排路燈的數(shù)學(xué)模型，分析兩種情況何時(shí)須燈數(shù)最少即最節(jié)約能源，其中由實(shí)際情況和生活經(jīng)驗(yàn)來看，兩排燈時(shí)交錯(cuò)分布照明是比較均勻的，所以在兩排燈時(shí)考慮燈交錯(cuò)分布的情況。關(guān)鍵詞：照明強(qiáng)度、

2、路燈設(shè)計(jì)、路燈高度、間距的優(yōu)化二、問題的提出：目前大多數(shù)公共場所都安裝了路燈，路燈的高度和路燈之間的間距一般是依靠經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行設(shè)置的，并沒有從優(yōu)化的角度進(jìn)行考慮。在能源日益減少的今天，我們應(yīng)該考慮怎樣盡可能的節(jié)約能源，并且作為路段整體設(shè)計(jì)的一部分路燈的安排也直接影響到社會(huì)公共環(huán)境。經(jīng)過對我校校園內(nèi)幾條道路的路燈設(shè)計(jì)的觀察，對校園整體室外照明有了一定的了解。在調(diào)查時(shí)A路正在安裝路燈，為獲取數(shù)據(jù)的方便取該路段為研究對象。三、背景知識(shí)：1 .光強(qiáng)度：光源在一定范圍內(nèi)發(fā)出可見光輻射強(qiáng)弱的物理量。以光源在某一方向上單位立體角輻射的能量來量度。（單位：坎德拉）2 .照度：單位面積上得到的光通量。（單位：勒克司

3、）3 .通量：人眼所能感覺到的光輻射的功率。單位時(shí)間光輻射的能和相對視見率的乘積。（單位：流明）4 .對于眼睛最敏感的55Ml07m波長的黃綠光來說，1流明相當(dāng)于1/685瓦特。一般常見或需要的照度：晴朗夏天室外背蔭處得照度為1000-10000流明。5 .為保證在該路段上處處都能有滿足正?；顒?dòng)需要的照明強(qiáng)度，取照度的最小值為20w/m2,即為13700流明。6 .照度定律：點(diǎn)光源O預(yù)備照明平面中心A的距離為h時(shí)，平面上A點(diǎn)的照度。符號(hào)規(guī)定：p為O點(diǎn)的光強(qiáng)度，a為平面的法線方向與光源到A點(diǎn)的連線之間的夾角,h為光源的高度，l為光源到A點(diǎn)的距離。四、模型的假設(shè)：1 .假設(shè)高度和間距的優(yōu)化問題為簡

4、化模型設(shè)路燈的額定功率為定值（注：數(shù)據(jù)來源A路的路燈標(biāo)簽額定功率為220伏，額定電流為10安，所以取額定功率）。2 .在考慮一排路燈的情況時(shí)，假設(shè)為完全規(guī)范的，即處處等寬。即寬度為5米。（數(shù)據(jù)來源：實(shí)地測量A路的寬度）3 .據(jù)相關(guān)物理知識(shí)，照明強(qiáng)度直接影響可見度，只有照明強(qiáng)度不低于某定值Go時(shí)，才能認(rèn)為物體可見。在這里假設(shè)所有物體均勻的4 .路長的計(jì)算：所考慮路段路的兩側(cè)均鋪有花磚，所以用磚的塊數(shù)乘以每塊磚的邊長在乘燈數(shù)減1來計(jì)算路長，經(jīng)觀測燈的間距大致相同，僅有少數(shù)有些差別，取平均值為64塊磚。路長：L=64*0.29*14=260米。5 .假設(shè)通過路燈的額定電壓為220V,電流為10A。參

5、量變量：路燈的高度h;路燈的功率p;使物體可見的最低照明強(qiáng)度為13700明朗；路燈的間距l(xiāng);路的寬度d=5米；路長L=260米；r為燈到點(diǎn)A的距離；五、組建模型：一.一盞路燈的優(yōu)化問題：由物理學(xué)知識(shí)可知，被光線照射的物體的亮度依賴于它與光源之間的距離平方的倒數(shù)和光線的投射角度。則路燈到某點(diǎn)A的照明強(qiáng)度為：phc3r2+h212、)地面上物體可見的區(qū)域?yàn)?（其中p為燈的功率，h為燈的高度，r為燈到點(diǎn)A的距離）phc30r2h22只有時(shí)h三有解時(shí)，且rm的區(qū)域物體可見，物體可見區(qū)域的面積為以O(shè)為圓心,為半徑的圓，其面積為：s=二r2=Lc0>-h2對s關(guān)于h求導(dǎo)可得得路燈得最優(yōu)高度。h=時(shí)，

6、面積達(dá)最大值，可求其中p=2200w,可得最優(yōu)高度h為4.60米兩盞路燈間距最小的的優(yōu)化問題：主要考慮當(dāng)高度為何值時(shí)，兩燈的距離可達(dá)最小值;QR如圖，A點(diǎn)的照度在路面的各點(diǎn)中最小，所以l和h的只需滿足2phi2+d2+h222ph9i2+d2+h22<4)即可。用求解Maple程序如下：>fsolve(1./4*lA2+25+hA2)A3=(220*h)A2,h=5,l,h);>fsolve(1./4*lA2+25+hA2)A3=(220*h)A2,h=5.5,l,h);>fsolve(1./4*lA2+25+hA2)A3=(220*h)A2,h=6,l,h);>

7、fsolve(1./4*lA2+25+hA2)A3=(220*h)A2,h=6.5,l,h);> fsolve(1./4*lA2+25+hA2)A3=(220*h)A2,h=7,l,h);> fsolve(1./4*lA2+25+hA2)A3=(220*h)A2,h=6.4,l,h);> fsolve(1./4*lA2+25+hA2)A3=(220*h)A2,h=6.6,l,h);>h=6.5時(shí)l最大為15.5米三.一排路燈的優(yōu)化問題：優(yōu)化目的是確定路燈高度h和路燈之間的距離l,使得路燈之間的距離最大。1.求最大路燈間距:由上圖可知，路燈l和m之間的路段，與中點(diǎn)Q相對的

8、R點(diǎn)的照明強(qiáng)度最小，并且計(jì)算該點(diǎn)照明強(qiáng)度時(shí)，只需考慮路燈K,L,M,N對其的影響，其他較遠(yuǎn)的路燈對其的影響可忽略。R點(diǎn)的照明強(qiáng)度為：c=2ph2ph：9l2+1d2+h2Y2工l2+1d2+h221641J64)且要使R點(diǎn)的物體可見應(yīng)有：OG0其中p=2200w,d=5m,求使得l最大的h值，具體做法：取一系列h值求使得g=的l值，比較l的大小取最大值。用Maple求解，得h=6.6米時(shí)，l最大。最大值為16.5米。2.考慮邊界問題11AEJO-OCGH可解得：x=3.5時(shí)g=20,此時(shí)x最大。3.計(jì)算所需的總的燈數(shù)：260-3.5=256.5256.5=15*16.5+9因?yàn)?>3.5

9、所以路的另一端還需一盞燈，所需燈的總數(shù)為17盞。四.兩排路燈的優(yōu)化問題：路燈的布點(diǎn)是否適當(dāng)直接關(guān)系到照明的效果。雙側(cè)布燈大體有兩種方式：一種是對稱布置，另一種是交錯(cuò)布置，各有優(yōu)劣。對稱布置的優(yōu)點(diǎn)是比較美觀，但不足之處是照度不夠均勻，適合較寬的道路。交錯(cuò)布置美觀上不如對稱布燈，但照度比較均勻。由于校內(nèi)道路即使是干道也不很寬，如果對稱布置照度不均勻的缺點(diǎn)會(huì)更加突出，所以事實(shí)上選擇交錯(cuò)布置的方式更好。由圖可知，照明強(qiáng)度最低的點(diǎn)一定出現(xiàn)在路的中線上，且對圖中AB段照明強(qiáng)度呈周期性變化，所以只需使AB的中點(diǎn)C照明強(qiáng)度大于等于20即可。并且計(jì)算該點(diǎn)照明強(qiáng)度時(shí)，只需考慮路燈J,H,M,N對其的影響，其他較遠(yuǎn)

10、的路燈對其的影響可忽略。用Maple求解，得h=6米時(shí)，l最大。最大值為36.9米。再考慮邊界問題，如上面邊界圖所示。A、C兩點(diǎn)為路的邊界，設(shè)距A點(diǎn)最近的燈E與A的距離為x米，則J點(diǎn)的照明強(qiáng)度為：（只考慮E和H兩燈的影響）可解得：x=6時(shí)c=20,此時(shí)x最大。計(jì)算所需的燈數(shù)：在AE邊上，AE=6米，260=6+36.9*6+32.6,所以該邊需裝燈7盞，且另一端剩余32.6米。在CG邊上CH=6+l/2=24.45米，260=24.45+36.9*6+13.15,所以該邊裝燈7盞時(shí)距另一端13.15米，13.15>6米，所以改變還需一盞燈，即總需8盞。綜上，安裝兩排燈時(shí)所需總數(shù)為15盞。根據(jù)上述計(jì)算可知，安裝兩排燈時(shí)所需燈數(shù)較少，所以此種情況更能節(jié)約用電。實(shí)際情況分析：據(jù)調(diào)查，該路段長260米，寬5米，燈高4米，間距18.56米,燈的功率2200瓦，燈共計(jì)15盞經(jīng)計(jì)算照明強(qiáng)度最小點(diǎn)的值為13.04,所以照明強(qiáng)度過低，建議增加燈的數(shù)目。六、結(jié)束語：大范圍、復(fù)雜環(huán)境的路燈設(shè)計(jì)需考慮的因素非常多。而我們這里只是討論了其中的一小部分，要想精確的計(jì)算出路燈的分布是哪種最合理，還需要認(rèn)真調(diào)查，認(rèn)真思考，進(jìn)行多次討論，按照多方面的要求統(tǒng)一協(xié)調(diào)，綜合考慮，要根據(jù)實(shí)際發(fā)生的情況解決具體施工問題。校園不同的區(qū)域有不同的功能，同時(shí)環(huán)境也比較復(fù)雜。在設(shè)計(jì)室外