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文檔簡介
1、第二章線性方程組的直接解法2第三章解線性方程組的迭代法7第五章非線性方程和方程組的數(shù)值解法10第六章插值法與數(shù)值微分14第七章數(shù)據(jù)擬合與函數(shù)逼近19第八章數(shù)值積分23第九章常微分方程的數(shù)值解法28第二章線性方程組的直接解法1、用LU分解法求如下方程組的解335、L,1、32359X=0,(2)22工5917;i30(D310X12解:(1)2A=11554=LU23L丫二(11)T=UX=Y4tY=(1,-1,39TX=(-,-,2)t22(2)31012一12|3132233一12|3-31-511I3I1一3一5113I1隗21一3一2426,49615,z2、對4階矩陣A=進(jìn)彳亍LU分解
2、|26918_61518402-4解:A=2一6961515181840242612336113、用高斯列主元素消去法解線性方程組2x1-X23x3=14萬2x25x3=4XX12x2=711x1-3x2-2x3=3D-23411x2x3=0|x12x22x3=-1解:對增廣矩陣進(jìn)行初等行變換一24一11112+(-2)12-1313*-5).221314T04-12T041273十下)。0531300_721一222一一8413502x1-x23x3同解方程組為4x2-x3=2721一"=一l.84回代求解得X-(9,-1,-6)t此種方法叫高斯消去法,下面用高斯列主元素消去法11
3、r2r1T41-1r2,(-2)r1T3.(一小4141254得同解方程組回代求解得11-23I1-3111-231157235223得同解方程組回代得3一4Tr212784x12x25x3=4c1/-2x211,X3=-1721一一&二84X-(9,-1,-6)t-231111-3214-2311522357233523472347233523-23115723472319357223571-23x111x2&=0八5747,0x2x3=-1232319300(-)x3=5722357X二(0.212435,0.549222,-1.15544)T4、用Jordan消去法解矩陣
4、方程,一1AX=B其中:1-1一10。110解:容易驗(yàn)證A#0,故A可逆,有X=A-B因此,寫出方程組的增廣矩陣,對其進(jìn)行初等變換得一11-2-1-21。11T0一10:01-11-13-11-13。11T0一10L0-1-121-16011一30-12-11-113一2一11X二A-B二-11一23一2一111232一5、用LU分解法求解如下方程組一24-6513-3-6Xi一-19X2一10119解:A=LU一1231上0-6174(1)解Ly=b121-34得=10,丫21019y2尸1治330=19-20=T,y3=34-30=4即y-(10,-1,4)t(2)解Ux=y25-6x11
5、03-7x2-4Jlx3jJ解得:x3=1,x2=2,x1=3所以方程組的解為x=(3,2,1)T。第三章解線性方程組的迭代法1、1aa"A=a1aorkaaLa13、A=1a2awRL32*4a,若Jacobi迭代收斂,求a的范圍一1a解:(1)、a=a1aaalFa時的Jacobi迭代矩陣B=-a1J,a-a-a|0a-a0-E-B_2"2a)(-a)Jacobi迭代收斂u:1P(B)<1u2aa<1-:二a:二(2)、A=-a1-3312Jacobi迭代矩陣aBa"a-1-3-2-3-)aaA2aEB二1=0'2=2ia2.一iaJaco
6、bi迭代收斂u7(B):二1二-2工1;:1I11,2一八<1u±-i<1ua>2:二12、討論AX=b的Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代的收斂性其中,A二2-1b=(1,1,0)T20解:Jacobi迭代法的迭代矩陣BJ=(I-A)=-2、10,則兒I-BJ=九3=0=P(Bj)二0:二1二Jacobi迭代收斂Gauss-Seidel迭代矩陣Bg_s-11-21YoI_Bg_s二(2一4'-4)=0=:-、(B2),Gauss-Seidel迭代發(fā)散3、討論下列迭代法的收斂性AX=b的G-S迭代X(K1)=BX(k).b解:-(DL)4U-0.
7、5130=22211110.10.50.02_0.5-0.5161z00<0-2-1一60.20.10.30.10.30.20.20.20.10.10.30.0512_.KE-B=7.(30九一10九+1)=03011=0_10:'-2023230卜卜1故BB)=max:1Gauss-Seide迭代收斂IIBb冢ScI,故B的譜半徑P(B)引Bb<1,由迭代法收斂的充分必要條件知該迭代格式收斂第五章非線性方程和方程組的數(shù)值解法1、給定函數(shù)f(x),設(shè)對一切x,f'(x)存在且0cmEf'(x)<M2,迭代過程xk書=4-九f(xk)均收斂于f(x)=0
8、的根aM證明:f(x)=0的等價形式為x=xKf(x)則“書=xk-九f(xk)對應(yīng)的迭代函數(shù)(x)=x-f(x),(x)_=1Lf(x)0<m_f(x)_M0:1/-m_f(x)_M:20-m_-f(x)_-M-2-_'.二中(x)11-m_1-f(x)_1-M-1=1一九f(x)<max|1一九m,1-九M易證f(x)=0有根,故迭代過程xk書=xk-九f(xk)收斂于f(x)=0的根a2、證明:Wx0wR,由xk書=cosxk(k=0,1,2)所產(chǎn)生的序列收斂于x=cosx的根證:考慮區(qū)間1-1,11-x-1-1,11-x-1-1,11(x)=cosx1-1,11中(
9、x)=sinx<sin1<1/-VxD-1,1toxk書=cos4所得序列收斂于cosx=x的根XZx0WR,x1=cosx°w-1,1,將X看作新的迭代初值,則由知序列必收斂于x=cosx的根3、利用適當(dāng)?shù)牡袷阶C明lim'2'22=2kn證:考慮迭代式.中他+Xk(k=0,1,2,)則X0=0X2=,22Xk顯然xk三0,2記迭代函數(shù)(x)-2X,x1.0,21則:;'(x)=Xk1=1(Xk),x0,k=0,1;.2.2x,-.Vx=10,2有1°邛(x)w。2i'1中(x)M平(0)=力<122由迭代法的全局收斂定
10、理(壓縮映像原理)知VX0w【0,2由Xk+=J2+人所產(chǎn)生序列收斂于x=9(x)=j2+x的根在0,2上解方程x=J2十x得惟一根x=20limxkk_二二24、研究求百的牛頓公式由牛頓公式xk1=xkf(Xk)f(Xk)2Xk-a1/a、=xk二一(xk)2Xk2kXk證:a20,%>0,故xk>0,(k=1,2,)xk1Xk.xk單調(diào)遞減有下界,必收斂5、設(shè)中(x)=x+c(x2-3),應(yīng)如何選取c才能使迭代式Xk4i=(Xk)具有局部收斂解:迭代格式;給=g"3),1,2,一局部收斂,設(shè)迭代序列的極限值為«,則有2二c(-3)得:=3或=-、3(x)=1
11、2cx當(dāng)平(向父1,即1+2,3c<1,即一cc<0時,由局部收斂定理知1V3迭代格式乂小=中(乂。局部收斂于網(wǎng)<1,即1+2屈<1,即0:二c:二時,由局部收斂定理知迭代格式x+=(xk)局部收斂于-436、給出計(jì)算x=1111的迭代公式,討論迭代過程的收斂性并證明5-1x二2,一.11斛:令x1,x2=1 1121111其中,中有n條分?jǐn)?shù)線1L貝U:xn+=,且limxn=x1xn-.1令f(x)=二則xn+=f(xn)1x顯然,-XoO,X1(0,1),Xk1,1,k=2,3,一2我們不妨在,1上討論迭代式Xn¥=f(Xn)的收斂性-X射,f(XY2,1
12、ii:iii:f(X)=f(X)_1一(1X)2<111X2二由全局收斂定理(壓縮映像原理)Xo:,1,Xk1=f(Xk)=所得序1一,一列必收斂于方程X=f(x)=的根。1X解方程X='得X=近二11X2.limxnni-.5-12即:,5-121.第六章插值法與數(shù)值微分1、設(shè)f(x)/c2b,b,且f(a)=f(b)=0,求證maxf(x)=a父包(b-a)28maxf(x)a型0證:以a,b為插值節(jié)點(diǎn)進(jìn)行線性插值,具插值多項(xiàng)式為x-bx-aL(x)=-f(a)-f(b)=0a-bb-a由插值余項(xiàng)定理f()f(x)-L1(x)=-2(x-a)(x-b)(a,b)2!二f(x)
13、=fT1(x-a)(xb)<-max2a型f''(二)嚅(x-a)(x-b)1 2.=8(b-a)maxf(x)2、試構(gòu)造一個三次Hermite插值多項(xiàng)式,使其滿足:H(0)=1,H(0)=0.5,H(1)=2,H(1)=0.5解:(法一)首先構(gòu)造如下的基函數(shù)表函數(shù)值導(dǎo)數(shù)值0101%(x)1000%(x)0100HKx)0010H2(x)0001則:1(x)=(axb)(x-1)2=-1(x)=(2x1)(x1)2:2(x)-(axb)x-0)2=:2(x)=(-2x3)-x222H2(x)=a(x一1)工=H2(x)=(x1)x221212,H(x)=(2x1)(x1)
14、21222(2x3)b2x(x-1)2(x-1)Y22(法二):令H(x)=a0+a1x+a2x2+a3x:2(x)=a(x-1)x=-2(x)x(x-1)貝UH'(x)=a1+2a2x+3a3x2.八.;.-3,a0+a1M0+a2M0+a3M0=1,.2.,3-a0+a1黑1+a2黑1+a§黑1=2.2問2a203a30=0.52闞2a213a31=0.5d13da0=1a1=a2=a3=-1221 323.H(x)=1xx-x2 23、確定一個不高于四次的多項(xiàng)式H(x),使得:H(0)=H(0)=0,H(1)=H(1)=H(2)=1解:(法一)首先構(gòu)造如下的基函數(shù)表函數(shù)
15、值導(dǎo)數(shù)值01201%(x)10000口1(x)01000%(x)00100口0(x)00010%x)00001則:2512:0(x)=(axb)(x-1)(x-2)=:0(x)=(x)(x-1)(x-2)42222:1(x)=(axb)x(x-2)=:1(x)=x(x-2)-2.12:0(x)=a(x-1)x(x-2)=l-0(x)=-x(x-2)(x-1)2:i(x)=a(x-1)(x-2)x2=i(x)-(x-1)(x-2).x2H(x)=0二o(x)T_-1(x)1二2(x)0多o(x)1二1(x)=x2(x-2)21x2(x-1)2-(x-1)(x-2)x241 22=x2(x-3)2
16、4(法二)令H(x)=a0axa2x2a3x3a4x4,23則H(x)=a12a2x3a3x4a4x.一.一2.-3.-4-a0+a1M0+a2M0+a3M0+a4M0=0=a0=0.2.3.4.a0+a1M1+a2黑1+a§黑1+a4黑1=1_._2._3.-4.a0+a1M2+a2M2+a3M2+a4M2=1一一一一2.一3-一a1+2a2黑0+3a3黑0+4a4黑0=0=劣=023a12a213a3124a413=1覆行923314H(x)=x-xx424122122x2(9-6x-x2)x2(x-3)244,B(2)=34、求三次多項(xiàng)式p(x),使得B(0)=p'(0
17、)=0,B(1)=1解:令P(x)=a0a1xa2x2a3x3貝UP(x)=a12a2x3a3x223a0al0a202a303=02a12a203a30=023a0al1a21a31=123a0al2a222a323=3a。=0a1二0a?a3-14a2'8a3=35a2=aa341,4591Q1OP3(x)二一x()x=x(5x)44415、求一個次數(shù)W3的多項(xiàng)式P3(x),使得P3(0)=1,P3(1)=2,P3(0)=P36=2解:令P(x)=aOaxa2x2a3x3則P(x)=a12a2x3a3x2尸2-2-3,一、氏+國父0+22父0+a3X0=1(1)一一一一2一一,一、
18、ai+2a2x0+3a3父0=0,5(2)',2,3-a°+aiMl+a2Ml+a3"=2(3)一,一.2._,八a1+2a2父1+3a3父1=0.5(4)由(1)得a0=1由(2)得a1=0.5由(3)得a0+a1+a2+a3=2(5)由(1)得現(xiàn)+2a2+3a3=0.5(6)把a(bǔ)0=1、&=0.5代入(5)、(6)得a2=1.5、a§=123P(x)=10,5x1,5x-x6、給出概率積分9x2y(x)=一產(chǎn)edx的數(shù)據(jù)表如下:.二0x0.460.470.480.49y(x)0.4846550.4937450.5027500.511668試用拉
19、格朗日插值法計(jì)算x=0.427時,該積分值等于多少?5、x1=0.46x2=0.47x=0.48x4=0.49y1=0.484655y2=0.493745y3=0.502750y4=0.511668將y看成x的函數(shù)y=y(x),以斗/2'3凡為插值節(jié)點(diǎn)作y(x)的3次插值多項(xiàng)L3(x)=V1l(x)y2L(x)y393(x)y4h(x)(x-x2)(xx3)(xM)(x-)(x-x3)(x-x4)一y1y2(x-x2)(x1-x3)(x1-xj(x2-x1)(x2")(x2-4)(x-4)(x-x2)(x-XJ(x-x1)(x-x2)(x-x3)y3一,工工:義一,工工;(x
20、3'x1)(x3'x2)(x3'x4)(x4x1)(x4x2)(x4一%)y(0.472):l_3(0.472)=0.023263440.426595680.108594-0.016373376=0.4955828642j.當(dāng)x=0.472時,概率積分y(0.472)=-=50.4722e/dx:0.4955828647、利用y=JX在x0=100,x1=121,x2=144處函數(shù)值計(jì)算JH5的近似值并估計(jì)誤差解:y=>/X過點(diǎn)(100,10)、(121,11)、(144,12),令X0=100,y0-10,xi=121,yi=11,&=144羋=12,則
21、y=TX的二次Lagrange插值多項(xiàng)式L2(x)=y0l0(x)yd/x)y2"x)70M(x121)(x144)+父(x-100)(x-144)(100-121)(100-144)(121-100)(121-144)2M(x100)(x144)(144-100)(144-121)115=y(115):L2(115):10.722756'''網(wǎng)15)H7(115-100)(115-121)(115-144)|100,144133=|-3-100683!815629|_5下15629_4=1.6312510第七章數(shù)據(jù)擬合與函數(shù)逼近192.297.8=ab44即
22、:111253138441_19212521312/曰5得”b1382532719.032.349.073.3:97.814:2一111111921253T3844口491112252312382144219.032.3149.073.3:97.8忸3277277699計(jì)璃a=0.972606b=0.0500351(法二)利用公式建立正規(guī)方程組5Z1ii57Xi25v2工Xii年5k22乙X次i_1乙yii5廬x'yiLiW.55327a=271-453277277699|b369321.5a=0.972606b=0.0500351y=lny,=A1aLyA為lb阪最小二乘法求出Ab將
23、(x,y)轉(zhuǎn)化為3,y)Xi1.001.251.501.752.00V1.6291.7561.8762.0082.135(法一)建立超定方程組1.629=A+1.00b1.756=A+1.25bt1.876=A1.50b2.008=A+1.75b2.135=A2.00b即:11.001.6291.7561.8762.0082.135_j得正規(guī)方程組即:解之得:-1.001.251.501.75-11.0011.2511.5011.75J2.00-12.00A=1.6291.75611.8762.0082.135_j1.001.251.501.752.0051i注5Nx52Xii152Xii15
24、-1 £V、i苴5k22 xiyii=177.511.875A='9.4041,b,14.422-A=1.1224a=eA=3.0722b=0.5056.y=3.0722e°.5056x2x+4y=113、解超定方程組產(chǎn)一5y=3x2y=62xy=7解:由23I1211-xl|32:yj18即:IL-316工31-5243KH58得正規(guī)方程組23124【-521x23_y114-511213解之得x=3.0409,y=1.2418第八章數(shù)值積分1、用復(fù)化梯形求積公式求(e)dx的近似值,問要將Q1分成多少等分才能保證結(jié)果有四位有效數(shù)字,若用復(fù)化拋物線公式呢?解:要求
25、結(jié)果有四位有效數(shù)字u此處誤差名=1父10"2R(f,Tn)-Yh2f''()0,1112b-a1.“_xb-a=1-0=1h=二一f(x);ehnh2要使R(f,Tn)f''()=1-2-e12n21只需n2之一M104JPn>40.8n=416若用復(fù)化拋物線公式,則R(fS)=h42880.n-2故:用復(fù)化梯形求積公式至少需要41等分才能保證結(jié)果有四位有效數(shù)字,而用復(fù)化拋物線公式只需2等分就可以保證結(jié)果有四位有效數(shù)字。2、對于積分jex%nxdx,當(dāng)要求誤差小于10時,用復(fù)化梯形公式計(jì)算所需節(jié)點(diǎn)數(shù)是多少?解:xf(x)=e-sinxa=1,b=
26、3,;=106則R(f,Tn)=-b_1Ah2二f''()=-31-(2)2-f''()1212n二-22f''()-1.1,313nf(x)=、2exsin(x)4xf(x)=2ecosxmaxf(x)i父包J.R(f,Tn)<-xX2e,334e3要使R(f,Tn):二只需4e33n2取n=5176x=max2ecosx<2ei父玄,要使誤差小于10上,至少要取5176個節(jié)點(diǎn)11K3、用Romberg方法求I=edx,使泰差不超過2M1。kT0(k)嚴(yán)T尸T(kJ3)1301.859140911.75393111.71886122
27、1.72722191.71831881.718282731.72051861.71828421.71828181.7182818解:,15=910:二一102m(k1)(k)41m-1一m-1解:m.4-14、用Romberg求積法求積分I=J;:2dx的近似值要求誤差不超過?!盭f(x)04.000000012.00000000.53.20000000.253.76470590.752.56000000.1253.93846150.6252.8764045f(x)=1x2a=0b=1Tmk),則0.8752.2654867按公式計(jì)算如下:kT0(k)T尸T(k_3)T303.00000001
28、3.10000003.133333323.13117653.14156783.142117633.13898853.14159253.14159413.141585843.14094163.14159273.14159273.1415926|Q-R|=|3.145926-3.1415858|<-10”2故I*4"2dx定R2=3.1415926為所求近似值一一一1c-一5、分別用拋物線公式和三點(diǎn)高斯公式計(jì)算積分fx2cosxdx,并比較它們的精度,-1準(zhǔn)確值為0.478267254解:設(shè)f(x)=x2cosx,貝肝(1)=f(1)=0.540302305,f(0)=0由拋物線(
29、辛普森)公式1 x2cosxdx2-If(-1)+4f(0)+f(1)=-x0.54030230563=0.360201537由三點(diǎn)高斯公式1x2cosxdx5f二985f(0)-f99而f(、3)=f(1.j:0.428821915,f(0)=0一125_3故x2cosxdx-2f()=0.4764687959.5與準(zhǔn)確值比較知:Simpson公式的計(jì)算結(jié)果無有效數(shù)字;三點(diǎn)高斯公式有兩位有效數(shù)字。6、確定如下求積公式中的待定參數(shù),使其代數(shù)精度盡量高,并指出代數(shù)精度1f(x)dx:1If(-1)2f(-)3f(1)1解:當(dāng)f(x)=1時,當(dāng)f(x)=x時,當(dāng)f(x)=x2時,要使求積公式具有1
30、左邊=1dx=2J1I右邊=-12131.1-23左邊=右邊1左邊=xdx=0二1右邊=1-1-2?-3-13122左邊=xdx=.3右邊=-(-1)2-2:2-3-23-2次代數(shù)精度,當(dāng)且僅當(dāng)1-(-12:3-)=031(12:23")3即IL'I1.653-2.6151-.6532.615將,£)代九求積公式得1r1+屈3-276If(x)dxfc3;f(-1)+2f(-)+3f(-nr-)12當(dāng)f(x)=x時,左邊=xdx=0右邊=1,(-1)3+2"16)3+3(3-26)3#03-515左邊#右邊,故此時求積公式具2次代數(shù)精度;將(支2,3)代入
31、求積公式得1yf(x)dx11-.6:f(-1)2f()3f(3532.615fo1o當(dāng)f(x)=x3時,左邊=x3dx=0右邊=111+2(上西3+3(2)#03515左邊¥右邊,故此時求積公式具2次代數(shù)精度綜上:。=11亞,或口衛(wèi),p=色處時,所得求積公515515式具最高代數(shù)精度2。第九章常微分方程的數(shù)值解法1、用Euler預(yù)估一校正格式求解初值問題dy2yysinx=0dxy=1要求步長h=0.2,計(jì)算y(1.2)及y(1.4)的近似值解:設(shè)f(x,y)-y-y2sinx,x0=1,y0=1,xn=x0nh=10.2hyn1=ynhfJnEuler預(yù)估一校正式為hh-|yn+
32、=yn+f(xn,yn)+f(xn書),ynd!IL2-Vn1=yn-0.2(yn丫2SinXn)2-2Vn1=yn-0.1(ynYnSinx。yn1yn1Sinxn1)由y0=1計(jì)算得:y1=0.631706y2=0.476965y(1.2):y1=0.715489y(1.4):y2=0.5261122、用歐拉法解初值問題y=10x(1-y)(0<x<1.0)y(0)=02取步長h=0.1,保留5位有效數(shù)字,并與準(zhǔn)確解y=1-e'x相比較解:h=0.1,x=ih,i=0,1,2,10-5x2f(x,y)=10x(1-y)y(x)-1-e歐拉公式如下:!yr=Vhf(x,y
33、i)=yi10hx(1-yi)y。二0即.y1=x(1x)%i=0,1,9y。=0計(jì)算結(jié)果如下表所示ixiVy(xi)y(x)-yi10.100.0487710.04877120.20.100000.181270.08126930.30.280000.362370.08237240.40.496000.550670.05467150.50.697600.713500.01589560.60.848800.834700.01409970.70.939520.913710.02581480.80.981860.959240.03713290.90.996370.982580.013792101.0
34、0.999640.993260.006378/2h、nyn=(),2h3、對初值問題一丫步長為h時,用梯形公式得近似解y(0)=1hT0時,yn收斂于準(zhǔn)確解解:y-y=dy-dx=lny-xC=y=e*cy又y(0)=1,故丫=6«(準(zhǔn)確值)2-'hyn1二2h2-hyn=(”x-0Vx=0,R,考慮區(qū)間0,x,步長為h時,等分?jǐn)?shù)為n,顯然有h=n由梯形公式f(x,y)=-yh_一.”yn11yn二-f(xn,yn)f(xn1,yn1)2=yn;一yn-ynJ、/2-h2./2-hn1%=(TT)Ml=(T-)7。2h2h2x-02)lhyn-lhm(2;h)n=lhm0(2
35、+x2Q)n2-=lim(n)n-2xn12xn)ncx2n=lim(1n承;旬nm(1"T"x2n11)X2-2x=酸1n1"T"x2L)nn1+x2n1=lim(1n)x2lim(1一ni-c1n1T-x2n111xWx一n1+x21x-2-ix1x.x)2=e1-e4、取h=0.2,用改進(jìn)Euler法的預(yù)估一校正式求解初值問題dy22xydx3y(0)=10<x<1,2解:h-0.2,Xn-nh(n-0,1,2,6),f(x,y)2.23xyEute預(yù)估一校正式Vn1=ynhf(Xn,yn)%1=Vn+2J(xn,yn)+f(xn41,yn+)yn1即:
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