復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)

1、離散數(shù)學(xué)離散數(shù)學(xué)1授課老師授課老師: :楊逢建楊逢建基本情況基本情況: :百度百度 楊逢建楊逢建離散數(shù)學(xué)離散數(shù)學(xué)2授課人：授課人： 楊逢建楊逢建答疑時間：答疑時間：星期一星期一 1414：30301616：30 30 星期三星期三 1414：30301616：3030 答疑地點：答疑地點：基礎(chǔ)部（綜合樓基礎(chǔ)部（綜合樓414414）聯(lián)系電話：聯(lián)系電話：0200208781799887817998 1810271886018102718860E-MAILE-MAIL： 課件下載地址：課件下載地址：4040 基礎(chǔ)部基礎(chǔ)部課程代碼課程代碼：L

2、L2004 LL2004 學(xué)分：學(xué)分：2 23教材教材復(fù)變函數(shù)與積分變換，華中科技大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，復(fù)變函數(shù)與積分變換，華中科技大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，高等教育出版社高等教育出版社 (ISBN 978-7-04-038606-6)(ISBN 978-7-04-038606-6)參考書參考書復(fù)變函數(shù)，復(fù)變函數(shù)，王王綿森主綿森主編，編，高等教育出版社（高等教育出版社（ISBN 978-ISBN 978-7-7-0404- -023891023891- -4 4）積分變換，張元林編，高等教育出版社（積分變換，張元林編，高等教育出版社（ISBN 978-7-ISBN 978-7-04-012955-70

3、4-012955-7）課堂上使用的課件等資料，在課后放到網(wǎng)上供學(xué)生瀏課堂上使用的課件等資料，在課后放到網(wǎng)上供學(xué)生瀏覽學(xué)習(xí)。覽學(xué)習(xí)。離散數(shù)學(xué)離散數(shù)學(xué)4一、課前預(yù)習(xí)，一、課前預(yù)習(xí)， 按時上課；按時上課；二、集中精力，二、集中精力， 手腦并用；手腦并用；三、課后復(fù)習(xí)，三、課后復(fù)習(xí)， 完成作業(yè)。完成作業(yè)。學(xué)習(xí)本課程的具體要求學(xué)習(xí)本課程的具體要求5上課要求：上課要求：不準遲到、早退；不準遲到、早退；不準吃東西；不準吃東西；不準玩手機；不準玩手機；不準交頭接耳講話；不準交頭接耳講話；不準穿拖鞋；不準穿拖鞋；不準睡覺；不準睡覺；原則上不準請假，有要事可原則上不準請假，有要事可事先事先在老師的準在老師的準許下

4、許下進行進行調(diào)課調(diào)課，否則均為否則均為曠課曠課。6考核內(nèi)容考核內(nèi)容要求要求分數(shù)分數(shù) 比例比例考勤考勤準時到課堂，不影響其他人，準時到課堂，不影響其他人，準時離開課堂。準時離開課堂。101010%10%課堂提問、課堂提問、練習(xí)、小測練習(xí)、小測滿分為滿分為5 5分，期末取平均值。分，期末取平均值。 5 55%5%作業(yè)作業(yè)獨立、認真、正確、按時。獨立、認真、正確、按時。151515%15%期末考試期末考試采取閉卷形式考試，主要考采取閉卷形式考試，主要考查學(xué)生對本課程知識的掌握查學(xué)生對本課程知識的掌握情況。情況。10010070%70%離散數(shù)學(xué)離散數(shù)學(xué)7 總評說明總評說明: : 凡主動找老師問問題和認

5、真訂正作業(yè)中的錯誤者都適當(dāng)加分。凡主動找老師問問題和認真訂正作業(yè)中的錯誤者都適當(dāng)加分。 平時成績平時成績3030分由三部分組成：分由三部分組成： 考勤考勤1010分；課堂表現(xiàn)（平時測驗）分；課堂表現(xiàn)（平時測驗）5 5分；課后作業(yè)分；課后作業(yè)1515分。分。 考勤按學(xué)院的統(tǒng)一規(guī)定考核和記錄。遲到和早退考勤按學(xué)院的統(tǒng)一規(guī)定考核和記錄。遲到和早退1515分鐘內(nèi)分鐘內(nèi)為遲到，為遲到，1515分鐘以上為曠課，遲到分鐘以上為曠課，遲到3 3次等同于曠課次等同于曠課1 1次。登分標次。登分標準是全勤準是全勤1010分，每缺勤一次扣分，每缺勤一次扣10/3410/34分，正式請假并批準的在分，正式請假并批準的

6、在考勤中不扣分；考勤中不扣分； 課后作業(yè)是日常檢查學(xué)生復(fù)習(xí)、理解、掌握所學(xué)知識的主課后作業(yè)是日常檢查學(xué)生復(fù)習(xí)、理解、掌握所學(xué)知識的主要形式，每次批改作業(yè)評分標準從高到低分：要形式，每次批改作業(yè)評分標準從高到低分：A A、B B、C C、D D、E E 5 5級，每一章作業(yè)全部完成后給一個成績。要求學(xué)生獨立完成級，每一章作業(yè)全部完成后給一個成績。要求學(xué)生獨立完成作業(yè)，對抄襲的雙方予以批評教育，情節(jié)嚴重的適當(dāng)扣分。作業(yè)，對抄襲的雙方予以批評教育，情節(jié)嚴重的適當(dāng)扣分。 離散數(shù)學(xué)離散數(shù)學(xué)8 高等院校和任何學(xué)術(shù)交流都嚴禁任何方式的抄高等院校和任何學(xué)術(shù)交流都嚴禁任何方式的抄襲和作弊行為。學(xué)生在考試中有襲和

7、作弊行為。學(xué)生在考試中有任何作弊行為任何作弊行為，將根據(jù)學(xué)院將根據(jù)學(xué)院學(xué)生考試作弊行為處理規(guī)定（修學(xué)生考試作弊行為處理規(guī)定（修訂）訂）條例由教務(wù)處條例由教務(wù)處給予處罰給予處罰。 學(xué)生作業(yè)中，需要引用他人的，必須有明確學(xué)生作業(yè)中，需要引用他人的，必須有明確的標示。有明確標示的不視為抄襲。如果不同學(xué)的標示。有明確標示的不視為抄襲。如果不同學(xué)生的作業(yè)有生的作業(yè)有70%70%以上的內(nèi)容雷同，或同一段里有以上的內(nèi)容雷同，或同一段里有70%70%相類似，或連續(xù)相類似，或連續(xù)3030個中文字詞是一樣的，視為個中文字詞是一樣的，視為抄襲。抄襲。抄襲和被抄襲的作業(yè)或考試被評為零分抄襲和被抄襲的作業(yè)或考試被評為零

8、分。對抄襲和作弊行為的管理對抄襲和作弊行為的管理9910一、復(fù)數(shù)的概念一、復(fù)數(shù)的概念1. 虛數(shù)單位虛數(shù)單位:.,稱為虛數(shù)單位稱為虛數(shù)單位引入一個新數(shù)引入一個新數(shù)為了解方程的需要為了解方程的需要i.1 :2在在實實數(shù)數(shù)集集中中無無解解方方程程實實例例 x對虛數(shù)單位的規(guī)定對虛數(shù)單位的規(guī)定: :; 1)1(2 i.)2(四則運算四則運算樣的法則進行樣的法則進行可以與實數(shù)在一起按同可以與實數(shù)在一起按同i11虛數(shù)單位的特性虛數(shù)單位的特性:; 12 i則則是是正正整整數(shù)數(shù)一一般般地地，如如果果,n, 14 ni,14iin , 124 ni.34iin 練習(xí)練習(xí):設(shè)設(shè)k為正整數(shù)，計算為正整數(shù)，計算5243

9、324kiii122. 復(fù)數(shù)復(fù)數(shù):. , 為為復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)或或我我們們稱稱對對于于任任意意兩兩實實數(shù)數(shù)iyxzyixzyx ( ),( ).ReIm實虛部部部部xzyz ; , 0 , 0 稱稱為為純純虛虛數(shù)數(shù)時時當(dāng)當(dāng)iyzyx . ,0 , 0 xixzy我們把它看作實數(shù)我們把它看作實數(shù)時時當(dāng)當(dāng) 說明：說明：當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)x=y=0時時, z = 0；當(dāng)虛部當(dāng)虛部y0時時, z叫做虛數(shù)；叫做虛數(shù)；復(fù)數(shù)集用復(fù)數(shù)集用C表示表示, 實數(shù)集實數(shù)集R是是C的真子集的真子集. 例例1 1復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)取取何何值值時時實實數(shù)數(shù),m )43(2mm.)2(;)1(純純虛虛數(shù)數(shù)實實數(shù)數(shù)是是imm)65(2 解解令令,

10、 432 mmx, 652 mmy, 0,)1( y則則如如果果復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)是是實實數(shù)數(shù). 160652 mmmm或或知知由由, 00,)2( yx且且則則如如果果復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)是是純純虛虛數(shù)數(shù). 140432 mmmm或或知知由由.10應(yīng)應(yīng)舍舍去去知知但但由由 my. 4 m即只有即只有14二、復(fù)數(shù)的代數(shù)運算二、復(fù)數(shù)的代數(shù)運算, 222111iyxziyxz 設(shè)設(shè)兩兩復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)1. 兩復(fù)數(shù)的和兩復(fù)數(shù)的和（對應(yīng)相加）（對應(yīng)相加）:).()(212121yyixxzz 2. 兩復(fù)數(shù)的積兩復(fù)數(shù)的積（利用分配律）（利用分配律）:).()(2112212121yxyxiyyxxzz 3. 兩復(fù)數(shù)的商兩復(fù)數(shù)的商（分

11、母實化）（分母實化）:.222221122222212121yxyxyxiyxyyxxzz 例例2 2 . 的形式的形式將下列復(fù)數(shù)表示為將下列復(fù)數(shù)表示為iyx .11)2(;11)1(7iiiiii 解解ii 11)1()1)(1()1(2iii 2)1(2i , i 77)(11iii . i iiii 11)2(iiii)1()1(22 ii 1212)1)(21(ii .2123i 4. 共軛復(fù)數(shù)共軛復(fù)數(shù): 實部相同而虛部絕對值相等符號相反的兩實部相同而虛部絕對值相等符號相反的兩個復(fù)數(shù)稱為共軛復(fù)數(shù)個復(fù)數(shù)稱為共軛復(fù)數(shù). . , zz 共軛的復(fù)數(shù)記為共軛的復(fù)數(shù)記為與與. , iyxziyxz

12、 則則若若例例3 3.的的積積與與計計算算共共軛軛復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)yixyix 解解)(yixyix 22)(yix .22yx .,的的積積是是一一個個實實數(shù)數(shù)兩兩個個共共軛軛復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)zz結(jié)論：17175. 復(fù)數(shù)的模和共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)復(fù)數(shù)的模和共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì) ：11(1) Re(),Im().22i(2) (),(0).(3).(4).(5).zzzzzzzzzwzw zwz wwwwzwwzzzwwzz例例4 解解,43,55 21iziz 設(shè)設(shè). 2121 zzzz與與求求iizz435521 )43)(43()43)(55(iiii 25)2015()2015(i .5157i 21 zz.51

13、57i 例例5 解解,131 iiiz 設(shè)設(shè).)Im(),Re(zzzz 與與求求iiiz 131 )1)(1()1(3 iiiiiii ,2123i ,21)Im(,23)Re( zz 22)Im()Re(zzzz 222123 .25 2020三、復(fù)數(shù)的向量表示和復(fù)平面三、復(fù)數(shù)的向量表示和復(fù)平面 復(fù)數(shù)可用點復(fù)數(shù)可用點z(a,b)表示，也可用由表示，也可用由原點引向點原點引向點z的向量來表示（如圖）。的向量來表示（如圖）。 用直角坐標系表示復(fù)數(shù)的平面稱為用直角坐標系表示復(fù)數(shù)的平面稱為復(fù)平面復(fù)平面，x軸叫做軸叫做實軸實軸，y軸叫做軸叫做虛軸虛軸. 實軸上的點表示實數(shù)；除了原點外，虛軸上的點表示

14、純虛數(shù)實軸上的點表示實數(shù)；除了原點外，虛軸上的點表示純虛數(shù). 這種表示方式建立了復(fù)數(shù)集這種表示方式建立了復(fù)數(shù)集C C與平與平面向量集之間的一一對應(yīng)（實數(shù)面向量集之間的一一對應(yīng)（實數(shù)0 0與零與零向量對應(yīng)）向量對應(yīng)）. . 向量的長度稱為向量的長度稱為復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)z的模的模，記為，記為 | |z| |或或r ：220rabz,.ReReReImImImzzzzzzzz 1. 復(fù)向量與復(fù)平面復(fù)向量與復(fù)平面:212. 復(fù)數(shù)的輻角復(fù)數(shù)的輻角 . Arg , , , 0 zzOPzz記作記作的輻角的輻角稱為稱為為終邊的角的弧度數(shù)為終邊的角的弧度數(shù)的向量的向量以表示以表示以正實軸為始邊以正實軸為始邊的情況下的

15、情況下在在說明：說明：,0有有無無窮窮多多個個輻輻角角任任何何一一個個復(fù)復(fù)數(shù)數(shù) z , 1是是其其中中一一個個輻輻角角如如果果 ).( 2Arg1為為任任意意整整數(shù)數(shù)kkz , 0 , 0 , zz時時當(dāng)當(dāng)特特殊殊地地的全部輻角為的全部輻角為那么那么 z輻角不確定輻角不確定.22輻角主值的定義輻角主值的定義:.arg , Arg , )0( 000zzz 記記作作的的主主值值稱稱為為的的把把滿滿足足的的輻輻角角中中在在, 0 x)2arctan2( xy其其中中輻角的主值輻角的主值0 z zarg, 0, 0 yx, 0, 0 yx. 0, 0 yx,arctanxy,2 ,arctan xy

16、,2323求求Arg(x+iy)步驟：步驟： 1. 先求出先求出2. 確定點確定點x+iy位于第幾象限位于第幾象限 arg(i )arctanyxyxArg(i )arg(i )2 ,xyxyk k=0,1,2,. arctanyx若點若點x+iy位于第一、四象限，則位于第一、四象限，則 若點若點x+iy位于第二象限，則位于第二象限，則 arg(i )arctanyxyx若點若點x+iy位于第三象限，則位于第三象限，則 arg(i )arctanyxyx3.24利用直角坐標與極坐標的關(guān)系利用直角坐標與極坐標的關(guān)系 ,sin,cos ryrx復(fù)數(shù)可以表示成復(fù)數(shù)可以表示成)sin(cos irz

17、復(fù)數(shù)的三角表示式復(fù)數(shù)的三角表示式再利用歐拉公式再利用歐拉公式,sincos iei 復(fù)數(shù)可以表示成復(fù)數(shù)可以表示成 irez 復(fù)數(shù)的指數(shù)表示式復(fù)數(shù)的指數(shù)表示式四、復(fù)數(shù)的三角表示和復(fù)數(shù)的方根四、復(fù)數(shù)的三角表示和復(fù)數(shù)的方根2525例例7 把復(fù)數(shù)把復(fù)數(shù) 表示成三角形式和指數(shù)形式表示成三角形式和指數(shù)形式. 3i33 12,cos.2r解：解：3i對應(yīng)的點在第一象限對應(yīng)的點在第一象限 arg( 3i)63i2 cosisin66 i/63i2e 例例6 計算計算 iez iecosisin 1 解：解：26練習(xí)練習(xí) 將下列復(fù)數(shù)化為三角表示式與指數(shù)表示式將下列復(fù)數(shù)化為三角表示式與指數(shù)表示式:;5cos5si

18、n)2(;212)1( iziz解解zr )1(, 4412 , 在第三象限在第三象限因為因為 z122arctan 所所以以 33arctan,65 故三角表示式為故三角表示式為,65sin65cos4 iz指數(shù)表示式為指數(shù)表示式為.465iez 275cos5sin)2( iz, 1 zr顯顯然然 52cos5sin,103cos 52sin5cos,103sin 故三角表示式為故三角表示式為,103sin103cos iz指數(shù)表示式為指數(shù)表示式為.103iez 28283. 復(fù)數(shù)乘法的幾何意義復(fù)數(shù)乘法的幾何意義 11112222(cosisin),(cosisin).zrzr121112

19、2212121212121 21222(cossin)(cosisin)(coscossinsin)i(sincoscossin)(cos()isin()zzrirr rrr1212iii()12121 2eee.z zrrrr1 21 212rrz zzz1 212Arg()ArgArg .z zzz兩個復(fù)數(shù)相乘：兩個復(fù)數(shù)相乘：積的模等于各復(fù)數(shù)的模的積；積的模等于各復(fù)數(shù)的模的積；積的幅角等于這兩個復(fù)數(shù)的幅角積的幅角等于這兩個復(fù)數(shù)的幅角的和的和. 設(shè)設(shè) 292911121222,ArgArgArg,zzzzzzzz11112222,ArgArgArg .zzzzzzzz兩個復(fù)數(shù)的商的模等于它們

20、模的商，商的幅角兩個復(fù)數(shù)的商的模等于它們模的商，商的幅角等于被除數(shù)的幅角與除數(shù)的幅角的差等于被除數(shù)的幅角與除數(shù)的幅角的差. 1 21 212rrz zzz1 212Arg()ArgArg .z zzz基本性質(zhì)：基本性質(zhì)： 30304. 復(fù)數(shù)的乘方與開方復(fù)數(shù)的乘方與開方i( (cosisin )(cosisin )(cosisin)e.nnnnnnnzrrrnnrnnzzr=1時，得棣莫弗時，得棣莫弗(de Moivre)公式公式 (cosisin )cosisinnnn復(fù)數(shù)的開方復(fù)數(shù)的開方 設(shè)是設(shè)是 已知的復(fù)數(shù)，已知的復(fù)數(shù)，n為正整數(shù)，則稱滿足方程為正整數(shù)，則稱滿足方程的所有的復(fù)數(shù)為的所有的復(fù)

21、數(shù)為z的的n次方根，并且記為次方根，并且記為 .iezrnznz3131iieennnrie設(shè)設(shè)0argz0,2 ,nr nkk=0,1,2,. 02 ,nkrnk=0,1,2,. 記記02 i()e,knnnkkzrk=0,1,2,n-1 0i0ennr2 i0e,knkk=0,1,2,n-1 復(fù)數(shù)的復(fù)數(shù)的n次方根是次方根是n個復(fù)數(shù)，這個復(fù)數(shù)，這些方根的模都等于這個復(fù)數(shù)的些方根的模都等于這個復(fù)數(shù)的模的模的n次算術(shù)根，它們的幅角分次算術(shù)根，它們的幅角分別等于這個復(fù)數(shù)的幅角與別等于這個復(fù)數(shù)的幅角與2 的的0,1,2,n-1倍的和的倍的和的n分之一。分之一。 例例1 1解解,3cos3sin ),31(21 21 iziz已已知知,3sin3cos 1 iz因因為為,6sin6cos2 iz 63sin63cos 21izz所