同濟(jì)大學(xué)第五版高等數(shù)學(xué)D2對坐標(biāo)曲線積分ppt課件

1、第二節(jié)一、對坐標(biāo)的曲線積分的概念一、對坐標(biāo)的曲線積分的概念 與性質(zhì)與性質(zhì)二、二、 對坐標(biāo)的曲線積分的計算法對坐標(biāo)的曲線積分的計算法 三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 對坐標(biāo)的曲線積分 第十章 一、一、 對坐標(biāo)的曲線積分的概念與性質(zhì)對坐標(biāo)的曲線積分的概念與性質(zhì)1. 引例引例: 變力沿曲線所作的功變力沿曲線所作的功.設(shè)一質(zhì)點(diǎn)受如下變力作用在 xoy 平面內(nèi)從點(diǎn) A 沿光滑曲線弧 L 移動到點(diǎn) B, ABLxy求移cosABFW “大化小” “常代變”“近似和” “取極限”變力沿直線所作的功解決辦法:動過程中變力所作的功W.ABF ABF),(

2、, ),(),(yxQyxPyxF機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 1kMkMABxy1) “大化小”.2) “常代變”L把L分成 n 個小弧段,有向小弧段kkMM1),(kkyx近似代替, ),(kk則有kkkkyQxP),(),(kk所做的功為,kWF 沿kkMM1kkkkMMFW1),(k),(kkFnkkWW1那么用有向線段 kkMM1kkMM1上任取一點(diǎn)在kykx機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 3) “近似和”4) “取極限”nkW1kkkkkkyQxP),(),(nkW10limkkkkkky)Q(x)P,(1kMkMABxyL),(kkFkykx(其中 為 n 個小弧段的

3、最大長度)機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 2. 定義定義. 設(shè) L 為xoy 平面內(nèi)從 A 到B 的一條有向光滑弧弧,若對 L 的任意分割和在局部弧段上任意取點(diǎn), 都存在,在有向曲線弧 L 上對坐標(biāo)的曲線積分,LyyxQxyxPd),(d),(kkkxP),(kkkyQ),(nk 10lim則稱此極限為函數(shù)或第二類曲線積分. 其中, ),(yxPL 稱為積分弧段 或 積分曲線 .稱為被積函數(shù) , 在L 上定義了一個向量函數(shù)極限),(, ),(),(yxQyxPyxF記作),(yxF),(yxQ機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 LxyxPd),(,),(lim10nkkkkxPLyyxQd

4、),(,),(lim10nkkkkyQ假設(shè) 為空間曲線弧 , 記稱為對 x 的曲線積分;稱為對 y 的曲線積分.若記, 對坐標(biāo)的曲線積分也可寫作)d,(ddyxs LLyyxQxyxPsFd),(d),(d),(, ),(, ),(),(zyxRzyxQzyxPzyxFzzyxRyzyxQxzyxPsFd),(d),(d),(d)d,d,(ddzyxs 類似地, 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 3. 性質(zhì)性質(zhì)(1) 假設(shè) L 可分成 k 條有向光滑曲線弧), 1(kiLiLyyxQxyxPd),(d),(kiLiyyxQxyxP1d),(d),(2) 用L 表示 L 的反向弧 , 那么Ly

5、yxQxyxPd),(d),(LyyxQxyxPd),(d),(那么 定積分是第二類曲線積分的特例定積分是第二類曲線積分的特例.說明說明: : 對坐標(biāo)的曲線積分必須注意積分弧段的方向 !機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 二、對坐標(biāo)的曲線積分的計算法二、對坐標(biāo)的曲線積分的計算法定理定理:),(, ),(yxQyxP設(shè)在有向光滑弧 L 上有定義且L 的參數(shù)方程為)()(tytx,:t則曲線積分LyyxQxyxPd),(d),( )(),(ttP)(t)(ttd)(),(ttQ連續(xù),證明證明: 下面先證下面先證LxyxPd),(tttPd )(),()(t存在, 且有機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回

6、完畢 對應(yīng)參數(shù)設(shè)分點(diǎn)根據(jù)定義ix,it),(ii點(diǎn),i由于1iiixxx)()(1iittiit)(LxyxPd),(tttPd )(),(niiiP10)(, )(limiit)(niiiP10)(, )(limiit)()(tLxyxPd),(niiiixP10),(lim對應(yīng)參數(shù)連續(xù)所以)(t因為L 為光滑弧 ,同理可證LyyxQd),(tttQd )(),()(t機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 特別是, 假如 L 的方程為,:),(baxxy那么xxxQxxPbad )(,)(,)(xLyyxQxyxPd),(d),(對空間光滑曲線弧 :類似有zzyxRyzyxQxzyxPd),(

7、d),(d),()(t)(t)(t)(, )(),(tttQ)(, )(),(tttRtd )(, )(),(tttP,:)()()(ttztytx定理 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例1. 計算計算,dLxyx其中L 為沿拋物線xy 2解法解法1 取取 x 為參數(shù)為參數(shù), 那那么么OBAOL:01:,:xxyAO10:,:xxyOBOBAOLxyxxyxxyxdddxxxd)(0154d21023xxyyyyxyxLd)(d2112xyxy 解法解法2 取取 y 為參數(shù)為參數(shù), 那那么么11:,:2yyxL54d2114yy從點(diǎn)xxxd10的一段. ) 1, 1 ()1, 1(BA到)1

8、, 1(B)1, 1( Aoyx機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例2. 計算計算其中 L 為,:, 0aaxyyBAoaa x(1) 半徑為 a 圓心在原點(diǎn)的 上半圓周, 方向為逆時針方向;(2) 從點(diǎn) A ( a , 0 )沿 x 軸到點(diǎn) B ( a , 0 ). 解解: (1) 取取L的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為,d2xyL0:,sin,costtaytaxxyLd2ttadsin2203332a(2) 取 L 的方程為xyLd2ta202sinttad)sin(132334aaaxd00那么那么機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 yxo例例3. 計算計算,dd22yxxyxL其中L為(

9、1) 拋物線 ; 10:,:2xxyL(2) 拋物線 ;10:,:2yyxL(3) 有向折線 .:ABOAL解解: (1) 原式原式22xxxx d4103(2) 原式y(tǒng)yy222yy d5104(3) 原式y(tǒng)xxyxOAdd22102d)002(xxx1)0, 1(A)1 , 1(B2yx 2xy 10(xxxd)2210(yyd)4yxxyxABdd2210d)102(yy11機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例4. 設(shè)在力場設(shè)在力場作用下, 質(zhì)點(diǎn)由沿移動到),2,0,(kRB)0, 0,(RA.)2(AB解解: (1)zzyxxydddttkR2022d)(2) 的參數(shù)方程為kttz

10、yRx20:,0,ABzzyxxydddktt20dBAzyx試求力場對質(zhì)點(diǎn)所作的功.;,sin,cos) 1(tkztRytRx)(222Rk 222k其中為),(zxyFsFWdsFWd機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 ozyx例例5. 求求,d)(d)(d)(zyxyzxxyzI其中,2122zyxyx從 z 軸正向看為順時針方向.解解: 取取 的參數(shù)方程的參數(shù)方程,sin,costytx)02:(sincos2tttz20Itttcos)sincos22(tttttd )sin)(cossin(costt d)cos41 (220)sin)(cos2(tt 2機(jī)動 目錄 上頁 下頁

11、返回 完畢 三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系設(shè)有向光滑弧 L 以弧長為參數(shù) 的參數(shù)方程為)0()(, )(lssyysxx已知L切向量的方向余弦為sysxddcos,ddcos則兩類曲線積分有如下聯(lián)系LyyxQxyxPd),(d),(ssysysxQsxsysxPlddd)(),(dd)(),(0ssysxQsysxPldcos)(),(cos)(),(0LsyxQyxPdcos),(cos),(機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 類似地, 在空間曲線 上的兩類曲線積分的聯(lián)系是zRyQxPdddsRQPdcoscoscos令tAsAtd, ),(RQPA)d,d,(ddzy

12、xs )cos,cos,(cost sA d sA dstAd記 A 在 t 上的投影為機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 二者夾角為 例例6. 設(shè)設(shè),max22QPM曲線段 L 的長度為s, 證明),(, ),(yxQyxP續(xù),sMyQxPLdd證證:LyQxPddsQPLdcoscos設(shè)sMsQPLdcoscos說明說明: 上述證法可推廣到三維的第二類曲線積分上述證法可推廣到三維的第二類曲線積分.在L上連 )cos,(cos, ),(tQPAstALdsALdcos機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例7.7.將積分yyxQxyxPLd),(d),(化為對弧長的積分,0222xyx).0

13、 , 2()0 , 0(BO到從解：解：oyxB,22xxyxxxxyd21d2sdxyd12xxxd212sxddcos,22xx syddcosx1yyxQxyxPLd),(d),(syxQyxPLd),(),(22xx )1(x其中L 沿上半圓周機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 1. 定義kkkknkyQxP),(),(limkk10LyyxQxyxPd),(d),(2. 性質(zhì)(1) L可分成 k 條有向光滑曲線弧), 1(kiLiLyyxQxyxPd),(d),(iLkiyyxQxyxPd),(d),(1(2) L 表示 L 的反向弧LyyxQxyxPd),(d),(LyyxQxyx

14、Pd),(d),(對坐標(biāo)的曲線積分必須注意積分弧段的方向!內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 3. 計算,)()(:tytxL: tLyyxQxyxPd),(d),(tttQttPd )(),( )(),()(t)(t 對有向光滑弧 對有向光滑弧baxxyL:, )(:xxxQxxPbad )(,)(,)(xLyyxQxyxPd),(d),(機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 zzyxRyzyxQxzyxPd),(d),(d),(:,)()()(ttztytx)(, )(),(tttP)(t)(t)(t4. 兩類曲線積分的聯(lián)系LyQxPddsQPLdcoscoszRyQxPdd

15、dsRQPdcoscoscos)(, )(),(tttQ)(, )(),(tttRtd 對空間有向光滑弧 :機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 F原點(diǎn) O 的距離成正比,思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 設(shè)一個質(zhì)點(diǎn)在設(shè)一個質(zhì)點(diǎn)在),(yxM處受恒指向原點(diǎn),)0,(aA沿橢圓此質(zhì)點(diǎn)由點(diǎn)12222byax沿逆時針移動到, ),0(bB),(yxMxyo)0 ,(aA), 0(bB提示提示:yykxxkWdd AB:ABtaxcostbysin20:t(解見 P139 例5), ),(yxOM F 的大小與M 到原F 的方向力F 的作用,求力F 所作的功. ),(yxkFF),(xyk考慮考慮: 若題中若題

16、中F 的方向的方向 改為與改為與OM 垂直且垂直且與與 y 軸夾銳角軸夾銳角,那么那么 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 )0 , 0 , 1 (A)0 , 1 , 0(B) 1 , 0 , 0(Coxyz2. 知知為折線 ABCOA(如圖), 計算zyyxIddd提示提示:I001d)1 (yy10dx2)211 ( 12101d2 x1 yx1 zyyxABddzyyBCddOAxd機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 作業(yè)作業(yè) P141 3 (2), (4), (6), (7) ; 4 ; 5 ; 7 ; 8第三節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 備用題備用題 1.解解:zxoyABzk222zyxkzjyi xzkLzyxzzzyyxxk222ddd:L22 tx22 ty1 tz) 10:(t101d3ttk2ln3k)1 ,2,2(A線移動到, )2,4,4(B向坐標(biāo)原點(diǎn), 其大小與作用點(diǎn)到 xoy 面的距離成反比.沿直sFWLdF)(0r) 1 , 2 , 2(ABr求 F 所作的功 W. 知 F 的方向指一質(zhì)點(diǎn)在力場F 作用下由點(diǎn)機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 2. 設(shè)曲線設(shè)曲線C為曲面為曲面2222azyx與曲面axyx22,)0, 0(的交線az從 ox