向量的坐標(biāo)運(yùn)算及共線的坐標(biāo)表示

1、2.3.3 2.3.3 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算2.3.4 2.3.4 平面向量共線的坐標(biāo)表示平面向量共線的坐標(biāo)表示復(fù)習(xí)引入復(fù)習(xí)引入1.1.平面向量的基本定理是什么？平面向量的基本定理是什么？ 2.2.用坐標(biāo)表示向量的基本原理是什么？用坐標(biāo)表示向量的基本原理是什么？12121 122.e eaaee 若 、是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，則對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量 ，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù) ，使 xyxy(xy).i jaija 設(shè)、是與 軸、 軸同向的兩個(gè)單位向量，若 ，則 ，3.3.用坐標(biāo)表示向量，使得向量具有代數(shù)用坐標(biāo)表示向量，使得向量具有代數(shù)特征，并且可以將向量的幾何運(yùn)算轉(zhuǎn)化特征，

2、并且可以將向量的幾何運(yùn)算轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算，為向量的運(yùn)算拓展一條新為坐標(biāo)運(yùn)算，為向量的運(yùn)算拓展一條新的途徑的途徑. .我們需要研究的問題是，我們需要研究的問題是，向量向量的和、差、數(shù)乘運(yùn)算，如何轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)的和、差、數(shù)乘運(yùn)算，如何轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算，對(duì)于共線向量如何通過坐標(biāo)來反運(yùn)算，對(duì)于共線向量如何通過坐標(biāo)來反映等映等. .探究（一）：探究（一）：平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 11221122xy(xy ),(xy ),xyxyR1i jabaijbija ba bai j 設(shè)、是與 軸、 軸同向的兩個(gè)單位向量，若，則 ，根據(jù)向量的線性運(yùn)算性質(zhì)，向量 ， ， （）如何分別用思考 ：基底、表示？1

3、212121211(xx )(yy )(xx )(yy )xy.ijija bajbai ， ，1212121211(xx )(yy )(xx )(yy )xy.ijija bajbai ， ，2a ba ba 根據(jù)向量的坐標(biāo)表示，向量 ， ，的坐標(biāo)分思考 ：別如何？1212121211( xxyy),( xxyy),(xy ).ababa+ +，+- ，-，思考思考3 3：如何用數(shù)學(xué)語言描述上述向量如何用數(shù)學(xué)語言描述上述向量的坐標(biāo)運(yùn)算？的坐標(biāo)運(yùn)算？ 兩個(gè)向量和（差）的坐標(biāo)分別等于這兩兩個(gè)向量和（差）的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和（差）；個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和（差）；實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于

4、用這個(gè)實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo). .1212121211( xxyy),( xxyy),(xy ).ababa+ +，+- ，-，o ox xy yB BA AAB 思考思考4 4：如圖如圖, ,已知點(diǎn)已知點(diǎn)A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2) )，那么向量那么向量 的坐標(biāo)如何？一般地，一個(gè)的坐標(biāo)如何？一般地，一個(gè)任意向量的坐標(biāo)如何計(jì)算？任意向量的坐標(biāo)如何計(jì)算？(x2x1，y2y1).AB 任意一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示該向量任意一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示該向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去始點(diǎn)坐標(biāo)的有向線段的終點(diǎn)坐

5、標(biāo)減去始點(diǎn)坐標(biāo). .思考思考5 5：在上圖中，如何確定坐標(biāo)為在上圖中，如何確定坐標(biāo)為(x(x2 2x x1 1，y y2 2y y1 1) )的點(diǎn)的點(diǎn)P P的位置？的位置？o ox xy yB BA AP (xP (x2 2-x-x1 1,y,y2 2-y-y1 1) )思考思考6 6：若向量若向量 =(x=(x，y)y)，則，則| | | |如如何計(jì)算？若點(diǎn)何計(jì)算？若點(diǎn)A(xA(x1 1,y,y1 1) )，B(xB(x2 2，y y2 2) )， 則則 如何計(jì)算？如何計(jì)算？ AB 222121AB(xx )(yy ) A Ax xy yO O22xya aaa探究（二）：探究（二）：平面向

6、量共線的坐標(biāo)表示平面向量共線的坐標(biāo)表示 思考思考1 1：如果向量如果向量 , 共線（其中共線（其中b0），），那么那么 , 滿足什么關(guān)系？滿足什么關(guān)系？1221x yx yabba.ab1122(xy ),(xy )20ababb 設(shè)，若向量， 共線（其中），則這兩個(gè)向量的坐標(biāo)應(yīng)滿足什么關(guān)系？反思考 ：之成立嗎？0ab b 向量 ， （）共線1221(0).0abbx yx y與共線當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)推導(dǎo)過程：推導(dǎo)過程：1212,xxyy1122(,)(,)abx yxy由得：12210.x yx y消去 ：1122(,),(,),0.ax ybxyb設(shè)其中探究：探究：1.?消去 時(shí)能不能兩式相除12

7、122.?yyxx能不能寫成3.?向量共線有哪兩種形式/ / (0)ab b ab12210.x yx y12, ,0.x x不能有可能為1222,0 0,0.y ybxy不能兩式相除，有可能為 ，又中至少有一個(gè)不為 x xy yO OA AB BC CD DA BC Dkk=思考思考3 3：如何用解析幾何觀點(diǎn)得出上述結(jié)如何用解析幾何觀點(diǎn)得出上述結(jié)論？論？1221x yx y0ab b 向量 ， （）共線ab思考思考4 4：已知點(diǎn)已知點(diǎn)P P1 1(x(x1 1，y y1 1) )，P P2 2(x(x2 2，y y2 2) )，若點(diǎn)若點(diǎn)P P分別是線段分別是線段P P1 1P P2 2的中點(diǎn)

8、、三等分點(diǎn)，的中點(diǎn)、三等分點(diǎn)，如何用向量方法求點(diǎn)如何用向量方法求點(diǎn)P P的坐標(biāo)？的坐標(biāo)？x xy yO OP P2 2P P1 1P PP PP P思考思考5 5：一般地，若點(diǎn)一般地，若點(diǎn)P P1 1(x(x1 1，y y1 1) )，P P2 2(x(x2 2，y y2 2) )，點(diǎn)，點(diǎn)P P是直線是直線P P1 1P P2 2上一點(diǎn)，上一點(diǎn)，且且 ，那么點(diǎn)，那么點(diǎn)P P的坐標(biāo)有何計(jì)算的坐標(biāo)有何計(jì)算公式？公式？12PPPP 1212xxyyP(,)11x xy yO OP P2 2P P1 1P P典型例題典型例題12,1 ,(3,4),34.abab ab ab 例 已知求 ， ， 的坐標(biāo)

9、 ( 1 5)(53)34(6 19).a ba bab ， ， ， ， 例例2 2 如圖，已知如圖，已知 ABCDABCD的三個(gè)頂點(diǎn)的的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是坐標(biāo)分別是A A（-2-2，1 1）、）、B B（-1,3-1,3）、）、C(3,4)C(3,4)，試求頂點(diǎn)，試求頂點(diǎn)D D的坐標(biāo)的坐標(biāo). .o ox xy yA AB BC CD D D D（2 2，2 2） 例例3 3 已知向量已知向量 =(4=(4，2)2)， =(6=(6，y),y),且且 ，求，求y y的值的值. .y3 例例4 4 已知點(diǎn)已知點(diǎn)A(-1A(-1，-1)-1)，B(1B(1，3)3)，C(2C(2，5)5)，試判斷，試判斷A A、B B、C C三點(diǎn)是否共線？三點(diǎn)是否共線？，A A、B B、C C三點(diǎn)共線三點(diǎn)共線. . 2ABAC3 abab小結(jié)小結(jié)1. 1. 向量的坐標(biāo)運(yùn)算是根據(jù)向量的坐標(biāo)表向量的坐標(biāo)運(yùn)算是根據(jù)向量的坐標(biāo)表示和向量的線性運(yùn)算律得出的結(jié)論，它示和向量的線性運(yùn)算律得出的結(jié)論，它符合實(shí)數(shù)的運(yùn)算規(guī)律，并使得向量的運(yùn)符合實(shí)數(shù)的運(yùn)算規(guī)律，并使得向量的運(yùn)算完全代數(shù)化算完全代數(shù)化. . 2.2.對(duì)于兩個(gè)非零向量共