東南大學(xué)固體物理基礎(chǔ)課后習(xí)題解答

1、電子工程物理基礎(chǔ)課后習(xí)題參考答案第一章微觀粒子的狀態(tài)1- 1一維運(yùn)動的粒子處在下面狀態(tài)Axe-九(x>0,九0)屮(x)詔0(x<0) 將此項(xiàng)函數(shù)歸一化；求粒子坐標(biāo)的概率分布函數(shù)；在何處找到粒子的概率最大?3解：(1)由歸一化條件，可知A2jsx2e-2人dx=1，解得歸一化常數(shù)A=22。0所以歸一化波函數(shù)為：屮(x)=<2九2"入(x>°，九°)0(x<0)(2)粒子坐標(biāo)的概率分布函數(shù)為:w(x)=2(x)|2二(x>0,九0)(x<0)第3頁共14頁(3)令dw(x)=0得x=0或x=丄，根據(jù)題意，在x=0處，w(x)

2、=0,所以在x=丄處找到粒dx九九子的概率最大。1- 2若在一維無限深勢阱中運(yùn)動的粒子的量子數(shù)為no 距勢阱的左壁1/4寬度內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子概率是多少？ n取何值時，在此范圍內(nèi)找到粒子的概率最大？ 當(dāng)n-c時，這個概率的極限是多少?這個結(jié)果說明了什么問題？解：(1)假設(shè)一維無限深勢阱的勢函數(shù)為U(x),0<x<a，那么在距勢阱的左壁1/4寬度內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子概率為：P(x)=f42(x)|dx=f4-(six)2dx=-sin-o00aa42n兀2(2) 當(dāng)n=3時，在此范圍內(nèi)找到粒子的概率最大，且P(x)=丄+丄max46兀(3) 當(dāng)n-c時，P(x)=丄。此時，概率分布均勻，接近于宏觀情況

3、。41-3一個勢能為V(x)=-mo2x2的線性諧振子處在下面狀態(tài)22(x)=Ae-2x2求：歸一化常數(shù)A在何處發(fā)現(xiàn)振子的概率最大；勢能平均值U=-噸2。解:(1)由歸一化條件，可知A2f+se-gdx=1g得到歸一化常數(shù)A=4兀(2)振子的概率密度w(x)="(x)|2=aeax25由如衛(wèi)二0得到在x二0處振子出現(xiàn)的概dx率最大。(3)勢能平均值U=2x2=2fx2e-ax2dx=-1力®。224a241- 4設(shè)質(zhì)量為m的粒子在下列勢阱中運(yùn)動，求粒子的能級。8x<0V(x)-1m®2x2x>02解：注意到粒子在半勢阱中運(yùn)動，且為半諧振子。半諧振子與對

4、稱諧振子在x>0區(qū)域滿足同樣的波動方程，但根據(jù)題意，在x<0區(qū)域，勢函數(shù)為無窮，因此相應(yīng)的波函數(shù)為零，從而破壞了偶宇稱的狀態(tài)。這樣，半諧振子定態(tài)解則為諧振子的奇宇稱解(僅歸一化常數(shù)不同)。即屮(x)-AV2H憶)憶珂Tx；x>0)，n-，3,5，E-In+丄”®,n-1,3,5。0(x<0)n12丿1- 5電子在原子大小的范圍(io-im)內(nèi)運(yùn)動，試用不確定關(guān)系估計電子的最小能量。解：電子總能量E-r，作近似代換，設(shè)Arr，App，由不確定關(guān)系A(chǔ)rAp力,2mrAp2e2九212me2121meme4則E-(-s)-(-丁)2-尸。所以電子的最小能量2mAr2

5、mAr22Ar2mAr22力2E-罕，與薛定諤方程得到的氫原子基態(tài)能量表達(dá)式相同。min2力21-r-1-6氫原子處在基態(tài)屮(r,0,申)-e-a0，求:兀a30r的平均值；勢能-父的平均值；r最概然半徑。解：(1)r的平均值:r-卜f町兀r(r,0,9)|2r2sin0d9d0dr-000f+8f2J"e-a°r3sin0d申d0dr-a020(2)勢能-佯的平均值:rU-卜f町兀一二2(r,0,9)|2r2sin0d9d0dr-f8-：e-a0r2drfKsin0d&f2兀d9-000r兀a30r000(3)在球殼r-r+dr的范圍內(nèi)，電子出現(xiàn)的概率為：w(r)

6、-f2J"2(r,0,9)|2r2sin0d0d900-e-a0r2fKsin0d°f2兀d9-e-a0r2兀a300a300由讐-(°得在r-a處電子出現(xiàn)的概率最大即最概然半徑為a0。1- 7設(shè)一體系未受微擾作用時，只有兩個能級E01及Eg，受到微擾H'作用，微擾矩陣元H'12=H'a,HfH1b。211122ab都是實(shí)數(shù)，用微擾公式求能級的二級修正值。H'I2解：根據(jù)非簡并微擾公式E=E（0）+H+丫'kk，有:kkkkE（0）一E（0）nknH'2a2EE（o）+H'+2+E+b+1111E（o）一E（

7、o）01E一E120102H'2,a2EE（0）+H'+2+E+b+2222E（0）E（0）02EE2102011- 8氫分子的振動頻率是1.32x1014Hz，求在5000K時，下列兩種情況下振動態(tài)上粒子占據(jù)數(shù)之比。n=0,n=1；n=1，n=2。解：將氫分子的振動看作為諧振子，因此振子的能級為E(n+丄護(hù)®。振動態(tài)上被粒子占n2據(jù)的概率服從麥克斯韋-玻爾茲曼分布，則當(dāng)n=0，n=1時,力ek0T3.55當(dāng)n=1,n=2時,C占fek0T1 =efE22 ek0Tk0Thek0T3.551- 9求在室溫下(k0T=0025ev)電子處在費(fèi)米能級以上0.1ev和費(fèi)米能

8、級以下0.1ev的概率各是多少？解:由費(fèi)米-狄拉克分布，電子處在費(fèi)米能級以上0.1ev的概率f1=11.8%，0.1E-E-e4+1ek0T+1電子處在費(fèi)米能級以下0.1ev的概率f一1一=丄98.2%。-0.1E-S-e4+1ek0T+1第二章晶體中原子的狀態(tài)2- 1.試說明格波和彈性波有何不同?提示：從晶格格點(diǎn)分立取值和晶格周期性特點(diǎn)出發(fā)分析與連續(xù)介質(zhì)彈性波的不同。2- 2.證明：在長波范圍內(nèi)，一維單原子晶格和雙原子晶格的聲學(xué)波傳播速度均與一維連續(xù)介質(zhì)彈性波傳播速度相同，即v=1'p式中，E為彈性模量，p為介質(zhì)密度。2- 3.設(shè)有一維原子鏈，第2n個原子與第2n+1個原子之間的恢復(fù)

9、力常數(shù)為卩，第2n個原子與第2n-1個原子之間的恢復(fù)力常數(shù)為卩少0）。設(shè)兩種原子的質(zhì)量相等，最近鄰間距為a兀試求晶格振動的振動譜以及波矢q=0和q=時的振動頻率。2ad2x解：根據(jù)題意，原子運(yùn)動方程為：dt22n112n+22n+1)+卩(x2n2n+1d2xdt22n-=P(x2n+12n)+卩'(x2n-12n(1)第12頁共14頁x=Aeiq(2n+1)at設(shè)上兩式的行波解為：2n+1>(2)將式(2)代入式(1)并整理得:x=Beiq(2na)st2n+2(m®2-B-B)A+(B'eiqa+Be-iqa)B=0oc,/cc,(3)(3)中的A、B有非零

10、解，則方程組的(Beiqa+Be-iqa)A+(m®2BB)B=0J系數(shù)行列式為零，得到：®2=打+卩'±f卩2+卩'2+2卩卩,cos2qa,m所以當(dāng)q=0時，®=,®=0；q=時，®=,生,+hm-2a兀2- 4.一維雙原子晶格振動中，證明在布里淵區(qū)邊界q=±處，聲頻支中所有輕原子m靜2a止，光頻支所有重原子M靜止。證明：聲學(xué)波兩種格波的振幅比聘器0，光學(xué)波兩種格波的振幅比IB丿®®+2BM®2兀=2Bcosqa<°。當(dāng)°±茲時'I

11、B丿®®T0,A<<B,可認(rèn)為輕原子不動，A>>B，可認(rèn)為重原子不動。2- 5.什么叫聲子?它和光子有何異同之處?答：聲子是晶格振動的簡正模能量量子，光子是傳遞電磁相互作用的基本粒子。兩者均為玻色子，其分布均服從玻色-愛因斯坦分布，但產(chǎn)生的原因、描述的現(xiàn)象、對晶格的作用均不同。2- 6.一維雙原子點(diǎn)陣，已知一種原子的質(zhì)量m=5x167x10-27kg，另一種原子的質(zhì)量M=4m,力常數(shù)&=15Nm,求：(a) 光學(xué)波的最大頻率和最小頻率0、0；maxmin(b) 聲學(xué)波的最大頻率A；max(c) 相應(yīng)的聲子能量是多少eV?(d) 在300K可以

12、激發(fā)多少個頻率0、0、A的聲子?maxminmax(e) 如果用電磁波來激發(fā)長光學(xué)波振動mM解：(a)卩=0.8m，m+M即0max晉=6.7。15X®rad/-0min=5.994x1013rad/s；=2.997x1013rad/s；b）c）E=力0=0.04417eV，1maxE2-加0-0.0395eV，minE-力A-0.01975eV3maxd）n0-1-0.221，n0-1-0.277，nA-1-0.872；max鬲min丙nomax加）Amax4ekT1min4ekT1max4ekT1J翌maxM2兀c(e)九=2.813x105m。omax2- 7.設(shè)晶體中每個振子

13、的零點(diǎn)振動能量2恥，試用德拜模型求晶體的零點(diǎn)振動能。解:晶體的零點(diǎn)振動能E0是各振動模式零點(diǎn)能之和。即晶體的零點(diǎn)振動能為:ff13V9=JaD8（）p（）d®=J%力2d®=-hNl®o0022k2v38D2-8.設(shè)長度為L的一維簡單晶格，原子質(zhì)量為m,間距為a,原子間的互作用勢可表示成gU(a+5)=Acos(_)。試由簡諧近似求：a(1) 色散關(guān)系；(2) 模式密度P()；(3) 晶格熱容(列出積分表達(dá)式即可)。解：1)原子間的彈性恢復(fù)力系數(shù)為卩=d2Ud525=aa2，帶入色散關(guān)系即e=2sia2)對于一維簡單晶格，在波矢q-q+dq中的振動模式數(shù)為222-

14、dq=竺dq，即兀Nadq模式密度p(e)=巫。由(1)所得的色散關(guān)系為=amsin2qa.i=®sinqa，2dea1a/.1即1一cosqae、>1一sin2qadq"¥m22m'2=冷2-e2，帶入模式密度表達(dá)式整理后2m可得：p(e)=2N12L1兀e2-e2e方eee/kT2L1(3)帶入公式可得晶格比熱C=JDk()2de。VokT(ee/燈一1)2a兀Je2-e2平m2-9.有人說，既然晶格獨(dú)立振動頻率e的數(shù)目是確定的(等于晶體的自由度數(shù))。而方e代表一個聲子。因此，對于一給定的晶體，它必?fù)碛幸欢〝?shù)目的聲子。這種說法是否正確?提示：不正

15、確，因?yàn)槁曌邮且环N玻色子，其分布服從玻色-愛因斯坦分布，即方eekT1可知平均聲子數(shù)與與溫度有關(guān)，溫度越高，平均聲子數(shù)越多。2-10.應(yīng)用德拜模型，計算一維、二維情況下晶格振動的頻譜密度，德拜溫度，晶格比熱。解：(1)在一維情況下，在波矢q-可+dq中的振動模式數(shù)為22dq。由于德拜模型假eLL設(shè)v=，所以在e-e+de中振動模式數(shù)為p(e)de=de，即頻譜密度p(e)=q兀v兀vT斗=畔。帶入公dkLk且FP(e)de=命eD=N，即eD=罟故德拜溫度de。小Leg/方e、Je/kT式可得晶格比熱cv=喬J0Dk(肓"(de/kT-1)2S在二維情況下'在波矢可-可+dq

16、中的振動模式數(shù)為22而2-2咖q，由于德拜模eSq型假設(shè)V=，所以在e-e+de中振動模式數(shù)為p(e)de=de，即頻譜密度q兀vP(e)=兀v兀v2且JeD0p(e)de=e兀v2D2hv1N兀r/、方e%/kTS®，代入公式可得晶格比熱Cv二J0Dk（莎）2（/®/一1）2藥伽。2-11.簡述絕緣體熱導(dǎo)在以下三個溫度范圍內(nèi)和溫度的關(guān)系，并說明物理原因：T>>0D:T<<OD:介于、之間的溫度。答：t>>%時，此時熱容C不隨溫度變化，聲子的平均自由程i近似反比于聲子總數(shù),DV因聲子數(shù)血«算近似正比于T,故絕緣體的熱導(dǎo)率反比于溫

17、度T，正比于$ekT1 T<<OD時，此時聲子的平均自由程不隨溫度變化，熱容C正比于溫度T3，即絕緣體的熱DV導(dǎo)率正比于溫度T3； 溫度適中時，此時熱容C不隨溫度變化，發(fā)生U過程的聲子數(shù)量nC）=-沁e-2D，V厲®D1e2kT1即絕緣體的熱導(dǎo)率正比于e2D。第三章晶體中的大量電子3- 1.按照經(jīng)典的觀點(diǎn)，在室溫下，金屬中每個電子對比熱的貢獻(xiàn)為寸，按照量子論的觀k1點(diǎn)，如取Ef=5eV，則為4，只為經(jīng)典值的60。試解釋何以兩者相差這么大。提示：兩種情況下電子服從的統(tǒng)計分布不同，量子論觀點(diǎn)認(rèn)為只有能量高于費(fèi)米能的那些電子對比熱才有貢獻(xiàn)。室溫下T»T,大多數(shù)電子運(yùn)動

18、不自由，對熱容的貢獻(xiàn)很小，只有費(fèi)米面附近約kT范圍的電子對熱容有顯著貢獻(xiàn)，故一般情況下電子氣的熱容很小。3- 2.限制在邊長為L的正方形中的N個自由電子。電子能量E(k,k)二空(k2+k2)xy2mxy(a) 求能量E到E+dE之間的狀態(tài)數(shù)；(b) 求此二維系統(tǒng)在絕對零度的費(fèi)米能量。解：(a)在二維系統(tǒng)中，波矢k到k+dk中的狀態(tài)數(shù)對應(yīng)2兀kdk圓環(huán)中包含的狀態(tài)數(shù)。且-s在k空間中，二維點(diǎn)密度為，每個狀態(tài)可容納自旋相反的兩個電子，所以4兀2dZ.SS2k2dZdkSm/=2XX2戚=k，由題可得E(k)=，即g(E)=，所以能dk4兀2兀2mdkdE兀力2mL2量E到E+dE之間的狀態(tài)數(shù)dZ

19、=g(E)dE=dEo兀力2(b)熱力學(xué)零度時系統(tǒng)總電子數(shù)N屮/(E)g(E)dE屮g(E)dE舞EF，即仃N兀方2n兀方2Eo=FmLm其中n二N表示單位面積內(nèi)的電子數(shù)。L23- 3.設(shè)有一金屬樣品，體積為10-5m3，其電子可看作自由電子，試計算低于5ev的總的狀態(tài)數(shù)。V2m3iv2mE-3解：低于5ev的總的狀態(tài)數(shù)N=JEqg(E)dE二JEq()2E2dE=(o)2，oo2兀2方23兀2力2其中氣=5ev，帶入數(shù)據(jù)得低于5ev的總的狀態(tài)數(shù)約為5.06x1023。3- 4.在低溫下金屬鉀的摩爾熱容量的實(shí)驗(yàn)結(jié)果可寫成C=(2.08T+2.57T3)x10-3J/molK若一個摩爾的鉀有N=

20、6x1023個電子試求鉀的費(fèi)米溫度°和拜溫度。d。解：低溫下金屬的熱容量由電子熱容和晶格熱容構(gòu)成，且電子熱容正比于T,晶格熱容正比兀2T于T3。所以有A=Nk=2.08Tx10-3，解得T=1.965x104K，2TFF1CttarrB=Nk(二)3=2.57T3x10-3，解得0=91Ko50dD3- 5.一維周期場中電子波函數(shù)屮(x)應(yīng)當(dāng)滿足布洛赫定理，若晶格常數(shù)是a，電子的波函k數(shù)為如下，試求電子在這些狀態(tài)的波矢。(a) 屮(x)=sin殳xka(b) 屮(x)=icos3xka(f是某個確定的函數(shù))所以u(x)=e-ik叩(x)，且u(x)=u(x+a),kkkk(c)屮(x

21、)=藝f(x-la)ki=s解：(a)屮(x)=eiZ(x),kk兀/、則有e-ikxsinx=e-ik(x+a)sin(x+a)Ia丿a，所以e%=一1。72n+1cc兀，兀7兀得k=兀，n=0,±1,±2，若僅考慮第一布里淵區(qū)內(nèi)一一k，則k=aaaa(b)屮(x)=eikxu(x)，所以u(x)=e-i岬(x)，且u(x)=u(x+a),kkkkkk(3兀-3兀/x=e-ik(x+a)icos(x+a)Va丿_a_，所以e-血=一1。則有e一ikxicos72n+1cc兀，兀，兀得k=兀，n=0,土匕土2，若僅考慮第一布里淵區(qū)內(nèi)一一k，則k=aaaa(c)屮(x)=ei

22、kxu(x)，所以u(x)=e-i岬(x)，且u(x)=u(x+a)kkkkkk所以則有e-ikx藝f(xla)=e-ik(x+a)藝f(x+a一la)=e-ik(x+a)藝fx-(l1)a,i=si=si=s2n兀兀e-ika=1，得k=兀，n=0,土1，±2，若僅考慮第一布里淵區(qū)內(nèi)一一k，則k=0。aaa3- 6.證明，當(dāng)昭«E0時'電子數(shù)目每增加一個'則費(fèi)米能變化AE0F1g(Eo)F其中g(shù)(ef)為費(fèi)米能級的能態(tài)密度。23兀2N2解：熱力學(xué)零度時費(fèi)米能級佯=丸(-V)3。電子數(shù)目每增加一個即費(fèi)米能級的變化誓=導(dǎo)苧(N+讓-N且有(N+讓=N：(l+甘

23、N：(l+嘉),2m3丄1g(Eo)=4兀V()2(Eo)2，帶入后化簡即可得AEo=Fh2FFg(Eo)F3- 7試證明布洛赫函數(shù)不是動量的本征函數(shù)。提示：只要證明P內(nèi)即可，其中P為動量算符，屮為布洛赫函數(shù)。6)，動量算符p二-滴V作用在布洛赫函數(shù)上證明：布洛赫函數(shù)可以表示為屮(r)=e站u-訂-得一注屮(r)=-zVek-fu(r)=方k屮(r)一注ezkWu(r)豐p屮(r)，即布洛赫函數(shù)不kkk是動量的本征函數(shù)。3-8電子在周期場中的勢能V(x)2二02b2-(x-la)2(la-b<x<la+b)(l-l)a+b<x<la-b第14頁共14頁式中，a=4b，&

24、#174;是常數(shù)。試畫出此勢能曲線,解：勢能曲線如下圖所示：b2(xla)2dx=1x1m®2x2b3-b3、-一a2(3丿=2b26并求此勢能的平均值。由勢能曲線可知：V(x)是以a=4b為周期的周期函數(shù)，所以平均勢能V(x)=-JTV(x)dx=-x1-m®2fla+bT0a2la-b3-9用近自由電子模型處理上題。求此晶體的第一個以及第二個禁帶寬度。解：由圖可知：勢能V(x)在周期(-2b,2b)上是偶函數(shù)，將其展開成傅立葉級數(shù)為當(dāng)n為偶數(shù)時,E(k).=0,當(dāng)n為奇數(shù)時,E(k)=竺，所以能帶寬度AE=V(x)=V+工'Vcos0nnx12b丿其中Vn=丄J

25、2bV(x)cos4b2b滬丿dx。即第-個禁帶寬度Eg廣2即4bJb(b2x2)COS二xdxb12b丿m2Jb(b2x2)COS二xdxbmQ232b28m(2b2石Xh二二?第二個禁帶寬度mQ24b2mQ2b2x=4b兀2兀23-10.在一維周期場中運(yùn)動的電子，每一個狀態(tài)k都存在一個與之簡并的狀態(tài)-k,為什么只n兀在一附近才用簡并微擾，而其它k值卻不必用簡并微擾處理呢？a提示：由非簡并微擾計算可得，只有兩個狀態(tài)k之間必須滿足k'-k=竺上(n為整數(shù))時,aH；k豐0，才會對微擾解有貢獻(xiàn)，否則適用于非兼并微擾。3-11.能帶寬窄由什么因素決定?它與晶體所包含的原胞總數(shù)N有無關(guān)系？品

26、體中的電子在周期勢場中運(yùn)動不再屬于某個原。具有共右化運(yùn)動的特征.這種共有化運(yùn)動的結(jié)果使無陀陽體中周期性坍場影響下電了的能量狀態(tài)成為能帶而不是仆離內(nèi)能級，能帶的寬窄由晶林本身的性廣決定.它直犢反映了共有優(yōu)運(yùn)動的輜弱晶你結(jié)構(gòu)決琵了能常的寬窄與晶體所包含的原子數(shù)N無關(guān)、N壇加.表明能帶中共有優(yōu)能級數(shù)目増加丫這鬼増加能級密集的程度.而不增犧能帶的寬度.3-12.布里淵區(qū)的邊界面一定是能量的不連續(xù)面嗎?提示：不一定。對于一維情況，布里淵區(qū)的邊界面一定是能量的不連續(xù)面，但二維和三維則不一定?？赡艽嬖诘谝徊祭餃Y區(qū)在某個k方向上的能量最大值大于第二布里淵區(qū)另一方向上的能量最小值，使能帶出現(xiàn)交疊，導(dǎo)致多個允帶貫

27、通，即很大范圍內(nèi)沒有禁帶，能級上都能填充電子。3-13.已知一維晶體的電子能帶可寫成E(k)方2ma27 71“coska+cos2ka8 8其中a是晶格常數(shù)，試求：(a) 能帶的寬度；(b) 電子在波矢k的狀態(tài)時的速度；(c) 能帶底部和頂部電子的有效質(zhì)量。解:(a)首先求能量的最大值和最小值，由d|目dk(1)=asinka1coska<2丿minmaxma2E(k)E(k)=匹maxminma2(b)速度v(k)=讐=丄ndkma1)sinkasin2ka4丿-sinka(1coska)；ma2n2m(C)有效質(zhì)量m*=1，由t_(_2coskacos2kadk22,n兀(a)可知

28、：能帶底處有k=,na為偶數(shù)，代入上式得m*底=2m，能帶頂處有k=竺，na3-14.用緊束縛方法處理面心立方晶體的s態(tài)電子，若只計最近鄰的相互作用為為奇數(shù)，代入上式得m2_m。3試導(dǎo)出能帶E(k)=E-A-4Jcos0Vkakakakakak-cost+coscosr+CoSrCoS22222a-x2丿并求能帶底部電子的有效質(zhì)量。解：任取一個格點(diǎn)為原點(diǎn)，最近鄰格點(diǎn)有12個，它們的位置坐標(biāo)分別為：(土2,2,o),(土2,2,0),(土2,0,2),(土2,0,2)X0,2,土軌(0,2,土2)。222222222222帶入緊束縛方法得到的能量式E(k)二EJ-工J(R)e-ik-Rs,得到面心立方s態(tài)原子能l0-sR=nears級相對應(yīng)的能帶：el2(k-+ky)+el2<tk-+ky)+el2(k-ky)+e12<-k-ky)+e-l；乂+k)+e-l2(k-+kz)+-12(k-kz)+et2(-k-kz)+el2(ky+kz)+e-i；Cky+kz)f.k-aixe2+e.k-aei2+eV7-年e丿V.k-ael八.k-a-iz2=EA4J(coskao2、(、(.k_a.-k-a+et2+ei2+ei2ei2+e-i-2丿丿丿V丿V丿zz+)+e、.k-a+et2-.2ky+k+e-.2耳-k丿kacos+cosk