2021屆全國天一大聯(lián)考新高考模擬試卷(一)數(shù)學(xué)(理科)

1、2021屆全國天一大聯(lián)考新高考模擬試卷（一）理科數(shù)學(xué)祝考試順利注意事項(xiàng)：1、考試范圍：高考范圍。2、試題卷啟封下發(fā)后，如果試題卷有缺頁、漏印、重印、損壞或者個(gè)別字句印刷模糊不清等情況，應(yīng)當(dāng)立馬報(bào)告監(jiān)考老師，否則一切后果自負(fù)。3、答題卡啟封下發(fā)后，如果發(fā)現(xiàn)答題卡上出現(xiàn)字跡模糊、行列歪斜或缺印等現(xiàn)象，應(yīng)當(dāng)馬上報(bào)告監(jiān)考老師，否則一切后果自負(fù)。4、答題前，請先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色簽字筆填寫在試題卷和答題卡上的相應(yīng)位置，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。用2B鉛筆將答題卡上試卷類型A后的方框涂黑。5、選擇題的作答：每個(gè)小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑

2、。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非選擇題答題區(qū)域的答案一律無效。6、填空題和解答題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域的答案一律無效。如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。7、選考題的作答：先把所選題目的題號(hào)在答題卡上指定的位置用2B鉛筆涂黑。答案用0.5毫米黑色簽字筆寫在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非選修題答題區(qū)域的答案一律無效。8、保持答題卡卡面清潔，不折疊，不破損，不得使用涂改液、膠帶紙、修正帶等。9、考試結(jié)束后，請將本試題卷、答題卡、草稿紙一并依序排列上

3、交。一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，滿分60分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的（B）=（）1.已知集合A=Ix21B=(xI3x<1,A.xIx<0B.xI0x1C.x11x<0D.x|x1【答案】D解析】分析】(B)【詳解】A=xI1x1,B=xIx<0，所以4(B)=xIx1.RU先求出集合A，B，再求集合B的補(bǔ)集，然后求A故選：D【點(diǎn)睛】此題考查的是集合的并集、補(bǔ)集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.II2. 若復(fù)數(shù)z與其共軛復(fù)數(shù)z滿足z-2z=1+3i，貝川z1=()A.2B.v3C.2D.、耳5【答案】A【解析】【分析】設(shè)z=a+bi，則z-2z=-

4、a+3bi=1+3i，得到答案.【詳解】設(shè)z=a+bi，則z-2z=a+bi-2a+2bi=-a+3bi=1+3i，故a=-1,b=1,z=-1+i，忖=襯2.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.3. 拋物線y=4x2的準(zhǔn)線方程是()A.x=-1B.x=-2C.y=-1D.y=-2【答案】C【解析】試題分析：由題意得，拋物線可化為x2=4y，則p=2，所以準(zhǔn)線方程為y=-1，故選C.考點(diǎn)：拋物線的幾何性質(zhì)4.若向量a=(x+1,2)與b=(1,-1)平行，則12a+bl=()D.A.v'2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量平行得到x=-3，故|2a+b|=|

5、(-3,3，計(jì)算得到答案.【詳解】向量a=(x+1,2)與b=(1,-1)平行，則-(x+1)=2，故x=-3,l2a+bl=(-4,4)+(1,-1、=(-3,3=3邁.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)向量平行求參數(shù)，向量的模，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.5.已知m，n是兩條不重合的直線，a,卩是兩個(gè)不重合的平面，則下列命題中，錯(cuò)誤的是()A.若m丄n,m丄a，則n/aC.若m丄n,m丄a,n丄B，則a丄BB.若m/n,m/a,na，則n/aD.若m/a,a/B，則m/B或muB【答案】A【解析】【分析】根據(jù)直線和平面，平面和平面的位置關(guān)系依次判斷每個(gè)選項(xiàng)得到答案.【詳解】對(duì)于A:若m丄n,m丄

6、口，則n/a或nua，故A錯(cuò)誤；BCD正確.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了直線和平面，平面和平面的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生的空間想象能力和推斷能力.D.1x一cosx21C.f(x)=x-sin2x2答案】C解析】分析】首先通過函數(shù)的定義域排除選項(xiàng)A,再通過函數(shù)的奇偶性排除選項(xiàng)D,再通過函數(shù)的單調(diào)性排除選出B,確定答案.【詳解】由圖象可知，函數(shù)的定義域?yàn)镽，而函數(shù)/(x)=x+tanx的定義域不是R,所以選項(xiàng)A不符合題意;由圖象可知函數(shù)是一個(gè)奇函數(shù)，選項(xiàng)D中，存在實(shí)數(shù)x，使得f(-x)=-x-2cosxH-f(x)，所以函數(shù)不是奇函數(shù)，所以選項(xiàng)D不符合題意;故函數(shù)是奇函數(shù)，又y=2x在定義域上單調(diào)

7、遞增，y=2-x在定義域上單調(diào)遞減，所以f(x)=2x-2-x在定C不符合題意；由圖象可知函數(shù)是增函數(shù)，選項(xiàng)C，/(x)=1-cos2x工0，所以函數(shù)是增函數(shù)，所以選項(xiàng)C符合題意.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.7.為了加強(qiáng)“精準(zhǔn)扶貧”，實(shí)現(xiàn)偉大復(fù)興的“中國夢”，某大學(xué)派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)參加A、B、C三個(gè)貧困縣的調(diào)研工作，每個(gè)縣至少去1人，且甲、乙兩人約定去同一個(gè)貧困縣，則不同的派遣方案共有()A.24B.36C.48D.64【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，有兩種分配方案，一是3:1:1，二是2:

8、2:1，然后各自全排列，再求和.【詳解】當(dāng)按照3:1:1進(jìn)行分配時(shí)，則有C3A3-18種不同的方案;當(dāng)按照2:2:1進(jìn)行分配，則有C2A3=18種不同的方案.33故共有36種不同的派遣方案，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查排列組合、數(shù)學(xué)文化，還考查數(shù)學(xué)建模能力以及分類討論思想，屬于中檔題.4x一18已知函數(shù)f(x)-,a=2x/Go.3)，b-/(0.20.3)，c-f(log032)，則a，b，c的大小關(guān)系為()A.c<b<aB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b【答案】A【解析】【分析】首先判斷函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性

9、質(zhì)得到20.3>1，0<0.20.3<1,log0.32<0，即可得解；【詳解】解：因?yàn)閒(x)=41=2x一2-x，定義域?yàn)镽，f(-x)=2-x-2x=f(x)2x義域上單調(diào)遞增，由20.3>1,0<0.20.3<1,1。備2<0所以f2)(2o.3)>f(o.2o.3)>f(log0.3故選：A【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.9天文學(xué)中為了衡量星星的明暗程度，古希臘天文學(xué)家喜帕恰斯(Hipparchus，又名依巴谷)在公元前二世紀(jì)首先提出了星等這個(gè)概念.星等的數(shù)值越小，星星就越亮；星等的數(shù)值越大，它的

10、光就越暗.到了1850年，由于光度計(jì)在天體光度測量中的應(yīng)用，英國天文學(xué)家普森(MRPogson)又提出了衡量天體明暗程度的亮度的概念天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述兩顆星的星等與亮度滿足m1-m2=2.5(lge2-lgE1).其中星等為m的星的亮度為E(i=1,2)已知“心宿二”的星等是1.00“天津四”的星等是1.25“心宿二”的亮ii度是“天津四”的r倍，則與r最接近的是(當(dāng)x較小時(shí)，10x沁1+2.3x+2.7x2)A.1.24B.1.25C.1.26D.1.27【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，代值計(jì)算，即可得r，再結(jié)合參考公式，即可估算出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意可得：1 -1.

11、25=2.5(lgE-lgE)21E_1E“丄可得lgE=10，解得丫二才=1010，2E211根據(jù)參考公式可得rQ1+2.3x10+2.7x100=L257，故與r最接近的是1.26.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)運(yùn)算，以及數(shù)據(jù)的估算，屬基礎(chǔ)題.10.已知數(shù)列a的通項(xiàng)公式是a=fnn，其中f(x)=singx+申)3>0,丨申l<=的部分圖像如【答案】D解析】2丿分析】根據(jù)圖像得到f(x)二Sin(2x+冒)a=sina=an+6，計(jì)算每個(gè)周期和為0，故S2020=叮a2+a3+a4，計(jì)算得到答案.T7兀兀詳解】_=一_詳解】4123兀，故T二兀，故®(兀I3丿=2，f

12、(x)=sin(2x+申)，f=sin(-2+)=0,2兀T"了-兀ai=T，a2=0，a3故申=k兀_3,kez，當(dāng)k=1時(shí)滿足條件，故申=(n兀'(n兀兀、(n+6)兀兀'a=f=sin一+，a=sin+nV6)V33Jn+633V丿=a,nf(x)=sin(2x+1,3役=手，每個(gè)周期和為0,a4"弓，a5=0,故S=a+a+a+a=.202012342故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列和三角函數(shù)的綜合應(yīng)用，意在考查學(xué)生計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.11.已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F，過F作直線y=bx的垂線，垂足為M，且交雙曲線

13、a2b2a的左支于N點(diǎn)，若FN=2FM，則雙曲線的離心率為()A.3B.C.2【答案】B解析】分析】【詳解】易知直線NF:by=-xay二(x-c)解得MccIbFN=2FM2a22abc,I c4a2b2c2b2(22化簡整理得到:eke丿-=1，解得e仝.e2(a2ab(2a22ab)，根據(jù)FN=2FM得到Nc，kcc丿kcc丿，代入雙曲線方程解得答案計(jì)算得到M故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的離心率，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.(xl)2+1,x<212.已知函數(shù)f(x)=<2f(x2),x>2，若函數(shù)F(x)=f(x)-mx有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

14、A.C.、20,3-D.k206丿答案】B解析】分析】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)定義可知f(x)=mx有四個(gè)不同交點(diǎn)，畫出函數(shù)圖像可先求得斜率的大致范圍.根據(jù)函數(shù)在2<x<4和4<x<6的解析式，可求得y=mx與兩段函數(shù)相切時(shí)的斜率，即可求得m的取值范圍.(x1)2+1,x<2詳解】函數(shù)f(x)2f(x2),x>22函數(shù)F(x)二f(x)-mx有4個(gè)零點(diǎn)，即f(x)二mx有四個(gè)不同交點(diǎn).畫出函數(shù)f(x)圖像如下圖所示：由圖可知，當(dāng)2<x<4時(shí)，設(shè)對(duì)應(yīng)二次函數(shù)頂點(diǎn)為A，則A3,導(dǎo)，k_2_1，(2丿koA二I二6(1)當(dāng)4<x<6時(shí)，設(shè)對(duì)應(yīng)二次函數(shù)的

15、頂點(diǎn)為b，則B5,kI4丿kOB20所以11<m<206當(dāng)直線y=mx與2<x<4時(shí)的函數(shù)圖像相切時(shí)與函數(shù)f(x)圖像有三個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)*化簡可得x2+（2m-6）x+8=0.A=（2m-6）2-4x8二0，解得m二3-2邁,m=3+2邁（舍）當(dāng)直線y=mx與4<x<6時(shí)的函數(shù)圖像相切時(shí)與函數(shù)f(x)圖像有五個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)<y=mxy=mxy二-扣-5）2+4化簡可得x2+（4m-10）x+24=0.A=（4m-10）2-4x24二0，解得m二2gm=2+6（舍）故當(dāng)f(x)二mx有四個(gè)不同交點(diǎn)時(shí)mW故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了分段函數(shù)解析式的求法，函數(shù)零

16、點(diǎn)與函數(shù)交點(diǎn)的關(guān)系，直線與二次函數(shù)相切時(shí)的切線斜率求法，屬于難題.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.我校高一、高二、高三共有學(xué)生1800名，為了了解同學(xué)們對(duì)“智慧課堂”的意見，計(jì)劃采用分層抽樣的方法，從這1800名學(xué)生中抽取一個(gè)容量為36的樣本.若從高一、高二、高三抽取的人數(shù)恰好是從小到大排列的連續(xù)偶數(shù)，則我校高三年級(jí)的學(xué)生人數(shù)為.【答案】700【解析】【分析】設(shè)從高三年級(jí)抽取的學(xué)生人數(shù)為2x人，由題意利用分層抽樣的定義和方法，求出x的值，可得高三年級(jí)的學(xué)生人數(shù).【詳解】設(shè)從高三年級(jí)抽取的學(xué)生人數(shù)為2x人，則從高二、高一年級(jí)抽取的人數(shù)分別為2x-2,2x-4.由題意可得2

17、x+（2x-2）+（2x-4）=36x=7.362x7設(shè)我校高三年級(jí)的學(xué)生人數(shù)為N再根據(jù)二，求得N=7001800N故答案為：700.【點(diǎn)睛】本題主要考查分層抽樣，屬于基礎(chǔ)題.x-2y-4<014.已知實(shí)數(shù)x，y滿足<y<2，則z=3x一y的最大值為.、x+y>0【答案】22【解析】【分析】y=3x-z，作出可行域，利用直線的截距與b的關(guān)系即可解決.【詳解】作出不等式組表示的平面區(qū)域如下圖中陰影部分所示，由z=3x一y可得y=3x一z，觀察可知，當(dāng)直線y=3x一z過點(diǎn)B時(shí)，z取得最大值，x-2y-4二0fx二8由2，解得2，即B（8,2），所以z=3x8-2=22.Iy

18、二2Iy二2max故答案為：22.【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃中線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題，要做好此類題，前提是正確畫出可行域，本題是一道基礎(chǔ)題.n115.等差數(shù)列a的前n項(xiàng)和為S,a=3,S=10，則工=nn34Sk=1k2n【答案】n+1【解析】【分析】n(n+1)計(jì)算得到S=，再利用裂項(xiàng)相消法計(jì)算得到答案.n2【詳解】a=a+2d=3，31S=4a+6d=10，41故a.=d=1，故S1n(n+1)工丄=工亠,=2工Sk(k+1)k=1kk=1k=1(11(1)=21jkk+1丿Jn+1丿2nn+1故答案為：荷【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，裂項(xiàng)相消法求和，意在考查學(xué)生對(duì)于數(shù)列公式方法的綜

19、合應(yīng)用16古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯發(fā)現(xiàn)：平面上到兩定點(diǎn)A，B距離之比為常數(shù)九(九0且h豐1)的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓心在直線AB上的圓，該圓簡稱為阿氏圓.根據(jù)以上信息，解決下面的問題：如圖，在長方體ABCD£D1中，AB=2AD=2勒=6，點(diǎn)E在棱AB上,BE=2AE，動(dòng)點(diǎn)P滿足BP=®E.若點(diǎn)P在平面ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)P所形成的阿氏圓的半徑為;若點(diǎn)P在長方體ABCD-A1BCD內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，F(xiàn)為棱Cf的中點(diǎn)，M為CP的中點(diǎn)，則三棱錐M-BCF的體積的最小值為.-【答案】（1）.2朽（2）.4解析】分析】（1）以AB為x軸，AD為y軸，AA1為z軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)P（x，

20、y），求出點(diǎn)P的軌跡為x2+y2=12，即得解；（2）先求出點(diǎn)P的軌跡為x2+y2+z2=12，P到平面BCF的距離為由BP=、：3PE得(x-6)2+y2=3(x-2)+y2，所以x2+y2=12，所以若點(diǎn)P在平面ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)P所形成的阿氏圓的半徑為2訂.(2)設(shè)點(diǎn)P(x,y,z)，由BP=、3PE得(x-6)2+y2+z2=3(x-2)2+y2+z2,所以x2+y2+z2=12，由題得F(3,3,3,),B1(6,0,3),C(6,3,0),所以FBI=(3,-3,0),BCi=(0,3,-3),設(shè)平面BiCF的法向量為n=(xo,yo,z。)，所以nFB-3x-3y1oonBC3

21、y-3z>1o00，:n(1,1,1),由題得CP(x6,y3,z),所以點(diǎn)P到平面BCF的距離為h-罕*-1x+y竽-911InI3因?yàn)?x2+y2+z2)(12+12+12)>(x+y+z)2,a-6<x+y+z<6,丨69丨l3所以hmin-齊"，所以點(diǎn)M到平面B1CF的最小距離為由題得ABCF為等邊三角形，且邊長為叮32+32-3邁,所以三棱錐M-BC的體積的最小值為-x3（3巨）2x3=9.13424廠9故答案為：（1）.23（2）.【點(diǎn)睛】本題主要考查空間幾何中軌跡問題，考查空間幾何體體積的計(jì)算和點(diǎn)到平面距離的計(jì)算，考查最值的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這

22、些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟第1721題為必考題,每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：（共60分）17.在銳角ABC中，a-2忑,1）求角A；（2）求AABC的周長l的范圍.AAAA1注：在m-(-cos,sm),n-(cos,sm)，且m-n-，cosA(2b-c)-acosC,2 2222f（x）-cosxcos（x-*-4，f（A）-4這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面問題中并對(duì)其進(jìn)行求解.3 44【答案（1）若選，?（2）心+2鳶,6間解析】分析】（1）若選，m-n=-1，得到

23、cosA=2，解得答案.根據(jù)正弦定理得到侖=胡=烽=4，故SC=4E到答案.AAAA【詳解】(1)若選，丁m二(-cos,sin),n二(cos,sin)1，且m-n二一-乙2爲(wèi)，根據(jù)角度范圍得AA1:.cos2+sin2=-，222z(2)亠=丄=丄=4,sinAsinBsinC故l=4sinB+4sinC+2P3=4sinABC:l=4v3siABCc兀:.B+w6：ZA=I*、-B+4sinB+2羽,丿2啟，銳角ABC,故ZB&:le(6+273,63ABC(1)若選，cosA(2b-c)=acosC,貝y2bcosA=acosC+ccosA,2sinBcosA=sinB，:.c

24、osA=丄,2A/0,3：.ZAI2丿兀=丁，（2）問同上;若選f(x)=cosx(2cosx+¥inx)-4=打2x+號(hào)皿xsinx-41+cos2x2<3sin2xTx2=(cos2x+22sin2x)=丄sin(2x+)226f(A)=1:.sin4Aef0,片Al2丿2）問同上；【點(diǎn)睛】本題考查了向量的數(shù)量積，正弦定理，三角恒等變換，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力18.在創(chuàng)建“全國文明城市”過程中，銀川市“創(chuàng)城辦”為了調(diào)查市民對(duì)創(chuàng)城工作的了解情況，進(jìn)行了一次創(chuàng)城知識(shí)問卷調(diào)查（一位市民只能參加一次）通過隨機(jī)抽樣，得到參加問卷調(diào)查的100人的得分統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表所示：組別

25、30，40)40，50)50，60)60，70)70，80)80，90)90，100頻數(shù)213212524114(1) 由頻數(shù)分布表可以大致認(rèn)為，此次問卷調(diào)查的得分ZN,198),“近似為這100人得分的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的左端點(diǎn)值作代表)， 求“的值； 利用該正態(tài)分布，求P(Z'885)；(2) 在(1)的條件下，“創(chuàng)城辦”為此次參加問卷調(diào)查的市民制定如下獎(jiǎng)勵(lì)方案： 得分不低于卩的可以獲贈(zèng)2次隨機(jī)話費(fèi)，得分低于卩的可以獲贈(zèng)1次隨機(jī)話費(fèi)； 每次獲贈(zèng)的隨機(jī)話費(fèi)和對(duì)應(yīng)的概率為：贈(zèng)送話費(fèi)的金額(單元：元)2050概率3144現(xiàn)有市民甲參加此次問卷調(diào)查，記X學(xué)期望參考數(shù)據(jù)與公式：

26、J両沁14.若XN(pQ2),則P(yG<X<卩+G)二0.6826,(單位：元)為該市民參加問卷調(diào)查獲贈(zèng)的話費(fèi)，求X的分布列與數(shù)165TP(y2g)<X<y+2g二0.9544，P(y<X<y+3g)二0.9974.【答案】(1)y=60.50.0228(2)見解析,解析】分析】(1)直接根據(jù)公式計(jì)算得到y(tǒng)=60.5，G=14，計(jì)算得到答案.(2)獲贈(zèng)話費(fèi)X的可能取值為20,40,50,70,100，計(jì)算概率得到分布列，再計(jì)算數(shù)學(xué)期望得到答案.30x2+40x13+50x21+60x25+70x24+80x11+90x4詳解】(1)由題意得：=60.5,1

27、00.y=60.5，丁g=、麗沁14,P(Z>88.5)=P(Z>y+2g)=1-P(u-2G<Z<y+2g)=0.0228,1(2)由題意知P(Z<y)=P(Z>y)=-,.獲贈(zèng)話費(fèi)X的可能取值為20,40,50,70,100,P（X二20）=1x3二3,P（X二40）=1x3x3二,P（X二50）=1x1二12 4824432248P（X二70）=1x3x1+1x1x-=,P（X二100）=1x1x1=,2442441624432，X的分布列為：X2040507010039131P16832832E（X）=20x8+40x32+50x8+70x16+10

28、0x32=-4-【點(diǎn)睛】本題考查了正態(tài)分布求概率，分布列和數(shù)學(xué)期望，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力兀119.如圖，四棱錐P-ABCD中，AB/DC,ZADC=,AB=AD=CD=2,pd=pb=，PD丄BC.(1) 求證：平面PBD丄平面pbc；一一一兀CM(2) 在線段PC上是否存在點(diǎn)M,使得平面ABM與平面PBD所成銳二面角為一？若存在，求的值；3CP若不存在，說明理由.【答案(1)見證明；(2)見解析【解析】【分析】(1)利用余弦定理計(jì)算BC,根據(jù)勾股定理可得BC丄BD,結(jié)合BC丄PD得出BC丄平面PBD,于是平面CMPBD丄平面PBC；(2)建立空間坐標(biāo)系，設(shè)_cp=兒計(jì)算平面ABM

29、和平面PBD的法向量，令法向量的夾JL角的余弦值的絕對(duì)值等于2，解方程得出入的值，即可得解.【詳解】(1)證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD為直角梯形,兀且AB/DC,AB=AD=2,ZADC二-,所以BD=2邁,又因?yàn)镃D二4,ZBDC=?根據(jù)余弦定理得BC=2邁,4所以CD2=BD2+BC2，故BC丄BD.又因?yàn)锽C丄PD,PDcBD=D，且BD,PDu平面PBD，所以BC丄平面PBD,又因?yàn)锽Cu平面PBC,所以平面PBC丄平面PBD（2）由（1）得平面ABCD丄平面PBD,設(shè)E為BD的中點(diǎn)，連結(jié)PE，因?yàn)镻B=PD=6,所以PE丄BD,PE=2，又平面ABCD丄平面PBD，平面ABCD平面PBD

30、=BD，PE丄平面ABCD.如圖，以A為原點(diǎn)分別以AD，AB和垂直平面ABCD的方向?yàn)閤，y，z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，則A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(2,4,0)，D(2,0,0)，P(1,1,2)，CM假設(shè)存在M(a,b,c)滿足要求，設(shè)-C二九(0九1)，即CM二九CP,CP所以M(2-九,4-3九,2九),易得平面PBD的一個(gè)法向量為BC=(2,2,0).設(shè)n二(x,y,z)為平面ABM的一個(gè)法向量，AB=(0,2,0)，AM=(2-九,4-3X,2九)不妨取n=（2九,0,九2）.n-AB=0曰J2y=0由n-AM=0侍(2九)x+(43九)y+2九z=0面

31、與平面礎(chǔ)知識(shí)，面面關(guān)系求也可以建系來做兀(九一2)2因?yàn)槠矫鍼BD與平面ABM所成的銳二面角為-，所以2.一彳解得X=3,X=2，(不合題意舍去).CM2故存在M點(diǎn)滿足條件，且CM=一CP點(diǎn)睛】本題主要考查空間直線與直線、直線與平面位置關(guān)角一般是定義法，做出二面角，或者三垂線法做出二面角，利120.已知函數(shù)f(x)=(x+1)ln(x+1)一一ax2一x(agR)2(1)設(shè)h(x)=f'(x)，試討論h(x)的單調(diào)性;(2)若函數(shù)f(x)在(0,+8)上有最大值，求實(shí)數(shù)a取值范圍丄()【答案】(1)在一1,一1上單調(diào)遞增，在一一h+a上單解析】(1)計(jì)算h(x)=f，(x)=In(x+

32、1)ax，h(x)=討論a<0，a>0兩種情況，計(jì)算得到答案分析】(1)(2)討論a<0，a>1，0<a<1三種情況，求導(dǎo)得到函數(shù)單調(diào)區(qū)間，h-1>0，由零點(diǎn)存在性定理,Va丿存在&七-q，使得h*)=0，計(jì)算最值得到答案.【詳解】(1)廣(x)=ln(x+1)ax,令h(x)=f(x)=ln(x+1)ax，h'(x)=當(dāng)a<0時(shí)，h(x)>0，/.f'(x)在(1,+a)上遞增，無減區(qū)間;當(dāng)a>0時(shí)，令h(x)>01令h'(x)<0，則x>-一1,a所以f'(x)在卜1，a-

33、1(1上單調(diào)遞增，在-Va(2)由(1)可知，當(dāng)a<0時(shí)，./'(x)在(0,也)上遞增，:.f'(x)>f'(0)=0,.f(x)在(0,也)上遞增，無最大值，不合題意;當(dāng)a>1時(shí),H(x)=x)在(0,皿)上遞減，x+1當(dāng)0<a<1時(shí)，-1>0,a故f'(x)<f'(0)=0,/.f(x)在(0,皿)上遞減，無最大值，不合題意;上單調(diào)遞減；由(1)可知f'(x丿在0,-1上單調(diào)遞增,Ia丿設(shè)g(x)=x-1-lnx，貝yg，(x)二X-；x令g'(x)<0，則0<x<1；令g

34、'(x)>0，貝x>1，g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+x)單調(diào)遞增，g(x)>g(1)=0，即lnx<x-1,由此，當(dāng)x>0時(shí)，lnJx<、】x-1<、；x，即lnx<2"x.所以，當(dāng)x>0時(shí)，h(x)<2Jx+1-ax<2-x+1-a(x+1)=fx+1C-apx+1).取t=1，則t>丄1，且h(t)<pt+1(zaQt+1)=0，a2ah(0)=0,(1)又因?yàn)閔-1>Ia丿所以由零點(diǎn)存在性定理，存在x0J1-匕八，使得h(x)=0；.0va丿0當(dāng)xg(0,x)時(shí)，h(x)&

35、gt;0，即廣(x)>0；0當(dāng)xe(x,+a)時(shí)，h(x)<0，即廣(x)<0；0所以f(x)在(0,x0)上單調(diào)遞增，在(x0,+a)上單調(diào)遞減，故函數(shù)在(°，*8)上有最大值f(x0).綜上，0<a<1.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)最值求參數(shù)，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.21已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓C:蘭+啟=1(a>b>0)的左，右焦點(diǎn)分別為，f2，f2點(diǎn)又恰為拋物線a2b2122D:y2=4x的焦點(diǎn)，以件©為直徑的圓與橢圓C僅有兩個(gè)公共點(diǎn).(1) 求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2) 若直線l與D相交于A，B兩點(diǎn)，記點(diǎn)

36、A，B到直線x=-1的距離分別為d，d,1AB|=d+d.直1 212線l與C相交于E,F兩點(diǎn)，記OAB,OEF的面積分別為sS.12(i) 證明：AEFF的周長為定值；S(ii) 求的最大值.1【答案(1)+y2=1；(2)(i)詳見解析；(ii).24【解析】【分析】(1) 由已知求得©(I，。)，可得c=1，又以f2為直徑的圓與橢圓C僅有兩個(gè)公共點(diǎn)，知b二c,從而求得a與b的值，則答案可求；(2) (i)由題意，x=1為拋物線D的準(zhǔn)線，由拋物線的定義知，IAB1=d+d=1AFI+IBFI，結(jié)合1222IABIIAFI+IBFI，可知等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)A，B，F(xiàn)2三點(diǎn)共線時(shí)成立.可得

37、直線l過定點(diǎn)F2，根據(jù)橢圓定2222義即可證明IEFI+IEFI+IFFI為定值；11(方)若直線1的斜率不存在，則直線1的方程為x=1，求出ABI與IEFI可得匚2=;若直線ISIABI41的斜率存在，可設(shè)直線方程為y=k(X1)，A(x，y)，B(x，y)，E(x，y3)，F(xiàn)(x，y)，方便聯(lián)立11223344直線方程與拋物線方程，直線方程與橢圓方程，利用弦長公式求得ABI，IEFI，可得sIEFIk2-72(1)(0V2)S譽(yù)=而=遷(1+2k2)=Tx()G(0，T)，由此可求F的最大值.1k21【詳解】解：(I)因?yàn)閒2為拋物線D:y2=4x的焦點(diǎn)，故仆1，。)所以c=1又因?yàn)橐訤F

38、2為直徑的圓與橢圓C僅有兩個(gè)公共點(diǎn)知：b=c所以a=弋2，b=1所以橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為：芋+y2=12(2)(i)由題知，因?yàn)閤=1為拋物線D的準(zhǔn)線由拋物線的定義知：AB=d1+d2=lAF|+IBF又因?yàn)镮ABl<AF+BF，等號(hào)當(dāng)僅當(dāng)a,b,F2三點(diǎn)共線時(shí)成立2 22所以直線l過定點(diǎn)f2根據(jù)橢圓定義得：EF+FF+FF=4a=4近2IEFI+EF+FF=EF+2（ii）若直線l的斜率不存在,則直線l的方程為X=1因?yàn)镮AB1=4，|EF，所以SIEFI<2=SIABI41若直線1的斜率存在，則可設(shè)直線1:y=k（x-1）（k豐°），設(shè)A（xi，*，B（x2,打）y2=4x(、得，k2x2-2k2+4/x+k2=0、y=k(x1)所以xi+x22k2+4k2IABI=x+x+2=124k2+4k2由1則x3+x4=存所以IEF=J1+k2x-x3 41+k2J(x+x)2-4xx3434)1+2k2k24呼SIEFI則了=而.-2(1+2k2)設(shè)E(x3,y3)，F(xiàn)(x4,y4),x22-1/2+y2=得,v1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0y=k(x-1)2k2-2xx=3 41+2k2綜上知：+的最大值等于乞2S4點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓、直線與拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題（二）選考題