一區(qū)域連通性的分類

1、YunnanUniversity1. 各種積分間的聯(lián)系各種積分間的聯(lián)系1一、區(qū)域連通性的分類一、區(qū)域連通性的分類 設(shè)設(shè)D為平面區(qū)域?yàn)槠矫鎱^(qū)域, , 如果如果D內(nèi)任一閉曲線所內(nèi)任一閉曲線所圍成的部分都屬于圍成的部分都屬于D, , 則稱則稱D為平面單連通區(qū)為平面單連通區(qū)域域, , 否則稱為復(fù)連通區(qū)域否則稱為復(fù)連通區(qū)域. .復(fù)連通區(qū)域復(fù)連通區(qū)域單連通區(qū)域單連通區(qū)域DDYunnanUniversity1. 各種積分間的聯(lián)系各種積分間的聯(lián)系2二、格林公式二、格林公式定理定理YunnanUniversity1. 各種積分間的聯(lián)系各種積分間的聯(lián)系3連成連成與與由由21LLL組組成成與與由由21LLL邊界曲線

2、邊界曲線L L的正向的正向: 當(dāng)觀察者沿邊界行走時(shí)當(dāng)觀察者沿邊界行走時(shí),區(qū)區(qū)域域D總在他的左邊總在他的左邊.2LD1L2L1LDYunnanUniversity1. 各種積分間的聯(lián)系各種積分間的聯(lián)系4),()(),(21bxaxyxyxD 證明證明(1)(1)若若區(qū)區(qū)域域D既既是是 X型型又又是是 Y型型,即即平平行行于于坐坐標(biāo)標(biāo)軸軸的的直直線線和和L至至多多交交于于兩兩點(diǎn)點(diǎn).),()(),(21dycyxyyxD yxo abDcd)(1xy )(2xy ABCE)(2yx )(1yx YunnanUniversity1. 各種積分間的聯(lián)系各種積分間的聯(lián)系5dxxQdydxdyxQyydcD

3、 )()(21 dcdcdyyyQdyyyQ),(),(12 CAECBEdyyxQdyyxQ),(),( EACCBEdyyxQdyyxQ),(),( LdyyxQ),(同理可證同理可證 LDdxyxPdxdyyP),(yxod)(2yx DcCE)(1yx YunnanUniversity1. 各種積分間的聯(lián)系各種積分間的聯(lián)系6 若區(qū)域若區(qū)域D由按段光由按段光滑的閉曲線圍成滑的閉曲線圍成. .如圖如圖, ,證明證明(2)(2)L1L2L3LD1D2D3D兩式相加得兩式相加得 LDQdyPdxdxdyyPxQ)(將將D分成三個(gè)既是分成三個(gè)既是 X型又是型又是 Y型的區(qū)域型的區(qū)域1D, ,2D

4、, ,3D. . 321)()(DDDDdxdyyPxQdxdyyPxQYunnanUniversity1. 各種積分間的聯(lián)系各種積分間的聯(lián)系7GD3L2LFCE1LAB證明證明(3)(3)由由(2)知知 DdxdyyPxQ)( CEAFCBALAB2 CGAECLQdyPdx)(3YunnanUniversity1. 各種積分間的聯(lián)系各種積分間的聯(lián)系8xyoL1. 1. 簡(jiǎn)化曲線積分簡(jiǎn)化曲線積分三、簡(jiǎn)單應(yīng)用三、簡(jiǎn)單應(yīng)用ABDBOABOAL YunnanUniversity1. 各種積分間的聯(lián)系各種積分間的聯(lián)系92. 2. 簡(jiǎn)化二重積分簡(jiǎn)化二重積分xyoAB11DYunnanUniversit

5、y1. 各種積分間的聯(lián)系各種積分間的聯(lián)系10解解YunnanUniversity1. 各種積分間的聯(lián)系各種積分間的聯(lián)系11L1DrlxyoLDyxo220 xdyydxxy YunnanUniversity1. 各種積分間的聯(lián)系各種積分間的聯(lián)系12 lLyxydxxdyyxydxxdy2222xyor1DlL02222 lLyxydxxdyyxydxxdy.2 (注意格林公式的條件注意格林公式的條件) drrr22222sincos 20YunnanUniversity1. 各種積分間的聯(lián)系各種積分間的聯(lián)系13 LDydxxdydxdy23. 3. 計(jì)算平面面積計(jì)算平面面積YunnanUniv

6、ersity1. 各種積分間的聯(lián)系各種積分間的聯(lián)系14解解 LydxxdyA21 AMOONAydxxdyydxxdy2121)0 ,(aANMYunnanUniversity1. 各種積分間的聯(lián)系各種積分間的聯(lián)系15其中其中L是曲線是曲線| |x|+|+|y|=1|=1圍成的區(qū)域圍成的區(qū)域D的正向邊界。的正向邊界。11- -1- -1LDyxO格林公式的應(yīng)用格林公式的應(yīng)用 （格林公式）（格林公式） 從從 證明了證明了： 練習(xí)練習(xí)1 1 計(jì)算積分計(jì)算積分 Lxxyyxyyd)1cose(d)sine(解解 Dxycose(yxyxdd)1cose 222 A DyxyPxQdd LyyxQxy

7、xPd),(d),( Lxxyyxyyd)1cose(d)sine(YunnanUniversity1. 各種積分間的聯(lián)系各種積分間的聯(lián)系16練習(xí)練習(xí)2 2求星形線求星形線tytxL33sin,cos ：所界圖形的面積。所界圖形的面積。解解 DyxAdd Lyxd 2064dcoscos12ttt 2024dsincos3t tt8322143652214312 yxODL11- -1- -1 DyxyPxQddYunnanUniversity1. 各種積分間的聯(lián)系各種積分間的聯(lián)系17重要意義：重要意義： 1.1.它它建立了建立了二重積分二重積分與與曲線積分曲線積分的一種等式關(guān)系的一種等式關(guān)系

8、2.2.它它揭示了揭示了函數(shù)在區(qū)域函數(shù)在區(qū)域內(nèi)部?jī)?nèi)部與與邊界邊界之間的內(nèi)在聯(lián)系之間的內(nèi)在聯(lián)系4.4.它的應(yīng)用范圍可以它的應(yīng)用范圍可以突破突破右手系的限制，使它的右手系的限制，使它的應(yīng)用應(yīng)用 3.3.從它出發(fā)，可以從它出發(fā)，可以導(dǎo)出導(dǎo)出數(shù)學(xué)物理中的數(shù)學(xué)物理中的許多重要公式許多重要公式更加廣泛更加廣泛，而這只需要改變邊界的正向定義即可。，而這只需要改變邊界的正向定義即可。二二 高斯公式高斯公式Y(jié)unnanUniversity1. 各種積分間的聯(lián)系各種積分間的聯(lián)系18 設(shè)空間區(qū)域設(shè)空間區(qū)域G, , 如果如果G內(nèi)任一閉曲面所圍成內(nèi)任一閉曲面所圍成的區(qū)域全屬于的區(qū)域全屬于G, , 則稱則稱G是空間二維單

9、連通域是空間二維單連通域; ; 如果如果G內(nèi)任一閉曲線總可以張一片完全屬于內(nèi)任一閉曲線總可以張一片完全屬于G的曲面的曲面, , 則稱則稱G為空間一維單連通區(qū)域?yàn)榭臻g一維單連通區(qū)域. .GGG一維單連通一維單連通二維單連通二維單連通一維單連通一維單連通二維不連通二維不連通一維不連通一維不連通二維單連通二維單連通YunnanUniversity1. 各種積分間的聯(lián)系各種積分間的聯(lián)系19dSRQPdvzRyQxP)coscoscos()( 或或高斯公式高斯公式Y(jié)unnanUniversity1. 各種積分間的聯(lián)系各種積分間的聯(lián)系20證明證明xyzo),(1:1yxzz ),(2:2yxzz 3 1

10、2 3 xyDYunnanUniversity1. 各種積分間的聯(lián)系各種積分間的聯(lián)系21根據(jù)三重積分的計(jì)算法根據(jù)三重積分的計(jì)算法dxdydzzRdvzRxyDyxzyxz ),(),(21.),(,),(,12 xyDdxdyyxzyxRyxzyxR根據(jù)曲面積分的計(jì)算法根據(jù)曲面積分的計(jì)算法,),(,),(11 xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxRYunnanUniversity1. 各種積分間的聯(lián)系各種積分間的聯(lián)系22,),( dydzzyxPdvxP同理同理,),( dzdxzyxQdvyQ-高斯公式高斯公式和并以上三式得：和并以上三式得： RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQx

11、P)(YunnanUniversity1. 各種積分間的聯(lián)系各種積分間的聯(lián)系23GaussGauss公式的實(shí)質(zhì)公式的實(shí)質(zhì) 表達(dá)了空間閉區(qū)域上的三重積分與其邊界表達(dá)了空間閉區(qū)域上的三重積分與其邊界曲面上的曲面積分之間的關(guān)系曲面上的曲面積分之間的關(guān)系.)coscoscos()( dSRQPdvzRyQxP 由兩類曲面積分之間的關(guān)系知由兩類曲面積分之間的關(guān)系知YunnanUniversity1. 各種積分間的聯(lián)系各種積分間的聯(lián)系24xozy113解解, 0,)(yxRQxzyP 2. 2. 簡(jiǎn)單應(yīng)用簡(jiǎn)單應(yīng)用: :YunnanUniversity1. 各種積分間的聯(lián)系各種積分間的聯(lián)系25, 0, 0,

12、 zRyQzyxP dxdydzzy)(原式原式 dzrdrdzr)sin(.29 (利用柱面坐標(biāo)得利用柱面坐標(biāo)得)xozy113 301020)(sinrdzzrdrdYunnanUniversity1. 各種積分間的聯(lián)系各種積分間的聯(lián)系26使用使用Guass公式時(shí)應(yīng)注意公式時(shí)應(yīng)注意:YunnanUniversity1. 各種積分間的聯(lián)系各種積分間的聯(lián)系27xyDxyzoh 1 解解空間曲面在空間曲面在 面上的投影域?yàn)槊嫔系耐队坝驗(yàn)閤oyxyD)(:2221hyxhz 補(bǔ)補(bǔ)充充曲面曲面 不是封閉曲面不是封閉曲面, 為利用為利用高斯公式高斯公式取上側(cè)，取上側(cè)，1 構(gòu)成封閉曲面，構(gòu)成封閉曲面，1

13、 .1 圍圍成成空空間間區(qū)區(qū)域域,上上使使用用高高斯斯公公式式在在 YunnanUniversity1. 各種積分間的聯(lián)系各種積分間的聯(lián)系28 112222)coscoscos(dSzdSzyx xyDdxdyh2.4h 故所求積分為故所求積分為 dSzyx)coscoscos(222421h 4h .214h YunnanUniversity1. 各種積分間的聯(lián)系各種積分間的聯(lián)系29三、斯托克斯三、斯托克斯(stokes)(stokes)公式公式- 斯托克斯公式斯托克斯公式dxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR)()()( RdzQdyPdx YunnanUniversity1.

14、各種積分間的聯(lián)系各種積分間的聯(lián)系30n 是有向曲面是有向曲面 的的正向邊界曲線正向邊界曲線 右手法則右手法則xyzo),(:yxfz xyD Cn證明證明如圖如圖YunnanUniversity1. 各種積分間的聯(lián)系各種積分間的聯(lián)系31思路思路曲面積分曲面積分二重積分二重積分曲線積分曲線積分12dsyPzPdxdyyPdzdxzP)coscos( 代代入入上上式式得得又又,coscos yfdsfzPyPdxdyyPdzdxzPy cos)( YunnanUniversity1. 各種積分間的聯(lián)系各種積分間的聯(lián)系32dxdyfzPyPdxdyyPdzdxzPy)( 即即,),(,dxdyyxf

15、yxPydxdyyPdzdxzPxyD yfzPyPyxfyxPy ),(,1YunnanUniversity1. 各種積分間的聯(lián)系各種積分間的聯(lián)系33 cDdxyxfyxPdxdyyxfyxPyxy),(,),(,dxyxfyxPdxdyyPdzdxzPc ),(,即即根椐格林公式根椐格林公式平面有向曲線平面有向曲線2,),(dxzyxPdxdyyPdzdxzP 空間有向曲線空間有向曲線YunnanUniversity1. 各種積分間的聯(lián)系各種積分間的聯(lián)系34,),(dyzyxQdydzzQdxdyxQ 同理可證同理可證,),(dzzyxRdzdxxRdydzyR 故有結(jié)論成立故有結(jié)論成立.

16、YunnanUniversity1. 各種積分間的聯(lián)系各種積分間的聯(lián)系35 RdzQdyPdxRQPzyxdxdydzdxdydz RdzQdyPdxdsRQPzyx coscoscos另一種形式另一種形式cos,cos,cos n其中其中便于記憶形式便于記憶形式Y(jié)unnanUniversity1. 各種積分間的聯(lián)系各種積分間的聯(lián)系36StokesStokes公式的實(shí)質(zhì)公式的實(shí)質(zhì): : 表達(dá)了有向曲面上的曲面積分與其邊界曲線表達(dá)了有向曲面上的曲面積分與其邊界曲線上的曲線積分之間的關(guān)系上的曲線積分之間的關(guān)系. .斯托克斯公式斯托克斯公式格林公式格林公式特殊情形特殊情形.1 , 0 , 0cos,cos,cos n此此時(shí)時(shí)，YunnanUniversity1. 各種積分間的聯(lián)系各種積分間的聯(lián)系371. 1. 簡(jiǎn)單應(yīng)用