第二章電阻電路的等效變換

1、第二章電阻電路的等效變換“等效變換”在電路理論中是很重要的概念，電路等效變換的方法是電路問題分析中經(jīng)常使用的方法。所謂兩個(gè)電路是互為等效的，是指（1）兩個(gè)結(jié)構(gòu)參數(shù)不同的電路再端子上有相同的電壓、電流關(guān)系，因而可以互相代換；（2）代換的效果是不改變外電路（或電路中未被代換的部分）中的電壓、電流和功率。由此得出電路等效變換的條件是相互代換的兩部分電路具有相同的伏安特性。等效的對象是外接電路（或電路未變化部分）中的電壓、電流和功率。等效變換的目的是簡化電路，方便地求出需要求的結(jié)果。深刻地理解“等效變換”的思想，熟練掌握“等效變換”的方法在電路分析中是重要的。2-1電路如圖所示，已知Us=10OV,R

2、i=2kR2=8Q|。若：（1）；（2）Rs八（Rs處開路）；（3）f"（Rs處短路）。試求以上3種情況下電壓u2和電流i2,is。題2-1圖R=4k11解：（1）R2和R3為并聯(lián)，其等效電阻2h=亠100.50mA則總電流R1R243分流有分流有>2=>3于訐EMA氏叫2=8孚=66.667V6當(dāng)，有>3=0UsR1+R220A10mA口2=只22=810=80V(3)R3，有2=0,u?=0>3=Ri2-2電路如圖所示，其中電阻、電壓源和電流源均為已知，且為正值。求：（1）電壓U2和電流>2；（2）若電阻R1增大，對哪些元件的電壓、電流有影響？影響如

3、何？i1-S2-2S解：（1）對于R2和R3來說，其余部分的電路可以用電流源is等效代換，如題解圖（a）所示。因此有題解圖（a）所示。因此有R3>3R2R3U2R2R3>sR2R3（2）由于R和電流源串接支路對其余電路來說可以等效為一個(gè)電流源，如題解圖（b）所示。因此當(dāng)R1增大，對R2，R3，R4及Us的電流和端電壓都沒有影響但R1增大，R上的電壓增大，將影響電流源兩端的電壓，因?yàn)轱@然U>S隨R1的增大而增大題解孕目注：任意電路元件與理想電流源is串聯(lián)，均可將其等效為理想電壓源is,如本題中題解圖（玄）和（b）。但應(yīng)該注意等效是對外部電路的等效。圖（a）和圖（b）中電流源兩端

4、的電壓就不等于原電路中電流源兩端的電壓Uis。同時(shí)，任意電路元件與理想電壓源4并聯(lián)，均可將其等效為理想電壓源us，如本題中對而言，其余部分可以等效為us，如題圖（c）所示。但等效是對外部電路（如R4）的等效，而圖（C）中Us上的電流則不等于原電路中Us中的電流。Uo2-3電路如圖所示。（1）求us；（2）當(dāng)R2RlRJ/R2（二RiR2R1R2）時(shí),UoUs可近R2R1R2當(dāng)Rl為（R1R2）的100倍、10倍時(shí)，分別計(jì)算此相對誤差。解：（1）R2RlR2Rl尺UsR1Ru。二RiUsRR1R似為R1R2，此時(shí)引起的相對誤差為u。R2出Ri_更I。UoUsUo=R所以UsR1RR2RLR1R2

5、R1RlR2Rl設(shè)RlRiR2Uo=KR1R2，帶入上述Us式子中，可得R1R2UoUsR2KRR2RiR2R1R2(R1R2)KR1R2K(1K)R2R1R2相對誤差為(UoUsRi-1R2)1OOOoR2UoUsR2R21KR1R2R1R210000K1KR1R2R21OOoo-100ooK當(dāng)K=100時(shí)K=10時(shí)K=10時(shí)一1O°o2-4求圖示電路的等效電阻陽，其中R二R2二1R3二R4=2R5二4'1G1=G2TS,R=2解：(a)圖中R4被短路，原電路等效為圖(a1)所示。應(yīng)用電阻的串并聯(lián),Rab二R/R2/rJRs二1/1/214=4.411R4處(b)圖中G和G

6、2所在支路的電阻R11-2門G1G2所以Rab=R/R4丨R3二2/2丨2=3.|(c)圖可以改畫為圖(c1)所示，這是-一個(gè)電橋電路，由于R1R2，R3于電橋平衡，故開關(guān)閉合與打開時(shí)的等效電阻相等。Rab=(RlR3)(R2RJ=(12)/(12)=1.5-Cel)Cel)(d) 圖中節(jié)點(diǎn)1,1同電位(電橋平衡)，所以1間跨接電阻R2可以拿去(也可以用短路線替代)，故Rab=(R1+R2)(R1*R2)R1=(1*1)/(1*1)/1=0.5。(e) 圖是一個(gè)對稱的電路。解法一：由于結(jié)點(diǎn)1與1，2與2等電位，結(jié)點(diǎn)33,3”等電位，可以分別把等電位點(diǎn)短接，電路如圖(e1)所示，貝URab=2(

7、RR)=；R=3門R1解法二：將電路從中心點(diǎn)斷開(因斷開點(diǎn)間的連線沒有電流)如圖(e2)所示RabRab2R(2R/2R)2i3'1解法三：此題也可根據(jù)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)，令各支路電流如圖(e3)所示，則左由此得端口電壓所以Ra-uri3'1上角的網(wǎng)孔回路方程為2Ri2=2Rh故i2=i1由結(jié)點(diǎn)的KCL方程0.5i=i2ii=2i2=2ii1.2=iii4Uab=R0.5i2R4iR0.=3Ri(f) 圖中(1',1'丄21)和(2.S2.字'J構(gòu)成兩個(gè)丫形連接，分別將兩個(gè)丫形轉(zhuǎn)化成等值的形連接，如圖(f1)和(f2)所示。等值形的電阻分別為R(11打1)=

8、2.5"R2二(1212)=5"R3二R2=5門尺=22=8門R2=12牙=4門R3二R2=4門并接兩個(gè)厶形，最后得圖(f3)所示的等效電路，所以Rab二2II(R2R2)R1/R】(R/R3)=2/(5/4)2.51181/1(5114)二2040/20=1.269-_19219bo1(f3)（g）圖是一個(gè)對稱電路。解法一：由對稱性可知，節(jié)點(diǎn)1,1-1等電位，節(jié)點(diǎn)2,2等電位，連接等電位點(diǎn)，得圖（gi）所示電路。貝U器R滬加心時(shí)器R滬加心時(shí)解法二：根據(jù)電路的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，得各支路電流的分布如圖（g2）所示。由此得端口電壓uabT-3所以RabUabi注：本題入端電阻的計(jì)算過程

9、說明，判別電路中電阻的串并聯(lián)關(guān)系是分析混聯(lián)電路的關(guān)鍵。一般應(yīng)掌握以下幾點(diǎn)（1）根據(jù)電壓、電流關(guān)系判斷。若流經(jīng)兩電阻的電流是同一電流，則為串聯(lián)；若兩電阻上承受的是同一電壓，就是并聯(lián)。注意不要被電路中的一些短接線所迷惑，對短接線可以做壓縮或伸長處理。（2）根據(jù)電路的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，如對稱性、電橋平衡等，找出等電位點(diǎn)，連接或斷開等電位點(diǎn)之間的支路，把電路變換成簡單的并聯(lián)形式。（3）應(yīng)用Y,厶結(jié)構(gòu)互換把電路轉(zhuǎn)化成簡單的串并聯(lián)形式，再加以計(jì)算分析。但要明確，Y,厶形結(jié)構(gòu)互換是多端子結(jié)構(gòu)等效，除正確使用變換公式計(jì)算各阻值之外，務(wù)必正確連接各對應(yīng)端子，更應(yīng)注意不要把本是串并聯(lián)的問題看做Y,：結(jié)構(gòu)進(jìn)行變換等效，那樣

10、會(huì)使問題的計(jì)算更加復(fù)雜化。（4）當(dāng)電路結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜時(shí)，可以根據(jù)電路的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，設(shè)定電路中的支路電流，通過一些網(wǎng)孔回路方程和結(jié)點(diǎn)方程確定支路電流分布系數(shù)，然后求出斷口電壓和電流的比值，得出等效電阻。2-5在圖（a）電路中，us求等效電路的is和R；=根據(jù)等效電路求R3中電流和消耗功率；分別在圖（a）,（b）中求出R，R2及R消耗的功率；試問usi，us2發(fā)出的功率是否等于is發(fā)出的功率？R，R2消耗的功率是否等于R消耗的功率？為什么？V,Us2=6V,Ri=12JR?=解：（1）利用電源的等效變換，圖（a）中電阻與電壓源的串聯(lián)可以用電阻與電流源的并聯(lián)來等效。等效后的電路如題解2-5圖所示，其中J

11、R3=2門。圖（b）為經(jīng)電源變換后的等效電路。盡令U應(yīng)U&isiisiUsiRi=2412-2A題2-5関is2Us2r2膏1A對題解2-5圖電路進(jìn)一步簡化得圖(b)所示電路，故is=isiis2=21=3A(2) 由圖(b)可解得三條并聯(lián)支路的端電壓u=(R/R3)"s=籍沃3=4V所以R3的電流和消耗的功率分別為i3U=4=2A3R32P,二R3i；=222=8W(3) 根據(jù)KVL圖(a)電路中Ri，R2兩端的電壓分別為u1=us1_u=24-4=20Vu2=us2-u=6-4=2V則Ri，R2消耗的功率分別為22R二害俘耳0=33.33W1R123P2壬罕爭R2一P=u

12、=4=4(b)圖中R消耗的功率R4(4) (a)圖中Usi和發(fā)出的功率分別為汕"弄24潛40WPus2U22fR2=66=2W(b)圖中is發(fā)出功率顯然Pi=uMis=43=120sPsRs1Pus2由(3)的解可知以上結(jié)果表明，等效電源發(fā)出的功率一般并不等于原電路中所有電源發(fā)出的功率之和；等效電阻消耗的功率一般也并不等于原電路中所有電阻消耗的功率之和。這充分說明，電路的“等效”概念僅僅指對外電路等效，對內(nèi)部電路（變換的電路）則不等效。4*題解"5圖2-6對圖示電橋電路，應(yīng)用Y_等效變換求：（1）對角線電壓U；（2）電壓Uab。解法一：把（10學(xué)°5門）構(gòu)成的/形

13、等效變換為Y形，如題解圖（a）所示，其中各電阻值為:1°1°4門1°1°5R21°51°1°5R31°51°1°5應(yīng)用KVL得電壓又因入端電阻由于兩條并接支路的電阻相等，因此得電流U寺2.5AU=62.5-42.5=5VRab=(44)/(62)224=30門解法二：把（410"1°）構(gòu)成的Y形等效變換為厶形，如題解圖（b）所示,其中各電阻值為R13410101041010R1241010104101018070=18'JR23180-45'1把圖（b）等效為

14、圖（c）,應(yīng)用電阻并聯(lián)分流公式得電流=185_918由此得圖（b）中6門電阻中的電流181010186-2.5A所以原圖中4"電阻中的電流為5-25=2.5A，故電壓U=62.5-42.5二5V由圖(C)得Rab二(18/9)24二30'-1Uab=5Rab=530=150V（d題蠟曠6胃注:本題也可把（牟，106"）構(gòu)成的厶形變換為Y形，或把（6門,10門，5門）構(gòu)成的Y形變換為厶形。這說明一道題中丫-厶變換方式可以有多種，但顯然，變換方式選擇得當(dāng),將使等效電阻值和待求量的計(jì)算簡便，如本題解法一顯然比解法二簡便。2-7圖示為由橋T電路構(gòu)成的衰減器。（1）試證明當(dāng)R

15、2二R1=RL時(shí),Rab=Rl，且有Uo/卯=0.5；R2RiR2R2_22-(2)試證明當(dāng)3Ri-Rl時(shí),R2RiR2R2_22-(2)試證明當(dāng)3Ri-Rl時(shí),UoRab=RL，并求此時(shí)電壓比5n-'1i1111III114P1k1A1l_i1U-IK111b*j;v*1F1c*1題"T圖解：（1）當(dāng)R2二Ri二rl時(shí)電路為一平衡電橋，可等效為題解圖（a）所示電路，所以Rab=(RR2)/(R2Rl)二Rl1Uo=2Un0.5Uin（2）把由Ri構(gòu)成的Y形電路等效變換為二形電路，原電路等效為題解圖（b）其中R2二R2/R二R2二R2/R二R2RR2亠R2RR；3R2r23R

16、iR=3Ri，因?yàn)?RR2223Ri2-RE3R-i6RiRl9Ri2-R2RlRl/R3R-|R_3R-Rl6RRi空生2_9Ri2-R23RiRl3R-|R_3R-Rl所以Rab仆2Rl)R二3R1R_3Ri-R3R9R；RlUoUinR2RlRl3R1R_3Ri-R_3R9Ri2RlUin3RiR3RiR_3Ri-R_Uin3RiRl3RiRl3Ri-R_uo3Ri-RlUin3RiRl2-8在圖(a)中，Usi=45V,Us2=2°V,Us4=2°V,Us5=5°V；R=R3=15°,R2=200,R4=500,R5=8C；在圖(b)中，山1=2

17、0V,=30V,i$2=8A,is4=i7A,Ri=5JR3=i0JR5=i0門。利用電源的等效變換求圖(a)和圖(b)中電壓Uab。卜1W+()»(1i)紐OA£uH£uHaidFj(bl)題.W2-8I解(a):利用電源的等效變換，將(a)圖等效為題解圖(a1),(a2)o其中Us1二45=3AUs2is2:20-1AR115R220Us4工20=0.4AUs5is5-50=6.25AR450R58isiis4把所有的電流源合并，得is二is1is2-is4is5二9.85A把所有電阻并聯(lián)，有R1/R2/R3/R4/R-15/20/15/50/197-?所以u

18、ab=is9.85190=30V解(b):圖(b)可以等效變換為題解圖(b1)，(b2)其中isiUsiRiis5二Us5等效電流源為is二is2is4is5=481732A等效電阻為R=R1/R3/R5=5/10/10=25所以注：應(yīng)用電源等效互換分析電路問題時(shí)要注意,等效變換是將理想電壓源與電阻的串聯(lián)uab=isR-2：2.5-5V模型與理想電流源與電阻的并聯(lián)模型互換，其互換關(guān)系為：在量值上滿足Us二Ris或UsisR，在方向上有is的參考方向由Us的負(fù)極指向正極。這種等效是對模型輸出端子上的電流和電壓等效。需要明確理想電壓源與理想電流源之間不能互換。2-9利用電源的等效變換，求圖示電路的

19、電流i。p<D14Q4QL4口2U丿u10010Q()1DK()4K解：利用電源的等效變換，原電路可以等效為題解圖(a)，(b)和(c),所以電流h=15二0.25Ai吵1=0.125A2-10利用電源的等效變換，求圖示電路中電壓比已知R1=R2=2二,R3=R4=1二。1IJ1J叫+盡£1氣解法一：利用電源的等效變換，原電路可以等效為題解圖解法一：利用電源的等效變換，原電路可以等效為題解圖(a)所示的單回路電路，對回路列寫KVL方程，有(R12R3R4)I2R4U=2Us把二R3I帶入上式，則1US1US1UsIR12R3R42R4R3111210UsI3所以輸出電壓所以輸出

20、電壓U。二曲2R4U3二(R42R4R3M=10UsUs解法二：因?yàn)槭芸仉娏髟吹碾娏鳛?比=213R3=231，即受控電流源的控制量可以改為I3。原電路可以等效為圖(b)所示的單結(jié)點(diǎn)電路，則u。二曲4=Rt仏2i3)=3i3又因i3討Usu。u。us34s2U。Uo=0.3Us(b)注：本題說明，當(dāng)受控電壓源與電阻串聯(lián)或受控電流源與電阻并聯(lián)時(shí)，均可仿效獨(dú)立電源的等效方法進(jìn)行電源互換等效。需要注意的是，控制量所在的支路不要變掉發(fā)，若要變掉的話，注意控制量的改變，不要丟失了控制量。2-11圖示電路中尺二R3二R4,R2二2R1，CCVS的電壓Uc二4R1，利用電源的等效變換求電壓U10。解：原電路可等效變換為題解2-11圖所示電路。圖中R=(R3R4)/R2R12尺=尺對回路列KVL方程，有(吋Rh半R)二Us2R1i1：丫RUs2R1i1Us4R1所以電壓Us3uio二us-Rh=Us才=4Us二0.75Us2-12試求圖(a)和(b)的輸入電阻隘題SS2-12U解(a):在(a)圖的a,b端子間加電壓源u，并設(shè)電流I如題解2-12圖(a)所示，顯然有u二R2iURi二R2i-(Ri)