系統(tǒng)動力學課程

1、1 MATLAB/SIMULINK 簡介實例一、垂向動力學2MATLAB 簡介MATLAB 是什么？MATLAB是由美國MathWorks公司開發(fā)的一種進行科學和工程計算的交互式軟件包。它起源于20世紀70年代的 “矩陣實驗室”（Matrix Laboratory）。隨著軟件版本的不斷更新，目前已發(fā)展到7.0(Release 14.0)版本，其功能已涵蓋到了諸如一般數(shù)值運算、數(shù)字信號處理、系統(tǒng)識別、自動控制、優(yōu)化設計、神經(jīng)網(wǎng)絡、化學、統(tǒng)計學等各個學科和工程應用領域。MATLAB的功能主要是由各種工具箱 (Toolbox) 來實現(xiàn)的，其核心工具箱可分為兩類：即功能性工具箱和學科性工具箱。 3MA

2、TLAB 簡介功能性工具箱可應用于多學科，主要可用來擴充其符號計算功能，如符號計算工具箱（Symbolic Math Toolbox）、圖形建模仿真功能、文字處理功能，甚至還發(fā)展到可以實現(xiàn)硬件實時交互功能，如Real time workshop工具箱。而學科性工具箱專業(yè)性較強，如控制系統(tǒng)工具箱（Control System Toolbox）、優(yōu)化工具箱（Optimization Toolbox）、信號處理工具箱（Signal Processing Toolbox）、系統(tǒng)識別工具箱（System Identification Toolbox）等，這些工具箱都是由該領域的專業(yè)人員編寫的，針對自己的

3、研究問題，用戶可方便地選擇使用。4MATLAB 簡介通過MATLAB提供的交互式編程語言M語言，用戶還可以編寫腳本或函數(shù)文件實現(xiàn)用戶自己的算法。與C和Basic等語言相比較，M語言的特點是簡潔直觀、更符合人們思維習慣。 5MATLAB 簡介The Impact of MATLAB on Engineering and Science 6MATLAB 簡介nData Access nData AnalysisnVisualization nNumerical ComputationnAlgorithm DevelopmentnApplication DevelopmentnDeployment

4、and Sharing Results7SIMULINK 簡介8SIMULINK 簡介Inside Todays Technology Explosion:Embedded Control and Signal Processing9SIMULINK 簡介Model elaborationDesignImplementationRequirements and SpecsTest and VerificationContinuous verificationExecutable models-unambiguous-only “one truth”Automatic code generati

5、on-minimizes coding errors Test with Design - detects errors earlierSimulation-reduces “real” prototypes-systematic “what-if” analysisDC10SIMULINK 簡介Model-Based Design with Simulink11SIMULINK 簡介Simulink是基于MATLAB的圖形設計環(huán)境，主要用來實現(xiàn)對工程問題的模型化和動態(tài)仿真，它的建模范圍廣泛，可以針對任何能夠用數(shù)學來描述的系統(tǒng)進行建模。憑借MATLAB在科學計算和作圖方面的優(yōu)勢，Simulin

6、k的應用范圍覆蓋了動力學系統(tǒng)、信號控制、通信設計、金融財會及生物醫(yī)學等各個領域，可以彌補傳統(tǒng)設計和開發(fā)工具的不足。在Simulink中，只要有了正確的動力學模型，即可在圖形界面中采用鼠標拖放的方法建立起直觀的仿真模型進行仿真分析。 12大家在對隨后將要進行的關于車輛動力學的建模與分析的三個應用實例的學習過程中，將會逐漸掌握MATLAB/Simulink的用法和特點。13練習一 主動懸架LQG最優(yōu)控制設計 14所需步驟1. 模型建立寫出垂向運動微分方程路面輸入模型2. 線性隨機最優(yōu)控制理論的應用確立性能加權函數(shù) 采用 LQG 算法來得到最優(yōu)控制邏輯，即狀態(tài)反饋 K=?3. 進行仿真Simulin

7、k 模型LSIM (Matlab 下)J151. 車輛懸架建模（被動部分）對于如圖所示的一個1/4車輛模型，首先建立運動微分方程：()bbsbwm xKxx ()()w wsbwtgwm xK xxK xxxAxBuyCxDu狀態(tài)空間（State-Space）形式16Concept of Vibration ModesConsider a 1-DOF mass-spring-damping model:mkczFmzczkzFEquation of motion:Implement the Laplace transform:2() ( )( )mscsk Z sF s17Concept of

8、 Vibration Modes2( )1( )( )Z sHsF smscskSo,If consider H(s) in the standard form:222( )2nnnHsssTherefore,2nkcmm k(*)18Two Ride ModesBody Bounce Mode11 Hz 2()sussssusk kfm kkWheel Hop Mode110 Hz 2susususkkfm1010susussmmkkfor a typical passenger car:19路面輸入模型為：)(2)(2)(000twUGtxftxgg上式表明，路面位移可以表示為一隨機濾波白

9、噪聲信號。這種表示方式來源于試驗所測得的路面不平度功率譜密度（PSD）曲線的形狀。其中， 為下截止頻率， ; 為路面不平度系數(shù)， ; 為前進車速， ; 為均值為零的隨機輸入單位白噪聲。0f0G0UwHz3/mcycle/secm1. 車輛懸架建模（被動部分）20我們?nèi)暨x取狀態(tài)變量為：TbwbwgXxxxxx則可將系統(tǒng)運動方程及路面激勵寫成狀態(tài)空間矩陣形式，即：XAXFW其中，A 為狀態(tài)矩陣，F(xiàn) 為輸入矩陣，其值如下：AKmKmKmKKmKmfsbsbswtswtw000001000001000000020FGU00002001. 車輛懸架建模（被動部分）21為高斯白噪聲輸入矩陣。 ( )Ww

10、t若我們將車身加速度、輪胎動變形、懸架動行程作為性能指標，即：. :. . :. . :bwgbwBA xDTD xxSWS xxConcerned Performance Items are:, (), ()TbwgbwYxxxxx1. 車輛懸架建模（被動部分）22則我們可以將性能指標項寫為狀態(tài)變量以及輸入信號的線性組合形式，即：YC X 為輸出矩陣：0 0/00 00110 0110sbsbkMkMCCAKmKmKmKKmKmfsbsbswtswtw000001000001000000020TbwbwgXxxxxx1. 車輛懸架建模（被動部分）23根據(jù)前面所列出的描述系統(tǒng)運動過程的狀態(tài)矩陣

11、形式 ，XAXFWYCX可在SIMULINK環(huán)境下建立相應的仿真模型。建模中，路面隨機白噪聲可以用“隨機數(shù)產(chǎn)生器（Random Number)”或者“有限帶寬白噪聲（Band-Limited White Noise)”來生成；狀態(tài)矩陣輸入到“State-Space” 模塊中去。Band-LimitedWhite Noise1RandomNumber建立好的模型如下圖所示：x = Ax+Bu y = Cx+DuState-Space1. 車輛懸架建模（被動部分）24x = Ax+Bu y = Cx+DuState-SpaceSWS.DTD.Band-LimitedWhite NoiseAccel

12、.在噪聲產(chǎn)生模塊中，隨機信號的方差為單位值。1. 車輛懸架建模（被動部分）251. 車輛懸架建模（主動部分）()()()b bswbw wswbtwgMxk xxUMxk xxk xxU運動微分方程這時變?yōu)椋篨AXFWBU狀態(tài)方程此時變?yōu)椋篩C XD U輸出方程：262.線性隨機最優(yōu)控制理論的應用1/4 car modelgxTbwgbwYxxxxxuKX KX控制流程:27我們采用以下這么一個加權函數(shù)來衡量所關心的性能指標:22212301lim()()TwgbwbTJqxxqxxq xd tT 為了據(jù)此求解狀態(tài)反饋增益, 必須用狀態(tài)變量以及輸入變量來表達上式:dtNUXRUUQXXTJTT

13、TTT0)2(1limQ: 對應于狀態(tài)變量的權重矩陣.R: 約束輸入信號大小的權重矩陣.N: 耦合項2.線性隨機最優(yōu)控制理論的應用(性能指標的確定)輪胎動變形輪胎動變形懸架動行程懸架動行程車身加速度車身加速度283012000000qQqq2221230001lim()()1 =limTTwgbwbTYYbTbwgbwwgTbwJq xxqxxq xdtTxxxxxxQxxdtTxx 2.線性隨機最優(yōu)控制理論的應用(性能指標的確定)Q, R, N 如何決定?對于以 表達的性能函數(shù), 可以整理為:123,qqq29YCXDU000000()() =TTQNRTTTTTTTTY QYCXDUQ C

14、XDUX C QC XU D Q DUX C Q DUU D QCX 由于所以2.線性隨機最優(yōu)控制理論的應用(性能指標的確定)30控制器設計控制器設計 i.e., K =?i.e., K =? K S E=lqr(A, B, Q, R, N)利用 Matlab 函數(shù) LQR 來計算狀態(tài)反饋, i.e.,在這里, K:最優(yōu)狀態(tài)反饋矩陣 S:Riccati 方程解E: 系統(tǒng)特征值因此, 我們得到了主動控制力為 U=-KX, i.e.:)(54321gwbwbxkxkxkxkxkU31Theorem Continuous-Time Stationary LQR problem and Solutio

15、nConsider the time-invariant controllable system00( )( )( ) with inital condition ( )x tAx tBu tx txand quadratic cost index0( )( )( )( )TTtJxt Qx tut Ru t dtwhere 11TQQ Qis positive semi-definite, R is positive definite and 1(,)A Qis observable. Then the optimal LQR控制理論依據(jù)32control input is given by

16、 the stationary state feedback control law *1( )( )( )TssLQu tR B H x tKx t wheressHis the positive definite solution of the algebraicRiccati equation10TTssssssssA HH AH BR B HQThe optimal closed-loop system( )() ( )LQx tABKx tLQR控制理論依據(jù)33is asymptotically stable. The minimum value of the performance

17、 index is given by *00( )( )TssJxtH x t(End of the theorem)Note: 1. The controllability of the system dynamics makes sure the performance index is bounded. 2. The observability of the pair guarantees the solution of the Riccati equation is positive definite1( ,)A QLQR控制理論依據(jù)34Lsim 是對時域響應進行仿真的函數(shù), 即對于一

18、個線性時不變系統(tǒng), 計算在輸入u(t)的作用下的各個時刻的輸出值Y(t)以及狀態(tài)變量值X(t). 函數(shù)命令格式: (Y,X)=lsim(A,B,C,D,u,t,X0)其中: u : 外界輸入; t : 仿真時間; X0: 初始狀態(tài)值; Y: 輸出值;X : 狀態(tài)變量3.仿真方法 (Lsim)35對于我們的1/4車輛主動懸架模型,該命令參數(shù)為:Y, St=lsim (Ac, F, C-DK, Dc, w ,T)St: state vector; Y: output value;對于輸出多維向量Y(t),我們所關系的性能指標為:BA=Y(:,1);DTD=Y(:,2);SWS=Y(:,3);Ac:

19、 A-BK, Cc:C-DK, Dc:0(? x ?) 3.仿真方法 (Lsim)36仿真結果（時域）0246810-10-8-6-4-202468Time(sec)Mag.(m/s2)Vertical accelerationPassiveactive37仿真結果（時域）0246810-0.06-0.04-0.0200.020.040.06Time(sec)Mag.(m)Dynamic tire deflectionPassiveactive38仿真結果（時域）0246810-0.08-0.06-0.04-0.0200.020.040.060.080.1Time(sec)Mag.(m)Sus

20、pension working spacePassiveactive393.仿真方法 (Simulink)wTo Workspace1tTo Workspacex = Ax+Bu y = Cx+DuState-SpaceSWSManual SwitchK*uGain2K*uGain1C* uGainDTDClockBand-LimitedWhite NoiseBA40頻域分析結果Bode DiagramFrequency (Hz)Magnitude (dB)-150-100-500From: Passive/Random Number (1)To: Passive/Demux2 (3)-100

21、-50050To: Passive/Demux2 (1)10-1100101102-100-80-60-40To: Passive/Demux2 (2)Passive SystemActive SystemDTD.Accel.SWS.41作業(yè)要求4ts013ISO32040K2 10K10K1000G5e-6u20f0.1q100q1000q0.05 bwss002單位：標準簧上質(zhì)量：M簧下質(zhì)量：M懸架彈簧剛度：輪胎等效剛度：懸架等效阻尼：C路面不平度系數(shù)：前進速度：下截止頻率： 所選加權系數(shù)：，所用參數(shù)：作業(yè)內(nèi)容：1. 根據(jù)所給參數(shù)，以及課上所提到的方法， 建立一個主動懸架LQG控制模型，并

22、給出時域、頻域分析結果（時域仿真時間：10sec；頻域范圍：0.1100Hz）。2. 在LQG控制設計中，固定 q1, q2, 將q3 的取值范圍變?yōu)?.01, 0.1，畫出此時的bode圖，并比較控制效果（分別對于車身加速度、輪胎動變形、懸架動行程）。3. （可選）對于2中所得的頻域結果，仔細觀察在各種不同的控制效果中，是否在某一頻率點上都與被動系統(tǒng)的響應相交（稱這一點為“不動點”）？“不動點” 是否對于三個性能指標都存在？試解釋這個現(xiàn)象產(chǎn)生的原因。42作業(yè)要求4. 對于車身垂向加速度、輪胎動變形、懸架動行程三個性能指標，利用Quarter Car 模型，研究如何通過改變懸架參數(shù)，對其進行優(yōu)化設計。可以選擇的參數(shù)有：車身（簧上）質(zhì)量Ms、車輪（簧下）質(zhì)量Mus、懸架剛度Ks、懸架（減震器）阻尼Cs，并合理解釋。 提示：利用MatLab，考慮頻域響應的增益（幅值）大小、頻率范圍43Example for #4, Hw1Tyre def. resp. as Cs increasesBody acc. resp