20-2華東師大數(shù)學分析的練習和課件(歷史上最好的-最全面的)學習的最好資料

1、20-2 第二型曲線積分第二型曲線積分一、第二型曲線積分的定義一、第二型曲線積分的定義 二、第二型曲線積分的計算二、第二型曲線積分的計算 oxyABL一、問題的提出一、問題的提出1 nMiM1 iM2M1Mix iy 實例實例: : 變力沿曲線所作的功變力沿曲線所作的功,:BALjyxQiyxPyxF),(),(),( 常力所作的功常力所作的功分割分割.),(,),(,1111110BMyxMyxMMAnnnn .)()(1jyixMMiiii .ABFW 求和求和. ),(),(1 niiiiiiiyQxP 取極限取極限. ),(),(lim10 niiiiiiiyQxPW 近似值近似值精確

2、值精確值,),(),(),(jQiPFiiiiii 取取,),(1iiiiiMMFW .),(),(iiiiiiiyQxPW 即即 niiWW1oxyABL1 nMiM1 iM2M1M),(iiF ix iy 二、第二型曲線積分的概念二、第二型曲線積分的概念,0.),(,).,;, 2 , 1(),(,),(),(.),(),(,11101111222111時時長度的最大值長度的最大值如果當各小弧段如果當各小弧段上任意取定的點上任意取定的點為為點點設設個有向小弧段個有向小弧段分成分成把把上的點上的點用用上有界上有界在在函數(shù)函數(shù)向光滑曲線弧向光滑曲線弧的一條有的一條有到點到點面內(nèi)從點面內(nèi)從點為為

3、設設 iiiiiiiiiiniinnnMMyyyxxxBMAMniMMnLyxMyxMyxMLLyxQyxPBAxoyL1.定義定義,),(),(叫做被積函數(shù)叫做被積函數(shù)其中其中yxQyxP.叫積分弧段叫積分弧段L( ,)d( ,)dLP x yxQ x yy( ,)d( ,)dLLP x yxQ x yy也可以寫為也可以寫為若極限若極限0011lim(,)lim(,)nniiiiiiiiPxQy 存在且與分割存在且與分割 T 與點與點 (,)ii 的取法無關的取法無關, 則稱此極則稱此極限限為函數(shù)為函數(shù) ( ,),( ,)P x y Q x y 沿有向曲線沿有向曲線 L 上的上的第二型第二型

4、曲線積分曲線積分, 記為記為 4.4.推廣推廣 空間有向曲線弧空間有向曲線弧.),(lim),(10iiiniixPdxzyxP . RdzQdyPdx.),(lim),(10iiiniiyQdyzyxQ .),(lim),(10iiiniizRdzzyxR .,),(),(第二類曲線積分存在第二類曲線積分存在上連續(xù)時上連續(xù)時在光滑曲線弧在光滑曲線弧當當LyxQyxP2.存在條件：存在條件：5.5.性質性質.,)1(2121 LLLQdyPdxQdyPdxQdyPdxLLL則則和和分成分成如果把如果把則則有有向向曲曲線線弧弧方方向向相相反反的的是是與與是是有有向向曲曲線線弧弧設設,)2(LLL

5、 即第二型曲線積分與曲線的方向有關即第二型曲線積分與曲線的方向有關. LLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP),(),(),(),(三、第二型曲線積分的計算三、第二型曲線積分的計算,),(),(, 0)()(,)(),(,),(,),(),(,),(),(22存在存在則曲線積分則曲線積分且且續(xù)導數(shù)續(xù)導數(shù)一階連一階連為端點的閉區(qū)間上具有為端點的閉區(qū)間上具有及及在以在以運動到終點運動到終點沿沿的起點的起點從從點點時時到到變變單調(diào)地由單調(diào)地由當參數(shù)當參數(shù)的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為續(xù)續(xù)上有定義且連上有定義且連在曲線弧在曲線弧設設 LdyyxQdxyxPttttBLALyxMttytxLLyxQyx

6、P 定理定理dttttQtttPdyyxQdxyxPL)()(),()()(),(),(),( 且且特殊情形特殊情形.(1):( )L yxxab起點為 ，終點為 , ( ) , ( ) ( ) .bLaPdx QdyP xxQ xxx dx則(2):( ).L xyycd起點為 ，終點為 ( ), ( ) ( ), .dLcPdx QdyPy yyQy y dy則.,)()()(:)3( 終點終點起點起點推廣推廣ttztytx dtttttRttttQttttPRdzQdyPdx)()(),(),()()(),(),()()(),(),( 例例1.)1 , 1()1, 1(,2的一段弧的一段

7、弧到到上從上從為拋物線為拋物線其中其中計算計算BAxyLxydxL 解解的定積分，的定積分，化為對化為對x)1(.xy OBAOLxydxxydxxydx 1001)(dxxxdxxx 10232dxx.54 xy 2)1, 1( A)1 , 1(B的定積分，的定積分，化為對化為對y)2(,2yx ABLxydxxydx 1122)(dyyyy. 11到到從從 y 1142dyy.54 xy 2)1, 1( A)1 , 1(B.)0 ,()0 ,()2(;)1(,2的直線段的直線段軸到點軸到點沿沿從點從點的上半圓周的上半圓周針方向繞行針方向繞行、圓心為原點、按逆時、圓心為原點、按逆時半徑為半徑

8、為為為其中其中計算計算aBxaAaLdxyL 例例2解解,sincos:)1( ayaxL，變到變到從從 0)0 ,(aA)0 ,( aB 0原式原式 daa)sin(sin22 )0 ,(aA)0 ,( aB .343a , 0:)2( yL，變到變到從從aax aadx0原式原式. 0 問題問題：被積函數(shù)相同，起點和終點也相同，但：被積函數(shù)相同，起點和終點也相同，但路徑不同積分結果不同路徑不同積分結果不同. 03a)(cos)cos1(2 d 練習練習：P205 例例1例例3).1 , 1(),0 , 1()0 , 0(,)3(;)1 , 1()0 , 0()2(;)1 , 1()0 ,

9、0()1(,2222依次是點依次是點，這里，這里有向折線有向折線的一段弧的一段弧到到上從上從拋物線拋物線的一段弧的一段弧到到上從上從拋物線拋物線為為其中其中計算計算BAOOABBOyxBOxyLdyxxydxL 2xy )0 , 1(A)1 , 1(B解解.)1(的積分的積分化為對化為對 x, 10,:2變到變到從從xxyL 1022)22(dxxxxx原式原式 1034dxx. 1 ) 0 , 1 (A)1 ,1(B2yx .)2(的積分的積分化為對化為對 y,10,:2變到變到從從yyxL 1042)22(dyyyyy原式原式 1045dxy. 1 )0 , 1(A)1 , 1(B)3( ABOAdyxxydxdyxxydx2222原式原式,上上在在 OA,10, 0變到變到從從xy 1022)002(2dxxxdyxxydxOA. 0 ,上上在在 AB,10, 1變變到到從從yx 102)102(2dyydyxxydxAB. 1 10 原原式式. 1 ) 0 , 1 (A)1 ,1(B問題問題：被積函數(shù)相同，起點和終點也相同，但：被積函數(shù)相同，起點和終點也相同，但路徑不同而積分結果相同路徑不同而積分結果相同.練習練習 ： P206 例例22d()dd ,LIxy xxyyxzcos ,sin ,xat yat zbt0t從從到到L是螺旋線是螺旋線: 例例3 計