熱點專題突破系列(三)

1、熱點專題突破系列(三)數(shù)列的綜合應(yīng)用考點一考點一 等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題【考情分析】【考情分析】等差、等比數(shù)列相結(jié)合的問題是高考考查的重點等差、等比數(shù)列相結(jié)合的問題是高考考查的重點(1)(1)綜合考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義、通項公式、前綜合考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義、通項公式、前n n項和公式、項和公式、等差等差( (比比) )中項、等差中項、等差( (比比) )數(shù)列的性質(zhì)數(shù)列的性質(zhì). .(2)(2)重點考查基本量重點考查基本量( (即即“知三求二知三求二”, ,解方程解方程( (組組)的計算以及靈活運的計算以及靈活運用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)解決問題用等差、

2、等比數(shù)列的性質(zhì)解決問題. .【典例【典例1 1】(2014(2014湖南高考湖南高考) )已知數(shù)列已知數(shù)列aan n 滿足滿足a a1 1=1,|a=1,|an+1n+1-a-an n| |=p=pn n,nN,nN* *. .(1)(1)若若aan n 是遞增數(shù)列是遞增數(shù)列, ,且且a a1 1,2a,2a2 2,3a,3a3 3成等差數(shù)列成等差數(shù)列, ,求求p p的值的值. .(2)(2)若若p= ,p= ,且且aa2n-12n-1 是遞增數(shù)列是遞增數(shù)列,a,a2n2n 是遞減數(shù)列是遞減數(shù)列, ,求數(shù)列求數(shù)列aan n 的通項的通項公式公式. .12【解題提示】【解題提示】(1)(1)由由

3、aan n 是遞增數(shù)列是遞增數(shù)列, ,去掉絕對值號去掉絕對值號, ,求出前三項求出前三項, ,再利再利用用a a1 1,2a,2a2 2,3a,3a3 3成等差數(shù)列成等差數(shù)列, ,得到關(guān)于得到關(guān)于p p的方程即可求解的方程即可求解. .(2)a(2)a2n-12n-1 是遞增數(shù)列是遞增數(shù)列,a,a2n2n 是遞減數(shù)列是遞減數(shù)列, ,可以去掉絕對值號可以去掉絕對值號, ,再利用疊再利用疊加法求通項公式加法求通項公式. .【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】(1)(1)因為因為aan n 是遞增數(shù)列是遞增數(shù)列, ,所以所以a an+1n+1-a-an n=p=pn n, ,又又a a1 1=1,a=1,a2

4、2=p+1,a=p+1,a3 3=p=p2 2+p+1,+p+1,因為因為a a1 1,2a,2a2 2,3a,3a3 3成等差數(shù)列成等差數(shù)列, ,所以所以4a4a2 2=a=a1 1+3a+3a3 3,4p+4=1+3p,4p+4=1+3p2 2+3p+3,3p+3p+3,3p2 2=p,=p,解得解得p= p= 或或p=0,p=0,當(dāng)當(dāng)p=0p=0時時,a,an+1n+1-a-an n=0,=0,與與aan n 是遞增數(shù)列矛盾是遞增數(shù)列矛盾, ,所以所以p= .p= .1313(2)(2)因為因為aa2n-12n-1 是遞增數(shù)列是遞增數(shù)列, ,所以所以a a2n+12n+1-a-a2n-1

5、2n-10,0,于是于是(a(a2n+12n+1-a-a2n2n)+(a)+(a2n2n-a-a2n-12n-1)0)0, ,由于由于 , ,所以所以|a|a2n+12n+1-a-a2n2n|a|0,)0,所以所以a a2n2n-a-a2n-12n-1= = , ,因為因為aa2n2n 是遞減數(shù)列是遞減數(shù)列, ,所以同理可得所以同理可得a a2n+12n+1-a-a2n2n0,a0,d0,所以所以d=3,q=2,d=3,q=2,a an n=3+(n-1)=3+(n-1)3=3n,b3=3n,bn n=2=2n-1n-1. .(2)(2)由由(1)(1)知知當(dāng)當(dāng)n n是偶數(shù)時是偶數(shù)時, ,T

6、Tn n=c=c1 1+c+c2 2+c+c3 3+c+cn n=-S=-S1 1+S+S2 2-S-S3 3+S+S4 4-S-Sn-1n-1+S+Sn n=a=a2 2+a+a4 4+a+a6 6+a+an n=6+12+18+3n=6+12+18+3n=2nnn2n33Snn,n22cS cos 3n33Snn,n.22 是偶數(shù)，是奇數(shù)3n n2.4當(dāng)當(dāng)n n是奇數(shù)時，是奇數(shù)時，T Tn n=T=Tn-1n-1-S-Sn n= =23 n1n133nn4222n23n1 .43n n2,n4T3n1n.4 是偶數(shù)，綜上可得， 是奇數(shù)考點二考點二 數(shù)列與函數(shù)的綜合問題數(shù)列與函數(shù)的綜合問題【

7、考情分析】【考情分析】數(shù)列與函數(shù)的特殊關(guān)系數(shù)列與函數(shù)的特殊關(guān)系, ,決定了數(shù)列與函數(shù)交匯命題的決定了數(shù)列與函數(shù)交匯命題的自然性自然性, ,是高考命題的易考點是高考命題的易考點, ,主要考查方式有主要考查方式有: :(1)(1)以函數(shù)為載體以函數(shù)為載體, ,考查函數(shù)解析式的求法考查函數(shù)解析式的求法, ,或者利用函數(shù)解析式給出或者利用函數(shù)解析式給出數(shù)列的遞推關(guān)系、數(shù)列前數(shù)列的遞推關(guān)系、數(shù)列前n n項和的計算方法項和的計算方法(2)(2)根據(jù)數(shù)列是一種特殊的函數(shù)這一特點命題根據(jù)數(shù)列是一種特殊的函數(shù)這一特點命題, ,考查利用函數(shù)的單調(diào)性考查利用函數(shù)的單調(diào)性來確定數(shù)列的單調(diào)性、最值或解決某些恒成立問題來

8、確定數(shù)列的單調(diào)性、最值或解決某些恒成立問題【典例【典例2 2】(2015(2015沈陽模擬沈陽模擬) )已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)= ,f(x)= ,數(shù)列數(shù)列aan n 滿足滿足a a1 1=1,a=1,an+1n+1=f( ),nN=f( ),nN* *. .(1)(1)求數(shù)列求數(shù)列aan n 的通項公式的通項公式. .(2)(2)令令T Tn n=a=a1 1a a2 2-a-a2 2a a3 3+a+a3 3a a4 4-a-a4 4a a5 5+-a+-a2n2na a2n+12n+1, ,求求T Tn n. .(3)(3)令令b bn n= (n2),b= (n2),b1 1=3,S=

9、3,Sn n=b=b1 1+b+b2 2+b+bn n, ,若若S Sn n 0,-ax+a(a0,xR),xR),不等式不等式f(x)0f(x)0的解集有且只有一個元素的解集有且只有一個元素, ,設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列aan n 的前的前n n項項和和S Sn n=f(n)(nN=f(n)(nN* *),),(1)(1)求數(shù)列求數(shù)列aan n 的通項公式的通項公式. .(2)(2)設(shè)設(shè)b bn n= ,= ,求數(shù)列求數(shù)列bbn n 的前的前n n項和項和T Tn n. .nna3【解析】【解析】(1)(1)由已知得由已知得x x2 2-ax+a0-ax+a0的解集有且只有一個元素的解集有且只有一個元素

10、, ,所以所以=(-a)=(-a)2 2-4a=0,-4a=0,即即a a2 2-4a=0,-4a=0,又因為又因為a0,a0,所以所以a=4,a=4,所以所以f(x)=xf(x)=x2 2-4x+4,-4x+4,從而從而S Sn n=f(n)=n=f(n)=n2 2-4n+4,-4n+4,當(dāng)當(dāng)n=1n=1時時,a,a1 1=S=S1 1=1-4+4=1;=1-4+4=1;當(dāng)當(dāng)n2n2時時,a,an n=S=Sn n-S-Sn-1n-1=2n-5.=2n-5.n1,n1,a2n5,n2nN*.所以且 n234nn2345nn 1n234nn 1nn11132n52T,33333111132n7

11、2n5T.33333332121112n5T2(),33333331n1T.33因為所以得所以【加固訓(xùn)練】【加固訓(xùn)練】設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)f(x)的定義域為的定義域為R,R,當(dāng)當(dāng)x0 x1,f(x)1,且對任意的實且對任意的實數(shù)數(shù)x,yR,x,yR,有有f(x+y)=f(x)f(y).f(x+y)=f(x)f(y).(1)(1)求求f(0),f(0),判斷并證明函數(shù)判斷并證明函數(shù)f(x)f(x)的單調(diào)性的單調(diào)性. .(2)(2)數(shù)列數(shù)列aan n 滿足滿足a a1 1=f(0),=f(0),且且f(af(an+1n+1)= (nN)= (nN* *),),數(shù)列數(shù)列bbn n 滿足滿足b bn

12、n=a=an n-8.-8.求數(shù)列求數(shù)列aan n 的通項公式的通項公式; ;求數(shù)列求數(shù)列bbn n 的前的前n n項和項和T Tn n的最小值及相應(yīng)的的最小值及相應(yīng)的n n的值的值. .n1f2a 【解析】【解析】(1)x,yR,(1)x,yR,f(x+y)=f(x)f(y),x0f(x+y)=f(x)f(y),x1,f(x)1,令令x=-1,y=0,x=-1,y=0,則則f(-1)=f(-1)f(0),f(-1)=f(-1)f(0),因為因為f(-1)1,f(-1)1,所以所以f(0)=1.f(0)=1.若若x0,x0,則則f(x-x)=f(0)=f(x)f(-x),f(x-x)=f(0)

13、=f(x)f(-x),故故f(x)= (0,1),f(x)= (0,1),故故xR,f(x)0,xR,f(x)0,任取任取x x1 1x0,0,所以所以0f(x0f(x2 2-x-x1 1)1,)1,所以所以f(xf(x2 2)f(x)f(x1 1),),故故f(x)f(x)在在R R上是減函數(shù)上是減函數(shù). .1fx(2)(2)a a1 1=f(0)=1,f(a=f(0)=1,f(an+1n+1)= =f(2+a)= =f(2+an n),),由由f(x)f(x)單調(diào)性單調(diào)性a an+1n+1=a=an n+2.+2.故故aan n 是等差數(shù)列是等差數(shù)列, ,所以所以a an n=2n-1.=

14、2n-1.b bn n=2n-9,T=2n-9,Tn n=n=n2 2-8n,-8n,當(dāng)當(dāng)n=4n=4時時,(T,(Tn n) )minmin=-16.=-16.n1f2a 考點三考點三 數(shù)列與不等式的綜合問題數(shù)列與不等式的綜合問題【考情分析】【考情分析】數(shù)列與不等式的綜合問題是高考考查的熱點數(shù)列與不等式的綜合問題是高考考查的熱點. .考查方式考查方式主要有三種主要有三種: :(1)(1)判斷數(shù)列問題中的一些不等關(guān)系判斷數(shù)列問題中的一些不等關(guān)系, ,如比較數(shù)列中的項的大小關(guān)系等如比較數(shù)列中的項的大小關(guān)系等. .(2)(2)以數(shù)列為載體以數(shù)列為載體, ,考查不等式的恒成立問題考查不等式的恒成立問

15、題, ,求不等式中的參數(shù)的取求不等式中的參數(shù)的取值范圍等值范圍等. .(3)(3)考查與數(shù)列問題有關(guān)的不等式的證明問題考查與數(shù)列問題有關(guān)的不等式的證明問題. .【典例【典例3 3】(2014(2014上海高考上海高考) )已知數(shù)列已知數(shù)列aan n 滿足滿足 a an naan+1n+13a3an n, ,nNnN* *,a,a1 1=1.=1.(1)(1)若若a a2 2=2,a=2,a3 3=x,a=x,a4 4=9,=9,求求x x的取值范圍的取值范圍. .(2)(2)設(shè)設(shè)aan n 是公比為是公比為q q的等比數(shù)列的等比數(shù)列,S,Sn n=a=a1 1+a+a2 2+a+an n, S

16、, Sn nSSn+1n+13S3Sn n, ,nNnN* *, ,求求q q的取值范圍的取值范圍. .(3)(3)若若a a1 1,a,a2 2,成等差數(shù)列成等差數(shù)列, ,且且a a1 1+a+a2 2+a+ak k=1000,=1000,求正整數(shù)求正整數(shù)k k的最大值的最大值, ,以及以及k k取最大值時相應(yīng)數(shù)列取最大值時相應(yīng)數(shù)列a a1 1,a,a2 2,的公差的公差. .1313【解題提示】【解題提示】(1)(1)根據(jù)根據(jù) a a2 2aa3 33a3a2 2, a, a3 3aa4 43a3a3 3可求得可求得x x的范圍的范圍. .(2)(2)需對需對q q分類討論分類討論, ,若

17、若q=1,q=1,易得符合題意易得符合題意, ,若若q1q1時時, ,再通過放縮法解再通過放縮法解不等式組即得結(jié)論不等式組即得結(jié)論. .(3)k=1000,d=0(3)k=1000,d=0是一組解時是一組解時,k,kmaxmax1000,1000,根據(jù)根據(jù) a an naan+1n+13a3an n, ,可得可得d ,d ,然后根據(jù)然后根據(jù)a a1 1+a+a2 2+a+ak k=1000,=1000,得到關(guān)于得到關(guān)于d d的關(guān)系式的關(guān)系式, ,而而d ,d ,從而得到關(guān)于從而得到關(guān)于k k的不等式的不等式, ,解此不等式即得解此不等式即得. .13131322k122k1【規(guī)范解答】【規(guī)范解

18、答】(1)(1)依題意依題意, a, a2 2aa3 33a3a2 2, ,所以所以 x6;x6;又又 a a3 3aa4 43a3a3 3, ,所以所以3x27;3x27;綜上可得綜上可得:3x6.:3x6.132313(2)(2)由已知得，由已知得，a an n=q=qn-1n-1, ,又又 a a1 1aa2 23a3a1 1，所以所以 q3,q3,當(dāng)當(dāng)q=1q=1時，時，S Sn n=n, S=n, Sn nSSn+1n+13S3Sn n, ,即即 n+13n,n+13n,成立成立. .當(dāng)當(dāng)1q311,q1,故故3q3qn+1n+1-q-qn n-2=q-2=qn n(3q-1)-22

19、q(3q-1)-22qn n-20,-20,對于不等式對于不等式q qn+1n+1-3q-3qn n+20,+20,令令n=1,n=1,得得q q2 2-3q+20,-3q+20,解得解得1q2,1q2,又當(dāng)又當(dāng)1q21q2時時,q-30,q-30,所以所以q qn+1n+1-3q-3qn n+2=q+2=qn n(q-3)+2q(q-3)+2=(q-1)(q-2)0(q-3)+2q(q-3)+2=(q-1)(q-2)0成立成立, ,所以所以1q2,1q2,當(dāng)當(dāng) q1q1時，時，S Sn n= S= Sn nSSn+1n+13S3Sn n, ,13n1 q1,1 q3nn 1n11 q1 q1

20、 q3,3 1 q1 q1 q即所以此不等式即所以此不等式即3q-10,q-30,3q-10,q-30,所以所以3q3qn+1n+1-q-qn n-2=q-2=qn n(3q-1)-22q(3q-1)-22qn n-20,-20,(q-3)+2q(q-3)+2=(q-1)(q-2)0,所以所以 q1q0,0,所以所以S Sn n-3,-3,只有只有S Sn n=n=n2 2+n.+n.當(dāng)當(dāng)n2n2時時,a,an n=S=Sn n-S-Sn-1n-1=n=n2 2+n-(n-1)+n-(n-1)2 2-(n-1)=2n,-(n-1)=2n,而而a a1 1=2,=2,符合符合a an n=2n,

21、=2n,所以數(shù)列所以數(shù)列aan n 的通項公式為的通項公式為a an n=2n(nN=2n(nN* *).).21S21a2nSnn1111(3)1aa12n 2n14n(n)2111111111114(n)(n1) (n)(n1)nn1444444因為，1122nn1122nn111aa1aa1a (a1)1111111()()()11111141223nn1444444111111().11434n331n1441111n.aa1aa1aa13所以故對一切正整數(shù) ，有【加固訓(xùn)練】【加固訓(xùn)練】1.(20151.(2015貴陽模擬貴陽模擬) )已知數(shù)列已知數(shù)列aan n 的前的前n n項和為項

22、和為S Sn n, ,滿足滿足S Sn n= a= an n-n(nN-n(nN* *).).(1)(1)求證求證: :數(shù)列數(shù)列aan n+1+1是等比數(shù)列是等比數(shù)列. .(2)(2)令令b bn n=log=log3 3(a(a1 1+1)+log+1)+log3 3(a(a2 2+1)+log+1)+log3 3(a(an n+1),+1),對任意對任意nNnN* *, ,是否是否存在正整數(shù)存在正整數(shù)m,m,使使 恒成立恒成立? ?若存在若存在, ,求出求出m m的值的值; ;若不若不存在存在, ,請說明理由請說明理由. .3212n111mbbb4【解析】【解析】(1)(1)當(dāng)當(dāng)n=1n

23、=1時時,S,S1 1=a=a1 1= a= a1 1-1,-1,解得解得a a1 1=2,=2,當(dāng)當(dāng)n2n2時時, ,由由S Sn n= a= an n-n-n得得S Sn-1n-1= a= an-1n-1-n+1.-n+1.兩式相減得兩式相減得,S,Sn n-S-Sn-1n-1= a= an n- a- an-1n-1-1,-1,即即a an n=3a=3an-1n-1+2(n2),+2(n2),則則a an n+1=3(a+1=3(an-1n-1+1).+1).又又a a1 1+1=2+1=3,+1=2+1=3,故數(shù)列故數(shù)列aan n+1+1是首項為是首項為3,3,公比為公比為3 3的等

24、比數(shù)列的等比數(shù)列. .3232323232(2)(2)由由(1)(1)知知a an n+1=3+1=33 3n-1n-1=3=3n n. .所以所以b bn n=log=log3 3(a(a1 1+1)+log+1)+log3 3(a(a2 2+1)+log+1)+log3 3(a(an n+1)=1+2+n=+1)=1+2+n=n n1,2n12n12112(),bn n1nn1111bbb1111112(1)()()2(1)223nn1n1所以則由由 對任意對任意nNnN* *恒成立，得恒成立，得2(1- ) 2(1- ) ，即，即m m 對任意對任意nNnN* *恒成立恒成立, ,因為因

25、為 ，所以，所以m4.m4.又因為又因為mNmN* *，所以，所以m=1,2,3,4.m=1,2,3,4.12n111mbbb41n1m418(1)n111111n122 2.2.已知數(shù)列已知數(shù)列aan n 為等比數(shù)列為等比數(shù)列, ,其前其前n n項和為項和為S Sn n, ,已知已知a a1 1+a+a4 4=- ,=- ,且對且對于任意的于任意的nNnN+ +, ,有有S Sn n,S,Sn+2n+2,S,Sn+1n+1成等差數(shù)列成等差數(shù)列. .(1)(1)求數(shù)列求數(shù)列aan n 的通項公式的通項公式. .(2)(2)已知已知b bn n=n(nN=n(nN+ +),),記記T Tn n=

26、 = 若若(n-1)(n-1)2 2m(Tm(Tn n-n-1)-n-1)對于對于n2n2恒成立恒成立, ,求實數(shù)求實數(shù)m m的最小值的最小值. .716312n123nbbbb| |aaaa，【解析】【解析】(1)(1)設(shè)公比為設(shè)公比為q,q,因為因為S S1 1,S,S3 3,S,S2 2成等差數(shù)列成等差數(shù)列, ,所以所以2S2S3 3=S=S1 1+S+S2 2, ,所以所以2a2a1 1(1+q+q(1+q+q2 2)=a)=a1 1(2+q),(2+q),得得q=-q=-又又a a1 1+a+a4 4=a=a1 1(1+q(1+q3 3)=)=所以所以a a1 1= =所以所以a a

27、n n=a=a1 1q qn-1n-1= =1,27,161,2n1() .2(2)(2)因為因為b bn n=n,a=n,an n= =所以所以 =n2=n2n n, ,所以所以T Tn n=12+22=12+222 2+32+323 3+n2+n2n n, ,2T2Tn n=12=122 2+22+223 3+32+324 4+(n-1)2+(n-1)2n n+n2+n2n+1n+1, ,- -得得-T-Tn n=2+2=2+22 2+2+23 3+2+2n n-n2-n2n+1n+1, ,所以所以T Tn n=-( -n2=-( -n2n+1n+1)=(n-1)2)=(n-1)2n+1n

28、+1+2.+2.n1() ,2nnb|an 12212若若(n-1)(n-1)2 2m(Tm(Tn n-n-1)-n-1)對于對于n2n2恒成立恒成立, ,則則(n-1)(n-1)2 2m(n-1)2m(n-1)2n+1n+1+2-n-1,+2-n-1,(n-1)(n-1)2 2m(n-1)(2m(n-1)(2n+1n+1-1),-1),所以所以m m 令令f(n)= ,f(n+1)-f(n)=f(n)= ,f(n+1)-f(n)=所以所以f(n)f(n)為減函數(shù)為減函數(shù), ,所以所以f(n)f(2)= .f(n)f(2)= .所以所以m .m .n 1n1,21n 1n121n 1n 2n

29、1n 2n 12n 21nn10,212121 211717考點四考點四 數(shù)列的實際應(yīng)用問題數(shù)列的實際應(yīng)用問題【考情分析】【考情分析】此類試題一般圍繞著現(xiàn)實生活中的人口的增長、產(chǎn)量的此類試題一般圍繞著現(xiàn)實生活中的人口的增長、產(chǎn)量的增加、成本的降低、存貸款利息的計算、分期付款等客觀背景進行設(shè)增加、成本的降低、存貸款利息的計算、分期付款等客觀背景進行設(shè)置置, ,它不僅涉及數(shù)列中的基本知識和方法它不僅涉及數(shù)列中的基本知識和方法, ,還往往涉及其他學(xué)科的知識還往往涉及其他學(xué)科的知識和常識和常識【典例【典例4 4】(2015(2015蘇州模擬蘇州模擬) )某商店投入某商店投入8181萬元經(jīng)銷某種紀(jì)念品萬

30、元經(jīng)銷某種紀(jì)念品, ,經(jīng)銷時間共經(jīng)銷時間共6060天天, ,市場調(diào)研表明市場調(diào)研表明, ,該商店在經(jīng)銷這一產(chǎn)品期間第該商店在經(jīng)銷這一產(chǎn)品期間第n n天天的利潤的利潤a an n= (= (單位單位: :萬元萬元,nN,nN* *).).為了獲得更多的利潤為了獲得更多的利潤, ,商店將每天獲得的利潤投入到次日的經(jīng)營中商店將每天獲得的利潤投入到次日的經(jīng)營中, ,記第記第n n天的利潤率天的利潤率b bn n= =(1)(1)求求b b1 1,b,b2 2的值的值. .(2)(2)求第求第n n天的利潤率天的利潤率b bn n. .(3)(3)該商店在經(jīng)銷此紀(jì)念品期間該商店在經(jīng)銷此紀(jì)念品期間, ,哪

31、一天的利潤率最大哪一天的利潤率最大? ?并求該日的利并求該日的利潤率潤率. .1,1n20,n,21n60103312anb.n81aa第 天的利潤，例如，這 天的投入資金總和【解題提示】【解題提示】(1)(1)根據(jù)利潤根據(jù)利潤a an n和利潤率和利潤率b bn n的定義求值的定義求值. .(2)(2)分分1n201n20和和21n6021n60兩種情況求解兩種情況求解. .(3)(3)根據(jù)根據(jù)(2)(2)的結(jié)論的結(jié)論, ,利用單調(diào)性或基本不等式求解利用單調(diào)性或基本不等式求解. .【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】(1)(1)當(dāng)當(dāng)n=1n=1時，時，b b1 1= ;= ;當(dāng)當(dāng)n=2n=2時，時，b

32、b2 2= =(2)(2)當(dāng)當(dāng)1n201n20時，時，a a1 1=a=a2 2=a=a3 3=a=an-1n-1=a=an n=1=1，所以所以b bn n= =當(dāng)當(dāng)21n6021n60時，時，所以第所以第n n天的利潤率天的利潤率1811.82n12n 1a1.81aaa80nnn12n 12122n 1na10b81aaa8120aaa2n2n10.1nn1 600101n21 n2020n21,1n20,80nb2n,21n60,nN*.nn1 600(3)(3)當(dāng)當(dāng)1n201n20時，時，b bn n= = 是遞減數(shù)列，此時是遞減數(shù)列，此時b bn n的最大值為的最大值為b b1 1

33、= =當(dāng)當(dāng)21n6021n60時時,b,bn n= = ( (當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)n= n= ，即，即n=40n=40時，時，“=”=”成立成立).).又因為又因為所以當(dāng)所以當(dāng)n=40n=40時，時，(b(bn n) )maxmax= =所以該商店在經(jīng)銷此紀(jì)念品期間，第所以該商店在經(jīng)銷此紀(jì)念品期間，第4040天的利潤率最大，且該日的天的利潤率最大，且該日的利潤率為利潤率為 180n1;8122n2221 600nn1 600792 1 6001n1n1 600n128179，2.792.79【規(guī)律方法】【規(guī)律方法】解答數(shù)列實際應(yīng)用問題的步驟解答數(shù)列實際應(yīng)用問題的步驟(1)(1)確定模型類型確定模型

34、類型: :理解題意理解題意, ,看是哪類數(shù)列模型看是哪類數(shù)列模型, ,一般有等差數(shù)列模型、一般有等差數(shù)列模型、等比數(shù)列模型、簡單的遞推數(shù)列模型等比數(shù)列模型、簡單的遞推數(shù)列模型. .基本特征見下表基本特征見下表: :數(shù)列模型數(shù)列模型基本特征基本特征等差數(shù)列等差數(shù)列均勻增加或者減少均勻增加或者減少等比數(shù)列等比數(shù)列指數(shù)增長指數(shù)增長, ,常見的是增產(chǎn)率問題、存款復(fù)利問題常見的是增產(chǎn)率問題、存款復(fù)利問題簡單遞推簡單遞推數(shù)列數(shù)列指數(shù)增長的同時又均勻減少指數(shù)增長的同時又均勻減少. .如年收入增長率為如年收入增長率為20%,20%,每每年年底要拿出年年底要拿出a(a(常數(shù)常數(shù)) )作為下年度的開銷作為下年度的

35、開銷, ,即數(shù)列即數(shù)列aan n 滿滿足足a an+1n+1=1.2a=1.2an n-a-a(2)(2)準(zhǔn)確解決模型準(zhǔn)確解決模型: :解模就是根據(jù)數(shù)列的知識解模就是根據(jù)數(shù)列的知識, ,求數(shù)列的通項、數(shù)列的求數(shù)列的通項、數(shù)列的和、解方程和、解方程( (組組) )或者不等式或者不等式( (組組) )等等, ,在解模時要注意運算準(zhǔn)確在解模時要注意運算準(zhǔn)確. .(3)(3)給出問題的回答給出問題的回答: :實際應(yīng)用問題最后要把求解的數(shù)學(xué)結(jié)果化為對實實際應(yīng)用問題最后要把求解的數(shù)學(xué)結(jié)果化為對實際問題的答案際問題的答案, ,在解題中不要忽視了這點在解題中不要忽視了這點. .【變式訓(xùn)練】【變式訓(xùn)練】從經(jīng)濟效

36、益出發(fā)從經(jīng)濟效益出發(fā), ,某地投入資金進行生態(tài)環(huán)境建設(shè)某地投入資金進行生態(tài)環(huán)境建設(shè), ,并并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè)以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè). .根據(jù)規(guī)劃根據(jù)規(guī)劃,2015,2015年度投入年度投入800800萬元萬元, ,以后每年投入以后每年投入將比上年減少將比上年減少 ,2015,2015年度當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)估計收入年度當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)估計收入400400萬元萬元, ,由于該項由于該項建設(shè)對旅游業(yè)的促進作用建設(shè)對旅游業(yè)的促進作用, ,預(yù)計今后的旅游業(yè)收入每年會比上年增預(yù)計今后的旅游業(yè)收入每年會比上年增加加 . .(1)(1)設(shè)設(shè)n n年內(nèi)年內(nèi)(2015(2015年為第一年年為第一年) )總投入為總投入為a an n萬

37、元萬元, ,旅游業(yè)總收入為旅游業(yè)總收入為b bn n萬萬元元, ,寫出表達式寫出表達式. .(2)(2)至少經(jīng)過幾年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入至少經(jīng)過幾年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入? ?1514【解析】【解析】(1)(1)第一年投入為第一年投入為800800萬元萬元, ,第二年投入為第二年投入為800(1- )800(1- )萬元萬元,第第n n年的投入為年的投入為800(1- )800(1- )n-1n-1萬元萬元, ,所以所以,n,n年內(nèi)的總投入為年內(nèi)的總投入為: :a an n=800+800(1- )+800(1- )=800+800(1- )+800(1- )n-1n-1=400

38、0-4000( )=4000-4000( )n n. .1515151545第一年旅游業(yè)收入為第一年旅游業(yè)收入為400400萬元萬元, ,第二年旅游業(yè)收入為第二年旅游業(yè)收入為400(1+ )400(1+ )萬萬元元,第第n n年旅游業(yè)收入為年旅游業(yè)收入為400(1+ )400(1+ )n-1n-1萬元萬元, ,所以所以,n,n年內(nèi)的旅游業(yè)總收入為年內(nèi)的旅游業(yè)總收入為b bn n=400+400(1+ )+400(1+ )=400+400(1+ )+400(1+ )n-1n-1=1600( )=1600( )n n-1600.-1600.1414141454(2)(2)設(shè)經(jīng)過設(shè)經(jīng)過n n年旅游業(yè)

39、的總收入超過總投入年旅游業(yè)的總收入超過總投入, ,由此由此b bn n-a-an n0,0,即即1600( )1600( )n n-1600-4000+4000( )-1600-4000+4000( )n n0,0,化簡得化簡得2( )2( )n n+5( )+5( )n n-70,-70,設(shè)設(shè)( )( )n n=x,=x,代入上式代入上式, ,得得5x5x2 2-7x+20,-7x+20,解此不等式解此不等式, ,得得x x1(x1(舍去舍去),),即即( )( )n n ,BBn n, ,即即40n2n40n2n2 2+2n,+2n,解得解得0n19,0nBBn n恒成立恒成立. .令令A(yù) An nCCn n, ,即即40n (240n (2n n-1),-1),可得可得n10,n10,所以當(dāng)所以當(dāng)n10nAAn n, ,綜