第二講 地圖的數(shù)學基礎20100902

1、明德至誠博學遠志 周小成辦公室：87892306，手機mail：第二講 地圖的數(shù)學基礎地質制圖基礎理論講課提綱地球坐標系與大地定位地圖比例尺一一二二三三四四地球的形狀與大小五五地圖投影地圖投影的應用地圖的定義及特點六六v 地圖學教科書多年來定義：地圖就是按照一定的數(shù)學法則，運用符號系統(tǒng)，概括的將地球上各種自然和社會經濟現(xiàn)象縮小表示在平面上的圖形。該定義反映了地圖的基本特性，但未明確現(xiàn)代地圖的各種功能特性；v 結合現(xiàn)代地圖制圖技術的發(fā)展，可將現(xiàn)代地圖概念定義為： 現(xiàn)代地圖是按照嚴密的數(shù)學法則，用特定的符號系統(tǒng)，將地球或其他星球的空間事象，以二維或多維、靜態(tài)或動態(tài)可視化形

2、式，抽象概括、縮小模擬等手段表示在平面或球面上，科學地分析認知與交流傳輸事象的時空分布、數(shù)量質量特征及相互關系等多方面信息的一種圖形或圖像。一地圖的定義及特點1.1 地圖的定義嚴密的數(shù)學法則v地圖投影、比例尺、和坐標系統(tǒng)構成了可量測地圖的數(shù)學基礎?？茖W的地圖概括v地圖內容科學性的核心問題就是地圖概括。經過取舍，簡化等抽象思維，與航空和衛(wèi)星影像的主要區(qū)別。特定的符號系統(tǒng)v地球表面的事物，不可能按原貌縮繪到地圖上，在地圖上是運用特定的符號系統(tǒng)表示的。采用圖形符號這種地圖語言，傳遞空間事物的位置、名稱、數(shù)量和質量等信息。以上三個基本特征所涉及的內容，構成了地圖學的三個重要分支領域：地圖投影、制圖綜合

3、和地圖符號系統(tǒng)。同時也是現(xiàn)代計算機制圖所必須依據(jù)的理論基礎。1.2 地圖的基本特性現(xiàn)代地圖學與地球科學的關系v地圖是地理學和地質學等區(qū)域性學科的“第二語言”。v地球科學既是地圖學的應用對象又是地圖學的研究對象，地圖作為科學研究的有效工具，促進了地球科學的發(fā)展。v地理學和地質學等區(qū)域性學科又是地圖學，特別是專題地圖學的科學內容基礎和主要資料來源。v地圖學與地學等區(qū)域性學科相結合，形成地球學科各部門或區(qū)域的專題地圖學，如地質制圖學、地貌制圖學、土壤制圖學、資源環(huán)境制圖學、農業(yè)制圖學、經濟地圖學等。1.3現(xiàn)代地圖學與地球科學和測繪學關系現(xiàn)代地圖學與測繪學的關系v沒有精密的測量就沒有精確的地圖；測制地

4、形圖的過程中，各種成圖要素的表示方法，地圖概括及其編輯工作，都需要地圖學方面的知識。v在我國，行政部門與學會組織，都把地圖學與測量學結合在一起統(tǒng)一管理，把地圖學作為測繪學的一個分支；同樣地理學的相關單位也把地圖學作為地理學的組成學科之一。在國家科學分類系統(tǒng)中，地圖學作為理科，在地球科學大類中，同自然地理學、地質學、海洋學等并列為二級學科。在技術學科中，地圖制圖是測繪技術中的分支?，F(xiàn)代地圖學與測繪學的關系（續(xù)）v 國際上，地圖學的國際組織“國際地圖學協(xié)會”是與國際地理學聯(lián)合會、國際遙感與測量學協(xié)會等并列的一級獨立學術團體，許多國家把測繪學與地理學結合在一起。如日本的國土地理院，法國的國家地理院，

5、都包括地理與測繪兩部分，其中全國地形圖的測制與專題地圖編制都是他們的中心任務。v 美國的地質調查局（USGS）甚至把地質學、地理學、測繪學組合在一起，除編制生產地形圖、地質圖、還編制生產其他專題地圖。2.1地球的自然表面（自然球體）2.2地球的物理表面（大地體）2.3地球的數(shù)學表面（旋轉橢球體）二地球的形狀與大小一、地球的形狀與大小2.1地球的自然表面（自然球體）地球的形狀2.1地球的自然表面（自然球體）v由地球的自然表面所包圍的形體,稱為地球自然球體。v衛(wèi)星觀察結果：地球是一個不規(guī)則的近似“梨形的球體”。v南北半球極半徑差為幾十米。v自然表面、極半徑和赤道半徑之差都約20km。v地球的自然表

6、面是一個極復雜又不規(guī)則的球形曲面，難以用數(shù)學公式表達。2.2地球的物理表面（大地體）地球表面水準面大地水準面鉛垂線地球橢球體圖：地球自然表面、大地水準面和地球橢球體的關系2.2地球的物理表面（大地體）v 海洋靜止時，自由水面與各點重力方向垂直正交，稱為水準面。v 大地水準面：眾多的水準面中，有一個與靜止的海水面相重合，并假想其穿過大陸，形成一個閉合面。這就是大地水準面。v 地球內部質量分布不均勻，致使地面上各點的鉛垂線方向產生不規(guī)則的變化，因此大地水準面實際是一個起伏不平的重力等位面又稱為地球物理表面。v 大地體：為測量方便，大地測量學家引入了大地體的概念。即大地水準面包圍的地球形體。大地水準

7、面是地球形體的一級逼近。v 大地水準面在陸地海洋高差不超過60m。雖然比地球自然表面規(guī)則的多，但還是不能用簡單的數(shù)學公式表達。v 從整個形狀來看，大地水準面起伏微小，極接近地球橢球體。2.3地球的數(shù)學表面（旋轉橢球體）v在測量和制圖中，使用旋轉橢球體來代替大地球體，這個旋轉橢球體通常稱為地球橢球體，簡稱橢球體。地球橢球體是一個規(guī)則的數(shù)學表面，測量學家把其視為地球的數(shù)學表面。是地球形體的二級逼近，是用于測量計算的基準面。v基準面是利用特定橢球體對特定地區(qū)地球表面的逼近，因此每個國家或地區(qū)均有各自的基準面。v 由于推求所用資料、年代、方法不同。所得到的地球橢球體描述參數(shù)也略有不同，在大地測量過程中

8、，世界各國先后推算出許多不同的橢球體參數(shù)。2.3.1國際上主要的橢球體參數(shù)國際上主要的橢球體參數(shù)2.3.2我國與測量制圖相關的幾個橢球體參數(shù)v參考橢球體定位：地球的長半徑、短半徑和扁率測定后，還必須確定大地水準面與橢球體面的相對關系，即確定與局部地區(qū)大地水準面符合最好的一個地球橢球體參考橢球體，這項工作就是參考橢球體定位。v參考橢球體：地球形狀的三級逼近。v中國的1952年使用海福特橢球，1953-1980使用克拉索夫斯基橢球體(原點在蘇聯(lián)），1980年起使用國際大地測量（IAG)和地球物理聯(lián)合會（IUGC）推薦的1975年基本大地數(shù)據(jù)給定的橢球體，并確定陜西涇陽縣永樂鎮(zhèn)為1980年大地坐標的

9、起算點。國家大地原點（陜西涇陽）名稱定義地心亦稱軸心，地球橢球中心，與地心重合（）地軸亦稱極軸，地球橢球的旋轉軸，與地球自轉軸重合地極地軸與橢球面的交點，分北極（N）和南極（S）子午面通過地軸的任意平面子午圈子午面與橢球面的交線首子午面通過格林尼治天文臺的子午面首子午線通過格林尼治天文臺的子午圈法線垂直于橢球面某點切面的直線，一般不交于地心平行面亦稱緯線面，垂直于地軸的平面平行圈亦稱緯線，平行面與橢球面的交線赤道面垂直于地軸并過地心的平面赤道圈赤道面與橢球面的交線，亦稱赤道，為最大的平行圈地理坐標系子午圈（經線）與平行圈（緯線）在橢球面上是兩組正交的曲線。它在橢球面上構成的坐標系叫地理坐標系。

10、亦稱大地坐標系扁率長短半軸之差與長半軸之比主要的地球橢球體元素3.1大地坐標系3.2地心坐標系3.3平面直角坐標系3.4我國大地坐標系3.5高程系三地球坐標系與大地定位v 大地坐標系(地理坐標系)：大地測量中以參考橢球面為基準建立起來的坐標系v 大地經度 ：大地子午面與起始子午面夾角。v 大地緯度：橢球面上某點的垂直線與赤道面夾角。3.1大地坐標系3.2地心坐標系v以地球的質心作為坐標原點的坐標系稱之為地心坐標系，即要求橢球體的中心與地心重合。v建立精確的地心坐標系對于衛(wèi)星大地測量、全球性導航和地球動態(tài)研究都有重要意義。3.3平面直角坐標系高斯直角坐標系與數(shù)學中的笛卡爾坐標系不同v 在在Arc

11、GISArcGIS中基于這三個橢球，包含了我國常用的三個基準面中基于這三個橢球，包含了我國常用的三個基準面和地理坐標系：和地理坐標系：v GCS_WGS1984(GCS_WGS1984(基于基于WGS84 WGS84 基準面基準面) )v GCS_BEIJING1954(GCS_BEIJING1954(基于北京基于北京19541954基準面基準面) )v GCS_XIAN1980(GCS_XIAN1980(基于西安基于西安19801980基準面基準面) )橢球體橢球體長半軸長半軸 a（米）（米）短半軸短半軸b（米）（米）Krassovsky（北京（北京54采用）采用）6378245635686

12、3.0188IAG 75（西安（西安80采用）采用）63781406356755.2882WGS 8463781376356752.3142我國常用的三個基準面和地理坐標系我國常用的三個基準面和地理坐標系3.4我國大地坐標系v絕對高程v相對高程v高差絕對高程與相對高程3.5高程系水準原點1985國家高程基準，72.2604米黃海海面1952-1979年平均海水面為0米4.1地圖比例尺定義4.2地圖比例尺形式v 數(shù)字比例尺v 文字比例尺：很少。v 圖解比例尺：直線比例尺4.3比例尺的作用v 比例尺決定地圖圖形的大小v 比例尺決定地圖的測制精度v 比例尺決定地圖內容的詳細程度四地圖比例尺直線比例尺

13、5.1地圖投影的概念v 5.1.1地圖投影的科學內涵v 5.1.2地圖投影的變形5.2地圖投影的分類v 5.2.1按變形性質分類 等角投影、等積投影、任意投影v 5.2.2按承影面不同分類 圓柱投影、圓錐投影和方位投影等五地圖投影5.1.1地圖投影的科學內涵v 地球橢球體是一個不可展曲面，而地圖是一個平面，因而把這樣一個球面展開為平面，就必然發(fā)生裂縫或重疊。為了消除裂縫或重疊，需要在裂縫的地方予以伸展，在重疊的地方予以壓縮。這樣便使圖形產生了變形（誤差）。v 解決上述問題的最好辦法是在球狀物（例如地球儀）上制作地圖，若制作的是大比例尺地圖，那就需要在地球的局部按比例縮小后的球面上進行，這樣發(fā)生

14、變化的只是尺寸，而相對距離、角度、面積和方位角等要素均不會發(fā)生任何變化。5.1地圖投影的概念l 地球橢球體為不可展曲面l 將地球橢球面上的點映射到平面上的方法，稱為地圖投影l(fā) 地理坐標為球面坐標，不方便進行距離、方位、面積等參數(shù)的量算l 地圖為平面，符合視覺心理，并易于進行距離、方位、面積等量算和各種空間分析5.1地圖投影的概念v在平面上制作地圖，必須把球面轉換為平面?？梢岳斫鉃閷y圖地區(qū)按一定比例縮小成一個地形模型，然后將其上的一些特征點，如 測量控制點、地形點、地物點等用垂直投影的方法投影到圖紙（平面）上；v地圖投影就是研究把地球橢球體面上的經緯網按照一定的數(shù)學法則轉繪到平面上的方法及其變

15、形問題。地圖投影方法一般采用解析法。v解析法：比較科學的方法，建立地球橢球面上經緯網與平面上相應經緯網之間的對應關系。v解析法的實質就是確定球面上地理坐標（，）與平面上對應直角坐標（x,y）之間的函數(shù)關系。直接建立在球體上的地理坐標，用經度和緯度表達地理對象位置建立在平面上的直角坐標系統(tǒng)，用（x，y）表達地理對象位置投影坐標參考系統(tǒng)平面系統(tǒng) 建立地球橢球面上經緯線網和平面上相應經緯線網的數(shù)學基礎，也就是建立地球橢球面上的點的地理坐標（，）與平面上對應點的平面坐標（x，y）之間的函數(shù)關系： 當給定不同的具體條件時，將得到不同類型的投影方式。 ),(),(21fyfx投影坐標系（Projected

16、 Coordinate Systems）v 投影坐標系使用基于X,Y值的坐標系統(tǒng)來描述地球上某個點所處的位置。這個坐標系是從地球的近似橢球體投影得到的，它對應于某個地理坐標系。v 投影坐標系由 以下參數(shù)確定 地理坐標系（由基準面確定，比如：北京54、西安80、WGS84） 投影方法（比如高斯克呂格、Lambert投影、Mercator投影） 將不可展的地球橢球面展開成平面，并且不能有斷裂，則圖形必將在某些地方被拉伸，某些地方被壓縮，故投影變形是不可避免的。v長度變形：長度比d與1之差。長度比d是投影面上一微小線段和橢球體面上相應微小線段長度比。v面積變形：面積比p與1之差。面積比是投影面上一微

17、小面積與橢球面上相應微小面積之比。v角度變形：投影面上任意兩方向線夾角與橢球面上相應兩方向線夾角之差。v形狀變形：5.1.2地圖投影的變形v 地圖投影中變形的性質和程度，通常用變形橢圓形狀和大小表示；v 變形橢圓指地球面上微小圓，投影后為橢圓（特殊情況為圓），這個橢圓可以表示投影的變形。在不同位置變形橢圓常有不同的形狀和大小。5.1.2地圖投影的變形v 變形分類：v 等角投影：投影前后角度不變v 等面積投影：投影前后面積不變；v 任意投影：角度、面積、長度均變形v 投影面：v 橫圓柱投影：投影面為橫圓柱v 圓錐投影：投影面為圓錐v 方位投影：投影面為平面v 投影面位置：v 正軸投影：投影面中心

18、軸與地軸相互重合v 斜軸投影：投影面中心軸與地軸斜向相交v 橫軸投影：投影面中心軸與地軸相互垂直v v 相切投影：投影面與橢球體相切v 相割投影：投影面與橢球體相割5.2地圖投影的分類5.2地圖投影的分類各種幾何投影 6.1 地圖投影的辨認和選擇6.2 我國基本比例尺地形圖投影6.3 世界地圖常用投影6.4 中國全圖常用投影六、地圖投影的應用6.1.1地圖投影的辨認v 根據(jù)地圖上經緯線的形狀確定投影類型v 根據(jù)圖上量測的經緯線長度確定其變形性質6.1.2地圖投影的選擇依據(jù)v 制圖區(qū)域的地理位置、形狀和范圍v 制圖比例尺v 地圖的內容v 出版方式5.1 地圖投影的辨認和選擇地圖投影：GIS中地圖

19、投影v GIS以地圖方式顯示地理信息，而地圖是平面，地理信息則在地球橢球上，因此地圖投影在GIS中不可缺少。v GIS數(shù)據(jù)庫中地理數(shù)據(jù)以地理坐標存儲時，則以地圖為數(shù)據(jù)源的空間數(shù)據(jù)必須通過投影變換轉換成地理坐標；而輸出或顯示時，則要將地理坐標表示的空間數(shù)據(jù)通過投影變換變換成指定投影的平面坐標。v GIS中，地理數(shù)據(jù)的顯示可根據(jù)用戶的需要而指定投影方式，但當所顯示的地圖與國家基本地圖系列的比例尺一致時，一般采用國家基本系列地圖所用的投影。1:100萬地形圖投影v采用正軸等角割圓錐投影，又叫蘭勃特投影(Lambert Conformal Conic)；大部分分省圖、大多數(shù)同級比例尺也采用這種投影1:

20、50萬1:5000地形圖投影 高斯克呂格投影的概念 分帶規(guī)定 坐標網的規(guī)定v地理坐標網（經緯網）v直角坐標網（方里網）v鄰帶補充坐標網6.2 我國基本比例尺地形圖投影高斯克呂格投影(Gauss-Kruger)示意 由于這個投影是由德國數(shù)學家、物理學家、天文學家高斯于19世紀20年代擬定，后經德國大地測量學家克呂格于1912年對投影公式加以補充，故稱為高斯克呂格投影(Gauss-Kruger) 。高斯克呂格投影在英美國家稱為橫軸墨卡托投影， (Transverse Mercator) 。美國編制世界各地軍用地圖和地球資源衛(wèi)星象片所采用的全球橫軸墨卡托投影（UTM）是橫軸墨卡托投影的一種變型。高斯

21、克呂格投影的中央經線長度比等于1，UTM投影規(guī)定中央經線長度比為0.9996。在6度帶內最大長度變形不超過0.04%。 高斯克呂格投影v高斯克呂格投影的中央經線和赤道為互相垂直的直線，其他經線均為凹向并對稱于中央經線的曲線，其他緯線均為以赤道為對稱軸的向兩極彎曲的曲線，經緯線成直角相交。v在這個投影上，角度沒有變形。中央經線長度比等于1，沒有長度變形，其余經線長度比均大于1，長度變形為正，距中央經線愈遠變形愈大；面積變形也是距中央經線愈遠，變形愈大。高斯投影帶為了保證地圖的精度，采用分帶投影方法，即將投影范圍的東西界加以限制，使其變形不超過一定的限度，這樣把許多帶結合起來，可成為整個區(qū)域的投影

22、。分帶規(guī)定v 我國規(guī)定1：1萬、1：2.5萬、1：5萬、1：10萬、1：25萬、1：50萬比例尺地形圖，均采用高斯克呂格投影(Gauss-Kruger) ；v 1：2.5至1：50萬比例尺地形圖采用經差6度分帶，1：1萬比例尺地形圖采用經差3度分帶。v 6度帶是從0度子午線起，自西向東每隔經差6為一投影帶，全球分為60帶，各帶的帶號用自然序數(shù)1，2，3，60表示。即以東經0-6為第1帶，其中央經線為3E，東經6-12為第2帶，其中央經線為9E，其余類推。v 3度帶，是從東經1度30分的經線開始，每隔3度為一帶，全球劃分為120個投影帶。v 在高斯克呂格投影上，規(guī)定以中央經線為X軸，赤道為Y軸，

23、兩軸的交點為坐標原點。坐標網的規(guī)定v X坐標值在赤道以北為正，以南為負；Y坐標值在中央經線以東為正，以西為負。我國在北半球，X坐標皆為正值。Y坐標在中央經線以西為負值，運用起來很不方便。為了避免Y坐標出現(xiàn)負值，將各帶的坐標縱軸西移500公里，即將所有Y值都加500公里。v 由于采用了分帶方法，各帶的投影完全相同，某一坐標值（x，y），在每一投影帶中均有一個，在全球則有60個同樣的坐標值，不能確切表示該點的位置。因此，在Y值前，需冠以帶號，這樣的坐標稱為通用坐標。v 高斯克呂格投影各帶是按相同經差劃分的，只要計算出一帶各點的坐標，其余各帶都是適用的。這個投影的坐標值由國家測繪部門根據(jù)地形圖比例尺系列，事先計算制成坐標表，供作業(yè)單位使用。 坐標網的規(guī)定v 世界地圖的投影主要考慮要保證全球整體變形不大，根據(jù)不同的要求，需要具有等角或等積性質 等差分緯線多圓錐投影v 赤道和中央緯線是互相垂直的直線，其他緯線是對稱于赤道的同軸圓弧，其圓心均在中央經線上，其他經線為對稱于中央經線的曲線，每一條緯線上各經線間的間隔，隨離中