建筑力學(xué)第7章梁的彎曲應(yīng)力和變形

1、1 第第7 7章梁的彎曲應(yīng)力和變形章梁的彎曲應(yīng)力和變形 7.17.1 橫截面的幾何性質(zhì)橫截面的幾何性質(zhì) 7.27.2 梁橫截面上正應(yīng)力的計(jì)算公式梁橫截面上正應(yīng)力的計(jì)算公式 7.37.3 梁的正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算梁的正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算 7.47.4 梁橫面上的切應(yīng)力與切應(yīng)力強(qiáng)度條件梁橫面上的切應(yīng)力與切應(yīng)力強(qiáng)度條件 7.57.5 梁的彎曲變形梁的彎曲變形AySzddAzSyddAAyyAAzzAzSSAySSddddzydA yz靜距靜距是面積與它到軸的距離之積。是面積與它到軸的距離之積。平面圖形的平面圖形的靜矩靜矩是對(duì)一定的坐標(biāo)而言的，是對(duì)一定的坐標(biāo)而言的，同一平面圖形對(duì)不同一平面圖形對(duì)不同的坐標(biāo)軸，其靜

2、矩顯然不同同的坐標(biāo)軸，其靜矩顯然不同。靜矩的數(shù)值可能為正，可能。靜矩的數(shù)值可能為正，可能為負(fù)，也可能等于零。它常用單位是為負(fù)，也可能等于零。它常用單位是m m3 3或或mmmm3 3。 形心形心 dA zyyzCxCyAyAyAzAzCCAydAyAzdAzACACASyASzzCyCCyCzzASyAS 平面圖形對(duì)平面圖形對(duì)z z軸（或軸（或y y軸）的軸）的靜矩，等于該靜矩，等于該圖形面積圖形面積A A與其與其形心坐標(biāo)形心坐標(biāo)y yC C（或（或z zC C）的乘積。的乘積。 注意：注意： 當(dāng)當(dāng)坐標(biāo)軸坐標(biāo)軸通過(guò)平面圖形的通過(guò)平面圖形的形心形心時(shí)，其靜矩為時(shí)，其靜矩為零；反之，若平面圖形對(duì)某

3、軸的靜矩為零，則該軸必通零；反之，若平面圖形對(duì)某軸的靜矩為零，則該軸必通過(guò)平面圖形的形心。過(guò)平面圖形的形心。 如果平面圖形具有對(duì)稱軸，如果平面圖形具有對(duì)稱軸，對(duì)稱軸必然是平面圖形對(duì)稱軸必然是平面圖形的形心軸的形心軸，故，故平面圖形對(duì)其對(duì)稱軸的靜矩必等于零。平面圖形對(duì)其對(duì)稱軸的靜矩必等于零。 CyCzzASyAS例例7.1 7.1 矩形截面尺寸如圖矩形截面尺寸如圖7-27-2所示。試求該矩形對(duì)所示。試求該矩形對(duì)z z1 1軸的靜軸的靜矩矩S Sz z1 1和對(duì)形心軸和對(duì)形心軸z z的靜矩的靜矩S Sz z。z1 b/2b/2h/2h/2zCy2221bhhbhyASCz解解 (1) (1) 計(jì)算

4、矩形截面對(duì)計(jì)算矩形截面對(duì)z z1 1軸的靜矩軸的靜矩 (2) (2) 計(jì)算矩形截面對(duì)形心軸的靜矩計(jì)算矩形截面對(duì)形心軸的靜矩 由于由于z z軸為矩形截面的對(duì)稱軸，通過(guò)截面形心，所以矩軸為矩形截面的對(duì)稱軸，通過(guò)截面形心，所以矩形截面對(duì)形截面對(duì)z z軸的靜矩為軸的靜矩為 Sz=0 根據(jù)平面圖形靜矩的定義，組合圖形對(duì)根據(jù)平面圖形靜矩的定義，組合圖形對(duì)z z軸（或軸（或y y軸）的靜軸）的靜矩等于各簡(jiǎn)單圖形對(duì)同一軸靜矩的代數(shù)和，即矩等于各簡(jiǎn)單圖形對(duì)同一軸靜矩的代數(shù)和，即 niCiiCnnCCyniCiiCnnCCzzAzAzAzASyAyAyAyAS1221112211式中式中 y yCiCi、z zC

5、iCi及及A Ai i分別為各簡(jiǎn)單圖形的形分別為各簡(jiǎn)單圖形的形心坐標(biāo)和面積心坐標(biāo)和面積; ; n n為組成組合圖形的簡(jiǎn)單圖形的個(gè)數(shù)為組成組合圖形的簡(jiǎn)單圖形的個(gè)數(shù)。niiniCiiCniiniCiiCAyAyAzAz1111 組合圖形組合圖形 形心的坐標(biāo)形心的坐標(biāo) 計(jì)算公式計(jì)算公式 例例7.2 7.2 試計(jì)算如圖試計(jì)算如圖7-37-3所示的平面圖形對(duì)所示的平面圖形對(duì)z z1 1和和y y1 1的的靜矩，并求該圖形的形心位置。靜矩，并求該圖形的形心位置。801201010z1y1C1 C2 解解 將平面圖形看作由矩形將平面圖形看作由矩形和和組成組成 矩形矩形 5mmmm2101Cz60mmmm21

6、201Cy矩形矩形 45mmmm270012Cz5mmmm2102CyA1=10120mm2=1200mm2 A2=7010mm2=700mm2 801201010z1y1C1 C2 C1（5,60） C2（45,5）該平面圖形對(duì)該平面圖形對(duì)z z1 1軸和軸和y y1 1軸的靜矩分別為軸的靜矩分別為 343122111mm107.55mm5700602001niCCCiizyAyAyAS343122111mm103.75mm4570051200niCCCiiyzAzAzAS求得該平面圖形的形心坐標(biāo)為求得該平面圖形的形心坐標(biāo)為 19.74mmmm7001200103.75411niiniCiC

7、AzAzi39.74mmmm7001200107.55411niiniCiCAyAyi2 2 慣性矩、慣性積、極慣性矩慣性矩、慣性積、極慣性矩慣性矩慣性矩是面積A與它到軸的距離的平方之積。AyAzAzIAyIdd22dA zyyzr極慣性矩極慣性矩是面積對(duì)極點(diǎn)的二次矩。yzAIIAId2rr 慣性矩是對(duì)坐標(biāo)軸來(lái)說(shuō)的，同一圖形對(duì)不同的坐標(biāo)軸其慣慣性矩是對(duì)坐標(biāo)軸來(lái)說(shuō)的，同一圖形對(duì)不同的坐標(biāo)軸其慣性矩不同。極慣性矩是對(duì)點(diǎn)來(lái)說(shuō)的，同一圖形對(duì)不同點(diǎn)的極慣性矩不同。極慣性矩是對(duì)點(diǎn)來(lái)說(shuō)的，同一圖形對(duì)不同點(diǎn)的極慣性矩也各不相同。性矩也各不相同。慣性矩恒為正值慣性矩恒為正值，常用單位為，常用單位為m m4 4或

8、或mmmm4 4。 dA zyyzr慣性積慣性積面積與其到兩軸距離之積。AzyAzyId 慣性積是平面圖形對(duì)慣性積是平面圖形對(duì)某兩個(gè)某兩個(gè)正交正交坐標(biāo)軸而言，同坐標(biāo)軸而言，同一圖形對(duì)不同的正交坐標(biāo)軸一圖形對(duì)不同的正交坐標(biāo)軸，其慣性積不同。慣性積可，其慣性積不同。慣性積可能為正或負(fù)，也可能為零。能為正或負(fù)，也可能為零。單位為單位為m m4 4或或mmmm4 4。 如果坐標(biāo)軸如果坐標(biāo)軸z z或或y y中中有一根是圖形的對(duì)稱軸，則有一根是圖形的對(duì)稱軸，則該圖形對(duì)這一對(duì)坐標(biāo)軸的慣該圖形對(duì)這一對(duì)坐標(biāo)軸的慣性積一定等于零。性積一定等于零。AzyzydAI0 AiIAiIAiIPPyyzz222,AIiAI

9、iAIiPPyyzz, 式中式中i iz z、i iy y、i iP P分別稱為平面圖形對(duì)分別稱為平面圖形對(duì)z z軸、軸、y y軸、和極軸、和極點(diǎn)的點(diǎn)的慣性半徑慣性半徑，也叫回轉(zhuǎn)半徑。單位為，也叫回轉(zhuǎn)半徑。單位為m m或或mmmm?；蚋膶懗?慣性半徑愈大，平面圖形對(duì)該軸的慣性矩（或?qū)O慣性半徑愈大，平面圖形對(duì)該軸的慣性矩（或?qū)O點(diǎn)的極慣性矩）也愈大。點(diǎn)的極慣性矩）也愈大。 常將圖形的常將圖形的慣性矩慣性矩表示為圖形面積表示為圖形面積A A與某一長(zhǎng)度平與某一長(zhǎng)度平方的乘積，方的乘積，即 例例7.3 7.3 矩形截面的尺寸如圖矩形截面的尺寸如圖7-67-6所示。試計(jì)算矩形截面對(duì)所示。試計(jì)算矩形截面

10、對(duì)其形心軸其形心軸z z、y y的慣性矩、慣性半徑及慣性積。的慣性矩、慣性半徑及慣性積。 解解 (1) (1) 計(jì)算矩形截面對(duì)計(jì)算矩形截面對(duì)z z軸軸和和y y軸的慣性矩軸的慣性矩 取平行于取平行于z z軸的微面積軸的微面積d dA A， d dA A到到z z軸的距離為軸的距離為y y，則，則 d dA A= =b bd dy y 截面對(duì)截面對(duì)z z軸的慣性矩為軸的慣性矩為 AzdAyI2截面對(duì)截面對(duì)y y軸的慣性矩為軸的慣性矩為 AydAzI2b h/2zCydy dz 223212hhbhbdyy223212bbhbhdzz(2) (2) 計(jì)算矩形截面對(duì)計(jì)算矩形截面對(duì)z z軸、軸、y y

11、軸的慣性半徑軸的慣性半徑 截面對(duì)截面對(duì)z z軸和軸和y y軸的慣性半徑分別為軸的慣性半徑分別為 12123hbhbhAIizz12123bbhhbAIiyyb h/2zCy(3) (3) 計(jì)算矩形截面對(duì)計(jì)算矩形截面對(duì)y y、z z軸的慣性積軸的慣性積 因?yàn)橐驗(yàn)閦 z、y y軸為矩形截面的兩根對(duì)稱軸，故軸為矩形截面的兩根對(duì)稱軸，故 AzyyzdAI0 0 AySzAaaSIAaayyAayAyIzzAAAz22222112 d)2( d)(dAaIIzz211dA z1y1y1z1rbaCz y 以形心為原點(diǎn)，建立與原以形心為原點(diǎn)，建立與原坐標(biāo)軸平行的坐標(biāo)軸。坐標(biāo)軸平行的坐標(biāo)軸。CCybyxax

12、AbIIAaIIyyzz2211abAIIzyyz11圖形對(duì)任一軸的慣性矩，等于圖形對(duì)與該軸平行的形心軸的圖形對(duì)任一軸的慣性矩，等于圖形對(duì)與該軸平行的形心軸的慣性矩，再加上圖形面積與兩平行軸間距離平方的乘積。慣性矩，再加上圖形面積與兩平行軸間距離平方的乘積。 由于由于a a2 2（或（或b b2 2）恒為正值，故在所有平行軸中，平面圖形對(duì)形）恒為正值，故在所有平行軸中，平面圖形對(duì)形心軸的慣性矩最小。心軸的慣性矩最小。 例例7.5 計(jì)算如圖計(jì)算如圖7-9所示的矩形截面對(duì)所示的矩形截面對(duì)z1軸和軸和y1軸的慣性矩。軸的慣性矩。z1 b/2 b/2 h/2 h/2 z C y 3212232321b

13、hbhhbhAhIIzz 解解 z z、y y軸是矩形截面軸是矩形截面的形心軸，它們分別與的形心軸，它們分別與z z1 1軸和軸和y y1 1軸平行，則由平行移軸公式軸平行，則由平行移軸公式得，矩形截面對(duì)得，矩形截面對(duì)z z1 1軸和軸和y y1 1軸的軸的慣性矩分別為慣性矩分別為 3212232321hbbhbhbAbIIyy組合圖形對(duì)任一軸的慣性矩，等于組成組合圖形的各簡(jiǎn)組合圖形對(duì)任一軸的慣性矩，等于組成組合圖形的各簡(jiǎn)單圖形對(duì)同一軸慣性矩之和。即單圖形對(duì)同一軸慣性矩之和。即iynyyyyiznzzzzIIIIIIIIII2121 計(jì)算組合圖形的慣性矩步驟計(jì)算組合圖形的慣性矩步驟 1.1.確

14、定組合圖形的形心位置，確定組合圖形的形心位置， 2.2.查表求得各簡(jiǎn)單圖形對(duì)自身形心軸的慣性矩，查表求得各簡(jiǎn)單圖形對(duì)自身形心軸的慣性矩， 3.3.利用平行移軸公式，就可計(jì)算出組合圖形對(duì)其形利用平行移軸公式，就可計(jì)算出組合圖形對(duì)其形心軸的慣性矩心軸的慣性矩。 580120500250zC 例例7.7 7.7 試計(jì)算圖示試計(jì)算圖示T T形截面對(duì)形心軸形截面對(duì)形心軸z z、y y的慣性矩。的慣性矩。a1 a2ycz1 C1 z2C2zoOA1A223211(500 120)60 10,(58060)640Ammmmymmmm23222580(250 580)145 10,2902Ammmmymmmm

15、333360 10640 145 1029039260 10145 10iiA yycmmmmA解解 求截面形心位置求截面形心位置 由于截面有一根對(duì)稱軸由于截面有一根對(duì)稱軸y y，故形心必在此軸上，即故形心必在此軸上，即zc=0 選坐標(biāo)系選坐標(biāo)系yozyoz，以確定截，以確定截面形心的位置面形心的位置y yC C。將截面圖形分。將截面圖形分為兩個(gè)矩形。為兩個(gè)矩形。500580120yc250z1 C1 zCz2C2z OA1A2矩形矩形 矩形矩形 23211(500 120)60 10,(58060)640Ammmmymmmm23222580(250 580)145 10,2902Ammmmy

16、mmmm12ZzzIII33441 122500 120250 580,1212ZZImmImmZIyI計(jì)算計(jì)算及及 整個(gè)截面圖形對(duì)整個(gè)截面圖形對(duì)z z軸、軸、y y軸的慣性矩應(yīng)分別等于兩個(gè)矩軸的慣性矩應(yīng)分別等于兩個(gè)矩形對(duì)形對(duì)z z軸、軸、y y 軸的慣性矩之和。軸的慣性矩之和。即即 兩個(gè)矩形對(duì)自身形心軸兩個(gè)矩形對(duì)自身形心軸的慣性矩分別為的慣性矩分別為33441 122500 120250 580,1212ZZImmImm500580120yc250z1 C1 zCz2C2z OA1A232248411 111500 120248500 12037.6 1012ZZIIa Ammmm32248

17、422222250 580102250 58055.6 1012ZZIIa Ammmm8848412(37.6 1055.6 10 )93.2 10zZZIIImmmm應(yīng)用平行移軸公式得應(yīng)用平行移軸公式得 所以所以500 580 120 a1 a2 yc 250 z1 C1 z C z2 C2 z O A1 A2 32248411 111500 120248500 12037.6 1012ZZIIa Ammmm32248411 111500 120248500 12037.6 1012ZZIIa Ammmm y軸正好經(jīng)過(guò)矩形截面軸正好經(jīng)過(guò)矩形截面A1和和A2的形心，所以的形心，所以484332

18、1mm1020.1mm1225058012500120yyyIII500 580 120 yc 250 z1 C1 z C z2 C2 z O A1 A2 對(duì)平面圖形而言，對(duì)通過(guò)對(duì)平面圖形而言，對(duì)通過(guò)O O點(diǎn)的任意兩根點(diǎn)的任意兩根正交正交坐標(biāo)軸坐標(biāo)軸z z、y y的慣性積的慣性積I Iyzyz，如，如I Iyzyz0 0，則這對(duì)坐標(biāo)軸稱為通過(guò)，則這對(duì)坐標(biāo)軸稱為通過(guò)O O點(diǎn)的點(diǎn)的主主慣性軸慣性軸，簡(jiǎn)稱主軸。截面對(duì)主慣性軸的慣性矩稱，簡(jiǎn)稱主軸。截面對(duì)主慣性軸的慣性矩稱為主慣性為主慣性矩矩，簡(jiǎn)稱主慣矩。，簡(jiǎn)稱主慣矩。 如果如果O O點(diǎn)在截面形心，如同樣滿足上述條件，這時(shí)通過(guò)點(diǎn)在截面形心，如同樣滿足上

19、述條件，這時(shí)通過(guò)形心的主慣性軸稱為形心的主慣性軸稱為形心主慣性軸形心主慣性軸，簡(jiǎn)稱形心主軸；圖形，簡(jiǎn)稱形心主軸；圖形對(duì)形心主軸的慣性矩稱為對(duì)形心主軸的慣性矩稱為形心主慣性矩，形心主慣性矩，簡(jiǎn)稱形心主慣矩簡(jiǎn)稱形心主慣矩。 4 4 形心主慣性軸形心主慣性軸 形心主慣性形心主慣性 對(duì)于具有對(duì)稱軸的平面圖形，其形心主軸的位置可按對(duì)于具有對(duì)稱軸的平面圖形，其形心主軸的位置可按如下方法確定：如下方法確定： 1 1）如果圖形有一根對(duì)稱軸，則該軸必是形心主軸，）如果圖形有一根對(duì)稱軸，則該軸必是形心主軸，而另一根形心主軸通過(guò)圖形的形心且與該軸垂直。而另一根形心主軸通過(guò)圖形的形心且與該軸垂直。 2 2）如果圖形有

20、兩根對(duì)稱軸，則該兩軸就是形心主軸）如果圖形有兩根對(duì)稱軸，則該兩軸就是形心主軸。 3 3）如果圖形具有兩個(gè)以上的對(duì)稱軸，則任一根對(duì)稱）如果圖形具有兩個(gè)以上的對(duì)稱軸，則任一根對(duì)稱軸都是形心主軸，且對(duì)任一形心主軸的慣性矩都相等。軸都是形心主軸，且對(duì)任一形心主軸的慣性矩都相等。 z y z y . .純彎曲純彎曲 梁的橫截面上只有彎矩而無(wú)剪力的彎曲（橫截面上只有正應(yīng)力而無(wú)切應(yīng)力的彎曲）。剪力剪力“Fs”切應(yīng)力切應(yīng)力“t t ”；彎矩彎矩“M”正應(yīng)力正應(yīng)力“s s ”2.2.橫力彎曲（剪切彎曲）橫力彎曲（剪切彎曲）aaFBAFMxFsxFaFF 梁的橫截面上既有彎矩又有剪力的彎曲（橫截面上既有正應(yīng)力又有

21、切應(yīng)力的彎曲）。一、一、 純彎曲和橫力彎曲的概念純彎曲和橫力彎曲的概念7 7-1 -1 梁橫截面的正應(yīng)力和正應(yīng)力強(qiáng)度條件梁橫截面的正應(yīng)力和正應(yīng)力強(qiáng)度條件二二 、純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力公式、純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力公式（一）變形幾何關(guān)系：（一）變形幾何關(guān)系：由純彎曲的變形規(guī)律縱向線應(yīng)變的變化規(guī)律。1 1、觀察實(shí)驗(yàn)：、觀察實(shí)驗(yàn)：abcdabcdMM2 2、變形規(guī)律：、變形規(guī)律：(2)、橫向線、橫向線：仍為直線，：仍為直線，只是相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)了一個(gè)角度只是相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)了一個(gè)角度且仍與縱向線正交。且仍與縱向線正交。(1)、縱向線、縱向線：由直線變?yōu)椋河芍本€變?yōu)榍€，且靠近上部的纖維曲線，且靠近上部的纖維縮短，

22、靠近下部的纖維伸縮短，靠近下部的纖維伸長(zhǎng)。長(zhǎng)。3 3、假設(shè)：、假設(shè)：（1 1）彎曲平面假設(shè)：）彎曲平面假設(shè)：梁變形前原為平面的橫截面變形后仍為梁變形前原為平面的橫截面變形后仍為平平面面，且仍，且仍垂直垂直于變形后的軸線，只是各橫截面繞其上的某軸轉(zhuǎn)于變形后的軸線，只是各橫截面繞其上的某軸轉(zhuǎn)動(dòng)了一個(gè)角度。動(dòng)了一個(gè)角度。凹入凹入一側(cè)纖維一側(cè)纖維縮短縮短突出突出一側(cè)纖維一側(cè)纖維伸長(zhǎng)伸長(zhǎng) 根據(jù)變形的連續(xù)性可知，梁彎曲時(shí)從其凹入一側(cè)的縱向線縮短區(qū)到其凸出一側(cè)的縱向線伸長(zhǎng)區(qū)，中間必有一層縱向無(wú)長(zhǎng)度改變的過(guò)渡層-稱為中中性層性層 。中間層與橫截面中間層與橫截面的交線的交線中性軸中性軸（2 2）縱向）縱向纖維假

23、設(shè)（纖維假設(shè)（）：）：梁是由許多縱向纖維組成的，梁是由許多縱向纖維組成的，且各縱向且各縱向纖維之間纖維之間無(wú)擠壓無(wú)擠壓。 梁的彎曲變形實(shí)際上是各截面繞各自的中性軸轉(zhuǎn)梁的彎曲變形實(shí)際上是各截面繞各自的中性軸轉(zhuǎn)動(dòng)了一個(gè)角度，動(dòng)了一個(gè)角度，等高度的一層纖維的變形完全相同等高度的一層纖維的變形完全相同。1 2 1 2 o1A o2B 1 2 1 2 o1A o2B 1 1 2 2 M M dx梁中取出的長(zhǎng)為梁中取出的長(zhǎng)為dxdx的微段的微段變形后其兩端相對(duì)轉(zhuǎn)了變形后其兩端相對(duì)轉(zhuǎn)了d d 角角A1 B1 O2 O1d r4 4、縱向線應(yīng)變的變化規(guī)律、縱向線應(yīng)變的變化規(guī)律 （縱向線段的變化規(guī)律）（縱向線段

24、的變化規(guī)律）)1( yrrrrdddy)(ryABABBA111111OOOOBA橫截面上各點(diǎn)的縱向線應(yīng)變橫截面上各點(diǎn)的縱向線應(yīng)變與它到中性軸的距離成正比與它到中性軸的距離成正比 A1 B1 O2 O1d r r1 2 1 2 o1A o2B 梁彎曲時(shí)橫截面上正應(yīng)力分布圖：梁彎曲時(shí)橫截面上正應(yīng)力分布圖：MZymaxmax中性軸的位置？梁變形后中性層的曲率 1 r中性層中性層在彈性范圍內(nèi)，sE（二）物理（二）物理關(guān)系：關(guān)系：(2) . rsEyE橫截面上各點(diǎn)的正應(yīng)力沿截面高度按線性規(guī)律變化橫截面上各點(diǎn)的正應(yīng)力沿截面高度按線性規(guī)律變化x y z O dAs坐標(biāo)系的選取坐標(biāo)系的選?。?y y軸：截面

25、的縱向?qū)ΨQ軸。軸：截面的縱向?qū)ΨQ軸。 z z軸：中性軸。軸：中性軸。 x x軸：沿縱向線。軸：沿縱向線。 ANdAF0s0dAzAyMsAzMMdAysFx0My=0Mz=M (y z)M 3. 3. 靜力學(xué)關(guān)系方面靜力學(xué)關(guān)系方面MANdAF0s0dAzAyMsAzMMdAys0SZAEydAErr故：Sz = 0 即中性軸即中性軸 z 必過(guò)橫截面的形心必過(guò)橫截面的形心。 rsy代入胡克定律：代入胡克定律：0rE及：及： 0yzAIEdAyZErr故：Iyz0， y軸為對(duì)稱軸，z軸又過(guò)形心，則軸則軸y，z為橫截面的形心主慣性軸。為橫截面的形心主慣性軸。MEdAEIyZArr2（中性層曲率公式）

26、（中性層曲率公式） 故： zEIMr1其中其中 1 1是梁軸線變形后的曲率。稱是梁軸線變形后的曲率。稱EIEIZ Z為梁的抗彎剛度。為梁的抗彎剛度。zIMysZEIMr1得純彎曲時(shí)橫截面上正應(yīng)力的計(jì)算公式得純彎曲時(shí)橫截面上正應(yīng)力的計(jì)算公式：rsy代入代入：表明：橫截面上任一點(diǎn)的正應(yīng)力與該橫截面上的彎矩和表明：橫截面上任一點(diǎn)的正應(yīng)力與該橫截面上的彎矩和該點(diǎn)到中性軸的距離成正比，而與該截面對(duì)中性軸的慣性矩該點(diǎn)到中性軸的距離成正比，而與該截面對(duì)中性軸的慣性矩成反比。成反比。zIMys計(jì)算時(shí)公式中代入計(jì)算時(shí)公式中代入M M和和y y的絕的絕對(duì)值。對(duì)值。的正負(fù)可由彎矩的正負(fù)的正負(fù)可由彎矩的正負(fù)和所求點(diǎn)的

27、位置來(lái)判斷和所求點(diǎn)的位置來(lái)判斷. . -+zMzM+-zIMys適用條件是：適用條件是： (1) (1) 梁的橫截面至少具有一個(gè)縱向?qū)ΨQ軸。梁的橫截面至少具有一個(gè)縱向?qū)ΨQ軸。 (2) (2) 正應(yīng)力不超過(guò)材料的比例極限。正應(yīng)力不超過(guò)材料的比例極限。 (3) (3) 梁產(chǎn)生純彎曲。梁產(chǎn)生純彎曲。 例例7.8 7.8 簡(jiǎn)支梁受均布荷載簡(jiǎn)支梁受均布荷載q q作用，試完成：作用，試完成：(1) (1) 求距左求距左端為端為m m的的C C截面上截面上a a、b b、c c三點(diǎn)的正應(yīng)力。三點(diǎn)的正應(yīng)力。(2) (2) 求梁的最大求梁的最大正應(yīng)力值，并說(shuō)明最大正應(yīng)力發(fā)生在何處。正應(yīng)力值，并說(shuō)明最大正應(yīng)力發(fā)生

28、在何處。(3) (3) 作出作出C C截面截面上正應(yīng)力沿截面高度的分布圖。上正應(yīng)力沿截面高度的分布圖。 200 q=3.5kN/mAB3m1m解解 （1 1）求指定截面上指定點(diǎn)的應(yīng)力）求指定截面上指定點(diǎn)的應(yīng)力先求出支座反力先求出支座反力, ,由對(duì)稱性由對(duì)稱性C C截面積的彎矩截面積的彎矩 矩形截面對(duì)中性軸z的慣性矩82qlMC=(5.2513.510.5)kNm =3.5kNm47433mm108mm)12200120(12bhIz12050abc200 q=3.5kN/mABc3m1m 計(jì)算計(jì)算C C截面上截面上a a、b b、c c三三點(diǎn)的正應(yīng)力點(diǎn)的正應(yīng)力：)(MPa38. 4MPa)10

29、8100105 . 3(76拉應(yīng)力zacaIyMs)(MPa19. 2MPa)10850105 . 3(76拉應(yīng)力zbcbIyMs)(MPa38. 4MPa)108100105 . 3(76壓應(yīng)力zcccIyMs12050abc200 (2) (2) 求梁的最大正應(yīng)力值，及最大正應(yīng)力發(fā)生的位置。求梁的最大正應(yīng)力值，及最大正應(yīng)力發(fā)生的位置。 梁的最大正應(yīng)力發(fā)生在最大彎矩梁的最大正應(yīng)力發(fā)生在最大彎矩M Mmaxmax所在的上、下邊緣處。所在的上、下邊緣處。由梁的變形情況可以判定，最大拉應(yīng)力發(fā)生在跨中截面的下邊由梁的變形情況可以判定，最大拉應(yīng)力發(fā)生在跨中截面的下邊緣處；最大壓應(yīng)力發(fā)生在跨中截面的邊緣

30、處。其最大正應(yīng)力的緣處；最大壓應(yīng)力發(fā)生在跨中截面的邊緣處。其最大正應(yīng)力的值為值為MPa93. 4MPa1081001094. 376maxmaxmaxzIyMsmkN94. 3mkN)835 . 3(822maxqlM(3)(3)作作C C截面上正應(yīng)力沿截面高度的分布圖。截面上正應(yīng)力沿截面高度的分布圖。MPa38. 4MPa38. 4一般情況下，最大正應(yīng)力發(fā)生于一般情況下，最大正應(yīng)力發(fā)生于彎矩最大的橫截面上矩中性軸最遠(yuǎn)處。彎矩最大的橫截面上矩中性軸最遠(yuǎn)處。maxszIyMmaxmaxmaxszzWyImaxzWMmaxmaxs式中式中W WZ Z僅與截面的幾何形狀及尺寸有關(guān)，稱為截面對(duì)中僅與截

31、面的幾何形狀及尺寸有關(guān)，稱為截面對(duì)中性軸的性軸的抗彎截面模量抗彎截面模量。單位：。單位：m m3 3或或mmmm3 3 。令：7.3.1 7.3.1 梁的最大正應(yīng)力梁的最大正應(yīng)力 習(xí)慣上把產(chǎn)生最大應(yīng)力的截面稱為習(xí)慣上把產(chǎn)生最大應(yīng)力的截面稱為危險(xiǎn)截面危險(xiǎn)截面，產(chǎn)生最，產(chǎn)生最大應(yīng)力的點(diǎn)稱為大應(yīng)力的點(diǎn)稱為危險(xiǎn)點(diǎn)危險(xiǎn)點(diǎn)。Ms s若截面是高為若截面是高為h h ，寬為，寬為b b的的矩形，則的的矩形，則6212223bhhbhhIWzz123bhIz 若截面是直徑為若截面是直徑為d的圓形，則的圓形，則32264234ddddIWzz644dIz 若截面是外徑為若截面是外徑為D D、內(nèi)徑為、內(nèi)徑為d d的

32、空心圓形，則的空心圓形，則 D d D d a 44164aDIz43441322642aDDdDDIWzz 對(duì)于各種型鋼的慣性矩和抗彎截面系數(shù)可從書后對(duì)于各種型鋼的慣性矩和抗彎截面系數(shù)可從書后“附錄附錄”型鋼表中查出型鋼表中查出。 zybhyzd 中性軸中性軸 z 為橫截面的對(duì)稱軸時(shí)為橫截面的對(duì)稱軸時(shí)yzzybhctmaxmaxsszIMys梁橫截面上的最大正應(yīng)力發(fā)生在距中性軸最遠(yuǎn)的地方梁橫截面上的最大正應(yīng)力發(fā)生在距中性軸最遠(yuǎn)的地方 純彎曲時(shí)梁橫截面上純彎曲時(shí)梁橫截面上正應(yīng)力的計(jì)算公式正應(yīng)力的計(jì)算公式同一橫截面上同一橫截面上t tmaxmax c cmaxmax ，這時(shí)整個(gè)梁的，這時(shí)整個(gè)梁的

33、t tmaxmax 或或 c cmaxmax一定發(fā)生在一定發(fā)生在| |M Mmaxmax| | 截面處截面處。中性軸中性軸 z 不是橫截面的對(duì)稱軸時(shí)不是橫截面的對(duì)稱軸時(shí)zIMymaxttmaxszIMycmaxcmaxsOzyytmaxycmaxmaxmaxctsszIMysM 純彎曲時(shí)梁橫截面上純彎曲時(shí)梁橫截面上正應(yīng)力的計(jì)算公式：正應(yīng)力的計(jì)算公式：同一橫截面上同一橫截面上t tmaxmax c cmaxmax ，這時(shí)整個(gè)梁的，這時(shí)整個(gè)梁的t tmaxmax 或或 c cmaxmax不一定發(fā)生在不一定發(fā)生在| |M Mmaxmax| | 截面處，截面處，需對(duì)最大正彎矩和最大需對(duì)最大正彎矩和最大

34、負(fù)彎矩處的負(fù)彎矩處的 t tmaxmax和和 c cmaxmax分別計(jì)算。分別計(jì)算。三、純彎曲理論的推廣三、純彎曲理論的推廣橫力彎曲時(shí)橫力彎曲時(shí)1 1、由于切應(yīng)力的存在，梁、由于切應(yīng)力的存在，梁的橫截面發(fā)生翹曲；的橫截面發(fā)生翹曲；2 2、橫向力還使各縱向線之、橫向力還使各縱向線之間發(fā)生擠壓。間發(fā)生擠壓。 平面假設(shè)和縱向線之平面假設(shè)和縱向線之間無(wú)擠壓的假設(shè)實(shí)際上都間無(wú)擠壓的假設(shè)實(shí)際上都不再成立。不再成立。1m2mBAzIMys 純彎曲時(shí)梁橫截面上純彎曲時(shí)梁橫截面上正應(yīng)力的計(jì)算公式正應(yīng)力的計(jì)算公式實(shí)驗(yàn)和彈性理論的研究結(jié)果表明：實(shí)驗(yàn)和彈性理論的研究結(jié)果表明： 對(duì)于對(duì)于細(xì)長(zhǎng)梁細(xì)長(zhǎng)梁（跨高比（跨高比 l

35、 / h 5 ），剪力的影響可以忽），剪力的影響可以忽略，略，純彎曲時(shí)的正應(yīng)力計(jì)算公式用于橫力彎曲情況，其結(jié)純彎曲時(shí)的正應(yīng)力計(jì)算公式用于橫力彎曲情況，其結(jié)果仍足夠精確果仍足夠精確。zIyxM)(szWxM)(maxsFl4lF彎曲正應(yīng)力公式彎曲正應(yīng)力公式ZIMys可推廣應(yīng)用于橫力彎曲和小曲率梁（曲率半徑大于5倍梁截面高度h的曲桿) 5h例：例：求圖示懸臂梁的最大拉、壓應(yīng)力。已知：mkNqml/6,110槽鋼槽鋼q解：解：1 1）畫彎矩圖）畫彎矩圖kNmqlM35 . 0|2max2 2）查型鋼表：）查型鋼表：cmycmIcmbz52. 1,6 .25,8 . 414cmy28. 352. 18

36、 . 423 3）求最大拉、壓應(yīng)力應(yīng)力：）求最大拉、壓應(yīng)力應(yīng)力：1maxyIMzts6106 .2552. 13000MPa1782maxyIMzcs6106 .2528. 33000MPa384MPaMPact384,178maxmaxssbz1yy2ycmaxtmaxbz1yy2yM s ss s zWMmaxmaxcmaxctmaxtssss 對(duì)于抗拉和抗壓能力相同的塑性材料（如低碳鋼）由對(duì)于抗拉和抗壓能力相同的塑性材料（如低碳鋼）由于于 ，所以只要求：梁橫截面上絕對(duì)值最大的，所以只要求：梁橫截面上絕對(duì)值最大的正應(yīng)力不超過(guò)材料的彎曲許用應(yīng)力。其正應(yīng)力強(qiáng)度條件為：正應(yīng)力不超過(guò)材料的彎曲許用

37、應(yīng)力。其正應(yīng)力強(qiáng)度條件為：ctsss 對(duì)于抗拉和抗壓能力不同的脆性材料（如鑄鐵），由于對(duì)于抗拉和抗壓能力不同的脆性材料（如鑄鐵），由于 ，所以要求：梁橫截面上的最大拉應(yīng)力不超過(guò)材，所以要求：梁橫截面上的最大拉應(yīng)力不超過(guò)材料的彎曲許用拉應(yīng)力，同時(shí)，梁橫截面上的最大壓應(yīng)力不超料的彎曲許用拉應(yīng)力，同時(shí)，梁橫截面上的最大壓應(yīng)力不超過(guò)材料的彎曲許用壓應(yīng)力。其正應(yīng)力強(qiáng)度條件為：過(guò)材料的彎曲許用壓應(yīng)力。其正應(yīng)力強(qiáng)度條件為：ctss四、梁的彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件四、梁的彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件 szWMmax中性軸為橫截面對(duì)稱軸的等直梁中性軸為橫截面對(duì)稱軸的等直梁拉、壓強(qiáng)度不相等的鑄鐵等脆性材料制成的梁拉、壓強(qiáng)度不相等

38、的鑄鐵等脆性材料制成的梁tmaxmaxmaxtsstzyIMcmaxmaxmaxcssczyIMOzyytmaxycmaxzhM ssmax3. 3. 強(qiáng)度條件應(yīng)用強(qiáng)度條件應(yīng)用 強(qiáng)度校核強(qiáng)度校核: : maxmaxsszWM 設(shè)計(jì)截面設(shè)計(jì)截面: : zzWMWMmaxmaxmaxsss 確定許用荷載確定許用荷載 : : maxmaxmaxMWWMzzsss 例例12.9 圖示簡(jiǎn)支梁選用木材制成，其橫截面為矩形圖示簡(jiǎn)支梁選用木材制成，其橫截面為矩形bh=140mm210mm，梁的跨度，梁的跨度l=4m，荷載，荷載FP=6kN，q=2kN/m，材料的彎曲許用應(yīng)力，材料的彎曲許用應(yīng)力 =11MPa，

39、試校核該梁的，試校核該梁的正應(yīng)力強(qiáng)度。正應(yīng)力強(qiáng)度。FAyFByhbz解：（解：（1）求梁在圖示荷載作用下的最大彎矩。）求梁在圖示荷載作用下的最大彎矩。求支座反力求支座反力,由對(duì)稱性由對(duì)稱性FBy= FAy= 7kNq ABl=4mFP 10kNm (2) 計(jì)算截面的幾何參數(shù)。計(jì)算截面的幾何參數(shù)。 再作梁的彎矩圖，如圖示。再作梁的彎矩圖，如圖示。36322mm1003. 1mm)6210140(6bhWzhbz 從圖可知：跨中截面上彎矩從圖可知：跨中截面上彎矩最大，其值為最大，其值為Mmax=10kNm 。FAyFByq ABl=4mFP (3) 校核梁的正應(yīng)力強(qiáng)度。校核梁的正應(yīng)力強(qiáng)度。 MPa

40、71. 9MPa1003. 1101066maxmaxzWMs該梁滿足正應(yīng)力強(qiáng)度要求。該梁滿足正應(yīng)力強(qiáng)度要求。 MPa11maxssy2 y1 C 例例12.10 T形截面外伸梁如圖示，已知：材料的彎曲許用形截面外伸梁如圖示，已知：材料的彎曲許用應(yīng)力分別為應(yīng)力分別為t=45MPa，c=175MPa，截面對(duì)中性軸的慣，截面對(duì)中性軸的慣性矩性矩Iz=5.7310-6m4，下邊緣到中性軸的距離，下邊緣到中性軸的距離y1=72mm，上，上邊緣到中性軸的距離邊緣到中性軸的距離y2=38mm。試校核該梁的強(qiáng)度。試校核該梁的強(qiáng)度。 4FP1=40kN 0.3m0.3m0.3mFP2=15kN ABCD 解：

41、解：(1) 求梁在圖示荷載作求梁在圖示荷載作用下的最大彎矩。用下的最大彎矩。 kN40kN15ByAyFF)(kNm5 . 4max下拉、上壓MMC（上拉、下壓）kNm3maxMMB4.5kNm3kNmFP2=15kN DFP1=40kN 0.3m0.3mABC0.3mB截面和C截面應(yīng)力分布規(guī)律圖y2 y1 C kNm5 . 4maxMMCkNm3maxMMB C C截面截面maxtsmaxcs B B截面截面maxcsmaxtsczBcIyMssMPa7 .37101073. 57210312661max tzBIyMssMPa9 .19101073. 53810312662maxt tzc

42、tIyMssa5 .56101073. 572105 . 412661maxczccIyMssMPa8 .29101073. 538105 . 412662maxB截面滿足正應(yīng)力強(qiáng)度條件。截面滿足正應(yīng)力強(qiáng)度條件。 C截面截面B截面截面 C截面不滿足正應(yīng)力強(qiáng)度條件。截面不滿足正應(yīng)力強(qiáng)度條件。所以該梁的正應(yīng)力強(qiáng)度不所以該梁的正應(yīng)力強(qiáng)度不滿足要求。滿足要求。解解：1 1、求約束反力、求約束反力x0.5m0.5m0.5mABCD2FF例例：矩形截面梁：矩形截面梁 b= 60 mm、h=120mm，s s =160MPa, 求求：Fmax 5F/2F/2M max = 0.5F3 3、強(qiáng)度計(jì)算、強(qiáng)度計(jì)算

43、ZWMmaxmaxshb2、畫、畫M圖，求圖，求MmaxF25. 0F5 . 0,s s2615 . 0bhF)(1 .46maxkNFM解解：1)求約束反力求約束反力.5 .10,5 . 2kNFkNFBYAY)(5 . 2下下拉拉、上上壓壓kNmMC （上上拉拉、下下壓壓）kNmMB4 例例、T 字形截面的鑄鐵梁受力如圖，鑄鐵的字形截面的鑄鐵梁受力如圖，鑄鐵的s st = 30 M Pa， s sc = 60 M Pa.其截面形心位于其截面形心位于C點(diǎn)，點(diǎn)，y1= 52 mm， y2= 88 mm，Iz =763 cm4 ，試校核此梁的強(qiáng)度。，試校核此梁的強(qiáng)度。y 2y 1C Cz1m1m

44、1mABCD2.5kNm-4k N m2 2）畫彎矩圖）畫彎矩圖 定危險(xiǎn)截面定危險(xiǎn)截面AyFByFxkNF91kNF423 3）求應(yīng)力）求應(yīng)力B截面截面（上拉下壓）（上拉下壓）MC截面截面（下拉上壓）（下拉上壓）為什么？zCCtIyM2maxsC截面截面（下拉上壓）（下拉上壓）:y 2y 1C Cz1m1m1mABCDF 2 =4kNF 1 =9kN ttss2 .28maxccss2 .46maxMPa2 .281076310885 . 246zCCIyMc1maxsMPa04.174 ) 強(qiáng)度校核強(qiáng)度校核A1A2A3A446.2MPa27.3MPa28.2MPa2.5kNm-4k N mx

45、MB截面截面（上拉下壓）（上拉下壓）:,2 .271076310524461maxMPaIyMzBBtsMPaIyMzBBc2 .461076310884462maxs最大拉、壓應(yīng)力不在同一截面上最大拉、壓應(yīng)力不在同一截面上A1A2y 2y 1C CzA3A446.2MPa27.3MPa28.2MPa結(jié)論結(jié)論對(duì)Z軸對(duì)稱截面的彎曲梁，只計(jì)算一個(gè)截面一個(gè)截面：對(duì)Z軸不對(duì)稱截面的彎曲梁，必須計(jì)算兩個(gè)截面兩個(gè)截面：maxMmaxmax; MMx 2.5kNm-4k N mM1m1m1mABCDF 2 =4kNF 1 =9kN例例 跨長(zhǎng)跨長(zhǎng) l= 2m 的鑄鐵梁受力如圖，已知鑄鐵的許用拉應(yīng)力的鑄鐵梁受力如圖，已知鑄鐵的許用拉應(yīng)力 st =30 MPa，許用壓應(yīng)力，許用壓應(yīng)力 sc =90 MPa。試根據(jù)截面最。試根據(jù)截面最為合理的要求，確定為合理的要求，確定T字形梁橫截面的尺寸字形梁橫截面的尺寸d ，并校核梁，并校核梁的強(qiáng)度的強(qiáng)度 。解：解：ct21ssyy根據(jù)截面最為合理的要求根據(jù)截面最為合理的要求319030mm701 yy1m2mBAF=80 kNCy1y2z60220yO280dttmaxmaxtmaxsszIyMccmaxmaxcmaxsszIyMctcmaxtmaxssyyFl/4mm24d得得462323mm102 .