無窮小與無窮大和極限的關系ppt課件

1、二二 無窮小與無窮大和極限的關系無窮小與無窮大和極限的關系三三 無窮小的運算性質無窮小的運算性質第四節(jié)第四節(jié) 無窮小與無窮大無窮小與無窮大一一 無窮小與無窮大的概念無窮小與無窮大的概念一、無窮小與無窮大的概念定定義義 1 1 如如果果對對于于任任意意給給定定的的正正數數 ( (不不論論它它多多么么小小) ), ,總總存存在在正正數數 ( (或或正正數數 X) ), ,使使得得對對于于適適合合不不等等式式 00 xx( (或或 xX) )的的一一切切x, ,對對應應的的函函數數值值)(xf都都滿滿足足不不等等式式 )(xf, , 那那末末 稱稱函函數數)(xf當當0 xx ( (或或 x) )時

2、時為為無無窮窮小小, ,記記作作 ).0)(lim(0)(lim0 xfxfxxx或或 極限為零的變量稱為無窮小極限為零的變量稱為無窮小. .1.1.無窮小無窮小例如例如, , 0sinlim0 xx時的無窮小.時的無窮小.是當是當函數函數0sinxx, 01lim xx時時的的無無窮窮小小. .是是當當函函數數 xx1, 0)1(lim nnn時時的的無無窮窮小小. .是是當當數數列列 nnn)1(注意1.無窮小是變量,不能與很小的數混淆;2.2.零是可以作為無窮小的唯一的數零是可以作為無窮小的唯一的數. .2.2.無窮大無窮大定義 2 如果對于任意給定的正數M(不論它多么小),總存在正數

3、(或正數X),使得對于適合不等式 00 xx(或 xX)的一切x,所對應的函數值)(xf都滿足不等式 Mxf )(, 則稱函數)(xf當0 xx(或x)時為無窮小,記作 ).)()( xfxf或或 絕對值無限增大的變量稱為無窮大絕對值無限增大的變量稱為無窮大. . 0 xxlim xlim 特殊情形：正無窮大，負無窮大特殊情形：正無窮大，負無窮大)(lim()(lim)()(00 xfxfxxxxxx或或注意注意 1.無窮大是變量,不能與很大的數混淆;3. 無窮大是一種特殊的無界變量,但是無界變量未必是無窮大.認為極限存在.2.切勿將)(lim0 xfxxxxy1sin1 但不是無窮大.但不是

4、無窮大.是一個無界變量,是一個無界變量,當當例如,例如,xxyx1sin10 時,), 3 , 2 , 1 , 0(221kL kkxp pp p取取(1),22)(kp pp p kxy.)(,kMxy 充分大時充分大時當當k), 3 , 2 , 1 , 0(21kL kkxp p取取(2), kxk充分大時,充分大時,當p pp pkkxyk2sin2)( 但但.0M 不是無窮大不是無窮大無界，無界，.11lim1 xx證證明明例證. 0 M,11Mx 要使要使,11Mx 只要只要,1M 取取時,Mx110 當當.11Mx 就就有有.11lim1 xx的圖形的鉛直漸近線.是函數則直線,如果

5、:定義)()(lim00 xfyxxxfxx 11 xy1.無窮小與函數極限的關系:證 必要性必要性,)(lim0Axfxx 設設,)()(Axfx 令令, 0)(lim0 xxx則則有有).()(xAxf 充分性充分性),()(xAxf 設設,)(0時時的的無無窮窮小小是是當當其其中中xxx )(lim)(lim00 xAxfxxxx 則則)(lim0 xAxx .A 定定理理 1 1 ),()()(lim0 xAxfAxfxx 其其中中)(x 是是當當0 xx 時時的的無無窮窮小小. 二、無窮小與無窮大和極限的關系 x 0 xx 是時無窮小.2. 2. 無窮小與無窮大的關系無窮小與無窮大的

6、關系. 0)(1lim ,)(lim .)(1lim ),0)( , 0)(limxfxfxfxfxfxxxx則(2)若 則(1)若 定理2即：即： 無窮大的倒數為無窮小，非零無窮無窮大的倒數為無窮小，非零無窮小的倒數是無窮大小的倒數是無窮大. .)(1 xf即即證 (2),1)(0, 0, 00 xfxx恒有恒有時時使得當使得當.)(lim0 xfxx設設.為無窮小為無窮小時時當當)(1,0 xfxx 注注 關于無窮大的討論關于無窮大的討論, ,都可歸結為關于無窮都可歸結為關于無窮 小的討論小的討論. .,1)(0, 0, 0 0MxfxxM 恒有恒有時時使得當使得當 為為無無窮窮大大. .

7、時時, ,當當)(10 xfxx , 0)( xf由由于于.)(1Mxf 從從而而. 0)(, 0)( )1( xfxf且且設設 0 xxlim意義意義 1.1.將一般的極限問題轉化為特殊的極限問將一般的極限問題轉化為特殊的極限問 題題( (無窮?。?；無窮?。?； 2.2.給出了函數給出了函數 在在 附近的近似表達附近的近似表達 式式 )(xfox).()(xAxf 誤差為誤差為, 三、 無窮小的運算性質定理3同一過程中，有限個無窮小的代數和仍是無窮小.證：時的兩個無窮小,時的兩個無窮小,是當是當及及設設 x 使使得得, 0, 0, 021 XX 注意：無限個無窮小量的和不一定是無窮小注意：無限

8、個無窮小量的和不一定是無窮小. .例如，例如，不是無窮小.不是無窮小.個之和為1,個之和為1,但但是無窮小.是無窮小.時時nnn1， ;22 時時恒恒有有當當Xx 22 , ,max21XXX 取取恒恒有有時時當當,Xx . 0)lim( ;21 時恒有時恒有當當Xx定理4 有界函數與無窮小量的積仍是無窮小.證 內有界,內有界,在在設函數設函數),(10 oxUu使得當使得當則則, 0, 01 M時時10|0 xx,|Mu 恒恒有有恒有恒有又設又設 是當是當 時的無窮小，時的無窮小， 0 xx , 0, 02 使得當使得當20|0 xx.|M 取取,min21 則當則當 |00 xx 時恒有時,| MMuu為為無無