第二章離散付里葉變換(DFT) Direct Fouriet Transformer

1、 復(fù)習(xí) 第一章第四節(jié)連續(xù)時間信號的抽樣（P33頁）一、引言n作為數(shù)字信號處理的第一步，要將現(xiàn)實中許多連續(xù)時間信號進(jìn)行抽樣保持。即要將連續(xù)時間信號變成數(shù)字信號。1、抽樣n抽樣：就是利用周期性抽樣脈沖序列p(t),從連續(xù)信號xa(t)中抽取一系列的離散值，得到抽樣信號（或稱抽樣數(shù)據(jù)信號）即離散時間信號，以 表示。n抽樣是模擬信號數(shù)字化的第一環(huán)節(jié)，再經(jīng)幅度量化編碼后即得到數(shù)字信號x(n).)( txa2、抽樣器n抽樣器：可以看成是一個電子開關(guān)。n開關(guān)每隔T秒閉合一次（對理想抽樣，閉合時間應(yīng)無窮短，對實際抽樣，閉合時間是秒，但T）使輸入信號得以抽樣，得到連續(xù)信號的抽樣輸出信號。)( txa)(txa3

2、、研究內(nèi)容（1）信號被抽樣后其頻譜將會有什么變化？（2）在什么條件下，可從抽樣數(shù)據(jù)信號 中不失真地恢復(fù)出原來信號xa(t)?)( txa4、抽樣方式n抽樣方式有：理想抽樣、實際抽樣。n抽樣過程：可以看成脈沖調(diào)幅，xa(t)為調(diào)制信號，被調(diào)脈沖載波是周期為T的周期性脈沖串。當(dāng)脈沖寬度為時，可得實實際抽樣際抽樣，當(dāng)脈沖寬度為0時，得到的是理想抽樣理想抽樣。二、理想抽樣n當(dāng)0的極限情況（當(dāng),因此 包絡(luò)的第一零點(diǎn)出現(xiàn)在k很大的地方。 )(jXa可知：包絡(luò)的變化并不影響信號的恢復(fù)。只需取系數(shù)為C0這項即可。TC0只是幅度有所縮減。所以，只要沒有頻率混疊，抽樣內(nèi)插恢復(fù)是沒有失真的，因而奈奎斯特抽樣定理仍然

3、有效。四、正弦信號的抽樣n連續(xù)時間正弦信號是很重要的一種信號，不管是理論研究上還是在信號處理的實際應(yīng)用中，它都有著廣泛的應(yīng)用。n例如：常用正弦信號加白噪聲作為輸入信號來研究某一實際系統(tǒng)或某一算法的性能。n因此，正弦信號的抽樣就很重要。正弦信號的特點(diǎn)n設(shè)連續(xù)時間正弦信號為)2sin()sin()(00tfAtAtx由于這一正弦信號頻譜為在f0處的函數(shù)，因而對它的抽樣，就會遇到一些特殊問題。奈奎斯特定理應(yīng)用于正弦信號抽樣定理應(yīng)用于正弦信號時要求： 抽樣頻率大于信號最高頻率的兩倍，而不是大于或等于兩倍。原因n（1）如果=0，當(dāng)fs=2f0時，則一周期抽樣的兩個點(diǎn)為x(0)=x(1)=0,顯然不包含原

4、信號的任何信息。n（2）當(dāng)=2時，x(0)=x(1)=-A，這時從x(n)可以重建x(t).n(3)當(dāng)為未知時，則得不到x(t)。n所以抽樣定理要求抽樣頻率大于信號最高頻率的兩倍，而不能等于兩倍。例 子n對于兩不同頻率的正弦信號x1(t),x2(t)，如果用同一抽樣頻率對其抽樣，抽樣出的序列可能是一樣的，則我們無法判斷它是來源于x1(t)還是x2(t)。n例：HzfttxHzfttx140),1402cos()(40),402cos()(2211n它們都是5點(diǎn)的周期序列，其基本周期內(nèi)的序列值為1，-0.809，0.309，0.399，-0.809n我們無法判斷這個序列是來自x1(t)還是x2(

5、t)。）nnfnnxnfnnxss54cos(514cos()1402cos()(54cos()402cos()(21 現(xiàn)用fs=100Hz對這兩個信號抽樣，可以看出x1(t)的抽樣滿足抽樣定理，x2(t)的抽樣則不滿足。抽樣后的序列為結(jié)論對正弦信號：)2sin()sin()(00tfAtAtx1、當(dāng)抽樣頻率fs=2f0時(1)當(dāng)=0時，無法恢復(fù)原信號x(t);(2)當(dāng)=2時，可由x(n)重建原信號;(3)當(dāng)為已知且0 2時，則恢復(fù)的不是原信號，而是:tAtx0cos)sin()( 經(jīng)過移位和幅度變換，仍可得到原信號；(4)當(dāng)為未知，則根本得不到原信號。2、從上式看出，由于有三個未知數(shù)，只要保

6、證在它的一個周期內(nèi)均勻地抽得三個樣值，即可由x(n)準(zhǔn)確地重建x(t).3、對離散周期的正弦信號，作截斷時，其截斷長度必須為此周期信號周期的整倍數(shù)，才不會產(chǎn)生離散頻譜的泄漏。4、正弦信號的抽樣不宜補(bǔ)零，否則將產(chǎn)生頻域泄漏。5、考慮到做DFT時，要求數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)N最好為2的整次冪，因而建議對正弦信號抽樣時，一個周期內(nèi)最好抽4個點(diǎn)。要點(diǎn)0002( )cos(2)( )cos(2).,11,)22saaasassffx tf tXtf tffNfNfff求出正弦信號的混疊頻率和混疊信號：如果,那么信號可恢復(fù)為其中其中 是使 落在主周期（內(nèi)的整數(shù)例題n考慮正弦波00( )cos(2),100 x tAf tfHz)300( )80( )60( )sssafHzx tfHzx tfHzx t如果以對進(jìn)行采樣。采樣后的正弦波？b）如果以對進(jìn)行采樣。采樣后的正弦波？c）如果以對進(jìn)行采樣。采樣后的正弦波？00000( )2 ,)280,20260,220sssssssaffbfffHzffHzfffHzffHzaa解： 以進(jìn)行采樣，不會產(chǎn)生失真。（ 如果以進(jìn)行采樣，得到f所以，采樣后的信號描述的是混疊信號Acos2 (20t)+ 的采樣。（c)如果以進(jìn)行采樣，得到f所以，采樣后的信號