2012年上海高考數學真題（文科）試卷（word解析版）

1、絕密啟用前 2012年普通高等學校招生全國統一考試（上海卷）數學試卷(文史類)（滿分150分，考試時間120分鐘）考生注意1.本場考試時間120分鐘，試卷共4頁，滿分150分，答題紙共2頁.2.作答前，在答題紙正面填寫姓名、準考證號，反面填寫姓名，將核對后的條形碼貼在答題紙指定位置.3.所有作答務必填涂或書寫在答題紙上與試卷題號對應的區(qū)域，不得錯位.在試卷上作答一律不得分.4.用2B鉛筆作答選擇題，用黑色字跡鋼筆、水筆或圓珠筆作答非選擇題. 一、填空題（本大題共有14題，滿分56分） 1計算：= （i為虛數單位）. 2若集合，則= . 3函數的最小正周期是 . 4若是直線的一個方向向量，則的傾

2、斜角的大小為 （結果用反三角函數值表示）. 5一個高為2的圓柱，底面周長為2p，該訴表面積為 . 6方程的解是 .7有一列正方體，棱長組成以1為首項，為公比的等比數列，體積分別記為V1,V2,Vn,，則 . 8在的二項展開式中，常數項等于 .9已知是奇函數. 若且.，則 .OMxla10滿足約束條件的目標函數的最小值是 .11三位同學參加跳高、跳遠、鉛球項目的比賽.若每人只選擇一個項目，則有且僅有兩人選擇的項目完全相同的概率是 （結果用最簡分數表示）.12在知形ABCD中，邊AB、AD的長分別為2、1. 若M、N分別是邊BC、CD上的點，且滿足，則的取值范圍是 .13已知函數的圖像是折線段AB

3、C，若中A(0,0)，B(,1)，C(1,0).函數的圖像與x軸圍成的圖形的面積為 .14已知.各項均為正數的數列滿足，.若 ，則的值是 .二、選擇題（本大題共有4題，滿分20分）15若是關于x的實系數方程的一個復數根，則（ ）（A）.（B）.（C）.（D）.16對于常數、，“”是“方程的曲線是橢圓”的（ ）（A）充分不必要條件.（B）必要不充分條件（C）充分必要條件.（D）既不充分也不必要條件.17在中，若，則的形狀是（ ）（A）鈍角三角形.（B）直角三角形（C）銳角三角形.（D）不能確定.18若，則在中，正數的個數是（ ）（A）16.（B）72.（C）86.（D）100.三、解答題（本大題

4、共有5題，滿分74分）PABCD19如圖，在三棱錐P-ABC中，PA底面ABC，D是PC的中點.已知BAC=，AB=2，AC=2，PA=2.求：（1）三棱錐P-ABC的體積；（6分）（2）異面直線BC與AD所成的角的大?。ńY果用反三角函數值表示）.（6分）20已知函數. （1）若，求的取值范圍；（6分） （2）若是以2為周期的偶函數，且當時，有，求函數的反函數.（8分）xOyPA21海事救援船對一艘失事船進行定位：以失事船的當前位置為原點，以正北方向為y軸正方向建立平面直角坐標系（以1海里為單位長度），則救援船恰在失事船的正南方向12海里A處，如圖. 現假設：失事船的移動路徑可視為拋物線；定位

5、后救援船即刻沿直線勻速前往救援；救援船出發(fā)小時后，失事船所在位置的橫坐標為. （1）當時，寫出失事船所在位置P的縱坐標. 若此時兩船恰好會合，求救援船速度的大小和方向；（6分） （2）問救援船的時速至少是多少海里才能追上失事船？（8分）22在平面直角坐標系中，已知雙曲線. （1）設F是C的左焦點，M是C右支上一點. 若|MF|=2，求過M點的坐標；（5分）（2）過C的左頂點作C的兩條漸近線的平行線，求這兩組平行線圍成的平行四邊形的面積；（5分） （3）設斜率為的直線l交C于P、Q兩點，若l與圓相切，求證：OPOQ；（6分）23對于項數為m的有窮數列數集，記（k=1,2,m），即為中的最大值，并

6、稱數列是的控制數列.如1,3,2,5,5的控制數列是1,3,3,5,5. （1）若各項均為正整數的數列的控制數列為2,3,4,5,5，寫出所有的；（4分） （2）設是的控制數列，滿足（C為常數，k=1,2,m）.求證：（k=1,2,m）；（6分） （3）設m=100，常數.若，是的控制數列，求.2012年上海高考數學（文科）試卷解答 一、填空題（本大題共有14題，滿分56分） 1計算：= 1-2i （i為虛數單位）. 2若集合，則= . 3函數的最小正周期是 p . 4若是直線的一個方向向量，則的傾斜角的大小為（結果用反三角函數值表示）. 5一個高為2的圓柱，底面周長為2p，該訴表面積為 6p

7、 . 6方程的解是.7有一列正方體，棱長組成以1為首項，為公比的等比數列，體積分別記為V1,V2,Vn,，則 . 8在的二項展開式中，常數項等于 -20 .9已知是奇函數. 若且.，則 3 .10滿足約束條件的目標函數的最小值是 -2 .11三位同學參加跳高、跳遠、鉛球項目的比賽.若每人只選擇一個項目，則有且僅有兩人選擇的項目完全相同的概率是（結果用最簡分數表示）.12在知形ABCD中，邊AB、AD的長分別為2、1. 若M、N分別是邊BC、CD上的點，且滿足，則的取值范圍是 1, 4 .13已知函數的圖像是折5線段ABC，若中A(0,0)，B(,1)，C(1,0).函數的圖像與x軸圍成的圖形的

8、面積為 .14已知.各項均為正數的數列滿足，.若 ，則的值是.二、選擇題（本大題共有4題，滿分20分）15若是關于x的實系數方程的一個復數根，則（ D ）（A）.（B）.（C）.（D）.16對于常數、，“”是“方程的曲線是橢圓”的（ B ）（A）充分不必要條件.（B）必要不充分條件（C）充分必要條件.（D）既不充分也不必要條件.17在中，若，則的形狀是（ A ）（A）鈍角三角形.（B）直角三角形.（C）銳角三角形.（D）不能確定.18若，則在中，正數的個數是（ C ）（A）16.（B）72.（C）86.（D）100.三、解答題（本大題共有5題，滿分74分）PABCD19如圖，在三棱錐P-ABC

9、中，PA底面ABC，D是PC的中點.已知BAC=，AB=2，AC=2，PA=2.求：（1）三棱錐P-ABC的體積；（6分）（2）異面直線BC與AD所成的角的大?。ńY果用反三角函數值表示）.（6分）解（1）， 2分PABCDE 三棱錐P-ABC的體積為. 6分 （2）取PB的中點E，連接DE、AE，則 EDBC，所以ADE（或其補角）是異面直線 BC與AD所成的角. 8分 在三角形ADE中，DE=2，AE=，AD=2， ，所以ADE=. 因此，異面直線BC與AD所成的角的大小是. 12分20已知函數. （1）若，求的取值范圍；（6分） （2）若是以2為周期的偶函數，且當時，有，求函數的反函數.（

10、8分）解（1）由，得. 由得. 3分 因為，所以，. 由得. 6分 （2）當xÎ1,2時，2-xÎ0,1，因此. 10分由單調性可得.因為，所以所求反函數是，. 14分21海事救援船對一艘失事船進行定位：以失事船的當前位置為原點，以正北方向為y軸xOyPA正方向建立平面直角坐標系（以1海里為單位長度），則救援船恰在失事船的正南方向12海里A處，如圖. 現假設：失事船的移動路徑可視為拋物線；定位后救援船即刻沿直線勻速前往救援；救援船出發(fā)小時后，失事船所在位置的橫坐標為. （1）當時，寫出失事船所在位置P的縱坐標. 若此時兩船恰好會合，求救援船速度的大小和方向；（6分） （2）

11、問救援船的時速至少是多少海里才能追上失事船？（8分）解（1）時，P的橫坐標xP=，代入拋物線方程 中，得P的縱坐標yP=3. 2分 由|AP|=，得救援船速度的大小為海里/時. 4分 由tanOAP=，得OAP=arctan，故救援船速度的方向 為北偏東arctan弧度. 6分 （2）設救援船的時速為海里，經過小時追上失事船，此時位置為. 由，整理得.10分 因為，當且僅當=1時等號成立， 所以，即. 因此，救援船的時速至少是25海里才能追上失事船. 14分22在平面直角坐標系中，已知雙曲線. （1）設F是C的左焦點，M是C右支上一點. 若|MF|=2，求過M點的坐標；（5分）（2）過C的左頂

12、點作C的兩條漸近線的平行線，求這兩組平行線圍成的平行四邊形的面積；（5分） （3）設斜率為的直線l2交C于P、Q兩點，若l與圓相切，求證：OPOQ；（6分）解（1）雙曲線，左焦點. 設，則， 2分 由M是右支上一點，知，所以，得. 所以. 5分 （2）左頂點，漸近線方程：. 過A與漸近線平行的直線方程為：，即. 解方程組，得. 8分 所求平行四邊形的面積為. 10分 （3）設直線PQ的方程是.因直線與已知圓相切，故，即 (*).由，得. 設P(x1, y1)、Q(x2, y2)，則. ，所以 . 由(*)知，所以OPOQ. 16分23對于項數為m的有窮數列數集，記（k=1,2,m），即為中的最

13、大值，并稱數列是的控制數列.如1,3,2,5,5的控制數列是1,3,3,5,5. （1）若各項均為正整數的數列的控制數列為2,3,4,5,5，寫出所有的；（4分） （2）設是的控制數列，滿足（C為常數，k=1,2,m）.求證：（k=1,2,m）；（6分） （3）設m=100，常數.若，是的控制數列，求.解（1）數列為：2, 3, 4, 5, 1；2, 3, 4, 5, 2；2, 3, 4, 5, 3； 2, 3, 4, 5, 4；2, 3, 4, 5, 5. 4分 （2）因為， 所以. 6分 因為， 所以，即. 8分 因此，. 10分 （3）對，； ；. 比較大小，可得. 12分 因為，所以，

14、即； ，即. 又，從而，. 15分 因此 = = =. 18分2012上海高考數學試題（文科）答案與解析一、 填空題（本大題共有14題，滿分56分）1計算：= （i為虛數單位）.【答案】 1-2i【解析】=1-2i【點評】本題著重考查復數的除法運算，首先將分子、分母同乘以分母的共軛復數，凈分母實數化即可。 2若集合，則= .【答案】 【解析】由集合A可得：x>，由集合B可得：-1<經<1，所以，=【點評】本題考查集合的概念和性質的運用，同時考查了一元一次不等式和絕對值不等的解法，解決此類問題，首先分清集合的元素的構成，然后，借助于數軸可得。 3函數的最小正

15、周期是 .【答案】 【解析】根據韙得：【點評】本題主要考查行列式的基本運算、三角函數的周期性、二倍角公式.考綱中明確要求掌握二階行列式的運算性質，屬于容易題，難度較小.4若是直線的一個方向向量，則的傾斜角的大小為         （結果用反三角函數值表示）.【答案】 【解析】設直線的傾斜角為，則.【點評】本題主要考查直線的方向向量、直線的傾斜角與斜率的關系、反三角函數的表示.直線的傾斜角的取值情況一定要注意，屬于低檔題，難度較小.5.一個高為2的圓柱，底面周長為，該圓柱的表面積為 .【答案】【解

16、析】根據該圓柱的底面周長得底面圓的半徑為，所以該圓柱的表面積為：.【點評】本題主要考查空間幾何體的表面積公式.審清題意，所求的為圓柱的表面積，不是側面積，也不是體積，其次，對空間幾何體的表面積公式要記準記牢，屬于中低檔題.6.方程的解是 .【答案】【解析】根據方程，化簡得，令，則原方程可化為，解得 或，即.所以原方程的解為 .【點評】本題主要考查指數型方程、指數的運算、指數與對數形式的互化、換元法在求解數學問題中的運用.本題容易產生增根，要注意取舍，切勿隨意處理，導致不必要的錯誤.本題屬于中低檔題目，難度適中.7.有一列正方體，棱長組成以1為首項、為公比的等比數列，體積分別記為，則 .【答案】

17、 【解析】由正方體的棱長組成以為首項，為公比的等比數列，可知它們的體積則組成了一個以1為首項，為公比的等比數列，因此， .【點評】本題主要考查無窮遞縮等比數列的極限、等比數列的通項公式、等比數列的定義.考查知識較綜合.8.在的二項式展開式中，常數項等于 .【答案】 【解析】根據所給二項式的構成，構成的常數項只有一項，就是 .【點評】本題主要考查二項式定理.對于二項式的展開式要清楚，特別注意常數項的構成.屬于中檔題.9.已知是奇函數，若且，則 .【答案】 【解析】因為函數為奇函數，所以有，即 .【點評】本題主要考查函數的奇偶性.在運用此性質解題時要注意：函數為奇函數，所以有這個條件的運用，平時要

18、加強這方面的訓練，本題屬于中檔題，難度適中.10.滿足約束條件的目標函數的最小值是 .【答案】【解析】根據題意得到或或或其可行域為平行四邊形區(qū)域，（包括邊界）目標函數可以化成，的最小值就是該直線在軸上截距的最小值，當該直線過點時，有最小值，此時 . 【點評】本題主要考查線性規(guī)劃問題，準確畫出可行域，找到最優(yōu)解，分析清楚當該直線過點時，有最小值，此時 ，這是解題的關鍵，本題屬于中檔題，難度適中.11.三位同學參加跳高、跳遠、鉛球項目的比賽，若每人只選擇一個項目，則有且僅有兩位同學選擇的項目相同的概率是 （結果用最簡分數表示）.【答案】【解析】一共有27種取法，其中有且只有兩個人選擇相同的項目的取

19、法共有18種，所以根據古典概型得到此種情況下的概率為 .【點評】本題主要考查排列組合概率問題、古典概型.要分清基本事件數和基本事件總數.本題屬于中檔題.12.在矩形中，邊、的長分別為2、1，若、分別是邊、上的點，且滿足，則的取值范圍是 【答案】【解析】以向量AB所在直線為軸，以向量AD所在直線為軸建立平面直角坐標系，如圖所示，因為，所以 設，根據題意，所以所以，所以， 即. 【點評】本題主要考查平面向量的基本運算、概念、平面向量的數量積的運算律.做題時，要切實注意條件的運用.本題屬于中檔題，難度適中.13.已知函數的圖像是折線段，其中、，函數（）的圖像與軸圍成的圖形的面積為 .【答案】【解析】

20、根據題意，得到，從而得到所以圍成的面積為，所以圍成的圖形的面積為 .【點評】本題主要考查函數的圖象與性質，函數的解析式的求解方法、定積分在求解平面圖形中的運用.突出體現數形結合思想，本題綜合性較強，需要較強的分析問題和解決問題的能力，在以后的練習中加強這方面的訓練，本題屬于中高檔試題，難度較大.14.已知，各項均為正數的數列滿足，若，則的值是 .【答案】 【解析】據題，并且，得到，得到，解得（負值舍去）.依次往前推得到 .【點評】本題主要考查數列的概念、組成和性質、同時考查函數的概念.理解條件是解決問題的關鍵，本題綜合性強，運算量較大，屬于中高檔試題.二、選擇題（本大題共有4題，滿分20分）1

21、5.若是關于的實系數方程的一個復數根，則（ ）A B. C. D.【答案】 D 【解析】根據實系數方程的根的特點知也是該方程的另一個根，所以，即，故答案選擇D.【點評】本題主要考查實系數方程的根的問題及其性質、復數的代數形式的四則運算.屬于中檔題，注重對基本知識和基本技巧的考查，復習時要特別注意.16.對于常數、，“”是“方程的曲線是橢圓”的（ ）A充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】方程的曲線表示橢圓，常數常數的取值為所以，由得不到程的曲線表示橢圓，因而不充分；反過來，根據該曲線表示橢圓，能推出，因而必要.所以答案選擇B.【點評】本

22、題主要考查充分條件和必要條件、充要條件、橢圓的標準方程的理解.根據方程的組成特征，可以知道常數的取值情況.屬于中檔題.17.在中，若，則的形狀是（ ）A鈍角三角形 B、.直角三角形 C.銳角三角形 D.不能確定【答案】 A【解析】由正弦定理，得代入得到，由余弦定理的推理得，所以C為鈍角，所以該三角形為鈍角三角形.故選擇A.【點評】本題主要考查正弦定理及其推理、余弦定理的運用.主要抓住所給式子的結構來選擇定理，如果出現了角度的正弦值就選擇正弦定理，如果出現角度的余弦值就選擇余弦定理.本題屬于中檔題.18.若（），則在中，正數的個數是（ ）A16 B.72 C.86 D.100【答案】C【解析】依

23、據正弦函數的周期性，可以找其中等于零或者小于零的項.【點評】本題主要考查正弦函數的圖象和性質和間接法解題.解決此類問題需要找到規(guī)律，從題目出發(fā)可以看出來相鄰的14項的和為0，這就是規(guī)律，考查綜合分析問題和解決問題的能力.三、解答題（本大題共有5題，滿分74分）PABCD19如圖，在三棱錐P-ABC中，PA底面ABC，D是PC的中點.已知BAC=，AB=2，AC=2，PA=2.求：（1）三棱錐P-ABC的體積；（6分）（2）異面直線BC與AD所成的角的大?。ńY果用反三角函數值表示）.（6分）解（1）， 2分PABCDE 三棱錐P-ABC的體積為. 6分 （2）取PB的中點E，連接DE、AE，則

24、EDBC，所以ADE（或其補角）是異面直線 BC與AD所成的角. 8分 在三角形ADE中，DE=2，AE=，AD=2， ，所以ADE=. 因此，異面直線BC與AD所成的角的大小是. 12分【點評】本題主要考查直線與直線、直線與平面的位置關系，考查空間想象能力和推理論證能力綜合考查空間中兩條異面直線所成的角的求解，同時考查空間幾何體的體積公式的運用.本題源于必修2立體幾何章節(jié)復習題，復習時應注重課本，容易出現找錯角的情況，要考慮全面，考查空間想象能力，屬于中檔題20已知函數. （1）若，求的取值范圍；（6分） （2）若是以2為周期的偶函數，且當時，有，求函數的反函數.（8分）解（1）由，得. 由

25、得. 3分 因為，所以，. 由得. 6分 （2）當xÎ1,2時，2-xÎ0,1，因此. 10分由單調性可得.因為，所以所求反函數是，. 14分【點評】本題主要考查函數的概念、性質等基礎知識以及數形結合思想，熟練掌握指數函數、對數函數、冪函數的圖象與性質是關鍵，屬于中檔題21海事救援船對一艘失事船進行定位：以失事船的當前位置為原點，以正北方向為y軸xOyPA正方向建立平面直角坐標系（以1海里為單位長度），則救援船恰在失事船的正南方向12海里A處，如圖. 現假設：失事船的移動路徑可視為拋物線；定位后救援船即刻沿直線勻速前往救援；救援船出發(fā)小時后，失事船所在位置的橫坐標為. （1

26、）當時，寫出失事船所在位置P的縱坐標. 若此時兩船恰好會合，求救援船速度的大小和方向；（6分） （2）問救援船的時速至少是多少海里才能追上失事船？（8分）解（1）時，P的橫坐標xP=，代入拋物線方程 中，得P的縱坐標yP=3. 2分 由|AP|=，得救援船速度的大小為海里/時. 4分 由tanOAP=，得OAP=arctan，故救援船速度的方向 為北偏東arctan弧度. 6分 （2）設救援船的時速為海里，經過小時追上失事船，此時位置為. 由，整理得.10分 因為，當且僅當=1時等號成立， 所以，即. 因此，救援船的時速至少是25海里才能追上失事船. 14分【點評】本題主要考查函數的概念、性質及導數等基礎知識選擇恰當的函數模型是解決此類問題的關鍵，屬于中檔題考查靈活運算數形結合、分類討論的思想方法進行探究、分析與解決問題的能力屬于中檔偏上題目，也是近幾年高考的熱點問題22在平面直角坐標系中，已知雙曲線. （1）設F是C的左焦點，M是C右支上一點. 若|MF|=2，