第36課銳角三角函數(shù)和解直角三角形

1、第36課 銳角三角函數(shù)和解直角三角形 1銳角三角函數(shù)的意義，銳角三角函數(shù)的意義，RtABC中，設(shè)中，設(shè)C90，為為 RtABC的一個(gè)銳角，則：的一個(gè)銳角，則： 的正弦的正弦 sin . 的余弦的余弦 cos . 的正切的正切 tan .要點(diǎn)梳理要點(diǎn)梳理230、45、60的三角函數(shù)值，如下表：的三角函數(shù)值，如下表：正弦正弦余弦余弦正切正切30456013同角三角函數(shù)之間的關(guān)系：同角三角函數(shù)之間的關(guān)系： sin2cos2 ； tan . 互余兩角的三角函數(shù)關(guān)系式：互余兩角的三角函數(shù)關(guān)系式：(為銳角為銳角) sin ； cos . 函數(shù)的增減性：函數(shù)的增減性：(090) (1)sin，tan的值都隨

2、的值都隨 ； (2)cos都隨都隨 1cossin增大而增大增大而增大增大而減小增大而減小4解直角三角形的概念、方法及應(yīng)用解直角三角形的概念、方法及應(yīng)用 解直角三角形：由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所解直角三角形：由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的過(guò)程叫做解直角三角形有未知元素的過(guò)程叫做解直角三角形 直角三角形中的邊角關(guān)系：在直角三角形中的邊角關(guān)系：在RtABC中，中，C90，A、B、C所對(duì)的邊分別為所對(duì)的邊分別為a、b、c則：則： (1)邊與邊的關(guān)系：邊與邊的關(guān)系： ； (2)角與角的關(guān)系：角與角的關(guān)系： ； (3)邊與角的關(guān)系：邊與角的關(guān)系： .5三角形面積公式：

3、三角形面積公式：S ah .a2b2c2AB90sinAcosB ，cosAsinB ；tanA ，tanBabsinC1 1正確理解三角函數(shù)的概念正確理解三角函數(shù)的概念 書寫三角函數(shù)時(shí)，若銳角用一個(gè)大寫字母或者一個(gè)小寫希臘字書寫三角函數(shù)時(shí)，若銳角用一個(gè)大寫字母或者一個(gè)小寫希臘字母表示的，表示它的正弦時(shí)，習(xí)慣省略角的符號(hào)，如母表示的，表示它的正弦時(shí)，習(xí)慣省略角的符號(hào)，如sin A；若銳；若銳角是用三個(gè)大寫字母或數(shù)字表示的，表示它的正弦時(shí)，不能省略角是用三個(gè)大寫字母或數(shù)字表示的，表示它的正弦時(shí)，不能省略角的符號(hào)，如角的符號(hào)，如sinABC，余弦和正切的寫法同理由定義可以看，余弦和正切的寫法同理由

4、定義可以看出，銳角出，銳角A的正弦、余弦、正切都是它所在直角三角形的兩邊的比，的正弦、余弦、正切都是它所在直角三角形的兩邊的比，因此都是正數(shù)；因?yàn)殇J角因此都是正數(shù)；因?yàn)殇J角A的取值范圍是的取值范圍是0A90，則三角函，則三角函數(shù)的取值范圍是數(shù)的取值范圍是0sin A1,0cos A0；當(dāng)；當(dāng)A確定時(shí)，確定時(shí)，三個(gè)比值也分別有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)三個(gè)比值也分別有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng) 難點(diǎn)正本難點(diǎn)正本 疑點(diǎn)清源疑點(diǎn)清源 2 2解直角三角形在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用解直角三角形在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用 解直角三角形在實(shí)際中有廣泛的應(yīng)用，主要涉及測(cè)量、航空、解直角三角形在實(shí)際中有廣泛的應(yīng)用，主要涉及測(cè)量、航空、航海

5、、工程等領(lǐng)域，常作為習(xí)題出現(xiàn)的有以下幾個(gè)方面：度量航海、工程等領(lǐng)域，常作為習(xí)題出現(xiàn)的有以下幾個(gè)方面：度量工作、工程建筑、測(cè)量距離等解這類問(wèn)題的一般步驟是：工作、工程建筑、測(cè)量距離等解這類問(wèn)題的一般步驟是： (1)弄清題中名詞術(shù)語(yǔ)的意義，然后根據(jù)題意畫出幾何圖形，弄清題中名詞術(shù)語(yǔ)的意義，然后根據(jù)題意畫出幾何圖形，建立數(shù)學(xué)模型；建立數(shù)學(xué)模型； (2)將實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系歸結(jié)為直角三角形中元素之間的將實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系歸結(jié)為直角三角形中元素之間的關(guān)系，當(dāng)有些圖形不是直角三角形時(shí)，可添加適當(dāng)?shù)妮o助線，關(guān)系，當(dāng)有些圖形不是直角三角形時(shí)，可添加適當(dāng)?shù)妮o助線，把它們分割成直角三角形；把它們分割成直角三角

6、形； (3)尋求基礎(chǔ)直角三角形，并解這個(gè)三角形或設(shè)未知數(shù)進(jìn)行求尋求基礎(chǔ)直角三角形，并解這個(gè)三角形或設(shè)未知數(shù)進(jìn)行求解解1(2011煙臺(tái)煙臺(tái))如果如果ABC中，中，sin Acos B ，則下列最確，則下列最確切的結(jié)論是切的結(jié)論是() AABC是直角三角形是直角三角形 BABC是等腰三角形是等腰三角形 CABC是等腰直角三角形是等腰直角三角形 DABC是銳角三角形是銳角三角形 解析：當(dāng)解析：當(dāng)sinA ，cosB 時(shí)，時(shí)，AB45， 所以所以ABC是等腰直角三角形是等腰直角三角形基礎(chǔ)自測(cè)基礎(chǔ)自測(cè)C2(2011湖州湖州)如圖，已知在如圖，已知在RtABC中，中， C90，BC1，AC2，則，則tan

7、 A的值為的值為() A2 B. C. D. 解析：在解析：在RtABC中，中，C90， tanA .B3(2011茂名茂名)如圖，已知如圖，已知45Acos A Csin Atan A Dsin Acos A 解析：當(dāng)解析：當(dāng)45AB，BCAC， 在在RtABC中，中，sinA ，cosA ， sinAcosA.B4(20011鎮(zhèn)江鎮(zhèn)江)如圖，在如圖，在RtABC中，中，ACB90，CDAB，垂足為垂足為D. 若若AC ，BC2，則，則sinACD的值為的值為() A. B. C. D. 解析：在解析：在RtABC中，中，ACB90， AC ，BC2，則，則AB3. 由由CDAB，得，得AC

8、DB， 所以所以sinACDsinB .A5(2011蘇州蘇州)如圖，在四邊形如圖，在四邊形ABCD中，中，E、F分別是分別是AB、AD的的中點(diǎn)若中點(diǎn)若EF2，BC5，CD3，則，則tan C等于等于() A. B. C. D. 解析：連接解析：連接BD，因?yàn)?，因?yàn)镋、F分別是分別是AB、 AD的中點(diǎn)，所以的中點(diǎn)，所以EF是是ABD的中位線，的中位線， BD2EF224. 在在BCD中，中，BD4，BC5，CD3. 由由BD2CD2BC2，得，得BDC90， 所以所以tanC .B題型一特殊角三角函數(shù)參與實(shí)數(shù)運(yùn)算題型一特殊角三角函數(shù)參與實(shí)數(shù)運(yùn)算【例【例 1】 計(jì)算計(jì)算tan45sin454si

9、n30cos45 tan30. 解：原式解：原式1 4 .探究提高探究提高 利用特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行數(shù)的運(yùn)算，往往與絕對(duì)值、乘方、利用特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行數(shù)的運(yùn)算，往往與絕對(duì)值、乘方、開(kāi)方、二次根式相結(jié)合準(zhǔn)確地記住三角函數(shù)值是解決此類題目開(kāi)方、二次根式相結(jié)合準(zhǔn)確地記住三角函數(shù)值是解決此類題目的關(guān)鍵，所以必須熟記的關(guān)鍵，所以必須熟記題型分類題型分類 深度剖析深度剖析知能遷移知能遷移1計(jì)算：計(jì)算： (1) tan45的值是的值是_； 解析：解析： tan45 1110.0(2)2sin60_； 解析：解析：2sin602 .(3) _. 解析：解析： |tan301| 1tan301 .1題型

10、二仰角、俯角、方向角有關(guān)問(wèn)題題型二仰角、俯角、方向角有關(guān)問(wèn)題【例【例 2】 已知：如圖，在某建筑物已知：如圖，在某建筑物AC上，掛著上，掛著“多彩云南多彩云南”的宣的宣傳條幅傳條幅BC，小明站在點(diǎn)，小明站在點(diǎn)F處，看條幅頂端處，看條幅頂端B，測(cè)得仰角為，測(cè)得仰角為30，再往條幅方向前行再往條幅方向前行20m到達(dá)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)E處，看到條幅頂端處，看到條幅頂端B，測(cè)得仰角，測(cè)得仰角為為60，求宣傳條幅，求宣傳條幅BC的長(zhǎng)的長(zhǎng)(小明的身高不計(jì)，結(jié)果用含有根小明的身高不計(jì)，結(jié)果用含有根號(hào)的式子表示號(hào)的式子表示)解：設(shè)解：設(shè)BCx，在，在RtBCF中，中，tanF ， CF x. 在在RtBCE中，中，ta

11、nBEC ， EC x. FEFCEC， x x20. x20，x10 . 答：宣傳條幅答：宣傳條幅BC的長(zhǎng)是的長(zhǎng)是10 m.探究提高探究提高 此類問(wèn)題常與仰角、俯角等知識(shí)相關(guān)，通常由視線、水平線、此類問(wèn)題常與仰角、俯角等知識(shí)相關(guān)，通常由視線、水平線、鉛垂線構(gòu)成直角三角形，再利用邊與角之間存在的三角函數(shù)式，鉛垂線構(gòu)成直角三角形，再利用邊與角之間存在的三角函數(shù)式，變形求得物體高度變形求得物體高度知能遷移知能遷移2(2011潛江潛江)五月石榴紅，枝頭鳥(niǎo)兒歌一只小鳥(niǎo)從石五月石榴紅，枝頭鳥(niǎo)兒歌一只小鳥(niǎo)從石榴樹(shù)上的榴樹(shù)上的A處沿直線飛到對(duì)面一房屋的頂部處沿直線飛到對(duì)面一房屋的頂部C處從處從A處看房屋處看

12、房屋頂部頂部C處的仰角為處的仰角為30，看房屋底部，看房屋底部D處的俯角為處的俯角為45，石榴樹(shù)，石榴樹(shù)與該房屋之間的水平距離為與該房屋之間的水平距離為3 m，求出小鳥(niǎo)飛行的距離，求出小鳥(niǎo)飛行的距離AC和和房屋的高度房屋的高度CD.解：作解：作AECD于點(diǎn)于點(diǎn)E. 由題意可知：由題意可知：CAE30，EAD45，AE3 m. 在在RtACE中，中，tanCAE ，即，即tan 30 . CE3 tan 303 3m， AC2CE236(m). 在在RtAED中，中，ADE90EAD904545， DEAE3 (m) DCCEDE(33 )m. 答：答：AC6m，DC(33 )m. 題型三解直角

13、三角形的簡(jiǎn)單應(yīng)用題型三解直角三角形的簡(jiǎn)單應(yīng)用【例【例 3】 (2010赤峰赤峰)關(guān)于三角函數(shù)有如下的公式：關(guān)于三角函數(shù)有如下的公式： sin()sincoscossin cos()sincossinsin tan()(1tantan0) 利用這些公式可以將一些不是特殊的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的利用這些公式可以將一些不是特殊的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的 三角函數(shù)來(lái)求值，如三角函數(shù)來(lái)求值，如tan105tan(4560) (2 )根據(jù)上面的知識(shí)，你可以選擇適當(dāng)?shù)墓浇鉀Q下面的實(shí)際問(wèn)題：根據(jù)上面的知識(shí)，你可以選擇適當(dāng)?shù)墓浇鉀Q下面的實(shí)際問(wèn)題：如圖，直升飛機(jī)在一建筑物如圖，直升飛機(jī)在一建筑物CD上方上方A點(diǎn)

14、處測(cè)得建筑物頂端點(diǎn)處測(cè)得建筑物頂端D點(diǎn)的點(diǎn)的俯角俯角為為60，底端，底端C點(diǎn)的俯角點(diǎn)的俯角為為75，此時(shí)直升飛機(jī)與建筑物，此時(shí)直升飛機(jī)與建筑物CD的水平距離的水平距離BC為為42m，求建筑物，求建筑物CD的高的高解：過(guò)點(diǎn)解：過(guò)點(diǎn)D作作DEAB于于E， 在在RtADE中，中，ADEa60， AEEDtan60BCtan6042 . 在在RtACB中，中，ACB75， ABBCtan75， tan75tan(4530) 2 ， AB42(2 )8442 ， CDBEABAE8442 42 84. 答：建筑物答：建筑物CD的高為的高為84m.探究提高探究提高 在解斜三角形時(shí)，通常把斜三角形轉(zhuǎn)化為直角

15、三角形，常見(jiàn)在解斜三角形時(shí)，通常把斜三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形，常見(jiàn)的方法是作高，作高把斜三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形，再利用解的方法是作高，作高把斜三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形，再利用解直角三角形的有關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題直角三角形的有關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題知能遷移知能遷移3(2011安順安順)一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師帶領(lǐng)學(xué)生去測(cè)一一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師帶領(lǐng)學(xué)生去測(cè)一條南北流向的河寬，如圖所示，某學(xué)生在河?xùn)|岸點(diǎn)條南北流向的河寬，如圖所示，某學(xué)生在河?xùn)|岸點(diǎn)A處觀測(cè)到河處觀測(cè)到河對(duì)岸水邊有一點(diǎn)對(duì)岸水邊有一點(diǎn)C，測(cè)得，測(cè)得C在在A北偏西北偏西31的方向上，沿河岸向的方向上，沿河岸向北前行北前行40m到達(dá)到達(dá)B處，測(cè)得處，測(cè)得C在在

16、B北偏西北偏西45的方向上，請(qǐng)你根的方向上，請(qǐng)你根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求這條河的寬度據(jù)以上數(shù)據(jù)，求這條河的寬度(參考數(shù)值：參考數(shù)值：tan 31 )解：如圖，過(guò)點(diǎn)解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作作CDAB于于D ， 由題意由題意DAC31，DBC45， 設(shè)設(shè)CDBDx， 則則ADABBD40 x， 在在RtACD中，中，tanDAC ，則，則 ， 解得解得x60. 答：這條河的寬是答：這條河的寬是60m.題型四解直角三角形在實(shí)際中的應(yīng)用題型四解直角三角形在實(shí)際中的應(yīng)用【例【例 4】 (2010杭州杭州) 如圖，臺(tái)風(fēng)中心位于點(diǎn)如圖，臺(tái)風(fēng)中心位于點(diǎn)P，并沿東北方向，并沿東北方向PQ移動(dòng)，已知臺(tái)風(fēng)移動(dòng)的速度為移動(dòng)，已知臺(tái)

17、風(fēng)移動(dòng)的速度為30千米千米/時(shí)，受影響區(qū)域的半徑為時(shí)，受影響區(qū)域的半徑為200千米，千米，B市位于點(diǎn)市位于點(diǎn)P的北偏東的北偏東75方向上，距離方向上，距離P點(diǎn)點(diǎn)320千米千米處處 (1)說(shuō)明本次臺(tái)風(fēng)會(huì)影響說(shuō)明本次臺(tái)風(fēng)會(huì)影響B(tài)市；市； (2)求這次臺(tái)風(fēng)影響求這次臺(tái)風(fēng)影響B(tài)市的時(shí)間市的時(shí)間 解題示范解題示范規(guī)范步驟，該得的分，一分不丟！規(guī)范步驟，該得的分，一分不丟！解：解：(1)作作BHPQ于點(diǎn)于點(diǎn)H，在，在RtBHP中，由條件知，中，由條件知， PB320，BPQ754530， 得得BH320sin30160200， 本次臺(tái)風(fēng)會(huì)影響本次臺(tái)風(fēng)會(huì)影響B(tài)市市 44分分 (2)如圖，若臺(tái)風(fēng)中心移動(dòng)到如圖

18、，若臺(tái)風(fēng)中心移動(dòng)到P1時(shí)，臺(tái)風(fēng)時(shí)，臺(tái)風(fēng) 開(kāi)始影響開(kāi)始影響B(tài)市，臺(tái)風(fēng)中心移動(dòng)到市，臺(tái)風(fēng)中心移動(dòng)到P2時(shí)，時(shí)， 臺(tái)風(fēng)影響結(jié)束臺(tái)風(fēng)影響結(jié)束 由由(1)得得BH160，由條件得，由條件得BP1BP2200， P1P22 240， 88分分 臺(tái)風(fēng)影響的時(shí)間臺(tái)風(fēng)影響的時(shí)間t 8(小時(shí)小時(shí)) 1010分分 探究提高探究提高 此類問(wèn)題一般求出危險(xiǎn)區(qū)域中心的距離，看其是否小于圓形此類問(wèn)題一般求出危險(xiǎn)區(qū)域中心的距離，看其是否小于圓形危險(xiǎn)區(qū)域的半徑，其實(shí)質(zhì)是判斷圓和直線的位置關(guān)系求影響危險(xiǎn)區(qū)域的半徑，其實(shí)質(zhì)是判斷圓和直線的位置關(guān)系求影響情況，通常以此為圓心，以臺(tái)風(fēng)影響半徑為半徑畫圓，交臺(tái)風(fēng)情況，通常以此為圓心，以臺(tái)

19、風(fēng)影響半徑為半徑畫圓，交臺(tái)風(fēng)行進(jìn)路線于兩點(diǎn)，這兩點(diǎn)之間的距離就是受影響其間臺(tái)風(fēng)所經(jīng)行進(jìn)路線于兩點(diǎn)，這兩點(diǎn)之間的距離就是受影響其間臺(tái)風(fēng)所經(jīng)過(guò)的路程，其中最靠近臺(tái)風(fēng)方向的一點(diǎn)表示臺(tái)風(fēng)開(kāi)始影響，另過(guò)的路程，其中最靠近臺(tái)風(fēng)方向的一點(diǎn)表示臺(tái)風(fēng)開(kāi)始影響，另一點(diǎn)表示臺(tái)風(fēng)結(jié)束影響一點(diǎn)表示臺(tái)風(fēng)結(jié)束影響知能遷移知能遷移4(2010烏魯木齊烏魯木齊)某過(guò)街天橋的截面圖為梯形，如圖所某過(guò)街天橋的截面圖為梯形，如圖所示，其中天橋斜面示，其中天橋斜面CD的坡度為的坡度為i1 ，(i1 是指鉛直是指鉛直高度高度DE與水平寬度與水平寬度CE的比的比)，CD的長(zhǎng)為的長(zhǎng)為10m，天橋另一斜面，天橋另一斜面AB坡角坡角ABG45.

20、 (1)寫出過(guò)街天橋斜面寫出過(guò)街天橋斜面AB的坡度；的坡度； (2)求求DE的長(zhǎng)；的長(zhǎng)； (3)若決定對(duì)該過(guò)街天橋進(jìn)行改建，使若決定對(duì)該過(guò)街天橋進(jìn)行改建，使AB斜面的坡度變緩，將其斜面的坡度變緩，將其45坡角改為坡角改為30，方便過(guò)路群眾，改建后斜面為，方便過(guò)路群眾，改建后斜面為AF.試計(jì)算此試計(jì)算此改建需占路面的寬度改建需占路面的寬度FB的長(zhǎng)的長(zhǎng)(結(jié)果精確結(jié)果精確0.01)解：解：(1)在在RtAGB中，中，ABG45， AGBG， AB的坡度的坡度 1. (2)在在RtDEC中，中，tanC ， C30. 又又CD10，DE CD5. (3)由由(1)知，知，AGBG5，在，在RtAFG中

21、，中，AFG30， tanAFG ，即，即 ， 解得解得FB5 53.66. 答：改建后需占路面寬度約為答：改建后需占路面寬度約為3.66 m.2424添加輔助線，把分散條件集中起來(lái)添加輔助線，把分散條件集中起來(lái)試題試題如圖，如圖，AD是是BC邊上的高，邊上的高，AD DC BD1 2 3， 求求BAC的度數(shù)的度數(shù)學(xué)生答案展示學(xué)生答案展示 不能添加輔助線來(lái)考慮，從而無(wú)法下手不能添加輔助線來(lái)考慮，從而無(wú)法下手剖析剖析 如圖，延長(zhǎng)如圖，延長(zhǎng)BA，過(guò)，過(guò)C畫畫CEAB，只要求，只要求BAC的外角即可的外角即可易錯(cuò)警示易錯(cuò)警示正解過(guò)正解過(guò)C作作CEBA，交，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E. 設(shè)設(shè)AD

22、m，則，則DC2m，BD3m， AC m， AB m. BB，ADBCEB90， BECBDA. m. CE m. 在在RtAEC中，中，sinEAC ， EAC45， BAC135.批閱筆記批閱筆記 如果題目中的條件比較分散，所給的圖形不夠完整，我們?nèi)绻}目中的條件比較分散，所給的圖形不夠完整，我們可以通過(guò)作垂線，作平行線等添輔助線的方法，將斜三角形可以通過(guò)作垂線，作平行線等添輔助線的方法，將斜三角形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的數(shù)學(xué)模型的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的數(shù)學(xué)模型(化斜為直的思想化斜為直的思想)，把分散的條件集中起來(lái)，構(gòu)造直角三角形、相似三角形，以把分散的條件集中起來(lái)，構(gòu)造直角三角形、相

23、似三角形，以達(dá)到解題目的達(dá)到解題目的方法與技巧方法與技巧 1. 準(zhǔn)確理解三角函數(shù)概念，熟練運(yùn)用正弦、余弦、正切的定準(zhǔn)確理解三角函數(shù)概念，熟練運(yùn)用正弦、余弦、正切的定義義 2. 形成解直角三角形思考過(guò)程的程序：在不同的條件下，應(yīng)形成解直角三角形思考過(guò)程的程序：在不同的條件下，應(yīng)有不同的考慮；無(wú)論什么條件下，分別求解各未知元素時(shí)，應(yīng)有不同的考慮；無(wú)論什么條件下，分別求解各未知元素時(shí)，應(yīng)盡量代入已知的數(shù)值，少用在前面的求解中剛剛算出的數(shù)值，盡量代入已知的數(shù)值，少用在前面的求解中剛剛算出的數(shù)值，以減少以錯(cuò)傳誤的機(jī)會(huì)以減少以錯(cuò)傳誤的機(jī)會(huì) 3. 解直角三角形應(yīng)用題的思考方法：解直角三角形應(yīng)用題的思考方法： (1)尋求各類應(yīng)用題的共同思考步驟：尋求各類應(yīng)用題的共同思考步驟： 審題，把情景盡可能弄通、弄細(xì)致，甚至畫個(gè)示意圖；審題，把情景盡可能弄通、弄細(xì)致，甚至畫個(gè)示意圖； 把示意圖轉(zhuǎn)化為幾何圖；把示意圖轉(zhuǎn)化為幾何圖；思想方法思想方法 感悟提高感悟提高 從要求的量所在的直角三角形分析，解之，若條件不足，從要求的量所在的直角三角