一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的綜合應(yīng)用

1、 中考網(wǎng) 元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的綜合應(yīng)用內(nèi)容教學(xué)目標(biāo)(一)使學(xué)生更深刻的體會(huì)與系數(shù)的關(guān)系的意義；(二)培養(yǎng)學(xué)生解綜合題的分析問題與解決問題的能力.教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn)：運(yùn)用根與系數(shù)關(guān)系解綜合題.難點(diǎn)：分析問題的能力.教學(xué)過程設(shè)計(jì)(一)新課例1 已知方程3x2+5x-7=0,填空并說出理由：(1) 這個(gè)方程有沒有實(shí)根? _ (2) 這個(gè)方程兩根同號(hào)還是異號(hào)? _(3) 這個(gè)方程的絕對(duì)值較大的根是正的還是負(fù)的? _ 答案提示：(1) 因?yàn)?，所以有兩個(gè)不相符的實(shí)根；(2) 因?yàn)樵诤?jiǎn)化二次方程中，常數(shù)項(xiàng)為負(fù)值，所以兩根異號(hào)；(3) 因?yàn)閮筛蜑?,所以負(fù)根的絕對(duì)值較大.例2 一元二次方程的兩根之和

2、正值且兩根之積也是正值，那么這兩個(gè)根是不是都是正的?答：這兩個(gè)根不一定是正的，例如方程x2-x+1=0，兩根之和x1+x2=10，兩根之積x1x2=10，但是=(-1)2-4=-30,原方程沒有實(shí)數(shù)根，而正數(shù)、負(fù)數(shù)都是實(shí)數(shù)，所以原方程不可能有正根.分析：先化為最簡(jiǎn)二次方程.先由兩根之積求出另一個(gè)根，再由兩根之和求出k值.例4 ,是方程x2-3x-5=0的兩個(gè)根，不解方程，求下列各式的值： 分析：如果一個(gè)含有字母，的式子，把處換為，把處換為，其結(jié)果與原式相同，那么這個(gè)式子叫做關(guān)于，兩個(gè)字母的對(duì)稱式.式子+與是最基本的對(duì)稱式，較為復(fù)雜的對(duì)稱式都可轉(zhuǎn)化為用基本對(duì)稱式來表示的形式.而基本對(duì)稱式與方程的

3、系數(shù)有關(guān).所以，關(guān)于兩根的對(duì)稱式，可以用方程系數(shù)代入后、算出.解：+=3,=-5. 例5 已知方程2x2+4x-3=0,不解方程，求作一個(gè)一元二次方程，使它的一個(gè)根是已知方程兩根之和的倒數(shù)，另一個(gè)根是已知方程兩根差的平方.分析：應(yīng)先求出已知方程的兩根之和的倒數(shù)及已知方程兩根差的平方，然后再用已知兩根寫出方程的方法，寫出所求方程.解：把原方程化為簡(jiǎn)化二次方程設(shè)x1,x2是此方程的兩根，則有.(二)課堂練習(xí)1.如果關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根，且正根的絕對(duì)值小于負(fù)根的絕對(duì)值，那么( ). (A) a,b同號(hào)，且a,c同號(hào) (B) a,b同號(hào)，且a,c異號(hào) (C) a

4、,b異號(hào)，且a,c同號(hào) (D) a,b異號(hào)，且a,c異號(hào) 2.已知a,b,c,d都不是零，且a,b是方程x2+cx+d=0的解，c,d是方程x2+ax+b=0的解，則a+b+c+d的值為_.答案或提示：1.設(shè)方程兩根為x1,x2.已知x1,x2一正一負(fù)，且負(fù)根絕對(duì)值大，因?yàn)閤1+x2=- 所以a,b同號(hào).又，即a,c異號(hào)，故選(B).2.由題意 a+b=-c, ab=d, c+d=-a, cd=b. 由得 a+b+c=0. +得 a+b+c+d=-a-c. 由代入，左邊=0+d,右邊=b,所以d=b,代入得ab=b.又b0，所以a=1.把b=d代入，得c=1.所以a+b+c+d=-a-c=-1

5、-1=-2.(三)小結(jié)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系有很廣泛的用途.目前，可解決以下幾類問題1.已知二次方程的一個(gè)根，可求另一個(gè)根.2.已知兩根，可寫出這個(gè)二次方程.3.求已知二次方程的根的對(duì)稱式.4.與根的判別式結(jié)合起來，可不解方程判斷兩根的性質(zhì)和正負(fù)號(hào).在運(yùn)用韋達(dá)定理時(shí)，應(yīng)先化為簡(jiǎn)化二次方程，并牢記兩根之和是一次項(xiàng)系數(shù)的相反數(shù)而不是一次項(xiàng)系數(shù)本身.(四)作業(yè)1.方程2x2-ax+2b=0中，兩根的和為4，兩根之積為-3，那么a,b的值是( ). (A) a=8,b=-6 (B) a=4,b=-3 (C) a=3,b=8 (D) a=8,b=-32.設(shè)方程2x2+ax+2=0的兩根為，且=,則的值是( ). 3.已知方程x2+2(m-2)x+m2+4=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且這兩根的平方之和比兩根之積大21.求m的值.4. m為何值時(shí)，方程2x2+3x-m=0(1) 有一個(gè)根的零；(2)兩個(gè)實(shí)根互為倒數(shù)；(3)有兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)根.作業(yè)的答案或提示課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說明1.在根與系數(shù)關(guān)系的問題中，常見的錯(cuò)誤之一是：兩根之和為正數(shù)且兩根之積為正數(shù)時(shí)，這兩根必是正數(shù)，(缺少了0這一條件)，為此教學(xué)設(shè)計(jì)中編排了例2.2.在根與系數(shù)