第08章fir數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)0.3m

1、第八章FIR 數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)8.1 FIR DF 設(shè)計(jì)的窗函數(shù)法8.2 窗函數(shù)8.3 頻率抽樣法8.4Chebyshev 最佳一致逼近法8.4.18.4.28.4.38.4.4最佳一致逼近定理利用最佳一致逼近理論設(shè)計(jì) FIR DF關(guān)于誤差函數(shù)的極值特性FIR DF 的四種表示形式8.1 Fourier 級(jí)數(shù)法（窗函數(shù)法）一、思路與方法：jwHd (e)1.由理想的頻率響應(yīng)得到理想的 hd (n)1；2. 由 hd (n) 有限長(zhǎng)的響應(yīng) h(n)3. 對(duì)h(n)得到因果、抽樣;加窗得到pwp-wcwc-2p2p較好的頻率響應(yīng)。理想頻率響應(yīng)設(shè)理想低通濾波器的幅頻為1，相頻為零：p1òH

2、(e jw )e jwndw(n) =則： hd2pd-p1wsin(w n)cò=jw n d w=cp n偶對(duì)稱e2 p- wc特點(diǎn)：無限長(zhǎng)非因果解決方法：截短，移位2)保留h(n) = hd (n - M, n = 0,1,., M即：隱含著使用了窗函數(shù)MH (z) = åh(n)z-n于是：n=0注意：H (z) 是因果的，且是線性相位的，即j (w ) = - Mw2為了省去每次的移位，可以令：(e jw ) = e- j Mw 2Hd即事先給一線性相位，這樣：0 £ w£ wcìe- jw M2H (e jw ) = íd

3、w£ w£ p0îc在通帶內(nèi)wcòsin(n - M 2)w12p于是：he- jMw 2e jwndw =(n) = c p (n - M 2)d-wch(n) = hd (n)n = 0,1,.M上式的的表達(dá)式及設(shè)計(jì) H (z)的思路可推廣到高通、帶阻及帶通濾波器，也可推廣到其它特殊類型的濾波器。實(shí)際上，給定一個(gè)得到 hd (n)(e jw )，只要能，即可由截Hd短、移位的方法得到因果的、且具有線性相位的FIR濾波器 H (z) 。使用了矩形窗高通：令：ìe- jw M2wc £ w£ pjwHd (e) = 

4、7;î00 £ w£ wc2)p - sin(n - M2)wc (n) = sin(n - Mhp (n - Md2)相當(dāng)于用一個(gè)截止頻率在 p處的低通濾波器（實(shí)際上是全通濾波器）減去一個(gè)截止頻率wc在處的低通濾波器。帶通：令：ìe- jw M2w£ w£ wjwHd (e) = ílhî0其它2)wh - sin(n - Mp (n - M 2)2)wl (n) = sin(n - Mhd相當(dāng)于用一個(gè)截止頻率在wh 處的低通濾波器wl減去一個(gè)截止頻率在處的低通濾波器。帶阻ìe- jw Mw£

5、 w , w³ w2H (e jw ) = í令：lhdî0其它sin(n - M )w + sin(n - M )p - sin(n - M )wlh22p (n - M 2)2h (n) =d相當(dāng)于w(n) ：窗函數(shù)，自然截短即是矩形窗。當(dāng)然也可以用其它形式的窗函數(shù)。h(n) = hd (n)w(n),n = 0,1,., M例1.w令歸一化截止頻c 0.125,率M10，20，40，設(shè)計(jì)低通濾波器。用矩形窗截短。結(jié)果如右圖接上例：M10分別用矩形窗和Hamming 窗使用Hamming窗后，阻帶衰減變好，但過渡帶變寬。例：理想差分器的頻率響應(yīng)是：H (e j

6、w ) =jww £ pd1jwe jwndw = 1 (-1)np2p ò-ph (n) =dnh(n) = hd (n - M / 2)w(n)= (-1)n-M /2 w(n) , n = 0,1,", Mn - M / 2j (w) = ìp / 20 < w < p- p < w < 0理想相頻特性í- p / 2dî第2類FIR 濾波器注意：奇對(duì)稱，純虛函數(shù)j(w) = ìp / 2 - Mw / 20 < w < p- p < w < 0實(shí)際相頻特性í-

7、 p / 2 - Mw / 2î幅頻：1 矩形窗2 哈明窗有關(guān)各種差分器的性能，請(qǐng)見第 9 章例： 設(shè)計(jì) Hilbert 變換器0 < w < p-p < w < 0we jwndw -ìj j0w(e) =jHídîj2ppòò0wewndw h (n) =jd-pì0n : evenh (n) = ïí 2dn : oddïî np第2類FIR 濾波器思考：能否用上一章的方法設(shè)計(jì)差分器和Hilbert變換器？二、 FIR DF 設(shè)計(jì)的窗函數(shù)法的特點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)：1

8、.2.3.4.缺點(diǎn)：1.2.3.改進(jìn)：1.2.無穩(wěn)定性問題；容易做到線性相位；可以設(shè)計(jì)各種特殊類型的濾波器； 方法特別簡(jiǎn)單。不易控制邊緣頻率；幅頻性能不理想；較長(zhǎng)；h(n)使用其它類型的窗函數(shù)；改進(jìn)設(shè)計(jì)方法。hd (n)三、關(guān)于對(duì)截短的討論h(n) = hd (n)w(n),n = 0,1,., MH (e jw ) = H (e jw ) *W (e jw )d1p2p ò-pE(w ) 2dw2=E(w ) =H (e jw ) - H (e jw ) ,EMd¥+ ån=1¥+ å¥cos(nw) + ån=1

9、5;cos(nw) + åH (e jw ) = a0b sin(nw)adnn2A0H (e jw ) =B sin(nw)Ann2n=1n=1(a - A )2¥MMån=1(a - An ) + å(bn - Bn )+ å(an+ bn)EM=2+2222 002nn=1n=M +1(a - A )2¥MMå(a - An ) + å(bn+ å(ann=M +1222EM=+- Bn )+ bn)22 002nn=12EMn=1什么情況下為最小？a0 - A0¥最小a - Aå

10、; hdn=M +122=EM(n)nnbn - Bn ,n = 1, 2,", M所以，有限項(xiàng)傅立葉級(jí)數(shù)是在最小平方意義上對(duì)原信號(hào)的逼近。傅立葉級(jí)數(shù)是正交變換，這也體現(xiàn)了正交變換的性質(zhì)。8.2 窗函數(shù)窗函數(shù)的使用在數(shù)字信號(hào)處理中是不可避免的。數(shù)據(jù)、頻譜、自相關(guān)函數(shù)等都需要截短。對(duì)窗函數(shù)提出那幾方面的要求？xN (n) = x(n)w(n)1p2p ò-pX(e jw ) =X (e jq )W (e j(w-q ) )dqNN -1D(e jw ) = å d (n)e- jwnn=0= e- j ( N -1)w / 2 sin(w N2w) / sin()

11、2矩形窗關(guān)鍵是要搞清楚使用窗函數(shù)后所產(chǎn)生的影響：一個(gè)域相乘，在另一個(gè)域是卷積。對(duì)窗函數(shù)的技術(shù)要求：1.3 dB 帶寬 B：主瓣歸一化幅度降到 3 dBDw = 2p / N= 4p / N時(shí)的帶寬；或直接用 B0。令則 B 的為Dw；2. 邊瓣最大峰值A(chǔ)（ dB）3. 邊瓣譜峰衰D（ dB/oct）度越大越好！越小越好！越小越好！常用窗函數(shù)：B = 0.89Dw, A = -13dB, D = -6 dB/ octn = 0,1,", N / 2w(n) = ì2n / Níw(N - n) n = N / 2,",1, 0îB = 1.28D

12、w, A = -27 dB, D = -12 dB/ octw(n) = 0.5 - 0.5 cos( 2p n ), n = 0,1,", N -1NB = 1.44Dw, A = -32 dB, D = -18 dB/ octw(n) = 0.54 - 0.46 cos( 2p n ), n = 0,1,", N -1NB = 1.3Dw, A = -43dB, D = -6 dB/ oct4.哈明窗Hamming3.漢寧窗Hanning2. 三角窗Bartlett窗1. 矩形窗窗函數(shù)10-200.5-400-600102030-0.500.5100.5-500-100

13、0102030-0.500.5100.5-500-1000102030-0.500.5hammingtria ngboxca r窗函數(shù)100.5-2000-4000102030-0.500.510-500.5-1000-1500102030-0.500.5100.5-500-1000102030-0.500.5ka ise rchebyshevha nning8.3 用頻率抽樣法設(shè)計(jì) FIR DF上一節(jié)的窗函數(shù)法是指定連續(xù)的理想頻率響應(yīng) H (e jw )，然后用抽樣響應(yīng)的方法求出理想濾dhd (n)波器的，再將其移位、截短，得到因果的、具有線性相位的FIRH (z)Hd (k )DF。能否指

14、定離散的理想頻率響？如果可以，那么求出理想的應(yīng)hd (n)不是很容易嗎？頻率抽樣法即是按此思路來設(shè)計(jì)所要的濾波器。H (k ) = ì1forpassbandkk暫時(shí)指定：í0dfor stopbandîhd (n)N -1h(n) = 1 å H(k )e j 2p nk / NdNk =0N -1H (z) = å h(n)z-n n=0N -1H (z) =1- z-N1- e- j 2p k / N z-11- e- jw N1- e- j 2p k / N e- jwN -1H (e jw ) =)N -1= e- j ( N -1)

15、w / 2 å Hk =0(k )S (w, k )d轉(zhuǎn)移函數(shù)、頻率響應(yīng) 和給定的 Hd (k ) 的關(guān)系。濾波器已設(shè)計(jì)出sinN (w - 2kp / N ) / 2N sin(w - 2kp / N ) / 2S (w, k ) = e j ( N -1)kp / N用插值的方法得到所要的濾波器：N -1H (e jw ) = e- j ( N -1)w / 2 å H(k )S (w, k )dk =0j ( N -1)kp / NHd (k )e所以：如何指定Hd (k )應(yīng)為實(shí)數(shù)權(quán)重線性相位插值函數(shù)N為偶數(shù)：ìe- j ( N -1)kp / Nk =

16、0,1,", N / 2 -1k = N / 2k = N / 2 +1,", N -1(k ) = ï0Hídï1)kp / N- j ( N -eîN為奇數(shù)：- j ( N -1)kp / NHd (k ) = ek = 0,1,", N -1其它賦值方法見書。當(dāng)然，阻帶內(nèi)應(yīng)指定為零。8.4用Chebyshev 最佳一致逼近法設(shè)計(jì) FIRDF上述兩種方法設(shè)計(jì)的 FIR DF 的頻率響應(yīng)都不理想，即通帶不夠平，阻帶衰減不夠大， 過渡帶過寬，頻率邊緣不能精確指定。因此我們要尋找新的設(shè)計(jì)方法。此方法即是Chebyshev 最佳

17、一致逼近 法。該方法在數(shù)字信號(hào)處理中占有重要的，是設(shè)計(jì)FIR DF 最理想的方法。但是，該方法的原理稍為復(fù)雜。信號(hào)逼近方法：，設(shè)計(jì)H (e jw )，使 H (e jw )逼近的方法：jwHd (e)給定理想的f (x)jwHd (e)是對(duì)的逼近。對(duì)函數(shù)bò p(x) - f (x) dx21. 最小平方逼近：mina著眼區(qū)間內(nèi)整體誤差最小。傅立葉級(jí)數(shù)法即是這一種。2. 插值法：尋找 nn +1階多項(xiàng)式 p(x) ，使其在xn 上滿足：k = 0,1,", np(xk ) =f (xk )頻率抽樣方法3. 最佳一致逼近：尋找 p(x) ，使誤差E(x) =p(x) - f

18、(x)在區(qū)間a, b 上較均勻一致，并使誤差的極大值達(dá)到最小。Chebyshev最佳一致逼近理論解決了 p(x)的存在性、唯一性及構(gòu)造方法等問題。將最佳一致逼近理論應(yīng)用于FIR DF的設(shè)計(jì)，是數(shù)學(xué)和信號(hào)處理理論相結(jié)合的又一典型范例。一、最佳一致逼近定理在 n 階多項(xiàng)式的集合中，尋找多項(xiàng)式p(x)f (x)p(x)使其相對(duì)其它所有的多項(xiàng)式對(duì)的偏差為最?。ㄗ钚∽畲笤恚簆(x) - f (x) £ minmaxp(x) - f (x)maxa£ x£ba£ x£b交錯(cuò)點(diǎn)組原理：En = max p(x) - f (x)令：a£ x

19、63;bE(x) = p(x) - f (x)誤差曲線誤差最大值p(x)是 f (x) 最佳一致逼近的充要條件是，E(x)在 a, b 上至少存在個(gè)a £使得：n + 2交錯(cuò)點(diǎn)£ bxn+2E(xi ) = ±En , i = 1, 2,", n + 2E(xi ) = -E(xi+1 ), i = 1, 2,", n + 2所以：n+2是 E(x) 的極值點(diǎn)，它們構(gòu)成了一個(gè)“交錯(cuò)點(diǎn) 組”交錯(cuò)點(diǎn)極值點(diǎn)什么樣的函數(shù)（或多項(xiàng)式）可以充當(dāng)誤差曲E(x)？ Chebyshev 多項(xiàng)式：線Cn (x) = cos(n arccos x)-1 £

20、 x £ 1在區(qū)間 -1,1上存在 n +1個(gè)點(diǎn)：k = 0,1,", nxk= cos(p kn),輪流使 E(x)Cn (x)是 x 的 n取極值1，1。階多項(xiàng)式，最高項(xiàng)系數(shù)是2n-1 ，(x) / 2n-1 和 0 的偏在所有階多項(xiàng)式的集合中，Cn差為最小。因此，可用 Cn (x)為誤差多項(xiàng)式。二、利用最佳一致逼近理論設(shè)計(jì) FIR DFH (e jw ) = 1d0 £ w£ w pH (e jw ) = 0dwc £ w£ pH (e jw ) =e- j ( N -1)w / 2 H (e jw )g要設(shè)計(jì)的濾波器理想濾波器

21、MH (e jw ) = å a(n) cos(nw ),M = (N -1) / 2gn=0實(shí)函數(shù)，其導(dǎo)出見第6章。用此逼近理想濾波器。a(0), a(1),", a求(M出) ，則濾波器也就顯然，若設(shè)計(jì)出來了。定義函數(shù)：0 £ w £ w p , k = d1 / d2W (e jw ) = ì1/ kíkw£ w £ pîs誤E(e jw ) = W (e jw ) éëH (e jw ) - H (e jw )ùûgd差函數(shù)。é(e jw )

22、49;M為什么要åwa(n) cos(nw ) - H= W (ej)êúdë n=0û一致逼近 H (e jw ) ，即是尋用 H (e jw )gdE(e jw )找，使的最a(0), a(1),", a(M )大值為最小。由交錯(cuò)點(diǎn)組定理：éùMW (w k ) êHd (w k ) - å a(n) cos(nwk )ú = (-1)rkëûn=0k = 0,1,", M +1r = En = max E(w )wÎF注意，將頻率分成了 M

23、 + 2 個(gè)離散的點(diǎn)。分點(diǎn)在通帶和阻帶上，過渡帶不考慮。 目的是取得 M + 2 個(gè)極值點(diǎn)。寫成矩陣形式é1ùúúúé a0úê1cos(w )cos(2w )cos(Mw )"êê000W (w )0-1Hd (w0 )Hd (w1 )Hd (w2 )#éùúúúúê1ùcos(w )cos(2w )cos(Mw )"êêêê1êê#&

24、#234;ê1êêê1ëú111W (w )úê a11úêú = ê1cos(w2 )#cos(wM )cos(2w2 )#cos(2wM )cos(Mw2 )#cos(MwM )úê a2"W (w )úêúê2#úêúêú#úêaMúê Hd (wM ) ú(-1)MW (wM )úê

25、; r úêHú)"(wúêëúûêëúûM +1dú(-1)M +1cos(wM +1 )cos(2wM +1 )cos(MwM +1 )") úW (wM +1û(M + 2) ´(M + 2) 方陣，可唯一地求出a(0), a(1),", a(M ), rMcClellan. J.H & Parks. T. W 等于70年代初提出用數(shù)值分析中的Remez算法，靠一次次的迭代r來求解最優(yōu)的系數(shù)及

26、a(0), a(1),", a(M )M +1åak =0H (w)kdkr =M +1å(-1)k ak =0/W (w)kkM +1Õi=0,i¹k 1a= (-1)kcos(w ) - cos(wk)ikA.Step1. 先在通帶、阻帶頻率軸上等間隔取M2個(gè)頻率點(diǎn) w0 ,",wM +1 ,計(jì)算出 r 它是相對(duì)第一次指定的交錯(cuò)點(diǎn)組產(chǎn)生的誤差ébùMåêúCkkk=0 ë cos(w ) - cos(wk ) ûH (w ) =bkcos(w ) - cos(w

27、gMåk =0)k rC= H (w) - (-1)kkdkW (wM)kk = 0,1,",MÕi=0,i¹k 1= (-1)kcos(w ) - cos(wk)ik求出 r 后，利用插值公式，在不知a(0), a(1),", a(M )的情況下求出 Hg (e)，jw當(dāng)然 H (e jw )g肯定不是最優(yōu)的。bB.jw將求出的 Hg (e)代入E(e jw ) = W (e jw ) éH(e jw ) - H(e jw )ùëE(e jw )ûgd可求出誤差函數(shù)，完成第一次迭代。r如果第一次迭代即是

28、最優(yōu)，那么應(yīng)是E(e jw ) 的極值點(diǎn)。當(dāng)然，一次迭代是不夠的。E(e jw ) > rStep2. 檢查是否有的頻率點(diǎn)（肯定有）。將出現(xiàn)這種情況的頻率點(diǎn)和原來指定的w0 ,",wM +1頻率點(diǎn)中相距最近的點(diǎn)相交換（注意：這樣的點(diǎn)可能不止一個(gè)），這樣，就得到一組新的頻率點(diǎn)組 w0¢ ,",wM¢再是原頻率區(qū)間的等分。，當(dāng)然，它們不+1C.rStep3.將新的頻率點(diǎn)組代入公式A，求出，再代入公式B，求出H (e jw ) ，代入C，求出新的gE(e jw )，即重復(fù)步驟1；再重復(fù)步驟2，又可得到一組新的交錯(cuò)點(diǎn)組：w0¢,w1¢,

29、",wM¢ +1如此重復(fù)迭代，每一次都是把新的局部極值點(diǎn)當(dāng)作新的交錯(cuò)點(diǎn)組，所以，每一次的 r 都是遞增的，最后收斂到自己的上限。再迭代一次，r也的再增加，頻率點(diǎn)組也再移動(dòng)，這時(shí)H (e jw ) 即是對(duì)(e jw ) 的最佳一致逼近。HgdStep4. 將最優(yōu)的Hg (e)jw配上線性相位，作傅立葉反變換，即可得所設(shè)計(jì)濾波器的h(n)。r 是阻帶峰值偏差 d 2；通帶內(nèi)的峰值偏差 d1= kd 2最佳一致逼近是在通帶與阻帶內(nèi)進(jìn)行的，過渡帶沒有考慮。迭代步驟三、關(guān)于誤差函數(shù)的極值特性（見書）四、FIR DF 的四種表示形式MHg (w ) = åa(n) cos(w

30、n),n=0M = (N -1)2M1åw ) =w ,b(n) cos(n -)2M = N / 2H(gn=1MåwnM = (N -1) / 2Hg ()n=1H (w ) = å d (n) sin é(n - 1 )w ù ,MM = N / 2êëúûg2n=1把上述四種形式稍作改造，得到如下的統(tǒng)一形式，目的是便于編程：Hg (w ) = Q(w )P(w )例1： 設(shè)計(jì)低通 FIR DF: w p調(diào)整通帶、阻帶的= 0.6p,ws = 0.7p及濾波器的長(zhǎng)度。設(shè)計(jì)結(jié)果參數(shù)調(diào)整對(duì)濾波器性能的影

31、響：例2： 設(shè)計(jì)多帶濾波器，抽樣頻率500Hz,在50Hz、 100Hz 及150Hz處陷波。通帶加權(quán)為8，阻帶為1-17dB通帶、阻帶加權(quán)都是1-25dB五、如何估計(jì)濾波器的長(zhǎng)度（階次）d1d 2：通帶紋波：阻帶紋波b = (ws - w p ) / 2p：過渡帶寬例如，對(duì)例1的第一種情況：d1 = d2 = 0.0582b = 0.35 - 0.3 = 0.05另一估計(jì)公式：求出：N = 33估計(jì)出的階次稍低N = -20 logd1d 2 -13 +114.6b同原來給定N = 2 log æ1ö 13ç 10d d÷ bè12 

32、8;產(chǎn)生窗函數(shù)的文件有八個(gè)：1.bartlett（三角窗）;2. blackman（布萊克曼窗） ;3. boxcar（矩形窗）;4. hamming（哈明窗）;5. hanning（漢寧窗）;6. triang（三角窗）;7. chebwin（切比雪夫窗）;8 .kaiser（凱賽窗）;稍為復(fù)雜兩端不為零調(diào)用方式都非常簡(jiǎn)單請(qǐng)見help 文件兩端為零9fir1.m用“窗函數(shù)法”設(shè)計(jì)FIRDF。調(diào)用格式：（1）b = fir1(N,Wn);(3) b = fir1(N,Wn, stop);(2) b = fir1(N,Wn,high);N：階次，濾波器長(zhǎng)度為N1；Wn：通帶截止頻率，其值在01之

33、間，1對(duì)應(yīng)Fs/2；b:濾波器系數(shù)。對(duì)格式（1），若Wn為標(biāo)量，則設(shè)計(jì)低通濾波器，若Wn是1×2的向量，則用來設(shè)計(jì)帶通濾波器，若Wn是1×L的向量，則可用來設(shè)計(jì)L帶濾波器。這時(shí)，格式（1）要改為:b = fir1(N,Wn, 'DC-1'), 或b = fir1(N,Wn, 'DC-0')。前者保證第一個(gè)帶為通帶，后者保證第一個(gè)帶為阻帶。顯然，格式（2）用來設(shè)計(jì)高通濾波器，（3）用來設(shè)計(jì)帶阻濾波器。在上述所有格式中，若不指定窗函數(shù)的類型，fir1自動(dòng)選擇Hamming窗。10fir2.m本文件采用“窗函數(shù)法”設(shè)計(jì)具有任意幅頻相應(yīng)的 FIR數(shù)字濾波器。 其調(diào)用格式是：b = fir1(N, F, M);F是頻率向量，其值在01之間，M是和F相對(duì)應(yīng)的所希望的幅頻相應(yīng)。如同fir1, 缺省時(shí)自動(dòng)選用Hamming窗。例：設(shè)計(jì)一多