立體幾何中的向量方法

1、立體幾何中的向量方法1直線的方向向量與平面的法向量的確定(1) 直線的方向向量：I是空間一直線，A, B是直線I上任意兩點，則稱AB為直線I的方向向量，與AB平行的任意非零向量也是直線I的方向向量.(2) 平面的法向量可利用方程組求出：設a, b是平面a內兩不共線向量，n為平面a的法n a= 0,向量，則求法向量的方程組為n - b= 0.2用向量證明空間中的平行關系(1) 設直線li和I2的方向向量分別為 V i和V 2,則Il 12(或Il與l2重合)? V 1±V 2? V1=入V 2(2) 設直線I的方向向量為V，與平面a共面的兩個不共線向量V 1和V 2,則I / a或I?

2、 a ?存在兩個實數(shù)x, y,使v = xv 1 + y v 2.設直線I的方向向量為 V ,平面a的法向量為U,則I / a或I? a ? V丄U? U v = 0.設平面a和B的法向量分別為 U1, u2,貝V a / B ? U1 / U? U1 =入u2.3用向量證明空間中的垂直關系(1)設直線I 1和I2的方向向量分別為 V 1和V 2,貝V丨1丄I2? V1丄V 2? V 1 V 2= 0.設直線I的方向向量為 V，平面a的法向量為U,則I丄a ? V / U? V=入U.設平面a和B的法向量分別為 U1和U2,則a丄B ?巴1丄Ug? U1 比=0.4.空間向量與空間角的關系(1

3、) 設異面直線11, 12的方向向量分別為 m1, m2,則I1與I2所成的角0滿足cos 0 = _|cosjm1_m 2Jmi, m2| =-2|m1| |m2|(2) 設直線I的方向向量和平面a的法向量分別為 m, n,則直線I與平面a所成角0滿足Im n Isin 0 = |cosm, n= |m| |n(3) 求二面角的大小(i )如圖，AB, CD是二面角a - I - 3的兩個面內與棱I垂直的直線，則二面角的大小(ii )如圖，n1, n2分別是二面角a - I - 3的兩個半平面 a , 3的法向量，則二面角的大小0滿足|cos 0 |= |cosnn2|,二面角的平面角大小是

4、向量叫與n2的夾角(或其補角).5 點面距的求法|AB n|如圖，設ab為平面a的一條斜線段，n為平面a的法向量，則b到平面a的距離d=Anr1規(guī)律方法：i利用空間向量證明平行問題(1) 恰當建立坐標系，準確表示各點與相關向量的坐標，是運用向量法證明平行和垂直的 關鍵。(2) 證明直線與平面平行，只需證明直線的方向向量與平面的法向量的數(shù)量積為零，或證直線的方向向量與平面內的不共線的兩個向量共面，或證直線的方向向量與平面內某直線的方向向量平行，然后說明直線在平面外即可，這樣就把幾何問題轉化為向量運算。2利用空間向量證明垂直問題(1) 利用已知的線面垂直的關系構建空間直角坐標系，準確寫出相關點的坐

5、標，從而將幾何問題轉化為向量運算，其中靈活建系是解題的關鍵。(2) 其一證明線線垂直，只需要證明兩條直線的方向向量垂直；其二證明線面垂直，只需證明直線的方向向量與平面內不共線的兩個向量垂直即可.當然也可證直線的方向向量與平面法向量平行.其三證明面面垂直： 證明兩平面的法向量互相垂直；利用面面垂直的判定定理，只要能證明一個平面內的一條直線的方向向量為另一個平面的法向量即可.3利用空間向量解決探索性問題對于“是否存在”型問題的探索方式有兩種：(1) 根據(jù)題目的已知條件進行綜合分析和觀察猜想，找出點或線的位置，然后再加以證明，得出結論；(2) 假設所求的點或線存在，并設定參數(shù)表達已知條件，根據(jù)題目進

6、行求解，若能求出參數(shù)的值且符合已知限定的范圍，則存在這樣的點或線， 否則不存在.本題是設出點G的坐標，借助向量運算，判定關于 P點的方程是否有解.4求異面直線所成的角可從兩個不同角度求異面直線所成的角，一是幾何法：作一證一算；二是向量法： 把角的求解轉化為向量運算，應注意體會兩種方法的特點，“轉化”是求異面直線所成角的關鍵, 般地，異面直線 AC, BD的夾角3的余弦值為cos 3 = AC :D|.|AC|BD|5利用空間向量求直線與平面所成的角（1）分別求出斜線和它所在平面內的射影直線的方向向量，轉化為求兩個方向向量的夾角（或其補角）；（2）通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角， 取其余角就是斜線和平面