機械結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與非線性分析

1、機械結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與非線性分析 哈爾濱工業(yè)大學(xué)哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機電工程學(xué)院機電工程學(xué)院1機械結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與非線性分析第一章 概概 論論 結(jié)構(gòu)失效的主要形式：強度結(jié)構(gòu)失效的主要形式：強度 、 剛度、剛度、 穩(wěn)穩(wěn)定、定、 疲勞、疲勞、 腐蝕腐蝕 本課程主要講授結(jié)構(gòu)本課程主要講授結(jié)構(gòu)穩(wěn)定穩(wěn)定與與（幾何）非線（幾何）非線性性計算分析方法計算分析方法 分析的對象為機械分析的對象為機械金屬結(jié)構(gòu)金屬結(jié)構(gòu) 局限于材料局限于材料彈性彈性范圍內(nèi)（彈性理論）分析范圍內(nèi)（彈性理論）分析 非線性問題分類機械結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與非線性分析3非線性非線性材料非線性材料非線性(物理非線性物理非線性)幾何非線性幾何非線性小變形，小位移小變形，小位

2、移小變形，大位移小變形，大位移大變形，大位移大變形，大位移a）小位移線性分析）小位移線性分析 c）大位移非線性分析）大位移非線性分析 b）二階理論（小位移非）二階理論（小位移非線線 性）分析性）分析 結(jié)構(gòu)分析理論的逐步替進：結(jié)構(gòu)分析理論的逐步替進： 線性理論線性理論-二階理論二階理論(小位移幾何非線性）小位移幾何非線性） -大位移幾何非線性理論大位移幾何非線性理論MQLMQLP yQ x MQLP y彈性穩(wěn)定理論的基本概念 1.1 穩(wěn)定問題分類穩(wěn)定問題分類；平衡分支失穩(wěn)（第一類失穩(wěn)、平衡分支失穩(wěn)（第一類失穩(wěn)、質(zhì)變質(zhì)變失穩(wěn)）失穩(wěn)）極值點失穩(wěn)極值點失穩(wěn) （第二類失穩(wěn)、（第二類失穩(wěn)、量變量變失穩(wěn)）失

3、穩(wěn)）躍越失穩(wěn)躍越失穩(wěn) 1.2 穩(wěn)定問題的計算方法穩(wěn)定問題的計算方法平衡法平衡法能量法能量法動力法動力法2機械結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與非線性分析1.1.1平衡分枝失穩(wěn)平衡分枝失穩(wěn) （一類穩(wěn)定問題）（一類穩(wěn)定問題）-質(zhì)變失穩(wěn)質(zhì)變失穩(wěn)理想、無缺陷、挺直的軸心受壓構(gòu)件理想、無缺陷、挺直的軸心受壓構(gòu)件-一類穩(wěn)定問題一類穩(wěn)定問題 理想的在中面內(nèi)受壓的平板、受壓的圓柱殼理想的在中面內(nèi)受壓的平板、受壓的圓柱殼-一類穩(wěn)定問題一類穩(wěn)定問題1.1.2極值點失穩(wěn)（二類穩(wěn)定問題）極值點失穩(wěn)（二類穩(wěn)定問題）-量變失穩(wěn)量變失穩(wěn) 極值點失穩(wěn)的荷載撓度曲線只有極值點，沒有出現(xiàn)極值點失穩(wěn)的荷載撓度曲線只有極值點，沒有出現(xiàn) 變形狀態(tài)的分岔點，構(gòu)

4、件彎曲變形的性質(zhì)始終如一，故變形狀態(tài)的分岔點，構(gòu)件彎曲變形的性質(zhì)始終如一，故稱為稱為極值點失穩(wěn)極值點失穩(wěn)。 極值點失穩(wěn)的現(xiàn)象是十分普遍，如雙向受彎構(gòu)件和雙極值點失穩(wěn)的現(xiàn)象是十分普遍，如雙向受彎構(gòu)件和雙向壓彎構(gòu)件發(fā)生彈塑性彎扭失穩(wěn)都是屬于向壓彎構(gòu)件發(fā)生彈塑性彎扭失穩(wěn)都是屬于極值點失穩(wěn)極值點失穩(wěn)。躍越失穩(wěn)躍越失穩(wěn)拱的失穩(wěn)現(xiàn)象為躍越失穩(wěn)，它既無平衡分岔點，又無拱的失穩(wěn)現(xiàn)象為躍越失穩(wěn)，它既無平衡分岔點，又無極值點，它在喪失穩(wěn)定平衡之后又跳躍到另一個穩(wěn)定極值點，它在喪失穩(wěn)定平衡之后又跳躍到另一個穩(wěn)定平衡狀態(tài)。平衡狀態(tài)。 兩桿結(jié)構(gòu)的躍越失穩(wěn)兩桿結(jié)構(gòu)的躍越失穩(wěn) 拱的躍越失穩(wěn)拱的躍越失穩(wěn):一類穩(wěn)定問題的屈曲荷

5、載一類穩(wěn)定問題的屈曲荷載(平衡分枝荷載平衡分枝荷載)和二類穩(wěn)定和二類穩(wěn)定問題的失穩(wěn)極限荷載問題的失穩(wěn)極限荷載(壓潰荷載壓潰荷載) 統(tǒng)稱為統(tǒng)稱為臨界荷載臨界荷載，與，與臨界荷載相應(yīng)的狀態(tài)稱為臨界荷載相應(yīng)的狀態(tài)稱為臨界狀態(tài)臨界狀態(tài)。 結(jié)構(gòu)平衡的三種狀態(tài)：結(jié)構(gòu)平衡的三種狀態(tài)：a)穩(wěn)定平衡，穩(wěn)定平衡，b) 不穩(wěn)定平衡不穩(wěn)定平衡 ，c) 隨遇平衡。隨遇平衡。 結(jié)構(gòu)穩(wěn)定分析都是針對著在荷載作用下存在變形的條件下進結(jié)構(gòu)穩(wěn)定分析都是針對著在荷載作用下存在變形的條件下進行的，由于所研究的結(jié)構(gòu)變形與荷載之間呈非線性關(guān)系，因行的，由于所研究的結(jié)構(gòu)變形與荷載之間呈非線性關(guān)系，因此此穩(wěn)定計算屬于幾何非線性問題穩(wěn)定計算屬

6、于幾何非線性問題。1.2穩(wěn)定問題的計算方法穩(wěn)定問題的計算方法 穩(wěn)定問題的分析方法通常有三種：穩(wěn)定問題的分析方法通常有三種： 平衡法平衡法 能量法能量法 動力法動力法 （1）平衡法）平衡法 靜力平衡法，簡稱平衡法，根據(jù)已產(chǎn)生了靜力平衡法，簡稱平衡法，根據(jù)已產(chǎn)生了微微小變形后小變形后結(jié)構(gòu)的受力條件建立平衡方程而后求解。結(jié)構(gòu)的受力條件建立平衡方程而后求解。如果得到的解有不止一個，其中具有最小值的一如果得到的解有不止一個，其中具有最小值的一個才是該結(jié)構(gòu)的分岔荷載。個才是該結(jié)構(gòu)的分岔荷載。 平衡法求解臨界力實例平衡法求解臨界力實例 0 0 MPk l crP Pk l 在微小變形后基礎(chǔ)上建立平衡方程得：

7、在微小變形后基礎(chǔ)上建立平衡方程得：解得臨界力：解得臨界力： （2）能量法）能量法 結(jié)構(gòu)總勢能結(jié)構(gòu)總勢能 是結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能是結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能U和外力勢能和外力勢能V之之和和 。若結(jié)構(gòu)處在平衡狀態(tài)，總勢能必有。若結(jié)構(gòu)處在平衡狀態(tài)，總勢能必有駐值駐值 。由總勢能。由總勢能對位移的一階變分對位移的一階變分為零，為零，可得到平衡方程并求解可得到平衡方程并求解分岔屈曲荷載分岔屈曲荷載 。 用總勢能駐值原理可求解屈曲荷載，用總勢能駐值原理可求解屈曲荷載， 用總勢能最小原理可以判斷屈曲后平衡的穩(wěn)定性。用總勢能最小原理可以判斷屈曲后平衡的穩(wěn)定性。 ()UV （臨界狀態(tài)）穩(wěn)定狀態(tài)）0(022()0UV (0) 能量法求

8、解臨界力實例能量法求解臨界力實例 （上例中）總勢能：（上例中）總勢能： 總勢能駐值的條件：總勢能駐值的條件： 按小變形理論作分析，因按小變形理論作分析，因 得桿的屈曲荷載：得桿的屈曲荷載： 由總勢能二階變分判斷桿平衡狀態(tài)穩(wěn)定性由總勢能二階變分判斷桿平衡狀態(tài)穩(wěn)定性 當(dāng)當(dāng) 處于穩(wěn)定狀態(tài)，處于穩(wěn)定狀態(tài)， 處于不穩(wěn)定狀態(tài)。處于不穩(wěn)定狀態(tài)。22211(1 cos )sin(1 cos )22UVkPlklPl 2sincossinsin (cos)0klPllklP sin0, cos1crPPk l222cos2cosklPlklPl 20,Pkl 時，20Pkl 時， ， （3）動力法）動力法處于平

9、衡狀態(tài)的結(jié)構(gòu)體系，如果施加微小于擾處于平衡狀態(tài)的結(jié)構(gòu)體系，如果施加微小于擾使其發(fā)生振動，當(dāng)荷載小于穩(wěn)定的極限值時，使其發(fā)生振動，當(dāng)荷載小于穩(wěn)定的極限值時，干擾撤去以后，運動趨丁靜止，結(jié)構(gòu)的平衡狀干擾撤去以后，運動趨丁靜止，結(jié)構(gòu)的平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的，否則是不穩(wěn)定的；臨界狀態(tài)的荷態(tài)是穩(wěn)定的，否則是不穩(wěn)定的；臨界狀態(tài)的荷載即為結(jié)構(gòu)的屈曲荷載可由載即為結(jié)構(gòu)的屈曲荷載可由結(jié)構(gòu)振動頻率為零結(jié)構(gòu)振動頻率為零的條件的條件解得。解得。 利用動力法確定臨界荷載的步驟利用動力法確定臨界荷載的步驟：(1)假定體系在平衡位置附近作微小的自由振假定體系在平衡位置附近作微小的自由振動，動，寫出振動方程寫出振動方程，并，并求出

10、其振動頻率的求出其振動頻率的表達式；表達式；(2)根據(jù)體系于臨界狀態(tài)時根據(jù)體系于臨界狀態(tài)時頻率等于零頻率等于零這一條這一條件件確定臨界荷載確定臨界荷載。動力法求解臨界力實例動力法求解臨界力實例 1動力法求解臨界力實例動力法求解臨界力實例 2第二章 軸心受壓構(gòu)件的彎曲屈曲（第一講）分析穩(wěn)定問題的基礎(chǔ)章節(jié)，何時考分析穩(wěn)定問題的基礎(chǔ)章節(jié)，何時考慮剪切變形對于穩(wěn)定的影響慮剪切變形對于穩(wěn)定的影響。19機械結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與非線性分析上一講要點回顧 1.1 穩(wěn)定問題分類穩(wěn)定問題分類；平衡分支失穩(wěn)（第一類失穩(wěn)、平衡分支失穩(wěn)（第一類失穩(wěn)、質(zhì)變質(zhì)變失穩(wěn)）失穩(wěn)）極值點失穩(wěn)極值點失穩(wěn) （第二類失穩(wěn)、（第二類失穩(wěn)、量變量變失

11、穩(wěn)）失穩(wěn)）躍越失穩(wěn)躍越失穩(wěn) 1.2 穩(wěn)定問題的計算方法穩(wěn)定問題的計算方法平衡法平衡法能量法能量法動力法動力法2機械結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與非線性分析本章要點1. 軸心受壓構(gòu)件的彈性彎曲屈曲；軸心受壓構(gòu)件的彈性彎曲屈曲；2. 穩(wěn)定理論在金屬結(jié)構(gòu)設(shè)計中應(yīng)用；穩(wěn)定理論在金屬結(jié)構(gòu)設(shè)計中應(yīng)用；機械結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與非線性分析21本章主要內(nèi)容1. 彎矩平衡微分方程（二階、四階）；彎矩平衡微分方程（二階、四階）；2. 計算長度系數(shù)計算長度系數(shù)；3. 穩(wěn)定系數(shù)穩(wěn)定系數(shù)。2.1 軸心受壓構(gòu)件的彈性彎曲屈曲機械結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與非線性分析22小撓度理論小撓度理論大撓度理論大撓度理論初彎曲和初偏心初彎曲和初偏心塑性發(fā)展塑性發(fā)展基本假定1、21.

12、 構(gòu)件是理想的等截面挺直桿構(gòu)件是理想的等截面挺直桿2. 材料符合虎克定律材料符合虎克定律機械結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與非線性分析23基本假定3、43. 平截面假定平截面假定4. 構(gòu)件的彎曲變形是微小的構(gòu)件的彎曲變形是微小的機械結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與非線性分析24兩端鉸接壓桿歐拉臨界力1 建立內(nèi)外力矩平衡方程建立內(nèi)外力矩平衡方程機械結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與非線性分析25EIuMN u 22 0 () cossinNuk ukEIuAkzBkz0, 0 0, 0 0sin 0 , 0, , 2 , 3 . (n=0,1,2,3.)zuAzluBklBkln簡支梁簡支梁邊界條件邊界條件兩端鉸接壓桿歐拉臨界力2 得最小臨界力得最小臨界力 變形

13、曲線變形曲線機械結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與非線性分析2622crEEINNlsinuBnzl曲線形狀曲線形狀怎么才能出怎么才能出現(xiàn)現(xiàn)b)b)和和c)c)懸臂梁歐拉臨界力 平衡方程：平衡方程： 邊界條件：邊界條件：機械結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與非線性分析27222 () cossinEI uN uNNuk ukkEIuAkzBkz0, 0 0, 0 0, (1 cos)3 cos0, , , .22zuAzuBzluklklkl 22(2 )crEEINNl計算長度系數(shù)機械結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與非線性分析2822 ()crEEINNl22 EcrENEA120.6990.5兩種等效方法兩種等效方法兩端彈簧約束軸心受壓構(gòu)件的歐拉臨界力機械結(jié)

14、構(gòu)穩(wěn)定與非線性分析29四階彎矩平衡方程機械結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與非線性分析300IVEIyPy四階公式的四階公式的優(yōu)缺點？優(yōu)缺點？四階彎矩平衡方程求解 1 四個積分常數(shù)可內(nèi)構(gòu)件兩端的幾何邊界條四個積分常數(shù)可內(nèi)構(gòu)件兩端的幾何邊界條件和自然邊界條件確定：件和自然邊界條件確定：機械結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與非線性分析312/kP EI四階彎矩平衡方程求解 2 此外還有此外還有： 根據(jù)構(gòu)件兩端的四個獨立的邊界條件可以根據(jù)構(gòu)件兩端的四個獨立的邊界條件可以建立四個線性齊次方程：建立四個線性齊次方程：機械結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與非線性分析32四階彎矩平衡方程求解 3 方程有非零解的條件是式中的系數(shù)行列式方程有非零解的條件是式中的系數(shù)行列式為零為零

15、得屈曲方程得屈曲方程機械結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與非線性分析33det( )0A 解的討論解的討論！例題 A機械結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與非線性分析34例題 B機械結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與非線性分析352.2 軸心受壓構(gòu)件的穩(wěn)定理論在金屬結(jié)構(gòu)設(shè)計中的應(yīng)用 歐拉公式的歐拉公式的適用范圍適用范圍 因為歐拉公式是在材料彈性前提下推導(dǎo)的，因為歐拉公式是在材料彈性前提下推導(dǎo)的，因此構(gòu)件截面應(yīng)力不應(yīng)大于比例極限應(yīng)力因此構(gòu)件截面應(yīng)力不應(yīng)大于比例極限應(yīng)力 p，由此得出歐拉公式適用的限制長細比，由此得出歐拉公式適用的限制長細比p 機械結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與非線性分析362p, / = crppE切線模量理論 a) 軸心壓桿臨界應(yīng)力曲線軸心壓桿臨界應(yīng)力曲線 b) 切線應(yīng)

16、力及切線模量切線應(yīng)力及切線模量機械結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與非線性分析37軸心受壓構(gòu)件彈塑性階段的穩(wěn)定性 1973年，我國在編制鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范年，我國在編制鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范時，對軸心受壓構(gòu)件彈塑性階段的穩(wěn)定性時，對軸心受壓構(gòu)件彈塑性階段的穩(wěn)定性進行了試驗試驗數(shù)據(jù)的回歸結(jié)果為：進行了試驗試驗數(shù)據(jù)的回歸結(jié)果為： 或改寫為：或改寫為：機械結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與非線性分析38210.245()crss 210.43()crsc 2 s1.33, =/ , 0.57csscsE235345 123 102ccQQ用許用應(yīng)力法驗算軸心受壓構(gòu)件的整體穩(wěn)定性機械結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與非線性分析39n nk k是什么是什么?軸心受壓穩(wěn)定系數(shù)機械結(jié)構(gòu)穩(wěn)定

17、與非線性分析40軸心受壓穩(wěn)定系數(shù)計算公式 在相同的長細比的條件下，受壓構(gòu)件的臨界應(yīng)力在相同的長細比的條件下，受壓構(gòu)件的臨界應(yīng)力與鋼材強度不成線性關(guān)系，提高鋼材強度時，臨與鋼材強度不成線性關(guān)系，提高鋼材強度時，臨界應(yīng)力不按同一比例提高。當(dāng)小長細比時，提高界應(yīng)力不按同一比例提高。當(dāng)小長細比時，提高鋼材強度可提高臨界應(yīng)力，大長細比時則高強度鋼材強度可提高臨界應(yīng)力，大長細比時則高強度鋼材對提高臨界應(yīng)力效果不大。鋼材對提高臨界應(yīng)力效果不大。機械結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與非線性分析41第二章 軸心受壓構(gòu)件的彎曲屈曲（第二講）分析穩(wěn)定問題的基礎(chǔ)章節(jié)，何時考分析穩(wěn)定問題的基礎(chǔ)章節(jié)，何時考慮剪切變形對于穩(wěn)定的影響慮剪切變形對于

18、穩(wěn)定的影響。42機械結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與非線性分析機械結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與非線性分析 11:36:15 PM 43上一講主要內(nèi)容1. 軸心受壓構(gòu)件的彈性彎曲屈曲；軸心受壓構(gòu)件的彈性彎曲屈曲；2. 穩(wěn)定理論在金屬結(jié)構(gòu)設(shè)計中應(yīng)用；穩(wěn)定理論在金屬結(jié)構(gòu)設(shè)計中應(yīng)用；上一講要點1. 彎矩平衡微分方程（二階、四階）；彎矩平衡微分方程（二階、四階）；2. 計算長度系數(shù)計算長度系數(shù)；3. 穩(wěn)定系數(shù)穩(wěn)定系數(shù)。機械結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與非線性分析 11:36:15 PM 44本章主要內(nèi)容1. 格構(gòu)式軸心受壓構(gòu)件的穩(wěn)定性格構(gòu)式軸心受壓構(gòu)件的穩(wěn)定性；2. 剪切變形對軸心壓桿臨界力的影響；剪切變形對軸心壓桿臨界力的影響；本章要點1. 考慮剪切變形的彎矩

19、平衡微分方程；考慮剪切變形的彎矩平衡微分方程；2. 折算長細比；折算長細比；2.3 軸心受壓構(gòu)件的彈性彎曲屈曲 實腹式一般是由型鋼制成。常用的截面形式有角實腹式一般是由型鋼制成。常用的截面形式有角鋼、工字鋼、丁字型鋼、圓鋼管、方形鋼管等。鋼、工字鋼、丁字型鋼、圓鋼管、方形鋼管等。實腹式也可用鋼板焊接成組合截面。實腹式也可用鋼板焊接成組合截面。機械結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與非線性分析 11:36:15 PM 45格構(gòu)式構(gòu)件 格構(gòu)式由分離桿件組成。其分離的各截面部分叫格構(gòu)式由分離桿件組成。其分離的各截面部分叫肢桿，肢桿間由綴材連接。穿過肢桿腹板的截面肢桿，肢桿間由綴材連接。穿過肢桿腹板的截面主軸叫做主軸叫做實軸實

20、軸，穿過綴材的截面主軸叫做，穿過綴材的截面主軸叫做虛軸虛軸。機械結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與非線性分析 11:36:15 PM 46剪切變形的影響 在研究實腹式軸心受壓構(gòu)件的整體穩(wěn)定性在研究實腹式軸心受壓構(gòu)件的整體穩(wěn)定性時，忽略了剪切變形對穩(wěn)定性的影響，因時，忽略了剪切變形對穩(wěn)定性的影響，因為實腹式受壓構(gòu)件的抗剪剛度較大，剪切為實腹式受壓構(gòu)件的抗剪剛度較大，剪切變形的影響很小。變形的影響很小。 格構(gòu)式受壓構(gòu)件中，剪切變形較大，剪切格構(gòu)式受壓構(gòu)件中，剪切變形較大，剪切變形對受壓構(gòu)件整體穩(wěn)定性的影響已不可變形對受壓構(gòu)件整體穩(wěn)定性的影響已不可忽略。忽略。機械結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與非線性分析 11:36:15 PM 47什么是什么

21、是Timoshenko梁？梁？什么時候用到這種梁？什么時候用到這種梁？剪切變形對軸心受壓構(gòu)件臨界應(yīng)力的影響 請注意剪力函數(shù)請注意剪力函數(shù)機械結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與非線性分析 11:36:15 PM 48平衡微分方程的推導(dǎo) 1機械結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與非線性分析 11:36:15 PM 49平衡微分方程的推導(dǎo) 2機械結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與非線性分析 11:36:16 PM 50平衡微分方程的推導(dǎo) 3機械結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與非線性分析 11:36:16 PM 51平衡微分方程的推導(dǎo) 4機械結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與非線性分析 11:36:16 PM 52平衡微分方程的推導(dǎo) 5機械結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與非線性分析 11:36:16 PM 53不考慮剪切變形影不考慮剪切變形

22、影響時構(gòu)件的長細比響時構(gòu)件的長細比考慮剪切變形后的考慮剪切變形后的折算長細比折算長細比格構(gòu)式受壓構(gòu)件折算長細比的計算機械結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與非線性分析 11:36:16 PM 54格構(gòu)式受壓構(gòu)件折算長細比的計算 綴條式雙肢受壓構(gòu)件對虛軸的折算長細比綴條式雙肢受壓構(gòu)件對虛軸的折算長細比機械結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與非線性分析 11:36:16 PM 55主肢總面積主肢總面積腹桿總面積腹桿總面積綴板式雙肢受壓構(gòu)件對虛軸的折算長細比機械結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與非線性分析 11:36:16 PM 56綴板式雙肢受壓構(gòu)件對虛軸的折算長細比 A為主肢總面積，為主肢總面積，I1為單主肢截面慣性矩，為單主肢截面慣性矩，I2為單綴板截面慣性矩。為單綴

23、板截面慣性矩。 當(dāng)綴板剛度較大時，可簡化為當(dāng)綴板剛度較大時，可簡化為機械結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與非線性分析 11:36:16 PM 57221h不考慮剪切變形影響時，不考慮剪切變形影響時，受壓構(gòu)件對虛軸的長細比受壓構(gòu)件對虛軸的長細比單主肢長細比，計算長度取單主肢長細比，計算長度取綴板間凈距綴板間凈距l(xiāng)01，而非中心距而非中心距l(xiāng)1四肢受壓構(gòu)件對兩個虛軸的折算長細比 綴條式四肢受壓構(gòu)件綴條式四肢受壓構(gòu)件 繞繞X軸：軸： 繞繞Y軸：軸： A1x, A1y分別為分別為X平面或平面或Y平面內(nèi)斜腹桿總平面內(nèi)斜腹桿總面積，通常面積，通常機械結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與非線性分析 11:36:16 PM 582140hxxxAA2140h

24、yyyAA四根主肢總面積四根主肢總面積11/ 2xyAAA四肢受壓構(gòu)件對兩個虛軸的折算長細比機械結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與非線性分析 11:36:17 PM 59221h改為按最小回改為按最小回轉(zhuǎn)半徑軸計算轉(zhuǎn)半徑軸計算2.4 變截面軸心受壓構(gòu)件的穩(wěn)定 臨界力為：臨界力為：機械結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與非線性分析 11:36:17 PM 602max22()crEINl長度換算法長度換算法22max2crEINl慣性矩換算法慣性矩換算法兩種換算法比較 長度換算法長度換算法 慣性矩換算法慣性矩換算法機械結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與非線性分析 11:36:17 PM 61有沒有問有沒有問題？題？變截面構(gòu)件的臨界應(yīng)力 臨界應(yīng)力為臨界應(yīng)力為 長細比為長

25、細比為:機械結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與非線性分析 11:36:17 PM 6222222max2 max2222()crErErEll2maxmax2/()l rlr懸臂變截面構(gòu)件處理 對于一端固支一端自由截面不對稱變化的對于一端固支一端自由截面不對稱變化的變截面構(gòu)件，可先用支承方式長度系數(shù)變截面構(gòu)件，可先用支承方式長度系數(shù)1=2乘以構(gòu)件幾何長度將其化為計算長度乘以構(gòu)件幾何長度將其化為計算長度為為1l的兩端簡支、截面對稱變化的變截面的兩端簡支、截面對稱變化的變截面構(gòu)件，然后再用長度換算法或慣性矩換算構(gòu)件，然后再用長度換算法或慣性矩換算法將其進一步換算成兩端簡支的相當(dāng)?shù)冉胤▽⑵溥M一步換算成兩端簡支的相當(dāng)?shù)冉孛鏄?gòu)

26、件，其長細比為面構(gòu)件，其長細比為:機械結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與非線性分析 11:36:17 PM 6312max1max2/()l rlr 懸臂梁和簡支梁歐拉臨懸臂梁和簡支梁歐拉臨界力之間的關(guān)系？界力之間的關(guān)系？第三章 穩(wěn)定計算的近似分析法介紹能量法和應(yīng)用能量法解決彈性介紹能量法和應(yīng)用能量法解決彈性穩(wěn)定問題。穩(wěn)定問題。64機械結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與非線性分析上一講要點回顧 2.4 軸心受壓構(gòu)件的彈性屈曲軸心受壓構(gòu)件的彈性屈曲實腹式和格構(gòu)式構(gòu)件及其組成實腹式和格構(gòu)式構(gòu)件及其組成剪切變形對軸心受壓構(gòu)件的影響剪切變形對軸心受壓構(gòu)件的影響格構(gòu)式受壓構(gòu)件折算長細比格構(gòu)式受壓構(gòu)件折算長細比h的推導(dǎo)和計算的推導(dǎo)和計算 2.5 變截面

27、構(gòu)件的彈性屈曲變截面構(gòu)件的彈性屈曲變截面構(gòu)件的形式和種類變截面構(gòu)件的形式和種類等效方法（長度換算法）等效方法（長度換算法）等效方法（慣性矩換算法）等效方法（慣性矩換算法）2機械結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與非線性分析3.1 能量守恒原理 對于對于保守結(jié)構(gòu)體系保守結(jié)構(gòu)體系，外力和內(nèi)力所作的功，外力和內(nèi)力所作的功只取決于運動的起點和終點的，與運動所只取決于運動的起點和終點的，與運動所經(jīng)歷的路線無關(guān)。經(jīng)歷的路線無關(guān)。 能量守恒原理表為：如果貯存在結(jié)構(gòu)體系能量守恒原理表為：如果貯存在結(jié)構(gòu)體系中的應(yīng)變能等于外力所作的功，則該保守中的應(yīng)變能等于外力所作的功，則該保守體系處在平衡狀態(tài)。體系處在平衡狀態(tài)。U= W機械結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與非

28、線性分析3彈性應(yīng)變能彈性應(yīng)變能外力功外力功鐵摩辛柯（Timoshenko）能量法 當(dāng)結(jié)構(gòu)在外力作用下偏離其原來的當(dāng)結(jié)構(gòu)在外力作用下偏離其原來的平衡位平衡位置置而存在而存在微小變形微小變形時時:如果應(yīng)變能的增量如果應(yīng)變能的增量U大于外力功增量大于外力功增量W，則此結(jié)構(gòu)處于則此結(jié)構(gòu)處于穩(wěn)定穩(wěn)定平衡狀態(tài)。平衡狀態(tài)。如果如果U W ，則結(jié)構(gòu)處于，則結(jié)構(gòu)處于不穩(wěn)定不穩(wěn)定平衡狀態(tài)平衡狀態(tài)而導(dǎo)致失穩(wěn)。而導(dǎo)致失穩(wěn)。如果如果U= W ，則結(jié)構(gòu)處于由穩(wěn)定平衡過渡，則結(jié)構(gòu)處于由穩(wěn)定平衡過渡到不穩(wěn)定平衡的到不穩(wěn)定平衡的臨界臨界狀態(tài)。狀態(tài)。機械結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與非線性分析4用能量守恒原理來解用能量守恒原理來解決結(jié)構(gòu)彈性穩(wěn)定問題

29、決結(jié)構(gòu)彈性穩(wěn)定問題鐵摩辛柯（Timoshenko）能量法 對于長度為對于長度為l的單向彎曲的單向彎曲構(gòu)件構(gòu)件，略去軸向應(yīng)變略去軸向應(yīng)變 彎曲應(yīng)變能彎曲應(yīng)變能 軸向位移軸向位移機械結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與非線性分析52012lMUdxEI201( )2lUEI ydxMEIyU0(1 cos )ldx泰勒展開泰勒展開201( )2lydx鐵摩辛柯（Timoshenko）能量法 外力功增量外力功增量 屈曲載荷屈曲載荷機械結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與非線性分析6201( )2lWPPydxWPP2020( )( )llEIydxPydx算例1. 求兩端鉸接壓稈的臨界荷載 為了比較，把變形曲線取為了比較，把變形曲線取為三種形式。為三

30、種形式。設(shè)設(shè)設(shè)設(shè)設(shè)設(shè)機械結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與非線性分析70鐵摩辛柯能量法鐵摩辛柯能量法2vaxbxc323224qxvxx llEIsinxvAl2229.8696EIEIPll 設(shè) 根據(jù)邊界條件：根據(jù)邊界條件： 變形曲線為：變形曲線為： 對變形曲線取導(dǎo)數(shù)：對變形曲線取導(dǎo)數(shù)： 將其代入將其代入機械結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與非線性分析712vaxbxc0000 xvcxlvbal 2()va xlx22(2)2dvaxldxd vadx2022 3220(412()/3llEIa lEIPa lEIydxydxl2229.8696EIEIPll誤差誤差21.6%! 設(shè) 滿足邊界條件：滿足邊界條件： 對變形曲線取導(dǎo)數(shù)：對變

31、形曲線取導(dǎo)數(shù)： 將其代入將其代入機械結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與非線性分析72000 xvxlv 32322(46)24()2dvqxx lldxEId vqxxldxEI2 52 72022201209.88241720160( )( )()llq lEIEIydxydxEIPlq lEI323224qxvxx llEI橫向均布荷載作橫向均布荷載作用下的變形曲線用下的變形曲線誤差誤差0.13%2229.8696EIEIPll 設(shè) 滿足邊界條件：滿足邊界條件： 對變形曲線取導(dǎo)數(shù)：對變形曲線取導(dǎo)數(shù)： 將其代入將其代入機械結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與非線性分析73000 xvxlv 2222cos()sin()dvAxdxlld v

32、Axdxll20243222220( )(2)2llAEEIydxydxIlEIPlAl真實真實變形曲線變形曲線沒有誤差！沒有誤差！sinxvAl算例2. 求懸臂梁的臨界荷載 撓度曲線的真實形狀為撓度曲線的真實形狀為未未知知。 我們可用自由端作用我們可用自由端作用切向切向載荷載荷的懸臂梁撓度曲線作的懸臂梁撓度曲線作為撓度曲線形狀的近似。為撓度曲線形狀的近似。 該該曲線的方程曲線的方程：機械結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與非線性分析74鐵摩辛柯能量法鐵摩辛柯能量法2(3)6QxylxEI23(3)2xylxl33x lQlyEI算例2. 求懸臂梁的臨界荷載 彎曲應(yīng)變能為彎曲應(yīng)變能為 外力功增量為外力功增量為 由由U=

33、 W機械結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與非線性分析75220325lPdyWPdxPdxl22200()22llMPUdxy dxEIEI22217335 25PlPEIl22422.470617crEIEIPll2222.46744crEIEIPll精確解誤差誤差0.13%算例2. 求懸臂梁的臨界荷載 有時候，即使對于曲線的形狀作了很粗略有時候，即使對于曲線的形狀作了很粗略的假定，但仍舊能得到良好的的假定，但仍舊能得到良好的結(jié)結(jié)果果。 例如，我們假定上例的撓度曲線為例如，我們假定上例的撓度曲線為拋物線拋物線，它的方程為它的方程為機械結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與非線性分析7622/yxl22222222008(1)2215(1)2l

34、lMPxPlUdxdxEIEIlEI220223lPdyWPdxPdxl22.50crEIPl誤差誤差1.3%!2222300122( (2)()22)llEIEIUEI ydxdxll23crEIPl誤差誤差21.6%!算例3. 求圖示變截面壓桿的臨界載荷 設(shè)變形曲線為設(shè)變形曲線為 外力功增量外力功增量機械結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與非線性分析771 cos2xyl2220216lPdyPWdxdxl算例3. 求圖示變截面壓桿的臨界載荷 彎曲變形能彎曲變形能 由由U= W機械結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與非線性分析7822221222111411 sincrEIPlll IIlll IIl2222220212222202122c

35、oscos222llllllM dxM dxUEIEIPxIxdxdxEIlIl注意積分段！注意積分段！小結(jié)11. 用能量法求臨界荷載，應(yīng)先設(shè)定屈曲時的用能量法求臨界荷載，應(yīng)先設(shè)定屈曲時的變形曲線。因所設(shè)變形曲線不可能完全精變形曲線。因所設(shè)變形曲線不可能完全精確，故算出的臨界荷載通常是確，故算出的臨界荷載通常是近似解近似解。2. 能量法的關(guān)鍵是假定的變形曲線，變形曲能量法的關(guān)鍵是假定的變形曲線，變形曲線應(yīng)盡可能滿足較多的線應(yīng)盡可能滿足較多的邊界條件邊界條件。最好能。最好能同時滿足幾何邊界條件同時滿足幾何邊界條件(撓度和轉(zhuǎn)角撓度和轉(zhuǎn)角)與與載載荷荷邊界條件邊界條件(彎距和力彎距和力)。同時滿足二

36、者有。同時滿足二者有因難時，因難時，至少至少應(yīng)使幾何條件得到滿足。應(yīng)使幾何條件得到滿足。機械結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與非線性分析79小結(jié)13. 通常能量法求得的臨界荷載都通常能量法求得的臨界荷載都大于大于精確值。精確值。這是因為一般所這是因為一般所假設(shè)假設(shè)的變形的變形曲線曲線與實際變與實際變形曲線不一致，這就相當(dāng)于在壓桿上形曲線不一致，這就相當(dāng)于在壓桿上加入加入了某些附加約束、提高了壓桿的剛度了某些附加約束、提高了壓桿的剛度。4. 在推導(dǎo)臨界荷載公式時，彎曲應(yīng)變能在推導(dǎo)臨界荷載公式時，彎曲應(yīng)變能U的表達式有兩個。的表達式有兩個。機械結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與非線性分析80精度高精度高20( )lUEI ydx( )B202l

37、MUdxEI( )A容易計算容易計算鐵摩辛柯能量法推廣 對于更為一般的情形，可設(shè)屈曲曲線對于更為一般的情形，可設(shè)屈曲曲線為以為以下下方程方程形式：形式： 計算時，通常只取有限的幾項計算時，通常只取有限的幾項機械結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與非線性分析81滿足給定邊界滿足給定邊界 條件的函數(shù)條件的函數(shù)11221( )( )( )( )nnniiivaxaxaxax試解函數(shù)試解函數(shù)未知常數(shù)變量未知常數(shù)變量（廣義坐標(biāo)）（廣義坐標(biāo)）鐵摩辛柯能量法推廣 由由 屈曲載荷表達式為屈曲載荷表達式為 為求得臨界載荷為求得臨界載荷Pcr，應(yīng)選擇式中的，應(yīng)選擇式中的 ai使使P最小最小機械結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與非線性分析8211221( )( )

38、( )( )nnniiivaxaxaxax2012121201( ),( )nliininlniiiEIaxdxA a aaPB a aaaxdx鐵摩辛柯能量法推廣 應(yīng)選擇式中的應(yīng)選擇式中的ai使使P最小最小機械結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與非線性分析832210(1,2,3, )iiiiiABBAPAABaainaBB aBa0iiAA BaB a0(1,2,3, )iiABPinaa1212,nnA a aaPB a aa鐵摩辛柯能量法推廣機械結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與非線性分析84201( )nljjjiiAEIaxdxaa20101( )2( )( )nljjjiinljjijBaxdxaaxaxdx01(2)( )in

39、ljjjiAEI axdxax1( )( )nijjijaxxa011( )2( )njnljjjjjiaxEIaxdxa鐵摩辛柯能量法推廣 由由P的極小值條件得的極小值條件得機械結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與非線性分析850(1,2,3, )iiABPinaa0011( )( )()0)nnlljjjjjjiiEI axdxPaxdxxx01( )( )( )( )0nljjjijixxaPxEIxdx 0( )( )( )( )ljjijiiPxEIxdxxxC記10(1,2, )njjjiainC注意對稱性！注意對稱性！鐵摩辛柯能量法推廣 由由 得到穩(wěn)定方程為得到穩(wěn)定方程為 將此式展開，可得到一個關(guān)于將此式

40、展開，可得到一個關(guān)于P的的n次代數(shù)次代數(shù)方程，求出方程，求出P的最小根即可確定臨界荷載。的最小根即可確定臨界荷載。機械結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與非線性分析861112121222120nnnnnnCCCCCCDCCC10(1,2, )njjjiainC 0nnn naC算例4. 求圖示下端固定、上端鉸支等截面壓桿的臨界載荷 取變形曲線為兩項級數(shù)形式取變形曲線為兩項級數(shù)形式機械結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與非線性分析8723112212( )( )()()vaxaxa lx xa lx x11222( )(23 )( )2(3 )( )(34 )( )6 (2 )xxlxxlxxxlxxx lx23112415PlClEI3312

41、21410PlCClEIl43222324355PlClEIl算例4. 求圖示下端固定、上端鉸支等截面壓桿的臨界載荷 代入穩(wěn)定方程，得到代入穩(wěn)定方程，得到 展開并化簡得到展開并化簡得到機械結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與非線性分析882333343322441510324410355PlPllEIlEIlDPlPllEIllEIl222212822400EIEIPPll220.9187EIPl220.1906crEIPl精確解精確解誤差誤差3.61%3.61%3.2 勢能駐值原理 勢能駐值原理可表述為：勢能駐值原理可表述為： 當(dāng)彈性體系當(dāng)彈性體系(線性或非線性的線性或非線性的)發(fā)生發(fā)生任意微小任意微小的虛位移時，若

42、體系的總勢能的虛位移時，若體系的總勢能不變，則不變，則該體系處于平衡狀態(tài)。該體系處于平衡狀態(tài)。 即彈性體系處于平衡狀態(tài)必須滿足總勢能即彈性體系處于平衡狀態(tài)必須滿足總勢能駐值條件駐值條件機械結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與非線性分析89=UV（）=0總勢能總勢能系統(tǒng)應(yīng)變能系統(tǒng)應(yīng)變能外力勢能外力勢能最小勢能原理 最小勢能原理指當(dāng)一個體系的勢能最小時，最小勢能原理指當(dāng)一個體系的勢能最小時，系統(tǒng)會處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)。系統(tǒng)會處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)。 最小勢能原理是最小勢能原理是勢能駐值原理勢能駐值原理在線彈性范在線彈性范圍里的特殊情況。圍里的特殊情況。 對于一般性問題：真實位移狀態(tài)使結(jié)構(gòu)的對于一般性問題：真實位移狀態(tài)使結(jié)構(gòu)的勢能取駐

43、值（一階變分為零），在線彈性勢能取駐值（一階變分為零），在線彈性問題中取最小值。問題中取最小值。機械結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與非線性分析90( )a( )b( ) c勢能駐值原理 壓桿屈曲時的彎曲應(yīng)變能壓桿屈曲時的彎曲應(yīng)變能(又稱為又稱為彈性勢能彈性勢能)為為 外力外力P在桿件在桿件屈屈曲時所作的功為曲時所作的功為 總勢能的表達式為總勢能的表達式為機械結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與非線性分析91=UV（）=0222012ld vUEIdxdx2012lMUdxEI或者2012ldvVPPdxdx 2220011=22lld vdvEIdxPdxdxdx勢能駐值原理 舉例1 設(shè)此時的變形曲線為設(shè)此時的變形曲線為 總勢能總勢能 由由

44、=0,得得機械結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與非線性分析92( )sinxv xfl22crEIPl42322=044fffEPllfI22( )cos( )sinxv xllxv xlffl 2220011=22lld vdvEIdxPdxdxdx42223=44ffEIPll勢能駐值原理 舉例2 設(shè)此時的變形曲線為設(shè)此時的變形曲線為 總勢能總勢能 由由=0,得得機械結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與非線性分析9323( )(3)2xv xlxl22333=25EIPll252crEIPl2220011=22lld vdvEIdxPdxdxdx366=025EIPll3.3 瑞利-里茲法 瑞利瑞利-里茲法是建立在勢能駐值原理基礎(chǔ)上里茲法

45、是建立在勢能駐值原理基礎(chǔ)上的的一一個近似方法。個近似方法。 瑞利瑞利-里茲法采用具有里茲法采用具有n個廣義坐標(biāo)的位移個廣義坐標(biāo)的位移函數(shù)近似地代替其實的位移曲線函數(shù)近似地代替其實的位移曲線； 用解代數(shù)方程的方法代替求解微分方程。用解代數(shù)方程的方法代替求解微分方程。 設(shè)設(shè)壓桿失穩(wěn)時的變形曲線為壓桿失穩(wěn)時的變形曲線為機械結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與非線性分析9411221( )( )( )( )nnniiivaxaxaxax滿足幾何邊界條件的已知函數(shù)滿足幾何邊界條件的已知函數(shù)任意參數(shù)任意參數(shù)瑞利-里茲法 臨界狀態(tài)的變形形式臨界狀態(tài)的變形形式即即決定于決定于n個獨立參數(shù)個獨立參數(shù)ai 總勢能的變分總勢能的變分可表為：

46、可表為： 勢能駐值條件表為勢能駐值條件表為:機械結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與非線性分析9512112nniiniaaaaaaaa 0(1,2, )iina瑞利-里茲法 在在線性線性問題中，勢能表達式為問題中，勢能表達式為 引入變形曲線，得引入變形曲線，得 由勢能駐值條件由勢能駐值條件 得穩(wěn)定方程得穩(wěn)定方程機械結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與非線性分析9622220011=22lld vdvEIdxPdxdxdx22001111=( )( )22nnlljjjjjjEIaxdxPaxdx1112121222120nnnnnnCCCCCCDCCC小結(jié)2 瑞利瑞利-里茲法是由勢能駐值條件，即由勢能里茲法是由勢能駐值條件，即由勢能的一階變分

47、等于零導(dǎo)出的的一階變分等于零導(dǎo)出的。 鐵摩辛柯法則是根據(jù)臨界狀態(tài)時的能鐵摩辛柯法則是根據(jù)臨界狀態(tài)時的能量量特特征導(dǎo)出征導(dǎo)出。 兩者在概念上是不同的。兩者在概念上是不同的。 但兩種方法導(dǎo)但兩種方法導(dǎo)出出的計算公式卻完全相同，的計算公式卻完全相同，所得的結(jié)果也完全相同。所得的結(jié)果也完全相同。機械結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與非線性分析97算例5. 求懸臂梁的臨界荷載 1.設(shè)變形設(shè)變形曲線方程曲線方程為：為：機械結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與非線性分析98瑞利瑞利-里茲法里茲法21va x2222110022 31111=22223llEIa xdxPa xdxEIa lPa l31114403EIalPala23EIPl2222.467

48、44crEIEIPll精確解誤差誤差21.6%21.6%一項一項算例5. 求懸臂梁的臨界荷載 2.設(shè)變形設(shè)變形曲線方程曲線方程為：為： 由由機械結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與非線性分析99瑞利瑞利-里茲法里茲法2412va xa x2241202241201=212llEIa xa xdxPa xa xdx1200aa和倆項倆項算例5. 求懸臂梁的臨界荷載 得得 穩(wěn)定方程為穩(wěn)定方程為 求得臨界力求得臨界力機械結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與非線性分析100222122221212203511820557EIPlaEIPll aEIPlaEIPll a22221223501182557EIPlEIPlEIPlEIPl22.4688EIP

49、l誤差誤差0.057%0.057%小結(jié)3 欲進一步提高精度，還可繼續(xù)增加參數(shù)欲進一步提高精度，還可繼續(xù)增加參數(shù)ai的的數(shù)目，設(shè)定第三，第四數(shù)目，設(shè)定第三，第四近似彈性曲線近似彈性曲線表達式求解。不過，每增加一個參數(shù)，隨表達式求解。不過，每增加一個參數(shù)，隨之將增加大量的工作量。本例作第二輪近之將增加大量的工作量。本例作第二輪近似計算即已得到滿意的結(jié)果。似計算即已得到滿意的結(jié)果。機械結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與非線性分析101課堂練習(xí)使用瑞利-里茲法求解臨界載荷 取變形曲線為兩項級數(shù)形式取變形曲線為兩項級數(shù)形式機械結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與非線性分析10223112212( )( )()()vaxaxa lx xa lx x第四章

50、 有限單元法解穩(wěn)定問題（第一講）介紹剛度陣的推導(dǎo)方法，使用插值介紹剛度陣的推導(dǎo)方法，使用插值有限元求解穩(wěn)定問題有限元求解穩(wěn)定問題。103機械結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與非線性分析機械結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與非線性分析 11:36:24 PM 104上一講主要內(nèi)容1. 鐵摩辛柯能量法及其推廣；鐵摩辛柯能量法及其推廣；2. 瑞利瑞利-里茲法解穩(wěn)定問題；里茲法解穩(wěn)定問題；上一講要點1. 鐵摩辛柯能量法計算公式；鐵摩辛柯能量法計算公式；2. Cij的推導(dǎo)（兩種方法）；的推導(dǎo)（兩種方法）；3. 能量法及彎矩兩種表達的優(yōu)缺點。能量法及彎矩兩種表達的優(yōu)缺點。機械結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與非線性分析 11:36:24 PM 105本章主要內(nèi)容1. 單元剛度

51、陣的推導(dǎo)；單元剛度陣的推導(dǎo)；2. 系統(tǒng)剛度陣的組裝；系統(tǒng)剛度陣的組裝；本章要點1. 線性剛度陣和幾何剛度陣；線性剛度陣和幾何剛度陣；2. “對號入座對號入座”；4.0 有限元簡史 1 從第一次由美國加州大學(xué)伯克利分校從第一次由美國加州大學(xué)伯克利分校（University of California, Berkeley）的力）的力學(xué)教授學(xué)教授Ray W. Clough在他的文章中提出并在他的文章中提出并使用使用”有限元方法有限元方法”（Finite Element Method）這一詞匯以來，有限元方法以及）這一詞匯以來，有限元方法以及相關(guān)計算系統(tǒng)的已經(jīng)發(fā)展了相關(guān)計算系統(tǒng)的已經(jīng)發(fā)展了40多年多年

52、； Clough第一次使用有限元法（平面三角形第一次使用有限元法（平面三角形單元）分析飛機的蒙皮問題單元）分析飛機的蒙皮問題 ；機械結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與非線性分析 11:36:24 PM 106有限元簡史 2 “有限元方法有限元方法”概念的提出，引出了美國概念的提出，引出了美國加州大學(xué)伯克利分校有限元技術(shù)研究小組加州大學(xué)伯克利分校有限元技術(shù)研究小組的最為輝煌的十年歷程。在這十年里，第的最為輝煌的十年歷程。在這十年里，第一個得到開發(fā)并公開發(fā)布的自動計算系統(tǒng)一個得到開發(fā)并公開發(fā)布的自動計算系統(tǒng)（The first Automated Finite Element Program），稱之為），稱之為SAP（S

53、tructure Analysis Program），這是由），這是由Ray W. Clough博士的學(xué)生博士的學(xué)生Edward L. Wilson博士博士主持開發(fā)的。主持開發(fā)的。機械結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與非線性分析 11:36:25 PM 107有限元簡史 3 而另外一名對有限元方法做出重大貢獻的而另外一名對有限元方法做出重大貢獻的由伯克利分校培養(yǎng)的博士是由伯克利分校培養(yǎng)的博士是Klaus J. Bathe博士。博士。Klaus J. Bathe在在1960年代末在年代末在Clough和和Wilson博士的指導(dǎo)下攻讀博士學(xué)博士的指導(dǎo)下攻讀博士學(xué)位，從事結(jié)構(gòu)動力學(xué)求解算法和計算系統(tǒng)位，從事結(jié)構(gòu)動力學(xué)求解算

54、法和計算系統(tǒng)的研究。大家所熟知的模態(tài)求解方法之一的研究。大家所熟知的模態(tài)求解方法之一“子空間迭代子空間迭代”（Subspace Iteration）就）就是是Bathe博士期間的一個成果。我們知道，博士期間的一個成果。我們知道，目前幾乎所有的商業(yè)化軟件都在使用這個目前幾乎所有的商業(yè)化軟件都在使用這個算法。算法。機械結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與非線性分析 11:36:25 PM 108有限元簡史 4 1972 Willson E. L.教授開發(fā)了教授開發(fā)了 SAP 1 ， 1972年底開發(fā)了年底開發(fā)了 SAP 2（SOLID SAP），）， 1973年開發(fā)了年開發(fā)了 SAP 3（未公開發(fā)表，只供（未公開發(fā)表，只供

55、贊助單位用），贊助單位用）， 1974年正式發(fā)表了年正式發(fā)表了 SAP 4（Bathe, Wilson etc.）。）。 據(jù)說到目前為止，據(jù)說到目前為止，SAP 4 還是美國大學(xué)最還是美國大學(xué)最常用的程序。常用的程序。機械結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與非線性分析 11:36:25 PM 109有限元簡史 5 1974年年 Wilson 與他的學(xué)生與他的學(xué)生 Bathe 有開發(fā)了有開發(fā)了SAP 程序的非線性版本程序的非線性版本 NOSAP。 后來南加州后來南加州 SAP 用戶協(xié)會曾對用戶協(xié)會曾對 SAP 4 進行進行修改、增加，稱為修改、增加，稱為 SAP5。 SAP4 ，SAP5 和和 NOSAP 這這3個程序都

56、大約個程序都大約在在1979年間傳入中國，許多著名大學(xué)曾對年間傳入中國，許多著名大學(xué)曾對之進行研究和二次開發(fā)（北京工業(yè)大學(xué)，之進行研究和二次開發(fā)（北京工業(yè)大學(xué)，北京工業(yè)學(xué)院，北京大學(xué)，天津大學(xué)等上北京工業(yè)學(xué)院，北京大學(xué)，天津大學(xué)等上百所大學(xué)）。百所大學(xué)）。機械結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與非線性分析 11:36:25 PM 110有限元簡史6 SAP ALGOR Simulation Multiphysics NOSAP ADINA機械結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與非線性分析 11:36:25 PM 111AUTODESK公司收購公司收購K.J.Bathe自自己的公司己的公司商業(yè)軟件商業(yè)軟件有限元求解穩(wěn)定問題的思想1 有限單元法把結(jié)

57、構(gòu)離散為有限個單元，利有限單元法把結(jié)構(gòu)離散為有限個單元，利用結(jié)點的平衡條件建立離散體的剛度方程，用結(jié)點的平衡條件建立離散體的剛度方程，然后求解結(jié)點位移。然后求解結(jié)點位移。 每個單元中任意點的位移，可根據(jù)位移插每個單元中任意點的位移，可根據(jù)位移插值函數(shù)由結(jié)點位移間接地確定。值函數(shù)由結(jié)點位移間接地確定。 由于單元很小，各單元的位移插值函數(shù)可由于單元很小，各單元的位移插值函數(shù)可以近似地取為相同。以近似地取為相同。機械結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與非線性分析 11:36:25 PM 112有限元求解穩(wěn)定問題的思想2 由此把一個無限自由度體系的問題化為一由此把一個無限自由度體系的問題化為一個有限自由度體系的問題來分析。個有

58、限自由度體系的問題來分析。 利用有限單元法求結(jié)構(gòu)屈曲臨界荷載的問利用有限單元法求結(jié)構(gòu)屈曲臨界荷載的問題，其關(guān)鍵在于確定考慮軸向力效應(yīng)時的題，其關(guān)鍵在于確定考慮軸向力效應(yīng)時的單元剛度矩陣。單元剛度矩陣。機械結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與非線性分析 11:36:25 PM 1134.1 勢能駐值原理推導(dǎo)切線剛度陣 桿件桿件(單元單元)的桿端位移列向量為的桿端位移列向量為 桿端力列向量為桿端力列向量為機械結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與非線性分析114 iijjuwu iijjFQMQM勢能駐值原理 桿件的總勢能為桿件的總勢能為 根據(jù)總勢能的駐值條件根據(jù)總勢能的駐值條件 ，有，有 設(shè)考慮軸向力效應(yīng)的單元剛度矩陣為設(shè)考慮軸向力效應(yīng)的單元剛度矩

59、陣為 ，則有則有機械結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與非線性分析115220011( )( ) 22llTEI w xdxPw xdxFu 0 00( )( )( )( ) 0llTEIw xw x dxPw xw x dxFuK KuF勢能駐值原理 建立桿端位移與桿上任一點位移之間的關(guān)建立桿端位移與桿上任一點位移之間的關(guān)系即位移系即位移(插值插值)函數(shù)，取函數(shù)，取 根據(jù)邊界條件根據(jù)邊界條件機械結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與非線性分析11600( )( )( )( ) 0llTEIw xw x dxPw xw x dxFu00 ( )( )( )( )llTuKuEIw xw x dxPw xw x dx321234( )w xa xa

60、 xa xa 為待定常數(shù)為待定常數(shù)ia(0)(0)( )( )iijjwwww lww l梁單元形函數(shù) 得到得到 對上式進行微分對上式進行微分機械結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與非線性分析117( ) w xNu23232323232232322321xxxxxxxxNxllllllll形狀函數(shù)（或者形狀函數(shù)（或者簡稱形函數(shù)）簡稱形函數(shù)）( ) ( ) w xG uw xB u222223223266436623 1NxxxxxxxxGxllllllll222322326124661226 NxxxxBxllllllll推導(dǎo)切線剛度陣 切線剛度陣切線剛度陣機械結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與非線性分析11800 ( )( )( )( )