第8節(jié) 常系數(shù)非齊次線性微分方程

1、1常系數(shù)非齊次線性微分方程7.8型一、)()(xPexfmx型二、sin)(cos)()(2)n)1(xxPxxPexflx2)(xfyqypy qp ,(為常數(shù) )通解為Yy *y非齊次方程特解 二階常系數(shù)線性非齊次微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式二階常系數(shù)線性非齊次微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式 解法解法 回顧回顧: : 第六節(jié)非齊次線性微分方程解的結(jié)構(gòu)第六節(jié)非齊次線性微分方程解的結(jié)構(gòu)( (定理定理3) 3) 借助于第七節(jié)內(nèi)容解決難點(diǎn)問題！3 求特解的方法求特解的方法 根據(jù) f (x) 的特殊形式 , 給出特解*y的待定形式 ,代入原方程比較兩端表達(dá)式以確定待定系數(shù) .)(xfyqypy qp ,(為常數(shù) )型一、

2、)()(xPexfmx本節(jié)主要討論以下兩種類型的微分方程本節(jié)主要討論以下兩種類型的微分方程 型二、sin)(cos)()()2()1(xxPxxPexfnlx4( ).*( )xye Q xQ x設(shè)特解為，其中，為待定多項(xiàng)式( *)( )( )xyeQ xQ x則2( *)( )2( )( )xyeQ xQ xQx2( )(2)( )(*() ( )()mQxp Q xpq Q xPx( )( )xmf xePx一、型)(次多項(xiàng)式為為實(shí)數(shù)，mxPm* ( *)( *)yyy將，代入方程，整理得：( )xmypyqyeP x5從而得到特解形式為*( )xmye Qx( )Q xm則必須為次的待定

3、系數(shù)多項(xiàng)式20.pq不是特征方程的根，即，( () )1011( ).mmmmmQxb xb xbxb011.(*)mmbbbbx確定出 代入式，比較等式兩端 同次 ， ， ，冪，的系數(shù)2( )(2)( )(*() ( )()mQ xp Q xpq Q xP x6. 0202pqp且即，.)(次多項(xiàng)式必須是一個(gè)待定系數(shù)的則mxQ*( ).xmyxQx e此時(shí)，特解可設(shè)為. 0202pqp且即，2*.( )xmyx Qx e此時(shí)，特解可設(shè)為是特征方程的單根( () )是特征方程的重根( () ).)(次多項(xiàng)式必須是一個(gè)待定系數(shù)的則mxQ 7此結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性非齊次微分方程！此結(jié)論可推廣

4、到高階常系數(shù)線性非齊次微分方程！*( )(0,1,2)kxmyx Qxkek當(dāng) 是特征方程的 重根時(shí)，可設(shè)非齊次方程的特解為 小結(jié)( )xmypyqyeP x02qrpr特征方程：8.13321的一個(gè)特解求方程例 xyyy解解: 特征方程0322 rr01*.yb xb設(shè)所求特解為01033231b xbbx代入方程得：00133231bbb比較系數(shù)得01113bb ，于是所求特解為1*.3yx 0.不是特故征方程的根，. 092256.xyyyxe例求方程的通解解解:2560rr特征方程：，2312xxYC eC e故，對應(yīng)齊次方程的通解：201*()xyx b xb e設(shè)非齊次方程特解為：

5、0012120bbb01112bb ，21*(1).2xyxxe故，特解：1223rr特，征根：01022b xbbx代入方程整理得：2322121().2xxxyC eC exx e因此，所求通解為：. 210.) 1(9633的一個(gè)特解求方程例xexyyy :解特征方程0962 rr特征根 321 rr設(shè)方程特解 xebaxxy32*)(代入方程比較系數(shù)得1162ab，xexxy32*)2161(11321 (0)(0)4(0)0yyyyyy例求解初值問題解解: 特征方程 ,02323rrr設(shè)非齊次方程特解為*y代入方程得12b.21*xy 故，0321CCC21322CC,2,1,032

6、1rrr故對應(yīng)齊次方程通解1CY xeC2xeC23原方程通解x21xxeCeCCy2321由初始條件得0432CC. 0本題,xb 特征根12于是所求解為xeeyxx2141432原方程通解為解得)423(412xxeexx211Cy xeC2xeC2341 143321CCC13.54352的特解形式寫出例 xxyy練習(xí)練習(xí).)3(262通解形式寫出例xexxyy )(*cbxaxxy2xxecbxaxeCCy)(222114解：設(shè)解：設(shè) 的特解為的特解為2644xyyy *1yxeyyy2844 設(shè)設(shè) 的特解為的特解為*2y*2y *1*yy 則所求特解為則所求特解為0442 rr特征根

7、特征根22, 1 rCBxAxy 2*1xeDxy22*2 （重根）（重根）*2y *1*yy CBxAx 2.22xeDx .8644722的待定特解的形式寫出例xexyyy 15(1)(2)*( )cos( )sin kxmmyx eRxxRxx0,1kik為特征方程的 重復(fù)根()(1)(2)( )( )max,.mmRxRxmmn l其中，與是次多項(xiàng)式，上述結(jié)論也可推廣到高階微分方程的情形 .(1)(2)( )cos( )sinxlnypyqyePxxPxx(1)(2)( )( )cos( )sinxlnf xePxx Pxx二、型，如xxxf2cos) 1()(2xexfx3sin)(

8、5 結(jié)論 方程的特解可設(shè)為16.2cos8的一個(gè)特解求方程例xxyy 解解:特征方程. 2,0 xdxcxbxay2sin)(2cos)(*不是特征方程的根ii2代入方程得012r,)()1(xxPl,0)()2(xPn1m設(shè)特解為特征根irxxxadxcxcbxa2cos2sin)433(2cos)433(比較系數(shù) , 得0 94,31cbda于是求得一個(gè)特解13 a043cb03 c043ad.2sin942cos31*xxxy17.3sin303cos1899的通解求方程例xxyy 解解: 特征方程,092r其根為對應(yīng)齊次方程的通解xCxCY3sin3cos21)3sin3cos(*xb

9、xaxy比較系數(shù) , 得,5a,3b因此特解為)3sin33cos5(*xxxyir32, 1代入方程得xaxb3sin63cos6所求通解為xCxCy3sin3cos21由于 為特征方程的單根 ,因此設(shè)非齊次方程特解為i30)3sin33cos5(xxxxx3sin303cos1818例例10. 設(shè)出下列高階常系數(shù)線性非齊次方程的特解形式xyyysin2) 1 ()4( 解解: (1) 特征方程,01224rr即,0)1(22r有二重根, ir所以設(shè)非齊次方程特解為(*2xy )sincosxbxa(2) 特征方程,024 rr即0)1(22rr有根,04,32, 1irrxexyyxsin3)2()4( 利用疊加原理 , 可設(shè)非齊次方程特解為)(*2baxxyxec)sincos(xkxdx19思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 求方程xaeyyy 44的通解 .提示提示:0442rr221 rr對應(yīng)齊次方程通解xexCCY221)(1) 當(dāng)2a時(shí),設(shè)特解xaeAy 2) 當(dāng)2a時(shí), 設(shè)特解xaexBy2答案答案: 原方程的通解為y2a,)2(1)(2221xaxeaexCC2a,)21(2221xexxCC202 . (填空填空)