點集拓撲學期末考試練習題含答案

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上點集拓撲學期末考試一、單項選擇題（每題1分）1、已知,下列集族中，（ ）是上的拓撲. 答案：2、設，下列集族中,（ ）是上的拓撲. 答案：3、已知,下列集族中，（ ）是上的拓撲. 答案：4、設，下列集族中,（ ）是上的拓撲. 答案：5、已知,下列集族中，（ ）是上的拓撲. 答案：6、設，下列集族中,（ ）是上的拓撲. 答案：7、已知，拓撲,則=（ ） 答案：8、 已知，拓撲,則=（ ） 答案：9、 已知，拓撲,則=（ ） 答案：10、已知，拓撲,則=（ ） 答案：11、已知，拓撲,則=（ ） 答案：12、已知，拓撲,則=（ ） 答案：13、設，拓撲,則的既開又閉的非空

2、真子集個數（ ） 1 2 3 4 答案：14、設，拓撲,則的既開又閉的非空真子集的個數為（ ） 1 2 3 4 答案：15、設，拓撲,則的既開又閉的非空真子集的個數為（ ） 0 1 2 3 答案：16、設，拓撲,則的既開又閉的子集的個數為（ ） 0 1 2 3 答案：17、設，拓撲,則的既開又閉的子集的個數為（ ） 1 2 3 4 答案：18、設，拓撲,的既開又閉的非空真子集個數（ ） 1 2 3 4 答案：19、在實數空間中，有理數集的內部是（ ） Q R -Q R 答案：20、在實數空間中，有理數集的邊界是（ ） Q R -Q R 答案：21、在實數空間中，整數集的內部是（ ） R-Z R

3、 答案：22、在實數空間中，整數集的邊界是（ ） R-Z R 答案：23、在實數空間中，區(qū)間的邊界是（ ） 答案：24、在實數空間中，區(qū)間的邊界是（ ） 答案：25、在實數空間中，區(qū)間的內部是（ ） 答案：26、設是一個拓撲空間，A,B 是的子集,則下列關系中錯誤的是（ ） 答案: 27、設是一個拓撲空間，A,B 是的子集,則下列關系中正確的是（ ） 答案: 28、設是一個拓撲空間，A,B 是的子集,則下列關系中正確的是（ ） 答案: 29、已知是一個離散拓撲空間，A是的子集,則下列結論中正確的是（ ） 答案：30、已知是一個平庸拓撲空間，A是的子集,則下列結論中不正確的是（ ） 若,則 若,

4、則 若A=,則 若, 則 答案：31、已知是一個平庸拓撲空間，A是的子集,則下列結論中正確的是（ ） 若,則 若,則 若A=,則 若,則 答案：32、設，令,則由產生的上的拓撲是（ ） ,c,d,c,d,a,b,c ,c,d,c,d ,c,a,b,c ,d,b,c,b,d,b,c,d 答案：33、設是至少含有兩個元素的集合，, 是的拓撲，則（ ）是的基. 答案：34、 設,則下列的拓撲中（ ）以為子基. , ,a,a,c , ,a , ,a,b,a,b , 答案：35、離散空間的任一子集為( ) 開集 閉集 即開又閉 非開非閉 答案：36、平庸空間的任一非空真子集為( ) 開集 閉集 即開又閉

5、 非開非閉 答案：37、實數空間中的任一單點集是 ( ) 開集 閉集 既開又閉 非開非閉 答案：38、實數空間R的子集A =1, ,則（ ） R A0 A 答案：39、在實數空間R中，下列集合是閉集的是（ ） 整數集 有理數集 無理數集 答案：40、在實數空間R中，下列集合是開集的是（ ） 整數集Z 有理數集 無理數集 整數集Z的補集答案：41、已知上的拓撲,則點1的鄰域個數是（） 1 2 3 4 答案：42、已知,則上的所有可能的拓撲有（） 1個 2個 3個 4個 答案： 43、已知=a,b,c,則上的含有個元素的拓撲有（）個 3 5 7 9 答案：44、設為拓撲空間,則下列敘述正確的為 (

6、 ) 當時, 當時, 答案：45、在實數下限拓撲空間中，區(qū)間是（ ） 開集 閉集 既是開集又是閉集 非開非閉 答案：46、設是一個拓撲空間，,且滿足,則是（ ） 開集 閉集 既是開集又是閉集 非開非閉 答案：47、設,是的拓撲，,則的子空間的拓撲為( ) 答案：48、設,是的拓撲，,則的子空間的拓撲為( ) 答案：49、設,是的拓撲，,則的子空間的拓撲為( ) 答案：50、設,是的拓撲，,則的子空間的拓撲為( ) 答案：51、設,是的拓撲，,則的子空間的拓撲為( ) 答案：52、設,是的拓撲，,則的子空間的拓撲為( ) 答案：53、設是實數空間，是整數集，則的子空間的拓撲為（ ） 答案： 54

7、、設是拓撲空間的積空間.是到的投射，則是（ ） 單射 連續(xù)的單射 滿的連續(xù)閉映射 滿的連續(xù)開映射 答案：55、設是拓撲空間的積空間.是到的投射，則是（ ） 單射 連續(xù)的單射 滿的連續(xù)閉映射 滿的連續(xù)開映射 答案：56、設是拓撲空間的積空間.是到的投射，則是（ ） 單射 連續(xù)的單射 滿的連續(xù)閉映射 滿的連續(xù)開映射 答案：57、設是拓撲空間的積空間.是到的投射，則是（ ） 單射 連續(xù)的單射 滿的連續(xù)閉映射 滿的連續(xù)開映射 答案：58、設是拓撲空間的積空間.是到的投射，則是（ ） 單射 連續(xù)的單射 滿的連續(xù)閉映射 滿的連續(xù)開映射 答案：59、設是拓撲空間的積空間.是到的投射，則是（ ） 單射 連續(xù)的

8、單射 滿的連續(xù)閉映射 滿的連續(xù)開映射 答案：60、設和是兩個拓撲空間，是它們的積空間,，則有（ ） 答案：61、有理數集是實數空間的一個（ ） 不連通子集 連通子集 開集 以上都不對 答案：62、整數集是實數空間的一個（ ） 不連通子集 連通子集 開集 以上都不對 答案：63、無理數集是實數空間的一個（ ） 不連通子集 連通子集 開集 以上都不對 答案：64、設Y為拓撲空間X的連通子集,Z為X的子集,若, 則Z為( )不連通子集 連通子集 閉集 開集答案：65、設是平庸空間，則積空間是（） 離散空間 不一定是平庸空間 平庸空間 不連通空間答案：66、設是離散空間，則積空間是（） 離散空間 不一

9、定是離散空間 平庸空間 連通空間答案：67、設是連通空間，則積空間是（） 離散空間 不一定是連通空間 平庸空間 連通空間答案：68、實數空間R中的連通子集E為( ) 開區(qū)間 閉區(qū)間 區(qū)間 以上都不對答案：69、實數空間R中的不少于兩點的連通子集E為( ) 開區(qū)間 閉區(qū)間 區(qū)間 以上都不對 答案：70、實數空間R中的連通子集E為( ) 開區(qū)間 閉區(qū)間 區(qū)間 區(qū)間或一點 答案：71、下列敘述中正確的個數為（ ） （）單位圓周是連通的； （）是連通的 （）是連通的 （）和同胚 1 2 3 4答案：二、填空題（每題1分）1、設,則的平庸拓撲為 ;答案：2、設,則的離散拓撲為 ;答案：、同胚的拓撲空間所

10、共有的性質叫 ; 答案：拓撲不變性質4、在實數空間R中，有理數集Q的導集是_. 答案： R5、當且僅當對于的每一鄰域有 答案： 6、設是有限補空間中的一個無限子集，則= ;答案：7、設是有限補空間中的一個無限子集，則= ;答案：8、設是可數補空間中的一個不可數子集，則= ;答案：9、設是可數補空間中的一個不可數子集，則= ;答案：10、設,的拓撲,則的子集 的內部為 ;答案：211、設,的拓撲,則的子集 的內部為 ;答案：112、設,的拓撲,則的子集 的內部為 答案：113、設,的拓撲,則的子集 的內部為 ;答案：14、設,則的平庸拓撲為 ;答案：15、設,則的離散拓撲為 答案：16、設,的拓

11、撲,則的子集 的內部為 ;答案：3 17、設,的拓撲,則的子集 的內部為 ;答案：1 18、是拓撲空間到的一個映射，若它是一個單射，并且是從到它的象集的一個同胚，則稱映射是一個 .答案：嵌入19、是拓撲空間到的一個映射，如果它是一個滿射，并且的拓撲是對于映射而言的商拓撲，則稱是一個 ;答案：商映射20、設是兩個拓撲空間，是一個映射，若中任何一個開集的象集是中的一個開集，則稱映射是一個答案：開映射21、設是兩個拓撲空間，是一個映射，若中任何一個閉集的象集是中的一個閉集，則稱映射是一個答案：閉映射22、若拓撲空間存在兩個非空的閉子集,使得,則是一個 ；答案：不連通空間23、若拓撲空間存在兩個非空的

12、開子集,使得,則是一個 ；答案：不連通空間24、若拓撲空間存在著一個既開又閉的非空真子集，則是一個 答案：不連通空間25、設是拓撲空間的一個連通子集，滿足，則也是的一個 ; 答案：連通子集26、拓撲空間的某種性質，如果為一個拓撲空間所具有也必然為它在任何一個連續(xù)映射下的象所具有，則稱這個性質是一個 ；答案：在連續(xù)映射下保持不變的性質27、拓撲空間的某種性質，如果為一個拓撲空間所具有也必然為它的任何一個商空間所具有，則稱這個性質是一個 ；答案：可商性質28、若任意個拓撲空間,都具有性質,則積空間也具有性質，則性質稱為 ;答案：有限可積性質29、設是一個拓撲空間，如果中有兩個非空的隔離子集,使得,

13、則稱是一個 ；答案：不連通空間.三判斷（每題4分，判斷1分，理由3分）1、從離散空間到拓撲空間的任何映射都是連續(xù)映射( ) 答案: 理由：設是離散空間，是拓撲空間，是連續(xù)映射，因為對任意，都有,由于中的任何一個子集都是開集，從而是中的開集，所以是連續(xù)的. 2、設是集合的兩個拓撲，則不一定是集合的拓撲( )答案:×理由：因為（1）是的拓撲，故T1，T，從而；（）對任意的T1T，則有T1且T，由于T1, T2是的拓撲，故T1且T2，從而 T1T；（）對任意的，則，由于T1, T2是的拓撲，從而UTUT1, UTUT2,故UTU T1T；綜上有T1T也是的拓撲3、從拓撲空間到平庸空間的任何

14、映射都是連續(xù)映射（ ）答案:理由：設是任一滿足條件的映射，由于是平庸空間，它中的開集只有,易知它們在下的原象分別是,均為中的開集，從而連續(xù).4、設為離散拓撲空間的任意子集，則 （ ）答案:理由：設為中的任何一點，因為離散空間中每個子集都是開集，所以是的開子集，且有，即,從而 .5、設為平庸空間（多于一點）的一個單點集，則 （ ）答案：×理由：設,則對于任意,有唯一的一個鄰域，且有,從而，因此是的一個凝聚點，但對于的唯一的鄰域，有,所以有.6、設為平庸空間的任何一個多于兩點的子集，則 （ ）答案：理由：對于任意因為包含多于一點，從而對于的唯一的鄰域，且有，因此是的一個凝聚點，即，所以有

15、.7、設是一個不連通空間，則中存在兩個非空的閉子集,使得（ ）答案：理由：設是一個不連通空間，設是的兩個非空的隔離子集使得,顯然，并且這時有:從而是的一個閉子集，同理可證是的一個閉子集，這就證明了滿足.8、若拓撲空間中存在一個既開又閉的非空真子集，則是一個不連通空間( )理由：這是因為若設是中的一個既開又閉的非空真子集，令，則都是中的非空閉子集，它們滿足，易見是隔離子集，所以拓撲空間是一個不連通空.五簡答題（每題4分）1、設是一個拓撲空間，是的子集，且.試說明.答案：對于任意,設是的任何一個鄰域，則有,由于，從而，因此，故.2、設都是拓撲空間., 都是連續(xù)映射，試說明也是連續(xù)映射.答案：設是的

16、任意一個開集，由于是一個連續(xù)映射，從而是的一個開集，由是連續(xù)映射，故是的一開集，因此 是的開集，所以是連續(xù)映射.3、設是一個拓撲空間，.試說明：若是一個閉集，則的補集是一個開集.答案：對于,則，由于是一個閉集，從而有一個鄰域使得,因此，即,所以對任何,是的一個鄰域，這說明是一個開集.4、設是一個拓撲空間，.試說明：若的補集是一個開集，則是一個閉集.答案：設,則,由于是一個開集，所以是的一個鄰域，且滿足,因此,從而,即有，這說明是一個閉集.5、在實數空間R中給定如下等價關系：或者或者設在這個等價關系下得到的商集,試寫出的商拓撲T.答案：6、在實數空間R中給定如下等價關系:或者或者設在這個等價關系

17、下得到的商集,試寫出的商拓撲T .答案：7、在實數空間R中給定如下等價關系：或者或者設在這個等價關系下得到的商集,試寫出的商拓撲T.答案：8、在實數空間R中給定如下等價關系：或者或者設在這個等價關系下得到的商集,試寫出的商拓撲T.答案：9、在實數空間R中給定如下等價關系:或者或者設在這個等價關系下得到的商集,試寫出的商拓撲T .答案：10、在實數空間R中給定如下等價關系:或者或者設在這個等價關系下得到的商集,試寫出的商拓撲T .答案：11、在實數空間R中給定如下等價關系:或者或者設在這個等價關系下得到的商集,試寫出的商拓撲T .答案：六、證明題（每題8分）1、設是從連通空間到拓撲空間的一個連續(xù)

18、映射.則是的一個連通子集.證明：如果是的一個不連通子集，則存在的非空隔離子集使得 3分于是是的非空子集，并且：所以是的非空隔離子集 此外，這說明不連通，矛盾.從而是的一個連通子集. 8分2、設是拓撲空間的一個連通子集, 證明: 如果和是的兩個無交的開集使得,則或者,或者. 證明：因為是的開集，從而是子空間的開集.又因中，故 4分由于是的連通子集,則中必有一個是空集. 若,則;若,則 8分3、設是拓撲空間的一個連通子集, 證明: 如果和是的兩個無交的閉集使得,則或者,或者. 證明：因為是的閉集，從而是子空間的閉集.又因中，故 4分由于是的連通子集,則中必有一個是空集. 若,則;若,則 8分4、設是拓撲空間的一個連通子集，滿足，則也是的一個連通子集.證明：若是的一個不連通子集，則在中有非空的隔離子集 使得.因此 3分由于是連通的，所以或者,如果，由于，所以，因此 ,同理可證如果，則,均與假設矛盾.故也 是的一個連通子集. 8分5、設是拓撲空間