第12.4節(jié)二階線性微分方程

1、微分方程微分方程12.4 二階線性微分方程二階線性微分方程 12.4 12.4 二階線性微分方程二階線性微分方程 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 微分方程微分方程12.4 12.4 二階線性微分方程二階線性微分方程一、二階線性微分方程的一、二階線性微分方程的形式形式形如形如 ( )( )( )yp x yq x yf x（12.4.112.4.1） 的方程稱為的方程稱為二階線性微分方程二階線性微分方程， 當(dāng)當(dāng)( )0f x 時，即時，即 ( )( )0yp x yq x y（12.4.212.4.2） 稱為稱為二階齊次線性微分方程二階齊次線性微分方程， 否則，稱為否則，稱為二階非齊次線性微分方程二階非齊次線

2、性微分方程 對應(yīng)的二階齊次線性微分方程對應(yīng)的二階齊次線性微分方程方程（方程（12.4.212.4.2）稱為）稱為二階非齊次線性微分方程二階非齊次線性微分方程(12.4.1)(12.4.1)12.4 二階線性微分方程二階線性微分方程高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 微分方程微分方程(f(x) 0)微積分微積分 微分方程初步微分方程初步8.4 二階線性微分方程二階線性微分方程二、二階線性微分方程的通解結(jié)構(gòu)二、二階線性微分方程的通解結(jié)構(gòu) 1 1、二階齊次線性微分方程解的結(jié)構(gòu)、二階齊次線性微分方程解的結(jié)構(gòu) 定理定理12.4.112.4.1 1( )y x2( )yx設(shè)設(shè)和和均是方程（均是方程（12.4.212.4.2

3、）的解，則）的解，則 1 122( )( )yC y xC y x（12.4.312.4.3） 也是方程方程（也是方程方程（12.4.212.4.2）的解，）的解， 其中其中12,CC為任意常數(shù)為任意常數(shù) 證明：證明： 將（將（12.4.312.4.3）直接代入（）直接代入（12.4.212.4.2）的左端，）的左端， 有有 ( )( )yp x yq x y1 1221 1221 122()( )()( )()C yC yp x C yC yq x C yC y微積分微積分 微分方程初步微分方程初步8.4 二階線性微分方程二階線性微分方程11112222( )( )( )( )Cyp x y

4、q x yCyp x yq x y12000.CC 1( )y x2( )yx通常（通常（12.4.312.4.3）式稱為）式稱為與與的線性組合的線性組合 1 1221 1221 122()( )()( )()C yC yp x C yC yq x C yC y1 1221 1221 122()( )()( )()C yC yp x C yC yq x C yC y定理定理12.4.112.4.1 1( )y x2( )yx設(shè)設(shè)和和均是方程（均是方程（12.4.212.4.2）的解，則）的解，則 1 122( )( )yC y xC y x（12.4.312.4.3） 定理定理12.4.112

5、.4.1表明方程（表明方程（12.4.212.4.2）的兩個解的線性組合仍是）的兩個解的線性組合仍是該方程的解該方程的解 但要注意，雖然（但要注意，雖然（12.4.312.4.3）在形式上含有兩個）在形式上含有兩個但它卻不一定是方程（但它卻不一定是方程（12.4.212.4.2）的通解）的通解 1C2C和和任意常數(shù)任意常數(shù), ,1122( )( )yC y xC yx1( )y x例如，如果例如，如果是方程（是方程（12.4.212.4.2）的解，）的解，k （為常數(shù)）自然也是（為常數(shù)）自然也是（12.4.212.4.2）的解，）的解， 由此兩個解所構(gòu)成的解由此兩個解所構(gòu)成的解1121( )(

6、 )C y xC ky x121()( )CC k y x實質(zhì)上只含有一個任意常數(shù)實質(zhì)上只含有一個任意常數(shù)12(),CkC因此，它不是二階方程因此，它不是二階方程（12.4.212.4.2）的通解）的通解 21( )( )yxky x則則微積分微積分 微分方程初步微分方程初步8.4 二階線性微分方程二階線性微分方程y事實上，事實上，不是通不是通解解的主要原因是的主要原因是相互獨立（即線性無關(guān)）的相互獨立（即線性無關(guān)）的1( )y x2( )yx與與并不是并不是為了解決這一問題，下面引入函數(shù)的線性相關(guān)與線性無關(guān)的概念為了解決這一問題，下面引入函數(shù)的線性相關(guān)與線性無關(guān)的概念21( )( ).yxk

7、y x1122( )( )( )0nnk y xk yxk yx線性相關(guān)與線性無關(guān)線性相關(guān)與線性無關(guān): :使得使得12( ),( ),( )ny xyxyx設(shè)設(shè)為定義在區(qū)間為定義在區(qū)間上的上的 個函數(shù)，個函數(shù)，In在區(qū)間在區(qū)間 上線性上線性相相關(guān)關(guān); ; I12( ),( ),( )ny xyxyx則則稱這稱這 個函數(shù)個函數(shù)n12,nk kk如果存在不全為零的常數(shù)如果存在不全為零的常數(shù)12( ),( ),( )ny xyxyx否則稱否則稱在區(qū)間在區(qū)間 上線性無關(guān)上線性無關(guān) I微積分微積分 微分方程初步微分方程初步8.4 二階線性微分方程二階線性微分方程)(Ix 顯然，顯然， 12( ),( )

8、y xyx12( )( )y xkyx 若兩個函數(shù)若兩個函數(shù)滿足滿足（常數(shù)），（常數(shù)）， 1( )y x2( )yx則則與與線性相關(guān)；線性相關(guān)； 1( )y x2( )yx否則，稱否則，稱與與線性無關(guān)線性無關(guān) 例如，例如， 1( )sin2y xx2( )sincosyxxx函數(shù)函數(shù)與與是線性相關(guān)的，是線性相關(guān)的， 因為因為 12( )sin22.( )sincosy xxyxxx1( )siny xx2( )cosy xx而而與與是線性無關(guān)的，是線性無關(guān)的， 因為因為 12( )sintan .( )cosy xxxyxx微積分微積分 微分方程初步微分方程初步8.4 二階線性微分方程二階線性

9、微分方程微積分微積分 微分方程初步微分方程初步8.4 二階線性微分方程二階線性微分方程定理定理12.4.2則則 若若12( ),( )y xyx是方程（是方程（12.4.212.4.2）的兩個線性無關(guān)的解，）的兩個線性無關(guān)的解， 1122( )( ),yC y xC yxC C12, ( (是任意常數(shù)是任意常數(shù)) ) 是方程（是方程（12.4.212.4.2）的通解）的通解例如，例如， ye yexx12,yy 0容易驗證容易驗證 是方程是方程的的， 且且yyeeexxx122常數(shù)，常數(shù)， 即它們是線性無關(guān)的即它們是線性無關(guān)的 yy 0因此方程因此方程的通解為的通解為，(12,xxyC eC

10、e C C12,( ( 是任意常數(shù)是任意常數(shù)) ) 證明：證明：直接驗證即可直接驗證即可 兩個解兩個解,， 微積分微積分 微分方程初步微分方程初步8.4 二階線性微分方程二階線性微分方程2 2、二階非齊次線性微分方程解的結(jié)構(gòu)、二階非齊次線性微分方程解的結(jié)構(gòu) 定理定理12.4.312.4.3 是其對是其對應(yīng)的應(yīng)的齊次線性方程（齊次線性方程（12.4.212.4.2）的通解，）的通解，則則 y設(shè)設(shè)是非齊次方程（是非齊次方程（12.4.112.4.1） yYy（12.4.412.4.4） 是非齊次線性微分方程（是非齊次線性微分方程（12.4.112.4.1）的通解）的通解 Y而而( )( )( )y

11、p x yq x yf x（12.4.112.4.1） ( )( )0yp x yq x y （12.4.212.4.2） (f(x) 0) 的一個特解，的一個特解， 由定理由定理12.4.312.4.3可知，求二階非齊次線性微分方程（可知，求二階非齊次線性微分方程（12.4.112.4.1）的通解，的通解， 關(guān)鍵在于求出它的一個特解和其對應(yīng)齊次線性微分方程關(guān)鍵在于求出它的一個特解和其對應(yīng)齊次線性微分方程（12.4.212.4.2）的通解）的通解12.xxYC eC e12xxyC eC ex,yyx例如，對于二階非齊次線性微分方程例如，對于二階非齊次線性微分方程由前面由前面,yx 又容易驗證

12、又容易驗證是該方程的一個特解，是該方程的一個特解，C C12,( ( 是任意常數(shù)是任意常數(shù)) )yyx是方程是方程 的通解的通解的的通解為通解為0yy已知其對應(yīng)的齊次線性微分方程已知其對應(yīng)的齊次線性微分方程故故微積分微積分 微分方程初步微分方程初步8.4 二階線性微分方程二階線性微分方程微積分微積分 微分方程初步微分方程初步8.4 二階線性微分方程二階線性微分方程定理定理12.4.412.4.4 1( )( )( )yp x yq x yf x2( )( )( )yp x yq x yfx與與1y2y設(shè)設(shè)分別是方程分別是方程與與的解，的解， 則則12yy是方程是方程 12( )( )( )(

13、)yp x yq x yf xfx的解的解 另外，還可以用直接驗證的方法證明下面定理另外，還可以用直接驗證的方法證明下面定理三、二階常系數(shù)齊次線性微分方程三、二階常系數(shù)齊次線性微分方程形如形如 0ypyqy （12.4.512.4.5） 的方程稱為二階常系數(shù)齊次線性微分方程，其中的方程稱為二階常系數(shù)齊次線性微分方程，其中p q,為常數(shù)為常數(shù) 由觀察法我們推測方程有形如由觀察法我們推測方程有形如xye 的解，的解， 將將xye 代入方程（代入方程（12.4.512.4.5）并化簡得）并化簡得2()0,xpq e 因因0 xe ， xye 故故是方程的解的充分必要條件是是方程的解的充分必要條件是微

14、積分微積分 微分方程初步微分方程初步8.4 二階線性微分方程二階線性微分方程微積分微積分 微分方程初步微分方程初步8.4 二階線性微分方程二階線性微分方程 為二次方程為二次方程 20,pq （12.4.612.4.6） 的根的根 稱（稱（12.4.612.4.6）為方程（）為方程（12.4.512.4.5）的）的特征方程特征方程，而稱其根為，而稱其根為因因0 xe ， xye 故故是方程的解的充分必要條件是是方程的解的充分必要條件是特征根特征根 0ypyqy （12.4.512.4.5） 2()0,xpq e 微積分微積分 微分方程初步微分方程初步8.4 二階線性微分方程二階線性微分方程設(shè)設(shè)

15、12,為方程（為方程（12.4.512.4.5）的兩個特征根）的兩個特征根, , 1、若若12,是兩個不相等的實根是兩個不相等的實根則則12,xxee （12.4.512.4.5）的兩個線性無關(guān)的解，）的兩個線性無關(guān)的解， 是方程是方程故方程的通解為故方程的通解為 yC eC exx1212（12,C C為任意常數(shù)）為任意常數(shù)） 根的不同情況分三種情形討論根的不同情況分三種情形討論 下面根據(jù)特征下面根據(jù)特征2、若若12是兩個相等實根是兩個相等實根微積分微積分 微分方程初步微分方程初步8.4 二階線性微分方程二階線性微分方程微積分微積分 微分方程初步微分方程初步8.4 二階線性微分方程二階線性微

16、分方程2、若若12是兩個相等實根，是兩個相等實根， 則則1xye 是方程的一個解，是方程的一個解， 2.y性無關(guān)的特解性無關(guān)的特解設(shè)設(shè)21( )yu xCy，即，即21( )( )xyy u xeu x 下面求下面求( )u x 將將 2,xyeu 2( )xyeuu ， 22 ( 2),xyeuuu y1一個與一個與還需求出另還需求出另線線代入方程（代入方程（12.4.512.4.5），并化簡得），并化簡得微積分微積分 微分方程初步微分方程初步8.4 二階線性微分方程二階線性微分方程代入方程（代入方程（12.4.512.4.5），并化簡得），并化簡得2(2)() 0 xeup upq u 將

17、將 2,xyeu 2( )xyeuu ， 22 ( 2),xyeuuu 0ypyqy （12.4.512.4.5） 因為因為ex 0， 而而為特征根且為重根，為特征根且為重根， 所以有所以有 20pq20p 及及 , ,于是得于是得 0u 積分兩次得積分兩次得 12.uD xD 微積分微積分 微分方程初步微分方程初步8.4 二階線性微分方程二階線性微分方程, ,于是得于是得 0u 積分兩次得積分兩次得 uD xD12因為這里只需要得到一個不為常數(shù)的解因為這里只需要得到一個不為常數(shù)的解u， 故取故取 121,0,DD對應(yīng)得對應(yīng)得ux， 由此得由此得 （8.4.58.4.5）的另一個特解）的另一個

18、特解2,xyxe y1y2與與線性無關(guān)，線性無關(guān)， 由由定定理理12.4.212.4.2得方程（得方程（12.4.512.4.5）的通解為）的通解為 yCC x ex()1212,C C（為任意常數(shù)）為任意常數(shù)） 1,xye 21yxCy微積分微積分 微分方程初步微分方程初步8.4 二階線性微分方程二階線性微分方程3 3、若若1 2 ,i 一對共軛復(fù)根一對共軛復(fù)根則則 ()()12ixixyC eC e cossinixexix由歐拉公式由歐拉公式另?。砣。?2.4.512.4.5）的兩個線性）的兩個線性無關(guān)解為無關(guān)解為 ()()112ixixyee1(cossin)(cossin)2xxe

19、xixexix為方程（為方程（12.4.512.4.5）復(fù)數(shù)形式的解）復(fù)數(shù)形式的解 由于這種復(fù)數(shù)形式的解在應(yīng)用時不方便，在求解實際問題時，由于這種復(fù)數(shù)形式的解在應(yīng)用時不方便，在求解實際問題時，常常需要實數(shù)形式的通解為此，常常需要實數(shù)形式的通解為此， 微積分微積分 微分方程初步微分方程初步8.4 二階線性微分方程二階線性微分方程()()212ixixyeei1(cossin)(cossin)2xxexixexixsin.xex 則得方程（則得方程（12.4.512.4.5）實數(shù)形式的通解）實數(shù)形式的通解 1 122,yC yC y()()112ixixyee1(cossin)(cossin)2x

20、xexixexixcos.xex 方程（方程（12.4.512.4.5）實數(shù)形式的通解）實數(shù)形式的通解為為12(cossin),xyeCxCx 12,C C（為任意常數(shù)）為任意常數(shù)） 則得方程（則得方程（12.4.512.4.5）實數(shù)形式的通解）實數(shù)形式的通解 1 122,yC yC y2sinxyex 1cos,xyex 將將 代入得代入得微積分微積分 微分方程初步微分方程初步8.4 二階線性微分方程二階線性微分方程微積分微積分 微分方程初步微分方程初步8.4 二階線性微分方程二階線性微分方程例例12.4.112.4.1 求求230yyy的通解的通解 解解 微分方程對應(yīng)的特征方程為微分方程對

21、應(yīng)的特征方程為2230， 解得其特征根為解得其特征根為121,3 故所求通解為故所求通解為312.xxyC eC e440yyy(0)2 ,(0)4yy 例例12.4.2 12.4.2 求求滿足滿足的特解的特解解解 微分方程對應(yīng)的特征方程為微分方程對應(yīng)的特征方程為 2440解得其特征根為解得其特征根為122 ， 微積分微積分 微分方程初步微分方程初步8.4 二階線性微分方程二階線性微分方程故方程的通解為故方程的通解為 212().xyCC x e由條件由條件(0)2 ,(0)4yy ， 可得可得122,0.CC 故所求特解為故所求特解為22xye 例例12.4.312.4.3 求求 250yy

22、y 的通解的通解解解 微分方程對應(yīng)的特征方程為微分方程對應(yīng)的特征方程為 2250， 其根為其根為 1,212i ， 所求通解為所求通解為 12(cos2sin2 ).xyeCxCx解得其特征根為解得其特征根為122 ， ),(21為為任任意意常常數(shù)數(shù)CC),(21為為任任意意常常數(shù)數(shù)CC微積分微積分 微分方程初步微分方程初步8.4 二階線性微分方程二階線性微分方程通解的具體步驟如下：通解的具體步驟如下：第第一步一步 寫出微分方程的特征方程寫出微分方程的特征方程 20pq； 第二步第二步 求出特征方程的兩個根求出特征方程的兩個根 12, ； 第三步第三步 根據(jù)特征方程的兩個根的不同情形，按照下表

23、寫出微分根據(jù)特征方程的兩個根的不同情形，按照下表寫出微分求二階常系數(shù)齊次微分方程求二階常系數(shù)齊次微分方程ypyqy 0方程的通解：方程的通解：微分方程微分方程0ypyqy的通解的通解 20pq12, 特征方程特征方程的兩個根的兩個根兩個不相等的實根兩個不相等的實根12兩個相等的實根兩個相等的實根12一對共軛復(fù)根一對共軛復(fù)根 1,2i1212xxyC eC e12()xyCC x e12( cossin)xy eCx Cx第三步第三步 根據(jù)特征方程的兩個根的不同情形，按照下表寫出微分根據(jù)特征方程的兩個根的不同情形，按照下表寫出微分 方程的通解：方程的通解：微積分微積分 微分方程初步微分方程初步8

24、.4 二階線性微分方程二階線性微分方程微積分微積分 微分方程初步微分方程初步8.4 二階線性微分方程二階線性微分方程四、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程四、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的一般形式是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的一般形式是( )ypyqyf x（12.4.712.4.7） 通解可表示為通解可表示為yYy， 方程的通解，方程的通解， 其中，其中，Y是其對應(yīng)齊次線性微分是其對應(yīng)齊次線性微分而而y非齊次線性微分方程的一個特解非齊次線性微分方程的一個特解 一般一般非齊次線性非齊次線性微分方程（微分方程（12.4.712.4.7）的特解與右端函數(shù)）的特解與右端函數(shù)(

25、 )f x有關(guān)，有關(guān)， 由解的結(jié)構(gòu)定理由解的結(jié)構(gòu)定理12.4.312.4.3，非齊次線性微分方程（，非齊次線性微分方程（12.4.712.4.7）的）的 而在一般情況下求（而在一般情況下求（12.4.712.4.7）的特解是非常困難的，）的特解是非常困難的，微積分微積分 微分方程初步微分方程初步8.4 二階線性微分方程二階線性微分方程( )( )xmf xP x e 1 1、*( )xyQ x e 推測推測)(xQ（其中（其中為待定的多項式）是（為待定的多項式）是（12.4.712.4.7）的特解的特解將將*( )xyQ x e 代入方程（代入方程（12.4.712.4.7），）， 化簡整理后

26、，得化簡整理后，得 2( ) (2) ( ) () ( )( )mQ xp Q xpq Q xP x （12.4.812.4.8） ( )ypyqyf x（12.4.712.4.7） ( )f x的兩種特殊情形進(jìn)行討論的兩種特殊情形進(jìn)行討論因此以下僅對因此以下僅對( )mP xm（其中其中是常數(shù)，是常數(shù)，為為次多項式）次多項式） 要使等式恒成立，兩邊的多項式次數(shù)相同且同次冪的系數(shù)也相等要使等式恒成立，兩邊的多項式次數(shù)相同且同次冪的系數(shù)也相等 （1 1）若若不是特征不是特征方程的方程的根根 ， m為為次多項式，次多項式， )(xQm可知可知也應(yīng)為也應(yīng)為( )mQx次多項式次多項式 可設(shè)可設(shè) *(

27、 ).xmyQx e 2( ) (2) ( ) () ( )( )mQ xp Q xpq Q xP x （12.4.812.4.8） 要使等式恒成立，兩邊的多項式次數(shù)相同且同次冪的系數(shù)也相等要使等式恒成立，兩邊的多項式次數(shù)相同且同次冪的系數(shù)也相等 于是，根據(jù)于是，根據(jù)是否為方程是否為方程(12.4.7)(12.4.7)對應(yīng)齊次方程的特征方程對應(yīng)齊次方程的特征方程20pq 的特征根分三種情況考慮：的特征根分三種情況考慮： ( )mpx注意到（注意到（12.4.812.4.8） 式中式中即即有有20pq微積分微積分 微分方程初步微分方程初步8.4 二階線性微分方程二階線性微分方程微積分微積分 微分

28、方程初步微分方程初步8.4 二階線性微分方程二階線性微分方程此時（此時（12.4.812.4.8）式左邊的）式左邊的( )Q xm也應(yīng)為也應(yīng)為次多項式，次多項式， 可設(shè)可設(shè)( )( ),mQ xxQx 從而從而 *( ).xmyxQx e （3 3）若若是是特征方程特征方程的的二重根二重根此時此時(12.4.8)(12.4.8)中的中的( )Q x應(yīng)為應(yīng)為 m 次多項式，次多項式，因此可設(shè)因此可設(shè) *2( ).xmyx Qx e （2 2）若若是是特征方程特征方程的的單根單根即即有有20, 20,pqp20, 20,pqp 即即有有綜上所述，當(dāng)綜上所述，當(dāng)( )( )xmf xPx e 時，時

29、， 分方程（分方程（12.4.712.4.7）具有）具有*( ),kxmyx Qx e 的特解，的特解， ( )mQxm其中其中是一個待定的是一個待定的次的多項式，次的多項式， k而而 按按不是特征方程的根，不是特征方程的根， 是特征方程的單根或是特征方程的重根是特征方程的單根或是特征方程的重根0 0，1 1 或或 2 2 依次取依次取形如形如 ( )ypyqyf x（12.4.712.4.7） 微積分微積分 微分方程初步微分方程初步8.4 二階線性微分方程二階線性微分方程微積分微積分 微分方程初步微分方程初步8.4 二階線性微分方程二階線性微分方程2 2、( )( )cos( )sinxln

30、f xeP xxP xx ()lPx( )nPxln、分別為分別為次及次及次多項式次多項式 可以證明可以證明方程（方程（12.4.712.4.7）具有形如）具有形如 *( )cos( )sinkxmmyx eQxxRxx （12.4.912.4.9） 的特解，的特解， )(xQm)(xRmm其中其中、是是次待定多項式，次待定多項式， ,max nlm ； ki而而按按不是特征方程不是特征方程 的特征根、的特征根、 01或或依次取依次取根據(jù)根據(jù)( )f x的兩種形式，將特解形式列表如下：的兩種形式，將特解形式列表如下： 上式上式 均為常數(shù)，均為常數(shù)， , 或是特征方程單根，或是特征方程單根， 的

31、形式的形式條件條件 特解形式特解形式 是特征方是特征方程的單根程的單根 不是特征不是特征方程的根方程的根 是特征方是特征方程的重根程的重根 是特征根是特征根i 不不是特征根是特征根i( )( )xmf xpx e ( ) ( ) cos( )sinxlnf xep xxp xx ( )ypyqyf x ()xmyQx e ()xmyxQx e 2()xmyx Qx e ( )cos( )sinmax ,xmmyeQ xx R xxml n ( )cos( )sinmax ,xmmyxeQ xxR xxml n ( )f x 微積分微積分 微分方程初步微分方程初步8.4 二階線性微分方程二階線性

32、微分方程微積分微積分 微分方程初步微分方程初步8.4 二階線性微分方程二階線性微分方程例例12.4.412.4.4 求求32xyyyxe的通解的通解解解 ( )xmpx e 本題中本題中為為型，型， 其中其中( ),1,mp xx對應(yīng)齊次線性微分方程的特征方程為對應(yīng)齊次線性微分方程的特征方程為2320,解得特征根解得特征根121,2, 對應(yīng)齊次線性微分方程的通解為對應(yīng)齊次線性微分方程的通解為 212,xxYC eC e又因為又因為1是特征單根，是特征單根， 而而( )mpxx為一次多項式，為一次多項式， 故可設(shè)原方程的一個特解為故可設(shè)原方程的一個特解為 *().xyx AxB e 12,C C

33、（為任意常數(shù)）為任意常數(shù)） xxexf )(微積分微積分 微分方程初步微分方程初步8.4 二階線性微分方程二階線性微分方程代入原方程得代入原方程得 22AxABx， 比較同類項系數(shù)有比較同類項系數(shù)有 2120AA B 解之得解之得1,12AB ， 非齊次方程的一個特解為非齊次方程的一個特解為 *1(1).2xyxxe 故所求通解為故所求通解為 2121(1)2xxxyC eC exxe設(shè)特解為設(shè)特解為 yx AxB ex*()12,C C（為任意常數(shù)）為任意常數(shù)） 微積分微積分 微分方程初步微分方程初步8.4 二階線性微分方程二階線性微分方程例例12.4.512.4.5 求求222yyyx的通

34、解的通解解解 ( )xmpx e本題中本題中為為型，型， 其中其中2( ),0.mpxx 對應(yīng)齊次線性微分方程的特征方程為對應(yīng)齊次線性微分方程的特征方程為 2220,解得特征根解得特征根1,21 i ， 從而對應(yīng)齊次線性微分的通解為從而對應(yīng)齊次線性微分的通解為 12(cossin ),xYeCx Cx 又因為又因為 0不是特征根，不是特征根， 而而2( )mpxx為二次多項式，為二次多項式， 故設(shè)方程的特解為故設(shè)方程的特解為 *2.yAxBxC2)(xxf 微積分微積分 微分方程初步微分方程初步8.4 二階線性微分方程二階線性微分方程代入原方程得代入原方程得2222(2)2(),AxA B xA B Cx 比較同類項的系數(shù)有比較同類項的系數(shù)有212(2)02()0AABABC 解該方程組得解該方程組得11,1,22ABC ， 所以所以*21122yxx為原方程的一個特解，為原方程的一個特解， 故所求方程的通解為故所求方程的通解為 21211(cossin ).22xyeCx Cxxx 故可設(shè)原方程的一個特解為故可設(shè)原方程的一個特解為 *2.yAxBxC 12,C C（為任意常數(shù)）為任意常數(shù)） 微積分微積分 微分方程初步微分方