第一章 行列式及其應(yīng)用

1、音樂(lè)音樂(lè)音樂(lè)音樂(lè)主講教師：主講教師： 何何 敏敏 勇勇 第一章第一章行列式及其應(yīng)用行列式及其應(yīng)用3第一節(jié)第一節(jié) n 階行列式階行列式一、二階行列式的引入一、二階行列式的引入:22)1(a ,2212221212211abxaaxaa :12)2(a ,1222221212112abxaaxaa ，得，得兩式相減消去兩式相減消去2x;)(212221121122211baabxaaaa (2) (1) 22221211212111bxaxabxaxa4;)(212221121122211baabxaaaa ，得，得類似地，消去類似地，消去1x,)(211211221122211abbaxaaaa

2、 時(shí)，時(shí)，所以當(dāng)所以當(dāng)021122211 aaaa方程組有唯一解方程組有唯一解，211222112122211aaaabaabx .211222112112112aaaaabbax .,22221211212111bxaxabxaxa)1()2(5引入記號(hào)引入記號(hào)定義定義2112221122211211aaaaaaaa 稱為二階行列式稱為二階行列式. .主對(duì)角線主對(duì)角線對(duì)角線法則對(duì)角線法則2211aa 二階行列式的計(jì)算二階行列式的計(jì)算2112aa 11a21a12a22a，211222112122211aaaabaabx .211222112112112aaaaabbax 主對(duì)角線主對(duì)角線6二

3、、三階行列式二、三階行列式三元線性方程組三元線性方程組 333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa211121323112113222112112)()(babaxaaaaxaaaa 311131333113113232113112)()(babaxaaaaxaaaa 321231333213123232213122)()(babaxaaaaxaaaa 32a )(22a 12a 31221333211232231132211331231233221132112322112311223211131221322113aaaaaaaaaa

4、aaaaaaaabaabaabaabaabaaaabx 731221333211232231132211331231233221132112322112311223211131221322113aaaaaaaaaaaaaaaaaabaabaabaabaabaaaabx 引入記號(hào)引入記號(hào)定義定義稱為稱為三階行列式三階行列式. .,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa8333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa .322311aaa 對(duì)角線法

5、則對(duì)角線法則說(shuō)明：說(shuō)明： 1、三階行列式包括、三階行列式包括3!項(xiàng)，每一項(xiàng)都是位于項(xiàng)，每一項(xiàng)都是位于不同行，不同列的三個(gè)元素的乘積不同行，不同列的三個(gè)元素的乘積，其中三項(xiàng)為正，其中三項(xiàng)為正，三項(xiàng)為負(fù)三項(xiàng)為負(fù).322113aaa 312312aaa 312213aaa 332112aaa 2、對(duì)角線法則只適用于二階與三階行列式、對(duì)角線法則只適用于二階與三階行列式91 1、計(jì)算行列式：計(jì)算行列式：.52112 (1)(1)(2)(2)140053101 .7125 .0000 abcacbcbcaba(3)(3)10三、全排列及其逆序數(shù)三、全排列及其逆序數(shù) 由由n個(gè)不同數(shù)碼個(gè)不同數(shù)碼1,2,n 組

6、成的有序數(shù)組組成的有序數(shù)組 i1i2in, 稱為一個(gè)稱為一個(gè)n級(jí)排列級(jí)排列.定義定義 在一個(gè)在一個(gè)n級(jí)排列級(jí)排列 i1i2in 中中, 如果有較大的數(shù)如果有較大的數(shù) it 排在較小的數(shù)排在較小的數(shù) is 前面前面(is1)共有共有n!個(gè)個(gè) n 級(jí)排列級(jí)排列, 其中奇偶排其中奇偶排列各占一半列各占一半.14四、四、n階行列式階行列式333231232221131211aaaaaaaaaD 322113312312332211aaaaaaaaa 332112322311312213aaaaaaaaa (1) 三階行列式共有三階行列式共有 3! = 6 項(xiàng)項(xiàng)(2) 每項(xiàng)都是位于不同行不同列的三個(gè)元素

7、的乘積每項(xiàng)都是位于不同行不同列的三個(gè)元素的乘積(3) 每項(xiàng)的正負(fù)號(hào)都取決于位于不同行不同列的三個(gè)每項(xiàng)的正負(fù)號(hào)都取決于位于不同行不同列的三個(gè)元素的下標(biāo)排列元素的下標(biāo)排列例如例如322113aaa列標(biāo)排列列標(biāo)排列312是偶排列是偶排列,正號(hào)正號(hào) 322311aaa,負(fù)號(hào)負(fù)號(hào) 列標(biāo)排列列標(biāo)排列132是奇排列是奇排列,15.)1(321321321321)( pppppppppaaa 333231232221131211aaaaaaaaaD 322113312312332211aaaaaaaaa 332112322311312213aaaaaaaaa 16nnnnnnaaaaaaaaaD2122221

8、11211 定義定義 用用n2個(gè)元素個(gè)元素aij (i,j =1,2,n) 組成的記號(hào)組成的記號(hào)定義為定義為,)1(21212121)(nnnnpppppppppaaa ).det(ija簡(jiǎn)記作簡(jiǎn)記作determinant為這個(gè)排列的逆序數(shù)為這個(gè)排列的逆序數(shù)的一個(gè)排列，的一個(gè)排列，為自然數(shù)為自然數(shù)其中其中)(212121nnpppnppp n階行列式是階行列式是n!項(xiàng)的代數(shù)和項(xiàng)的代數(shù)和,不同列的不同列的n個(gè)元素的乘積個(gè)元素的乘積.每項(xiàng)都是位于不同行、每項(xiàng)都是位于不同行、17所表示的代數(shù)和中有所表示的代數(shù)和中有4! = 24項(xiàng)項(xiàng).例如例如, 四階行列式四階行列式44434241343332312

9、423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD 例如例如, a11a22a33a44項(xiàng)取正號(hào)項(xiàng)取正號(hào), a14a23a31a42項(xiàng)取負(fù)號(hào)項(xiàng)取負(fù)號(hào), a11a24a33a44不是不是D的項(xiàng)的項(xiàng).18 D中各項(xiàng)中不為零的項(xiàng)只有中各項(xiàng)中不為零的項(xiàng)只有a11a22ann, 其它項(xiàng)其它項(xiàng)均為零均為零, 由于由于 (12n) = 0, 因此這一項(xiàng)取正號(hào)因此這一項(xiàng)取正號(hào), 得得例例9 9 計(jì)算上計(jì)算上三角行列式三角行列式nnnnaaaaaaD000022211211 解解nnnnaaaaaa00022211211.2211nnaaa 19同理可得同理可得下三角行列式下三角行列式.2211n

10、naaa nnnnaaaaaa2122211100020特殊情況：特殊情況：.00000000000000002211332211nnnnaaaaaaa 這種行列式稱為這種行列式稱為對(duì)角行列式對(duì)角行列式.21例例1010 計(jì)算行列式計(jì)算行列式000000000000dcbaD 解解abcdD)4321()1( .abcd 練習(xí)練習(xí): : 推廣到推廣到 n 階情況。階情況。22n 21.)1(212)1(nnn 2)1()12)1( nnnn 23例例1111 設(shè)設(shè),1211123111211)(xxxxxf .3的的系系數(shù)數(shù)求求 x含含 的項(xiàng)有兩項(xiàng)的項(xiàng)有兩項(xiàng),即即3x解解43342211)12

11、43()1(aaaa 44332211)1234()1(aaaa 3x 32x . 13 的系數(shù)為的系數(shù)為故故 x,3x 24練習(xí)：練習(xí)：P8 習(xí)題習(xí)題 1.11. 25說(shuō)明說(shuō)明 行列式中行與列的地位是對(duì)等的行列式中行與列的地位是對(duì)等的, ,因此行列式因此行列式的性質(zhì)凡是對(duì)行成立的對(duì)列也同樣成立的性質(zhì)凡是對(duì)行成立的對(duì)列也同樣成立. .第二節(jié)第二節(jié) 行列式的性質(zhì)行列式的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1 1 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等，即行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等，即行列式行列式 稱為行列式稱為行列式 D 的轉(zhuǎn)置行列式的轉(zhuǎn)置行列式. TDnnaaa2211nnaaa21122121nnaaa TDnnaaa2211

12、 D記記2121nnaaannaaa2112證略證略DDT 26性質(zhì)性質(zhì)2 2 交換行列式的兩行交換行列式的兩行( (列列),),行列式的值變號(hào)行列式的值變號(hào). .例如例如,571571 266853.825825 361567567361266853證略證略推論推論 如果行列式有兩行如果行列式有兩行( (列列) )完全相同，則此行列完全相同，則此行列式為零式為零. .證明證明互換相同的兩行，有互換相同的兩行，有 . 0 D,DD 27性質(zhì)性質(zhì)3 3 行列式的某一行行列式的某一行( (列列) )中所有的元素都乘以中所有的元素都乘以同一數(shù)同一數(shù)k，等于用數(shù)等于用數(shù)k乘此行列式乘此行列式, , 即

13、即證略證略nnnniniinaaakakakaaaa212111211nnnniniinaaaaaaaaak212111211 說(shuō)明說(shuō)明行列式的某一行行列式的某一行(列列)中所有元素若有公因子中所有元素若有公因子, 可以提到行列式符號(hào)的外面可以提到行列式符號(hào)的外面推論推論如果行列式有兩行如果行列式有兩行(列列)的對(duì)應(yīng)元素成比例的對(duì)應(yīng)元素成比例, 則則行列式的值等于零行列式的值等于零.28性質(zhì)性質(zhì)4 4若行列式的某一列若行列式的某一列( (行行) )的元素都是兩數(shù)之和的元素都是兩數(shù)之和, ,nnnininnniiniiaaaaaaaaaaaaaaaD)()()(2122222211111211

14、則則D等于下列兩個(gè)行列式之和：等于下列兩個(gè)行列式之和：nnninnininnninniniaaaaaaaaaaaaaaaaaaD 122211111122211111例如例如注意注意： 一次只能拆一行或一列一次只能拆一行或一列.證證略略29例例1 1 證明證明3332221113333332222221111112cbacbacbaaccbbaaccbbaaccbba 由性質(zhì)由性質(zhì)4 4， 證證上式左邊上式左邊 333332222211111333332222211111accbbaccbbaccbbaccbaaccbaaccba 3333222211113333222211113333222

15、21111333322221111accbaccbaccbacbbacbbacbbacbaacbaacbaccbaccbaccba 30333322221111333322221111333322221111333322221111accbaccbaccbacbbacbbacbbacbaacbaacbaccbaccbaccba 由性質(zhì)由性質(zhì)2 2推論，第二、第三個(gè)行列式的值為推論，第二、第三個(gè)行列式的值為0 0； 再由性質(zhì)再由性質(zhì)4 4，把第一、第四個(gè)行列式分別拆成兩個(gè)行列，把第一、第四個(gè)行列式分別拆成兩個(gè)行列式之和并化簡(jiǎn)后，式之和并化簡(jiǎn)后， 上式上式333222111333222111acbacbacbcbacbacba .2333222111cbacbacba 31njnjninjjinjiaaaaaaaaaaaa12222111111njnjnjninjjjinjjijiaakaaaaakaaaaakaaakcc)()()(1222221111111 k例如例如列列 column行行 row性質(zhì)性質(zhì)5把行列式的某一列把行列式的某一列(行行)的各元素乘以同一數(shù)的各元素乘以同一數(shù)k后后加到另一列加到另一列(行行)對(duì)應(yīng)的元素上去，行列式的值不變對(duì)應(yīng)的元素上去，行列式的值不變32補(bǔ)充例題補(bǔ)充例題331111111111111111 2000220022201111 .8 5