第九章(6)-用疊加法計算梁的變形梁的剛度計算

1、* 用疊加法計算梁的變形用疊加法計算梁的變形 在材料服從胡克定律、且變形很小的前提下在材料服從胡克定律、且變形很小的前提下,載荷與它所引起的變形成線性關系。載荷與它所引起的變形成線性關系。 當梁上同時作用幾個載荷時，各個載荷所引當梁上同時作用幾個載荷時，各個載荷所引起的變形是各自獨立的，互不影響。若計算幾個起的變形是各自獨立的，互不影響。若計算幾個載荷共同作用下在某截面上引起的變形，則可分載荷共同作用下在某截面上引起的變形，則可分別計算各個載荷單獨作用下的變形，然后疊加。別計算各個載荷單獨作用下的變形，然后疊加。例：用疊加法求例：用疊加法求CL9TU20vCAB、解：解：vCEIl q3845

2、4EIlP483EIlm162AEIl q243EIlP162EIlm3BEIl q243EIlP162EIlm3 例：已知梁的例：已知梁的 為常數，今欲使梁的撓曲為常數，今欲使梁的撓曲線在線在 處出現(xiàn)一拐點，則比值處出現(xiàn)一拐點，則比值為多少？為多少？CL9TU21lm2xm1xl/ 3EImm12/解：由梁的撓曲線近似微分方程解：由梁的撓曲線近似微分方程EIvM x ( )知，在梁撓曲線的拐點處有：知，在梁撓曲線的拐點處有：從彎矩圖可以看出：從彎矩圖可以看出：mm1212lm2xm1M 0Mm2m1 例：例：兩根材料相同、抗彎剛度相同的懸臂兩根材料相同、抗彎剛度相同的懸臂梁梁、如圖示，如圖示

3、，梁的最大撓度是梁的最大撓度是梁的多梁的多少倍？少倍？CL9TU222llP2PEIlP33 例：例：簡支梁在整個梁上受均布載荷簡支梁在整個梁上受均布載荷q作用，若作用，若其跨度增加一倍，則其最大撓度增加多少倍？其跨度增加一倍，則其最大撓度增加多少倍？CL9TU5lqIEl qv38454max例：例：欲使欲使AD梁梁C點撓度為零，求點撓度為零，求P與與q的關系。的關系。CL9TU23解：解：EIaqvC384)2(54EIaPa16)2(2 0Pqa56 例：若圖示梁例：若圖示梁B端的轉角端的轉角B=0，則力偶矩，則力偶矩等于多少？等于多少？CL9TU24解：解：EIPaB2202EIamm

4、Pa4例：求圖示梁例：求圖示梁 C、D兩點的撓度兩點的撓度 vC、 vD。CL9TU25解：解：EIqaEIaqvvDC245384)2(5, 044例：求圖示梁例：求圖示梁B、D兩處的撓度兩處的撓度 vB、 vD 。CL9TU26解：解： vqaEIqaaEIqaEIB()()2823143434 vvqaaEIqaEIDB222488334()例：求圖示梁例：求圖示梁C點的撓度點的撓度 vC。CL9TU27解：解： 例：例： 用疊加法求圖示變截面梁用疊加法求圖示變截面梁B、C截面的截面的撓度撓度 vB 、 vC 。CL9TU28解：解：vPaEIPa aEIB323 22 2()()vva

5、PaEICBB33 5123PaEIBPaEIPa aEI22 22()342PaEI順時針 323PaEI例：例： 用疊加法求圖示梁端的轉角和撓度。用疊加法求圖示梁端的轉角和撓度。CL9TU29解：解：CBqaEIqaEI3364順時針BqaaEIqaaEI22223216()qaEI312順時針 vaqaEIqaEICB448524 例：例： 用疊加法求圖示梁跨中的撓度用疊加法求圖示梁跨中的撓度vC和和B點點的轉角的轉角B（為彈簧系數）。（為彈簧系數）。CL9TU30解：彈簧縮短量解：彈簧縮短量BqkqlEIqlEI8224222433qkqaEI873843順時針 vqlkqlEIC16

6、57684 qlk8 例：例： 梁梁AB，橫截面為邊長為，橫截面為邊長為a的正方形，的正方形，彈性模量為彈性模量為E1；桿；桿BC，橫截面為直徑為，橫截面為直徑為d的圓的圓形，彈性模量為形，彈性模量為E2。試求。試求BC桿的伸長及桿的伸長及AB梁梁中點的撓度。中點的撓度。CL9TU31 例：例： 圖示梁處為彈性支座，彈簧剛度圖示梁處為彈性支座，彈簧剛度。求。求C端撓度端撓度vC。kEIa23CL9TU32解：解：(1)梁不變形，僅彈簧變形引起的梁不變形，僅彈簧變形引起的C點撓度為點撓度為 vqakqaEIC14323 vqaEIaqaEIC 2342243()(2)彈簧不變形，僅梁變形引起的彈

7、簧不變形，僅梁變形引起的C點撓度為點撓度為(3)C點總撓度為點總撓度為 vvvqaEICCC12483例：用疊加法求圖示梁例：用疊加法求圖示梁B端的撓度和轉角。端的撓度和轉角。CL9TU33解：解：*梁的剛度計算梁的剛度計算剛度條件：剛度條件：vvmaxmax v、是構件的許可撓度和轉角，它們決定是構件的許可撓度和轉角，它們決定于構件正常工作時的要求。于構件正常工作時的要求。 例：圖示工字鋼梁，例：圖示工字鋼梁， l =8m， Iz=2370cm4, Wz=237cm3， v = l500，E=200GPa，=100MPa。試根據梁的剛度條件，確定梁。試根據梁的剛度條件，確定梁的許可載荷的許可

8、載荷 P，并校核強度。，并校核強度。CL9TU40解：由剛度條件解：由剛度條件vPlEIvlmax 348500得PEIl485002所以 .P 711kNmaxmaxMWz所以滿足強度條件。PlWz460MPa 711.kN*提高彎曲剛度的措施提高彎曲剛度的措施 影響梁彎曲變形的因素不僅與梁的支承和載影響梁彎曲變形的因素不僅與梁的支承和載荷情況有關，而且還與梁的材料、截面尺寸、形荷情況有關，而且還與梁的材料、截面尺寸、形狀和梁的跨度有關。所以，要想提高彎曲剛度，狀和梁的跨度有關。所以，要想提高彎曲剛度，就應從上述各種因素入手。就應從上述各種因素入手。一、增大梁的抗彎剛度一、增大梁的抗彎剛度E

9、I二、減小跨度或增加支承二、減小跨度或增加支承三、改變加載方式和支座位置三、改變加載方式和支座位置9-7彎曲應變能 (略)9-8 超靜定梁超靜定梁一、超靜定梁的基本概念一、超靜定梁的基本概念 CL9TU50用多余反力代替用多余反力代替多余約束，就得多余約束，就得到一個形式上的到一個形式上的靜定梁，該梁稱靜定梁，該梁稱為原超靜定梁的為原超靜定梁的相當系統(tǒng)。相當系統(tǒng)。二、用變形比較法解超靜定梁二、用變形比較法解超靜定梁例：求圖示超靜定梁的支反力。例：求圖示超靜定梁的支反力。 解：將支座解：將支座B看成看成多余約束，變形協(xié)調多余約束，變形協(xié)調條件為：條件為：vB 003834EIlREIqlB即RqlB38 另解：將支座另解：將支座A對截面對截面轉動的約束看成多余約轉動的約束看成多余約束，變形協(xié)調條件為：束，變形協(xié)調條件為：A 003243EIlMEIqlA即MqlA182 例：為了提高懸臂梁例：為了提高懸臂梁AB的強度和剛度，的強度和剛度，用短梁用短梁CD加固。設二梁加固。設二梁EI相同，試求相同，試求 (1) 二梁接觸處的壓力；二梁接觸處的壓力； (2) 加固前后加固前后AB梁最大彎矩的比值；梁最大彎矩的比值； (3) 加固前后加固前后B點撓度的比值。點撓度的比值。CL9TU51解：解：(1)變形協(xié)調條件為：變形協(xié)調條件為：DCDDABvv即5633333