2014年導(dǎo)數(shù)的幾何意義

1、3.1.3 導(dǎo)數(shù)的幾何意義yxo)(xfy P相切相交1.切線 當(dāng)點(diǎn)Q趨近于點(diǎn)P時(shí),割線PQ趨近于確定的位置,這個(gè)確定位置的直線PT稱為點(diǎn)P處的切線.直線PQ的斜率為xyxxxyyyxxyykPQPQPQ0000)()(PQ無限靠近切線PTxykkxPQxPT00limlimy=f(x)在點(diǎn)P( x0,f(x0) )處的切線方程為： 就是曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0,f(x0)處的切線的斜率000 xxxfyy2.函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義例1 如圖，它表示跳水運(yùn)動(dòng)中高度隨時(shí)間變化的函數(shù)h(t)=-4.9t2+6.5t+10的圖象。根據(jù)圖象，請(qǐng)描述、比較曲線h(t)在t0,t1

2、,t2附近的變化情況。解：我們用曲線h(t)在t0,t1,t2處的切線， 刻畫曲線h(t)在上述三個(gè)時(shí)刻附近的 變化情況。(1) 當(dāng)t=t0時(shí),曲線h(t)在t0處的切線l0平行 于x軸. 所以,在t=t0附近曲線比較平坦,幾乎沒有下降. (2) 當(dāng)t=t1時(shí),曲線h(t)在t1處的切線l1的斜率 h(t1)0. 所以,在t=t1附近曲線下降,即函數(shù)h(t)在t=t1附近單調(diào)遞減. (3) 當(dāng)t=t2時(shí),曲線h(t)在t2處的切線l2的斜率 h(t2)0. 所以,在t=t2附近曲線下降,即函數(shù)h(t)在t=t2附近也單調(diào)遞減. 與t2相比,曲線在t1附近下降得緩慢些.例2、如圖，它表示人體血管

3、中藥物濃度c=f(t)(單位：mg/mL)隨時(shí)間t(單位：min)變化的函數(shù)圖象。根據(jù)圖象，估計(jì)t=0.5,0.8時(shí)，血管中藥物濃度的瞬時(shí)變化率(精確到0.1)00.20.10.40.60.51.10.70.31.00.90.80.20.10.40.60.51.10.70.31.00.90.8t(min)c(mg/mL)解：血管中某一時(shí)刻藥物濃度的瞬時(shí)變化 率，就是藥物濃度f(t)在此時(shí)刻的導(dǎo)數(shù)。作t=0.5處的切線,它的斜率約為00) 5 . 0 ( f所以,作t=0.8處的切線,它的斜率約為-1.55 . 1) 8 . 0 ( f所以,因此在t=0.5和0.8處藥物濃度的瞬時(shí)變化率分別為0

4、和-1.5.例3 已知曲線 上一點(diǎn) 求：點(diǎn)P處的切線的斜率； 點(diǎn)P處的的切線方程 331xy 38,2P解: 點(diǎn)P處的切線的斜率即 在x=2處的導(dǎo)數(shù).331xy 323124xxx33231)2(31xf因?yàn)?3124xxxf從而4)3124(limlim) 2(200 xxxffxx所以點(diǎn)P處的的切線方程點(diǎn)P處的切線的斜率是4.)2(438xy3164 xy即直線練習(xí)1 求曲線 在點(diǎn)M(3,3)處的 切線的斜率及方程xy9斜率為-1,切線方程x+y-6=0練習(xí)2 求曲線 在（1，-）處 的切線方程.221xy 12切線的方程為21 xy注: 學(xué)了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算后,此類題有更簡(jiǎn)單 的解法.處的導(dǎo)數(shù)在是求函數(shù)00)()(xxxfyxf如果將x0改為x,則求得的是)(xfy被稱為函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù).)(xfy如果函數(shù)y=f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)的每點(diǎn)處都有導(dǎo)數(shù)，此時(shí)對(duì)于每一個(gè)x(a,b)，都對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù) ，從而構(gòu)成了一個(gè)新的函數(shù) 稱這個(gè)函數(shù) 為函數(shù)y=f (x)在開區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)函數(shù)，簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)，也可記作 ，即)(/xf)(/xf)(/xf/y)(/xf