四年級奧數(shù)講義：容斥原理(1)

1、四年級數(shù)學(xué)講義奧數(shù)：容斥原理(1)教學(xué)目標(biāo)：1、理解容斥原理，會畫圖分析其中關(guān)系，正確的找出答案。 2、培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維和數(shù)學(xué)思考能力。 3、培養(yǎng)學(xué)生良好的書寫習(xí)慣。一、教學(xué)銜接二、教學(xué)內(nèi)容（一）知識介紹容斥問題涉及到一個重要原理包含與排除原理，也叫容斥原理。即當(dāng)兩個計數(shù)部分有重復(fù)包含時，為了不重復(fù)計數(shù)，應(yīng)從它們的和中排除重復(fù)部分。容斥原理：對n個事物，如果采用不同的分類標(biāo)準(zhǔn)，按性質(zhì)a分類與性質(zhì)b分類（如圖），那么具有性質(zhì)a或性質(zhì)b的事物的個數(shù)=NaNbNab。（二）例題精講例1、一個班有48人，班主任在班會上問：“誰做完語文作業(yè)？請舉手！”有37人舉手。又問：“誰做完數(shù)學(xué)作業(yè)？請舉手！”有

2、42人舉手。最后問：“誰語文、數(shù)學(xué)作業(yè)都沒有做完？”沒有人舉手。求這個班語文、數(shù)學(xué)作業(yè)都完成的人數(shù)?！舅悸穼?dǎo)航】完成語文作業(yè)的有37人，完成數(shù)學(xué)作業(yè)的有42人，一共有3742=79人，多于全班人數(shù)。這是因?yàn)檎Z文、數(shù)學(xué)作業(yè)都完成的人數(shù)在統(tǒng)計做完語文作業(yè)的人數(shù)時算過一次，在統(tǒng)計做完數(shù)學(xué)作業(yè)的人數(shù)時又算了一次，這樣就多算了一次。所以，這個班語文、數(shù)作業(yè)都完成的有：7948=31人。例2、某班有36個同學(xué)在一項測試中，答對第一題的有25人，答對第二題的有23人，兩題都答對的有15人。問多少個同學(xué)兩題都答得不對？【分析與解答】已知答對第一題的有25人，兩題都答對的有15人，可以求出只答對第一題的有251

3、5=10人。又已知答對第二題的有23人，用只答對第一題的人數(shù)，加上答對第二題的人數(shù)就得到至少有一題答對的人數(shù)：1023=33人。所以，兩題都答得不對的有3633=3人。例3、某班有56人，參加語文競賽的有28人，參加數(shù)學(xué)競賽的有27人，如果兩科都沒有參加的有25人，那么同時參加語文、數(shù)學(xué)兩科競賽的有多少人？【分析與解答】要求兩科競賽同時參加的人數(shù)，應(yīng)先求出至少參加一科競賽的人數(shù)：5625=31人，再求兩科競賽同時參加的人數(shù)：282731=24人。例4、1到100的自然數(shù)中，既不是5的倍數(shù)也不是6的倍數(shù)的數(shù)有多少個？【分析與解答】從1到100的自然數(shù)中，減去5或6的倍數(shù)的個數(shù)。從1到100的自然

4、數(shù)中，5的倍數(shù)有100÷5=20個，6的倍數(shù)有16個（100÷6=164），其中既是5的倍數(shù)又是6的倍數(shù)（即5和6的公倍數(shù)）的數(shù)有3個（100÷30=310）。因此，是6或5的倍數(shù)的個數(shù)是16203=33個，既不是5的倍數(shù)又不是6的倍數(shù)的數(shù)的個數(shù)是：10033=67個。例5、光明小學(xué)舉辦學(xué)生書法展覽。學(xué)校的櫥窗里展出了每個年級學(xué)生的書法作品，其中有24幅不是五年級的，有22幅不是六年級的，五、六年級參展的書法作品共有10幅，其他年級參展的書法作品共有多少幅？【分析與解答】由題意知，24幅作品是一、二、三、四、六年級參展作品的總數(shù)，22幅是一、二、三、四、五年級參展

5、作品的總數(shù)。2422=46幅，這是一個五、六年級和兩個一、二、三、四年級參展的作品數(shù)，從其中去掉五、六兩個年級共參展的10幅作品，即得到兩個一、二、三、四年級參展作品的總數(shù)，再除以2，即可求出其他年級參展作品的總數(shù)。（242210）÷2=18幅。三、教學(xué)練習(xí)1、五年級有122名學(xué)生參加語文、數(shù)學(xué)考試，每人至少有一門功課取得優(yōu)秀成績。其中語文成績優(yōu)秀的有65人，數(shù)學(xué)優(yōu)秀的有87人。語文、數(shù)學(xué)都優(yōu)秀的有多少人？2、五（1）班有40個學(xué)生，其中25人參加數(shù)學(xué)小組，23人參加科技小組，有19人兩個小組都參加了。那么，有多少人兩個小組都沒有參加？3、一個旅行社有36人，其中會英語的有24人，會

6、法語的有18人，兩樣都不會的有4人。兩樣都會的有多少人？4、在1到200的全部自然數(shù)中，既不是5的倍數(shù)又不是8的倍數(shù)的數(shù)有多少個？5、科技節(jié)那天，學(xué)校的科技室里展出了每個年級學(xué)生的科技作品，其中有110件不是一年級的，有100件不是二年級的，一、二年級參展的作品共有32件。其他年級參展的作品共有多少件？四、教學(xué)小結(jié)六、課后練習(xí)1、學(xué)校文藝組每人至少會演奏一種樂器，已知會拉手風(fēng)琴的有24人，會彈電子琴的有17人，其中兩種樂器都會演奏的有8人。這個文藝組一共有多少人？2、某校選出50名學(xué)生參加區(qū)作文比賽和數(shù)學(xué)比賽，結(jié)果3人兩項比賽都獲獎了，有27人兩項比賽都沒有獲獎。已知作文比賽獲獎的有14人，問數(shù)學(xué)比賽獲獎的有多少人？3、三年級一班參加合唱隊的有40人，參加舞蹈隊的有20人，既參加合唱隊又參加舞蹈隊的有14人。這兩隊都沒有參加的有10人。請算一算，這個班共有多少人？4、在1到130的全部自然數(shù)中，既不是6的倍數(shù)又不是