第七章 數(shù)值積分

1、1/47第七章 數(shù)值積分 1 引言 2 牛頓柯特斯公式 3 復(fù)合牛頓柯特斯公式 4 龍貝格算法2/47本章要求 1. 理解數(shù)值求積的基本思想，掌握求積余項(xiàng)和代數(shù)精度的概念 2. 掌握梯形公式，Simpson公式及其誤差估計(jì)；了解Cotes公式; 3. 掌握復(fù)合梯形公式，復(fù)合Simpson公式及其誤差估計(jì)，了解復(fù)合Newton-Cotas公式； 4. 掌握龍貝格算法。3/471 引言 本節(jié)內(nèi)容 一. 數(shù)值求積的必要性 二. 構(gòu)造數(shù)值求積公式的基本方法 三. 求積公式的余項(xiàng) 四. 求積公式的代數(shù)精度4/471 引言 一. 數(shù)值求積的必要性)(.)()()(. 3_,)(. 2sin,sin. 1:

2、)()()()()(:10102ninibabababaxfxfxfxfxxxxLNxfdtttdxxaFbFxFdxxfILeibnizNewton表表格格函函數(shù)數(shù)公公式式。不不好好使使用用復(fù)復(fù)雜雜時(shí)時(shí)難難積積。當(dāng)當(dāng)?shù)鹊取７e積不不出出。如如問問題題公公式式萊萊布布尼尼茲茲牛牛頓頓求求積積分分 5/471 引言0:( )( )( )nbiiaiiiIf x dxA f xxf xA二、構(gòu)造數(shù)值求積公式的基本方法希望用近似、簡(jiǎn)單有效方法求數(shù)值求積公式一般形式為：求積節(jié)點(diǎn)常數(shù)，與無關(guān)求積系數(shù)6/471 引言基函數(shù)?；瘮?shù)。為為。，其中其中插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式的的關(guān)于關(guān)于是是設(shè)設(shè)插值插值，已知已知L

3、agrangenkxxxxxlxfxlxLLagrangexxxxxfxLxRxPxfnkxfxnklllklkknkknnnnkk,.,1 , 0)(:)()()(,.,)()(:)()()(:).210()(,(, 00210 7/47000,0( )( )( )( )( )( ) ()()( )(1.1)( )(0,1,2, )( )()bbbnaaabbnaannbbkkkkaakknbbliiaalkll knbkkakf x dxP x dxR x dxf x dxP x dxlx f x dxf xlx dxxxAl x dxdxinxxf x dxA f x積分：，略去余項(xiàng)記（

4、系數(shù)由節(jié)點(diǎn)唯一確定）則插值型求積公式1 引言8/471 引言)()(:0fRxfAdxxfibanii 形形式式帶帶余余項(xiàng)項(xiàng)（截截?cái)鄶嗾`誤差差）的的三三、求求積積公公式式的的余余項(xiàng)項(xiàng)截?cái)嗾`差截?cái)嗾`差9/471 引言(1)11010( ) ( )( )(1.4)(1)!( )()().()( , )1(0,1,. )( )()nbbnaannknbkkakfR fR x dxx dxnxxxxxxxa bnx knf x dxA f xn插值型求積公式，其截?cái)嗾`差為：其中，。定理：含有個(gè)節(jié)點(diǎn)的插值型求積公式的代數(shù)精度至少為 。10/471 引言01( )( )1( ) ( )( )21nbiia

5、imbaf x dxA f xmxmbaf x dxf af bm四、求積公式的代數(shù)精度定義：若求積公式對(duì)任意不高于次的代數(shù)多項(xiàng)式都準(zhǔn)確地成立，而對(duì)于卻不能準(zhǔn)確地成立，則稱該求積公式的代數(shù)精度為 。例：梯形公式的代數(shù)精度。11/472 牛頓柯特斯公式 本節(jié)內(nèi)容 一. 牛頓柯特斯公式 二. 牛頓柯特斯公式余項(xiàng) 三. 牛頓柯特斯公式的數(shù)值穩(wěn)定性和收斂性12/47)(0,0,0)()(, 1 , 0,nknnkiibankiiikibaiiiCabdtikithdxxxxxdxxlAthaxnabhCotesNewtonninabiaxba ，則則求求積積系系數(shù)數(shù)為為，令令設(shè)設(shè)求求積積公公式式。稱稱

6、之之為為應(yīng)應(yīng)用用最最方方便便、最最廣廣泛泛，的的插插值值型型求求積積公公式式，上上在在積積公公式式節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)等等距距時(shí)時(shí)的的插插值值型型求求2 牛頓柯特斯公式 一. 牛頓柯特斯(Newton-Cotes)公式13/472 牛頓柯特斯公式( )( )000,( )0()( 1)!()!(1)(1)(1)()1( 1)(), (0, )!()!( )()()(2.2)nkn knknn knnii knbnkkakCCotesCn k nkt ttktktn dtti dtknn k nkNCf x dxbaCf x 其中為柯特斯系數(shù)一般的公式：14/472 牛頓柯特斯公式2881996251442

7、5144259625288195907451615245169074818383813616461221211)()()(nknkCnCCotes獲獲得得?？煽捎糜蒙仙厦婷娴牡氖绞阶幼踊蚧虿椴楸肀硐迪禂?shù)數(shù)柯柯特特斯斯15/472 牛頓柯特斯公式。其其中中，時(shí)時(shí)，五五點(diǎn)點(diǎn)柯柯特特斯斯公公式式代代數(shù)數(shù)精精度度拋拋物物線線公公式式公公式式時(shí)時(shí)，三三點(diǎn)點(diǎn)辛辛普普生生代代數(shù)數(shù)精精度度時(shí)時(shí)，兩兩點(diǎn)點(diǎn)梯梯形形公公式式公公式式常常用用的的幾幾個(gè)個(gè))4 , 3 , 2 , 1 , 0(4)(7)(32)(12)(32)(790)(4. 33)()2(4)(6)()()(2. 21)()(2)(1. 143210

8、 kabkaxxfxfxfxfxfabdxxfnmbfbafafabdxxfSimposnnmbfafabdxxfnCotesNewtonkbababa16/472 牛頓柯特斯公式ab0 xy)(xfy ab02ba y)(xfy x17/472 牛頓柯特斯公式 二. 牛頓柯特斯(Newton-Cotes)公式余項(xiàng)。其其中中，上上連連續(xù)續(xù)，則則余余項(xiàng)項(xiàng)為為在在若若柯柯特特斯斯公公式式上上連連續(xù)續(xù)，則則余余項(xiàng)項(xiàng)為為在在若若辛辛普普生生公公式式上上連連續(xù)續(xù)，則則余余項(xiàng)項(xiàng)為為在在若若梯梯形形公公式式差差為為：常常用用求求積積公公式式的的截截?cái)鄶嗾`誤),()(49458,)(:. 3)(2901,)(

9、:. 2)(12)(,)(:. 1)6(74)6()4(52)4(31bafabfRbaxffabfRbaxffabfRbaxf 18/472 牛頓柯特斯公式是是偶偶數(shù)數(shù)的的情情形形。量量選選用用精精度度又又節(jié)節(jié)約約時(shí)時(shí)間間，應(yīng)應(yīng)盡盡被被積積函函數(shù)數(shù)，為為了了既既保保證證因因此此，對(duì)對(duì)于于充充分分光光滑滑的的次次代代數(shù)數(shù)精精度度二二階階和和三三階階公公式式具具有有五五次次代代數(shù)數(shù)精精度度二二階階和和三三階階公公式式具具有有三三一一階階公公式式有有一一次次精精度度例例如如：證證明明略略為為奇奇數(shù)數(shù)，為為偶偶數(shù)數(shù)，為為柯柯特特斯斯公公式式的的代代數(shù)數(shù)精精度度階階牛牛頓頓代代數(shù)數(shù)精精度度nnnnnm

10、n 119/472 牛頓柯特斯公式 三. 牛頓柯特斯公式的數(shù)值穩(wěn)定性和收斂性 求積公式(1.3)的數(shù)值穩(wěn)定性是指 f(xk)的誤差對(duì)數(shù)值積分結(jié)果的影響。若影響很大，則稱該數(shù)值求積公式不穩(wěn)定。 求積公式的結(jié)點(diǎn)未必越多越好。因?yàn)橛幸粋€(gè)所謂的穩(wěn)定性不能設(shè)到保證。另外，對(duì)于插值型公式而言，結(jié)點(diǎn)增多會(huì)因Runge現(xiàn)象而使求積誤差增大。 定定。有有正正有有負(fù)負(fù)，高高階階時(shí)時(shí)不不穩(wěn)穩(wěn)時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)是是數(shù)數(shù)值值穩(wěn)穩(wěn)定定的的。，時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)公公式式來來說說，對(duì)對(duì)于于nkCnabECnCotesNewtonnknk, 1 , 0,8)(07)()( 20/472 牛頓柯特斯公式 2449546. 01118 . 011

11、46 . 01166 . 012470588. 01116 . 01126 . 0111. 22222216 . 02 SITIdxxI由由辛辛普普生生公公式式得得由由梯梯形形公公式式得得解解：。計(jì)計(jì)算算積積分分生生公公式式和和柯柯特特斯斯公公式式分分別別用用梯梯形形公公式式、辛辛普普例例21/472 牛頓柯特斯公式.24497866. 0112449787. 011177 . 011328 . 011127 . 011326 . 0117906 . 0116 . 016 . 0222222 xarctgdxxICI事事實(shí)實(shí)上上，積積分分的的精精確確值值由由柯柯特特斯斯公公式式得得22/472

12、 牛頓柯特斯公式兩兩位位有有效效數(shù)數(shù)字字。而而梯梯形形公公式式的的結(jié)結(jié)果果只只有有數(shù)數(shù)字字；計(jì)計(jì)算算結(jié)結(jié)果果具具有有四四位位有有效效辛辛普普生生公公式式次次之之，具具有有七七位位有有效效數(shù)數(shù)字字；，柯柯特特斯斯公公式式的的結(jié)結(jié)果果最最好好比比較較可可以以看看到到：23/473 復(fù)合牛頓柯特斯公式 本節(jié)內(nèi)容 一. 復(fù)化數(shù)值求積法 二. 復(fù)化梯形公式 三. 復(fù)化 Simpson 公式 四. 復(fù)化 Cotes 公式 五. 誤差估計(jì)24/473 復(fù)合牛頓柯特斯公式 一. 復(fù)化數(shù)值求積法 提高求積精度增加節(jié)點(diǎn) 分段使用節(jié)點(diǎn)少的Newton-Cotes公式 即所謂的復(fù)化求積公式 整體使用節(jié)點(diǎn)多的N-C公式

13、。 原因： 高次插值有時(shí)出現(xiàn)Runge現(xiàn)象，誤差更大； 節(jié)點(diǎn)增多，Ak有正有負(fù)，不能保證穩(wěn)定性。25/473 復(fù)合牛頓柯特斯公式 例3：?5956.39411.13288.32776.24902.54706.0ln10864216516.24arctan21442abnnabhnxdx 縮縮小小值值，并并不不能能解解決決問問題題。增增大大很很小小時(shí)時(shí)，誤誤差差也也小小。從從余余項(xiàng)項(xiàng)出出發(fā)發(fā)，可可知知當(dāng)當(dāng)計(jì)計(jì)算算26/473 復(fù)合牛頓柯特斯公式 復(fù)化（復(fù)合）求積公式 所謂復(fù)化求積，就是先將積分區(qū)間分成幾個(gè)小區(qū)間，并在每個(gè)小區(qū)間上用低階牛頓柯特斯公式計(jì)算積分的近似值，然后對(duì)這些近似值求和，從而得到

14、所求積分的近似值。 由此得到的一些具有更大實(shí)用價(jià)值的數(shù)值求積公式，統(tǒng)稱為復(fù)化求積公式。27/473復(fù)合牛頓柯特斯公式 二. 復(fù)化梯形公式 )()(2)(2)()(2)()()()(2)(,)(, 1 ,0,111111111bfxfafhxfxfhdxxfdxxfxfxfhdxxfxxnabhniihaxnbankknkkknkxxbakkxxkkikkkk然然后后對(duì)對(duì)各各子子區(qū)區(qū)間間求求和和。上上使使用用梯梯形形公公式式在在每每個(gè)個(gè)小小區(qū)區(qū)間間稱稱為為積積分分步步長長其其中中分分點(diǎn)點(diǎn)為為等等分分將將積積分分區(qū)區(qū)間間28/473 復(fù)合牛頓柯特斯公式bafhabTdxxfbfxfafhTdxxf

15、nbankknba ),(12)()()()(2)(2)(:211余余項(xiàng)項(xiàng)為為：復(fù)復(fù)化化梯梯形形公公式式為為29/473 復(fù)合牛頓柯特斯公式 三. 復(fù)化 Simpson 公式為為偶偶數(shù)數(shù)份份）（區(qū)區(qū)間間數(shù)數(shù)復(fù)復(fù)化化公公式式：基基本本公公式式：對(duì)對(duì)各各子子區(qū)區(qū)間間求求和和。然然后后公公式式上上使使用用在在每每個(gè)個(gè)小小區(qū)區(qū)間間nxfxfxfhxfxfxfhxfxfxfhSdxxfbfbafafabdxxfSimpsonxxnnnnbabakk)()(4)(62.)()(4)(62)()(4)(62)()()2(4)(6)(,124322101 30/473 復(fù)合牛頓柯特斯公式bafhabSdxxf

16、hkaxkhaxnabhbfxfxfafhSdxxfSimpsonnbakknkknkknba ),(2880)()()21(,)()(4)(2)(6)(:)4(421121111余余項(xiàng)項(xiàng)為為：其其中中公公式式為為復(fù)復(fù)化化31/473 復(fù)合牛頓柯特斯公式 四. 復(fù)化 Cotes 公式bafhabCdxxfhxxhxxhxxbfxfxfxfxfafhCdxxfCotesxxnbakkkkkknkknkknkknkknbakk )(4945)(2)(432141:)(7)(14)(32)(12)(32)(790)(,)6(6432141111043102110411余余項(xiàng)項(xiàng)為為：；上上式式中中然然

17、后后對(duì)對(duì)各各子子區(qū)區(qū)間間求求和和。公公式式上上使使用用在在每每個(gè)個(gè)小小區(qū)區(qū)間間32/473 復(fù)合牛頓柯特斯公式 例4：）。位位小小數(shù)數(shù)，精精確確解解為為（取取的的近近似似值值。公公式式，求求積積分分式式和和復(fù)復(fù)合合，用用復(fù)復(fù)合合梯梯形形公公包包括括區(qū)區(qū)間間端端點(diǎn)點(diǎn)個(gè)個(gè)等等距距節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)取取14159265. 3814)(9102dxxSimpson 33/473 復(fù)合牛頓柯特斯公式 141593. 331475.398232138988. 321450.2238081100000000. 214226548673. 2875. 02256000000. 275. 04287640449. 262

18、5. 02220000000. 35 . 04250684932. 3375. 02276470588. 325. 04293846154. 3125. 01100000000. 40)(125. 01010hdxxSimpsonhdxxSimpsonxfxhkk，公式，公式，對(duì)對(duì)，對(duì)梯形公式，對(duì)梯形公式，組合系數(shù)組合系數(shù)梯形組合系數(shù)梯形組合系數(shù)）解：列表如下（解：列表如下（34/473 復(fù)合牛頓柯特斯公式 五. 誤差估計(jì)？式式如如果果進(jìn)進(jìn)行行誤誤差差估估計(jì)計(jì)呢呢式式和和的的步步長長不不超超過過多多少少。由由此此就就可可估估計(jì)計(jì)出出所所需需要要？，則則由由上上式式若若要要求求誤誤差差不不超超過

19、過式式的的誤誤差差估估計(jì)計(jì)式式，則則記記CShMhabMhabfRxfMNTbxa 2222)(21212T)(max（參見本課件（參見本課件T式余項(xiàng)式余項(xiàng)）35/473 復(fù)合牛頓柯特斯公式即即可可。即即取取得得，由由則則，設(shè)設(shè)解解：不不超超過過多多少少等等分分才才能能保保證證誤誤差差需需將將，公公式式計(jì)計(jì)算算：若若用用復(fù)復(fù)合合的的例例33351051211801)(218051)()cos()()cos(sin)(?101 , 0sin564)4(4104)4(104)4(10610 nnnfhabSIdttxfdtxttxfdtxtxxxfdxxxISimpsonn 36/473 復(fù)合牛頓

20、柯特斯公式2222221()151()63nnnnnnnnSIISSS (2.21)CIICCC (2.22) 類似：作為 的近似值的截?cái)嗾`差約為作為 的近似值的截?cái)嗾`差約為37/473 復(fù)合牛頓柯特斯公式解。解。為滿足精度要求的近似為滿足精度要求的近似故故因?yàn)橐驗(yàn)榻猓航猓?。過過的近似值，使誤差不超的近似值，使誤差不超計(jì)算計(jì)算利用遞推公式利用遞推公式：例例14159202. 3,314159202. 351214094161. 31614159011. 325613898849. 3814158248. 312813117647. 3414155196. 3641 . 3214142989.

21、3323110142)12(2216512256512610212 TTTTnTndxxnabkafnabTTnnnknn 38/473 復(fù)合牛頓柯特斯公式 分析 已知對(duì)于已知對(duì)于 = 10 6 須將區(qū)間對(duì)分須將區(qū)間對(duì)分 9 次，得到次，得到 T512 = 3.14159202效效果果是是否否好好些些？，來來計(jì)計(jì)算算由由，考考察察ITTTTITITInnnnnn313414441222 483134TT = 3.141592502= S439/474 龍貝格算法 本節(jié)內(nèi)容 一. 引言 二. Romberg序列 三. Romberg算法40/474 龍貝格算法 一. 引言 科學(xué)綜合前幾節(jié)的內(nèi)容,

22、我們知道（1）梯形公式、Simpson公式、Cotes公式的代數(shù)精度分別為 1 次、3 次和 5 次；（2）復(fù)合梯形、復(fù)合Simpson、復(fù)合Cotes公式的收斂階分別為 2 階、4 階和 6 階。 無論從代數(shù)精度還是收斂速度, 復(fù)合梯形公式都是較差的。 有沒有辦法改善梯形公式呢?41/474 龍貝格算法 二. Romberg序列真真值值。斯斯序序列列更更快快收收斂斂到到積積分分一一般般龍龍貝貝格格序序列列比比柯柯特特可可以以證證明明：一一般般有有：可可以以推推廣廣到到并并且且為為：外外推推加加速速公公式式可可以以簡(jiǎn)簡(jiǎn)化化144144144, 2 , 1, 2 , 1)1()(4141)1(3

23、23222211 nnnnnnnnnmmmmmCCRSSCTTSkmmkTkTkTRomberg序序列列42/474 龍貝格算法誤誤差差階階高高誤誤差差階階低低序序列列序序列列序序列列序序列列龍龍貝貝格格柯柯特特斯斯辛辛普普生生梯梯形形區(qū)區(qū)間間等等份份數(shù)數(shù) )2()2()2()2(24)1()2()2()(223)1()2()(222)1(2)21(1)20223442332210 RCSTRCSTCSTSTTNkk43/474 龍貝格算法 三. Romberg算法 ? ? ? T1 =)0(0T T8 =)3(0T T4 =)2(0T T2 =)1(0T S1 =)0(1T R1 =)0(3T S2 =)1(1T C1 =)0(2T C2 =)1(2T S4 =)2(1TRomberg算法的代數(shù)精度為算法的代數(shù)