自動(dòng)控制原理 第8章非線性控制系統(tǒng)分析

1、1 第八章第八章 非線性控制系統(tǒng)分析非線性控制系統(tǒng)分析 8-1非線性控制系統(tǒng)概述非線性控制系統(tǒng)概述 線性控制系統(tǒng)是指系統(tǒng)中所有環(huán)節(jié)的輸入輸出都呈線性關(guān)線性控制系統(tǒng)是指系統(tǒng)中所有環(huán)節(jié)的輸入輸出都呈線性關(guān)系系, 若有的環(huán)節(jié)所具有的非線性特性不很強(qiáng)烈若有的環(huán)節(jié)所具有的非線性特性不很強(qiáng)烈, 且可對(duì)其線性化且可對(duì)其線性化, 則也可當(dāng)作線性環(huán)節(jié)處理則也可當(dāng)作線性環(huán)節(jié)處理. 但如此處理后但如此處理后, 應(yīng)使對(duì)系統(tǒng)的分析和應(yīng)使對(duì)系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)的精度滿足工程上的要求設(shè)計(jì)的精度滿足工程上的要求. 系統(tǒng)中只要有一個(gè)環(huán)節(jié)的非線性特性很強(qiáng)烈系統(tǒng)中只要有一個(gè)環(huán)節(jié)的非線性特性很強(qiáng)烈, 對(duì)其線性化對(duì)其線性化將影響對(duì)系統(tǒng)分析

2、和設(shè)計(jì)的精度或者非線性環(huán)節(jié)屬本質(zhì)非線性無將影響對(duì)系統(tǒng)分析和設(shè)計(jì)的精度或者非線性環(huán)節(jié)屬本質(zhì)非線性無法對(duì)其線性化法對(duì)其線性化, 則只能用非線性理論對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析和設(shè)計(jì)則只能用非線性理論對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析和設(shè)計(jì). 在工程實(shí)際中在工程實(shí)際中, 大多數(shù)被控對(duì)象都具有非線性特性大多數(shù)被控對(duì)象都具有非線性特性,因此學(xué)因此學(xué)習(xí)和研究非線性控制理論具有很現(xiàn)實(shí)的意義習(xí)和研究非線性控制理論具有很現(xiàn)實(shí)的意義. 在某些情況下在某些情況下, 在在線性控制系統(tǒng)人為地加入適當(dāng)?shù)姆蔷€性因素反而有利于控制質(zhì)量線性控制系統(tǒng)人為地加入適當(dāng)?shù)姆蔷€性因素反而有利于控制質(zhì)量的提高的提高.2 在系統(tǒng)中在系統(tǒng)中, 只要有一個(gè)環(huán)節(jié)或元件有非線性特性

3、只要有一個(gè)環(huán)節(jié)或元件有非線性特性, 則整個(gè)系統(tǒng)就叫非線性系統(tǒng)則整個(gè)系統(tǒng)就叫非線性系統(tǒng), 如下圖所示如下圖所示.)(te)(tu00u0u)(te)(tr)(tu)(tc)(sG上圖中上圖中, 大方框表示一具有理想繼電特性的非線性環(huán)節(jié)大方框表示一具有理想繼電特性的非線性環(huán)節(jié),)(sG表示非線性系統(tǒng)中線性部分的傳遞函數(shù)表示非線性系統(tǒng)中線性部分的傳遞函數(shù). 非線性的特性是各種各樣的非線性的特性是各種各樣的, 教材教材P.350圖圖8-1及及P.379表表8-1給出了一些工程上常見的典型非線性特性給出了一些工程上常見的典型非線性特性. 3飽和特性飽和特性 在電子放大器中常見的一種非線性，如在電子放大器

4、中常見的一種非線性，如圖圖81所示，所示， 飽和裝置的輸入特飽和裝置的輸入特性的數(shù)學(xué)描述如下：性的數(shù)學(xué)描述如下： )()()(0tsigneketketx00)()(eteete(8-1)xekbe0-e0 圖圖81 飽和特性飽和特性 4死區(qū)特性死區(qū)特性 死區(qū)特性也稱為不靈敏區(qū)，如圖死區(qū)特性也稱為不靈敏區(qū)，如圖8-28-2所示。所示。其其數(shù)學(xué)描述數(shù)學(xué)描述如下：如下： )()(0)(0tsigneetektx00)()(eteeteX(t)e(t)e0-e0k 圖圖82 死區(qū)特性死區(qū)特性(8-3)5間隙間隙如圖如圖8-3所示，它的所示，它的數(shù)學(xué)描述數(shù)學(xué)描述如下：如下：)()()()(00tbsi

5、gneeteketektxX(t)0X(t)0,ee0; e(t)-e0e0,ee0; e0,e0, ee0eme0e0, -meee0e0, -e0e0, e-mee0, e-e0.xe-e0 -me00me0e0M圖圖8-4(d) 具磁滯回環(huán)和死區(qū)的繼電特性具磁滯回環(huán)和死區(qū)的繼電特性 (8-8)10 1）相平面法是用圖解的方法分析一階，二階非線相平面法是用圖解的方法分析一階，二階非線性系統(tǒng)的方法。通過繪制控制系統(tǒng)相軌跡，達(dá)到分性系統(tǒng)的方法。通過繪制控制系統(tǒng)相軌跡，達(dá)到分析非線性系統(tǒng)特性的方法。析非線性系統(tǒng)特性的方法。 2）描述函數(shù)法是受線性系統(tǒng)頻率法啟發(fā)，而發(fā)描述函數(shù)法是受線性系統(tǒng)頻率法啟

6、發(fā)，而發(fā)展出的一種分析非線性系統(tǒng)的方法。它是一種諧波展出的一種分析非線性系統(tǒng)的方法。它是一種諧波線性化的分析方法，是頻率法在非線性系統(tǒng)分析中線性化的分析方法，是頻率法在非線性系統(tǒng)分析中的推廣。的推廣。 3 3）計(jì)算機(jī)求解法是利用計(jì)算機(jī)運(yùn)算能力和高速計(jì)算機(jī)求解法是利用計(jì)算機(jī)運(yùn)算能力和高速度對(duì)非線性微分方程的一種數(shù)值解法。度對(duì)非線性微分方程的一種數(shù)值解法。 研究非線性系統(tǒng)的方法研究非線性系統(tǒng)的方法11數(shù)有關(guān)數(shù)有關(guān), 還與系統(tǒng)的初始狀態(tài)及輸入信號(hào)的形式和大小有還與系統(tǒng)的初始狀態(tài)及輸入信號(hào)的形式和大小有關(guān)關(guān). 由于非線性控制系統(tǒng)的基本數(shù)學(xué)模型是非線性微分方程由于非線性控制系統(tǒng)的基本數(shù)學(xué)模型是非線性微分

7、方程, 而而從數(shù)學(xué)上講從數(shù)學(xué)上講, 非線性微分方程沒有一個(gè)統(tǒng)一的解法非線性微分方程沒有一個(gè)統(tǒng)一的解法, 再由于再由于第二個(gè)特征第二個(gè)特征, 對(duì)非線性控制系統(tǒng)也沒有一個(gè)統(tǒng)一的分析和設(shè)對(duì)非線性控制系統(tǒng)也沒有一個(gè)統(tǒng)一的分析和設(shè)計(jì)的方法計(jì)的方法, 只能具體問題具體對(duì)待只能具體問題具體對(duì)待. 本章將介紹的分析非線性控制系統(tǒng)的相平面法和描述函數(shù)法本章將介紹的分析非線性控制系統(tǒng)的相平面法和描述函數(shù)法, 是在非線性控制系統(tǒng)滿足一定的條件下是在非線性控制系統(tǒng)滿足一定的條件下, 將線性控制理論的某將線性控制理論的某些內(nèi)容給以擴(kuò)充和變通后得出的些內(nèi)容給以擴(kuò)充和變通后得出的, 因此具有一定的局限性因此具有一定的局限性

8、.8-2非線性控制系統(tǒng)的特征非線性控制系統(tǒng)的特征 非線性控制系統(tǒng)有如下兩個(gè)基本特征非線性控制系統(tǒng)有如下兩個(gè)基本特征: (1)非線性控制系統(tǒng)的基本數(shù)學(xué)模型是非線性微分方程非線性控制系統(tǒng)的基本數(shù)學(xué)模型是非線性微分方程 (2)非線性控制系統(tǒng)的性能不僅與系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參非線性控制系統(tǒng)的性能不僅與系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參12非線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)(一)穩(wěn)定性 與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)及系統(tǒng)的輸入信號(hào)和初始條件有關(guān)。 研究時(shí)應(yīng)注意： 1、系統(tǒng)的初始條件； 2、系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。13非線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)tE0e(t)(二)系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)形式 某些非線性系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)形式與系統(tǒng)的初始狀態(tài)有關(guān)。14 非線性系統(tǒng)，在初始狀

9、態(tài)的激勵(lì)下，可以產(chǎn)生固定振幅和固定頻率的周期振蕩，這種周期振蕩稱為非線性系統(tǒng)的自激振蕩或極限環(huán)。非線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)(三)極限環(huán)（自激振蕩）15e(t)頻率0振幅K 0K K =0K非線性彈簧M重物粘性阻尼器B系統(tǒng)微分方程：M +B +Kx+ x =0K3x.x.(四)頻率響應(yīng)16系統(tǒng)進(jìn)行強(qiáng)迫振蕩實(shí)驗(yàn)時(shí)的微分方程是：M +B +Kx+ x =Pcoswt K3x.x.17頻率響應(yīng)具有硬彈簧的機(jī)械系統(tǒng)00 x123465K 0具有軟彈簧的機(jī)械系統(tǒng)040 x51326K 0,相軌跡如下圖相軌跡如下圖xx0),(00 xxA) , (00 xxB系統(tǒng)從任一初始點(diǎn)出發(fā)系統(tǒng)從任一初始點(diǎn)出發(fā), 均將沿相軌

10、均將沿相軌跡收斂于原點(diǎn)跡收斂于原點(diǎn). 當(dāng)當(dāng)T0.8, 則則:22 . 14 . 0ee區(qū)域區(qū)域)1/(4.0:e, 所有相軌跡趨所有相軌跡趨近于近于4.0e的水平直線的水平直線.區(qū)域區(qū)域)1/(2.1:e, 所有相軌跡趨所有相軌跡趨近于近于2.1e的水平直線的水平直線.區(qū)域區(qū)域)1/(2:e, 所有相軌跡趨近于所有相軌跡趨近于2e的水平直線的水平直線.3502 .104 .0e1 . 02 . 0e01 .02 .002相軌跡圖見下圖相軌跡圖見下圖.由上圖可見由上圖可見, 當(dāng)初始偏差位置在當(dāng)初始偏差位置在0p1p2p3p0p點(diǎn)時(shí)點(diǎn)時(shí), 系統(tǒng)將沿系統(tǒng)將沿3210pppp軌線運(yùn)動(dòng)軌線運(yùn)動(dòng), 當(dāng)當(dāng)t

11、時(shí)時(shí),)(e4.0)(e, 顯然系統(tǒng)不穩(wěn)定顯然系統(tǒng)不穩(wěn)定.362 . 08 . 01 . 00b)當(dāng)當(dāng)R=0.8,則則區(qū)域區(qū)域6 . 18 . 00ee1,0)1(:e, 相軌跡在相軌跡在平面上任一點(diǎn)的斜率均為平面上任一點(diǎn)的斜率均為-1,相軌跡為一簇相軌跡為一簇區(qū)域區(qū)域8.0,0),1/(8.0ee, 所有相所有相8.0eee08 .01 .02 .0區(qū)域區(qū)域,0),1/(6.1:e, 所有相軌跡趨近于所有相軌跡趨近于6.1e:軌跡趨近于軌跡趨近于6.1e直線直線.6.100p1p2p3p斜率為斜率為-1的直線的直線.37c)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí), 分段線性化方程如下分段線性化方程如下:8.044.00m

12、R2 . 14 . 04 . 0ee區(qū)域區(qū)域)1/(4.0,4.0)1(:ee4.0,0e,所有相軌跡趨近于所有相軌跡趨近于4.0e的水平直線的水平直線.04 .004 .0e1 . 02 . 0e01 .02 .002 .1同理可得區(qū)域同理可得區(qū)域的相軌跡簇的相軌跡簇和區(qū)域和區(qū)域的相軌跡簇的相軌跡簇. 從某一初始點(diǎn)從某一初始點(diǎn)0p出發(fā)出發(fā)的相軌跡見下圖的相軌跡見下圖543210pppppp0p1p2p3p4p5p, 存在極限環(huán)存在極限環(huán)54pp38 例例2. 速度反饋對(duì)繼電型系統(tǒng)的性能影響速度反饋對(duì)繼電型系統(tǒng)的性能影響 設(shè)有下圖所示無速度反饋的理想繼電型非線性系統(tǒng)設(shè)有下圖所示無速度反饋的理想

13、繼電型非線性系統(tǒng).00m0mme)(tr)(te)(tm) 1(TssK)(tc)(1)(ttr分段線性化方程分段線性化方程為為:0,0,00eKmeKmKmeeT區(qū)域區(qū)域:0Kme ee0)1/(0TKme:0Km, 其上相軌跡如左圖其上相軌跡如左圖.區(qū)域區(qū)域:0),1/(0TKme0,0Kme0Km, 其上相軌跡如坐圖其上相軌跡如坐圖. 從任一從任一初始點(diǎn)初始點(diǎn)0p出發(fā)的相軌跡也見左圖出發(fā)的相軌跡也見左圖0543210pppppp4p5p0p1p3p2p, 系統(tǒng)呈衰減振蕩系統(tǒng)呈衰減振蕩, 振蕩時(shí)間較長振蕩時(shí)間較長.39其它參數(shù)不變其它參數(shù)不變, 有速度反饋的理想繼電型非線性系統(tǒng)見有速度反饋

14、的理想繼電型非線性系統(tǒng)見下圖下圖.00m0mmf)(tr)(te)(tm) 1(TssK)(tc)(tfscecettr1)(1)(eefcef分段線性化方程為分段線性化方程為:0,0,00eefKmeefKmKmeeT兩區(qū)域的分界線即開關(guān)兩區(qū)域的分界線即開關(guān)0ee線方程為線方程為:即斜率即斜率為為/ 1過原點(diǎn)的直線過原點(diǎn)的直線,ee0/ ee 區(qū)域區(qū)域:0,0Kme0Km0區(qū)域區(qū)域:0,0Kme 0Km0與無速度反饋相比與無速度反饋相比, 開關(guān)線向左開關(guān)線向左傾斜了一個(gè)角度傾斜了一個(gè)角度.40兩個(gè)區(qū)域的相軌跡簇見下圖兩個(gè)區(qū)域的相軌跡簇見下圖. 兩區(qū)域中各自分別總有一兩區(qū)域中各自分別總有一ee

15、0/ ee 0Km00Km01a2a條相軌跡與開關(guān)線切于條相軌跡與開關(guān)線切于21,aa兩點(diǎn)兩點(diǎn). 當(dāng)相軌跡曲線與開關(guān)線當(dāng)相軌跡曲線與開關(guān)線交于交于21aa線段內(nèi)時(shí)線段內(nèi)時(shí), 系統(tǒng)狀態(tài)系統(tǒng)狀態(tài)必將沿開關(guān)線迅速滑向原點(diǎn)必將沿開關(guān)線迅速滑向原點(diǎn).如左圖所示如左圖所示.0p1p如如繼電非理想繼電非理想,即開關(guān)在切換時(shí)有滯后即開關(guān)在切換時(shí)有滯后, 則則相軌跡在相軌跡在21aa線段內(nèi)時(shí)線段內(nèi)時(shí), 系統(tǒng)狀態(tài)呈抖動(dòng)式地滑向原點(diǎn)系統(tǒng)狀態(tài)呈抖動(dòng)式地滑向原點(diǎn),出現(xiàn)小幅振蕩出現(xiàn)小幅振蕩. 由上分析可知由上分析可知, 有速度反饋的繼電型非線有速度反饋的繼電型非線性系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能比無速度反饋的繼電型非線的動(dòng)態(tài)性性系統(tǒng)的動(dòng)

16、態(tài)性能比無速度反饋的繼電型非線的動(dòng)態(tài)性能要好能要好. 8-4描述函數(shù)法描述函數(shù)法 1. 描述函數(shù)的基本概念描述函數(shù)的基本概念 描述函數(shù)法又叫諧波線性化法描述函數(shù)法又叫諧波線性化法.41非線性系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)可由下圖所示非線性系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)可由下圖所示.描述函數(shù)法的基本思想是用某一數(shù)學(xué)方法描述函數(shù)法的基本思想是用某一數(shù)學(xué)方法, 將非線性系將非線性系統(tǒng)諧波線性化后統(tǒng)諧波線性化后, 引用分析線性系統(tǒng)的頻率響應(yīng)法引用分析線性系統(tǒng)的頻率響應(yīng)法. 為為此此, 非線性系統(tǒng)本身必須滿足以下幾個(gè)條件非線性系統(tǒng)本身必須滿足以下幾個(gè)條件: (1)非線性環(huán)節(jié)非線性環(huán)節(jié)N的特性不是時(shí)間的函數(shù)的特性不是時(shí)間的函數(shù), 即是非

17、時(shí)變即是非時(shí)變的的;)(te)(tr)(ty)(tc)(2sG)(1sGN)(tx)(sH(2)非線性環(huán)節(jié)的輸入信號(hào)非線性環(huán)節(jié)的輸入信號(hào))(tx是幅值為是幅值為A的正弦信號(hào)的正弦信號(hào),不包含恒定直流分量不包含恒定直流分量; (3)非線性環(huán)節(jié)的輸出信號(hào)非線性環(huán)節(jié)的輸出信號(hào))(ty一般情況下是非正弦信一般情況下是非正弦信號(hào)號(hào), 從付里葉級(jí)數(shù)角度看從付里葉級(jí)數(shù)角度看, 它是直流分量它是直流分量 0y, 一次諧波即一次諧波即基波分量基波分量)(1ty及高次諧波分量及高次諧波分量),(),(32tyty的疊加的疊加. 8-4 描述函數(shù)法描述函數(shù)法(諧波線性化法諧波線性化法) 1. 描述函數(shù)的基本概念描述

18、函數(shù)的基本概念 42如線性如線性部分具有良好的低通慮波特性部分具有良好的低通慮波特性, 能將能將y(t)中的高次諧波中的高次諧波分量慮有效地慮掉分量慮有效地慮掉, 則可近似認(rèn)為只有則可近似認(rèn)為只有y(t)中的一次諧波分量中的一次諧波分量y1(t)沿閉環(huán)通道傳送沿閉環(huán)通道傳送; (4)要求沿閉環(huán)通道傳送的信號(hào)不能有要求沿閉環(huán)通道傳送的信號(hào)不能有)(ty的直流分的直流分量量0y, 因此非線性環(huán)節(jié)的特性必須斜對(duì)稱因此非線性環(huán)節(jié)的特性必須斜對(duì)稱, 即滿足如下即滿足如下關(guān)系式關(guān)系式:)()(xfxf, 則則)(ty的直流分量的直流分量00y 2. 描述函數(shù)的定義描述函數(shù)的定義 非線性環(huán)節(jié)輸出信號(hào)一次諧波

19、分量與輸入正弦信號(hào)非線性環(huán)節(jié)輸出信號(hào)一次諧波分量與輸入正弦信號(hào)的復(fù)數(shù)比定義為非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)的復(fù)數(shù)比定義為非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù), 即即:)21(11jeAYN 式式(21)中中:N為非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)為非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù);A是非線性環(huán)節(jié)正是非線性環(huán)節(jié)正)(tx弦輸入信號(hào)弦輸入信號(hào)的幅值的幅值;1Y為非線性環(huán)節(jié)輸出信為非線性環(huán)節(jié)輸出信號(hào)一次諧波分量的幅值號(hào)一次諧波分量的幅值;1輸出一次諧波分量和輸出一次諧波分量和輸入正弦信號(hào)的初相位之差輸入正弦信號(hào)的初相位之差.43描述函數(shù)式描述函數(shù)式(21)的一般計(jì)算公式如下的一般計(jì)算公式如下.設(shè)非線性環(huán)節(jié)輸入正弦信號(hào)設(shè)非線性環(huán)節(jié)輸入正弦信號(hào)tAtxw

20、sin)(, 非線性環(huán)節(jié)非線性環(huán)節(jié)的非正弦輸出信號(hào)經(jīng)付里葉級(jí)數(shù)展開后可表為的非正弦輸出信號(hào)經(jīng)付里葉級(jí)數(shù)展開后可表為:10)sincos()(nnntnBtnAytyww根據(jù)上述條件根據(jù)上述條件(4) 有有:, 00y根據(jù)上述條件根據(jù)上述條件(3) 有有:tBtAtywwsincos)(111上式中上式中:wwww201201sin)(1,cos)(1ttdtyBttdtyA因此因此)sin()(111wtYty, 左式中左式中:)/(,111121211BAtgBAY, 從而描述函數(shù)式從而描述函數(shù)式(21)表為表為)22(11)/(1111AAjABeAYNBAjtg44描述函數(shù)的特性描述函數(shù)

21、的特性: (1)當(dāng)非線性環(huán)節(jié)包含儲(chǔ)能元件時(shí)當(dāng)非線性環(huán)節(jié)包含儲(chǔ)能元件時(shí), 其輸出與輸入信其輸出與輸入信號(hào)的幅值和頻率有關(guān)號(hào)的幅值和頻率有關(guān), 故故N也是輸入信號(hào)幅值和頻率的函也是輸入信號(hào)幅值和頻率的函數(shù)數(shù), 可用可用),(wAN表示表示; (2)工程上大多數(shù)非線性環(huán)節(jié)包含儲(chǔ)能元件工程上大多數(shù)非線性環(huán)節(jié)包含儲(chǔ)能元件, 它們的輸它們的輸出信號(hào)僅與輸入信號(hào)的幅值有關(guān)出信號(hào)僅與輸入信號(hào)的幅值有關(guān), 故故N也僅是輸入信號(hào)幅也僅是輸入信號(hào)幅值的函數(shù)值的函數(shù), 可用可用)(AN表示表示; (3)若非線性環(huán)節(jié)是單值函數(shù)若非線性環(huán)節(jié)是單值函數(shù), 則其描述函則其描述函N是實(shí)數(shù)是實(shí)數(shù),若非線性環(huán)節(jié)是多值函數(shù)若非線性環(huán)

22、節(jié)是多值函數(shù), 則其描述函則其描述函N是復(fù)數(shù)是復(fù)數(shù);(4)若非線性環(huán)節(jié)輸出若非線性環(huán)節(jié)輸出)( )( )(tytyty, 其中其中)( )( ),( )( xftyxfty, 且它們都是單值非線性且它們都是單值非線性, 描述描述函數(shù)分別為函數(shù)分別為 , NN, 則此非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)為則此非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)為 NNN45特性特性(4)可用下圖說明可用下圖說明: 采用描述函數(shù)法研究非線性系統(tǒng)采用描述函數(shù)法研究非線性系統(tǒng), 其優(yōu)點(diǎn)是不管非其優(yōu)點(diǎn)是不管非線性系統(tǒng)的線性部分是幾階的線性系統(tǒng)的線性部分是幾階的, 它均能被采用它均能被采用. 但用它但用它研究問題的范圍僅限于分析和校正非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性

23、研究問題的范圍僅限于分析和校正非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性,穩(wěn)定性的性質(zhì)穩(wěn)定性的性質(zhì), 如自激振蕩的穩(wěn)定性和振蕩參數(shù)如自激振蕩的穩(wěn)定性和振蕩參數(shù). 不能不能研究非線性系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)性能研究非線性系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)性能, 且非線性系統(tǒng)無外加且非線性系統(tǒng)無外加輸入信號(hào)輸入信號(hào), 線性部分要具有良好的低通慮波特性線性部分要具有良好的低通慮波特性, 以滿以滿足分析的精度要求足分析的精度要求.hh)( ty)(txkk00m0mhh)(ty)(txkk00m0m)( ty)(tx046 3. 典型非線性特性描述函數(shù)的求取舉例典型非線性特性描述函數(shù)的求取舉例 飽和非線性是最常見的一種非線性特性飽和非線性是最常見的一種非

24、線性特性, 如各類放如各類放大器就具有飽和非線性特性大器就具有飽和非線性特性, 其輸入輸出關(guān)系可用下圖其輸入輸出關(guān)系可用下圖表示表示.)(ty)(txkkakaaa0)(txAtwA022)(tytwkaka022由圖可見由圖可見, 當(dāng)當(dāng)wt時(shí)時(shí),atAtxwsin)(即即:)/(sin1Aa因非線性為斜對(duì)稱因非線性為斜對(duì)稱, 輸出輸出)(ty可分段表為可分段表為:wwwwwttkAtkattkAtysin0sin)(對(duì)對(duì))(ty進(jìn)行付里葉分解進(jìn)行付里葉分解, 由于非線性斜對(duì)稱由于非線性斜對(duì)稱故故00y, 取分解后的一次諧波取分解后的一次諧波, 有有:www201cos)(1ttdtyA,由于

25、由于)( tyw為奇函數(shù)為奇函數(shù),twcos為偶函數(shù)為偶函數(shù)所以所以01A47由于由于為奇函數(shù)為奇函數(shù), 則則twsinttywwsin)(為偶函數(shù)為偶函數(shù), 所以所以)cossincos2(4)sin)(sin(4sin)(12/02/02201wwwwwwwwwwwtkatttkAttdkatdtkAttdtyB)/(1(sin2)/(10()/(1(sin24)/(1cos/sin2122112AaAaAakAAakaAaAaAakABAaAaaAkaAAaAaAakeAYANBAtgBBAYj)/(1)/(sin2)(0)/(,2111111121211148求取描述函數(shù)的其它例子請見

26、教材求取描述函數(shù)的其它例子請見教材P.376P.379, 工程上工程上常見的非線性特性及其描述函數(shù)見教材常見的非線性特性及其描述函數(shù)見教材P.379P.380表表8-1. 4. 非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的描述函數(shù)法非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的描述函數(shù)法 設(shè)一非線性系統(tǒng)方框圖如下所示設(shè)一非線性系統(tǒng)方框圖如下所示.)(te)(tr)(ty)(tc)(2wjG)(1wjG)(AN)(tx)(wjH)( ty令系統(tǒng)在虛線處開環(huán)令系統(tǒng)在虛線處開環(huán), 且假設(shè)且假設(shè)tYtywsin)(1, 則則)23()(sin)()(1wwwtYjGtx式式(23)中中,)()()()()()()()()(2121wwwwwwww

27、wjHjGjGjGjHjGjGjG設(shè)設(shè))(1)()(AjeAMAN, 式式中中A是是)(tx的幅值的幅值, 則則)24()()() 12(sin)()()()(sin)()()( 1111AntYjGAMAtYjGAMtywwwwww49若系統(tǒng)產(chǎn)生振蕩若系統(tǒng)產(chǎn)生振蕩, 則有則有, 比較式比較式(23)和式和式(24)()( tyty可得系統(tǒng)產(chǎn)生振蕩的條件為可得系統(tǒng)產(chǎn)生振蕩的條件為:ww) 12()()(1)()(1nAjGAM非線性系統(tǒng)產(chǎn)生自激振蕩的上述條件非線性系統(tǒng)產(chǎn)生自激振蕩的上述條件, 也可表為也可表為:)(/1)(ANjGw的形式的形式, 推導(dǎo)如下推導(dǎo)如下:)(/1)(1) 12sin

28、() 12cos()()()()()12()()(1ANjGnjneeAMjGANjGnjAjwwww稱上式中稱上式中 )(/1AN為非線性特性的負(fù)倒描述函數(shù)為非線性特性的負(fù)倒描述函數(shù). 有上有上分析可得兩個(gè)結(jié)論分析可得兩個(gè)結(jié)論: (1)當(dāng)非線性系統(tǒng)的線性部分的頻率特性與非線性環(huán)當(dāng)非線性系統(tǒng)的線性部分的頻率特性與非線性環(huán)節(jié)的乘積等于節(jié)的乘積等于-1時(shí)時(shí), 系統(tǒng)將產(chǎn)生自激振蕩系統(tǒng)將產(chǎn)生自激振蕩;(2)由于由于)(wjG是關(guān)于是關(guān)于w的復(fù)變函數(shù)的復(fù)變函數(shù), 而而)(/1AN50是關(guān)于是關(guān)于A的復(fù)變函數(shù)的復(fù)變函數(shù), 因此兩者的曲線可畫在同一復(fù)平面因此兩者的曲線可畫在同一復(fù)平面上上,而而w和和A均作為

29、參變量在復(fù)平面上并不出現(xiàn)均作為參變量在復(fù)平面上并不出現(xiàn). 則由兩者則由兩者曲線的交點(diǎn)曲線的交點(diǎn), 可確定系統(tǒng)產(chǎn)生自激振蕩的性質(zhì)可確定系統(tǒng)產(chǎn)生自激振蕩的性質(zhì), 自激振蕩自激振蕩的頻率和幅值的頻率和幅值.由由)(/1)(ANjGw這一等式這一等式,可將線性系統(tǒng)中的奈氏可將線性系統(tǒng)中的奈氏穩(wěn)定判據(jù)推廣應(yīng)用到非線性系統(tǒng)穩(wěn)定判據(jù)推廣應(yīng)用到非線性系統(tǒng), 說明如下說明如下: 假如系統(tǒng)中假如系統(tǒng)中沒有非線性環(huán)節(jié)沒有非線性環(huán)節(jié), 則閉環(huán)特征方程的頻域表達(dá)式為則閉環(huán)特征方程的頻域表達(dá)式為:01)(wjG, 即即1)(wjG, 與非線性系統(tǒng)產(chǎn)生自激振蕩與非線性系統(tǒng)產(chǎn)生自激振蕩的條件的條件)(wjG復(fù)平復(fù)平)0, 1

30、(j面上的點(diǎn)面上的點(diǎn)相比較可知相比較可知, 線性系統(tǒng)線性系統(tǒng))(/1)(ANjGw, 在非線性系統(tǒng)的復(fù)平面上被負(fù)倒描述函在非線性系統(tǒng)的復(fù)平面上被負(fù)倒描述函數(shù)數(shù))(/1AN曲線所取代曲線所取代. 從而奈氏判據(jù)用于非線性系統(tǒng)時(shí)從而奈氏判據(jù)用于非線性系統(tǒng)時(shí)可作如下表述可作如下表述: 當(dāng)非線性系統(tǒng)的線性部分傳遞函數(shù)的所有當(dāng)非線性系統(tǒng)的線性部分傳遞函數(shù)的所有極點(diǎn)均在極點(diǎn)均在S的左半平面上時(shí)的左半平面上時(shí),(1)當(dāng)曲線當(dāng)曲線)(/1AN未被未被)(wjG奈氏曲線包圍時(shí)奈氏曲線包圍時(shí), 非線非線性系統(tǒng)是穩(wěn)定的性系統(tǒng)是穩(wěn)定的, 在穩(wěn)態(tài)時(shí)在穩(wěn)態(tài)時(shí), 系統(tǒng)不會(huì)產(chǎn)生自激振蕩系統(tǒng)不會(huì)產(chǎn)生自激振蕩.51如下圖所示如下圖

31、所示. 兩曲線相距越遠(yuǎn)兩曲線相距越遠(yuǎn), 系統(tǒng)越穩(wěn)定系統(tǒng)越穩(wěn)定. 其穩(wěn)定程度其穩(wěn)定程度ImRe0)(/ 1AN)(wjG也可仿照線性系統(tǒng)穩(wěn)定裕量的也可仿照線性系統(tǒng)穩(wěn)定裕量的概念概念, 用幅值裕度和相角裕度用幅值裕度和相角裕度來表征來表征. 但由于但由于A值不同值不同,)(/1AN曲線上的點(diǎn)與曲線上的點(diǎn)與)(wjG曲線的相對(duì)位置曲線的相對(duì)位置也不一樣也不一樣, 因而對(duì)于不同的因而對(duì)于不同的A值就有值就有不同的穩(wěn)定裕量數(shù)值不同的穩(wěn)定裕量數(shù)值, 假如當(dāng)假如當(dāng)A等于等于0A時(shí)時(shí), 在在)(/1AN曲線上的點(diǎn)為曲線上的點(diǎn)為N,NA ,0連接連接0N,交交)(wjG曲線曲線于于G點(diǎn)點(diǎn),G則定義幅值裕度為則定

32、義幅值裕度為)()/log(20dbOGONhx, 若以若以0N為半徑作一圓弧交為半徑作一圓弧交)(wjG曲線于曲線于M點(diǎn)點(diǎn),M則連線則連線0N與與0M間的夾角間的夾角定義為相角裕度定義為相角裕度.(2)當(dāng)曲線當(dāng)曲線)(/1AN被被)(wjG包圍包圍, 如下圖所示如下圖所示, ImRe0)(/ 1AN)(wjG則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的.52(3)當(dāng)曲線當(dāng)曲線與與)(/1AN)(wjG如下圖所示相交時(shí)如下圖所示相交時(shí),ImRe0)(wjG)(/ 1AN),(11wAa),(22wAb則系統(tǒng)則系統(tǒng)在交點(diǎn)在交點(diǎn)a,b處將發(fā)生自激振蕩處將發(fā)生自激振蕩.交點(diǎn)的不同交點(diǎn)的不同, 自激振蕩又分為自激

33、振蕩又分為穩(wěn)定的自振蕩和不穩(wěn)定的自振蕩穩(wěn)定的自振蕩和不穩(wěn)定的自振蕩.設(shè)系統(tǒng)最初工作在設(shè)系統(tǒng)最初工作在a點(diǎn)點(diǎn), 對(duì)應(yīng)的參數(shù)為對(duì)應(yīng)的參數(shù)為11,wA, 當(dāng)系統(tǒng)受到一個(gè)不大的擾動(dòng)時(shí)當(dāng)系統(tǒng)受到一個(gè)不大的擾動(dòng)時(shí)1A減小減小, 設(shè)設(shè))(/1AN曲線上的點(diǎn)將從曲線上的點(diǎn)將從a點(diǎn)逆箭頭方向移動(dòng)到點(diǎn)逆箭頭方向移動(dòng)到d點(diǎn)點(diǎn),d使使)(/1AN曲線不被曲線不被)(wjG所包圍所包圍, 系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定, 將使非線性環(huán)節(jié)的輸入信號(hào)幅值不斷將使非線性環(huán)節(jié)的輸入信號(hào)幅值不斷減小減小, 即即d點(diǎn)沿負(fù)倒描述函數(shù)的曲線反箭頭方向一直移動(dòng)點(diǎn)沿負(fù)倒描述函數(shù)的曲線反箭頭方向一直移動(dòng)直至非線性環(huán)節(jié)的輸入信號(hào)幅值趨向于零直至非線性環(huán)節(jié)的輸入信號(hào)幅值趨向于零.當(dāng)系統(tǒng)受到一當(dāng)系統(tǒng)受到一個(gè)不大的擾動(dòng)時(shí)個(gè)不大的擾動(dòng)時(shí)1A增大增大, 設(shè)設(shè)a點(diǎn)順箭頭方向移動(dòng)到點(diǎn)順箭頭方向移動(dòng)到c點(diǎn)點(diǎn),c則則)(/1AN曲線被曲線被)(wjG包圍包圍, 系統(tǒng)不穩(wěn)定系統(tǒng)不穩(wěn)定, 將使非線性環(huán)將使非線性環(huán)節(jié)的輸入信號(hào)幅值不斷增大節(jié)的輸入信號(hào)幅值