向量代數(shù)與空間解析幾何1

1、第六章 空間解析幾何與向量代數(shù)第二十二講§6.1向量及其運算教學目的：理解向量的概念及其表示；掌握向量的運算，了解兩個向量垂直、平行的條件；掌握空間直角坐標系的概念，能利用坐標作向量的線性運算；教學重點與難點重點：向量的概念及向量的運算。難點：運算法則的掌握 教學過程：一、向量既有大小又有方向的量稱作向量通常用一條有向線段來表示向量.有向線段的長度表示向量的大小,有向線段的方向表示向量的方向.向量的表示方法有兩種:、向量的模：向量的大小叫做向量的模.向量、的模分別記為、.單位向量：模等于1的向量叫做單位向量.零向量：模等于0的向量叫做零向量,記作.規(guī)定：方向可以看作是任意的.相等向量

2、：方向相同大小相等的向量稱為相等向量平行向量（亦稱共線向量）：兩個非零向量如果它們的方向相同或相反,就稱這兩個向量平行.記作a / b.規(guī)定：零向量與任何向量都平行.二、向量運算向量的加法向量的加法:設有兩個向量a與b,平移向量使b的起點與a的終點重合,此時從a的起點到b的終點的向量c稱為向量a與b的和,記作a+b,即c=a+b. 當向量a與b不平行時,平移向量使a與b的起點重合, 以a、b為鄰邊作一平行四邊形,從公共起點到對角的向量等于向量a與b的和a+b.向量的減法:設有兩個向量a與b,平移向量使b的起點與a的起點重合,此時連接兩向量終點且指向被減數(shù)的向量就是差向量。, 2、向量與數(shù)的乘法

3、向量與數(shù)的乘法的定義:向量a與實數(shù)l的乘積記作la,規(guī)定la是一個向量,它的模|la|=|l|a|,它的方向當l>0時與a相同,當l<0時與a相反.(1)結合律l(ma)=m(la)=(lm)a；(2)分配律 (l+m)a=la+ma；l(a+b)=la+lb.例1在平行四邊形ABCD中,設=a,=b.試用a和b表示向量、,其中M是平行四邊形對角線的交點. 解 ：a+b于是(a+b).因為,所以(a+b).又因-a+b,所以(b-a).由于,所以(a-b).定理1 設向量a¹ 0,那么,向量b平行于a的充分必要條件是:存在唯一的實數(shù)l,使b=la.三、空間直角坐標系過空間

4、一個點O，作三條互相垂直的數(shù)軸，它們都以O為原點。這三條數(shù)軸分別叫做x軸（橫軸）、y軸（縱軸）、z軸（豎軸），統(tǒng)稱為坐標軸。三條坐標軸中的任意兩條可以確定一個平面，這樣定出的三個平面統(tǒng)稱為坐標面。其中x軸與y軸所確定的平面叫做xOy面，y軸與z軸所確定的平面叫做yOz面，z軸與x軸所確定的平面叫做zOx面。三個坐標面把空間分成八個部分，每一部分叫做卦限。含x軸、y軸、z軸正半軸的那個卦限叫做第I卦限，其它第，卦限，在xOy坐標面的上方，按逆時針方向確定。第到第卦限分別在第到第卦限的下方（如圖）。zyOx 設P為空間一點，過點P分別作垂直x軸、y軸、z軸的平面，順次與x軸、y軸、z軸交于PX，P

5、Y，PZ，這三點分別在各自的軸上對應的實數(shù)值x，y，z稱為點P在x軸、y軸、z軸上的坐標，由此唯一確定的有序數(shù)組（x，y，z）稱為點P的坐標。依次稱x，y和z為點P的橫坐標、縱坐標和豎坐標，并通常記為P（x，y，z）。坐標面上和坐標軸上的點, 其坐標各有一定的特征. 例如: 點M在yOz面上, 則x=0; 同相, 在zOx面上的點,y=0; 在xOy面上的點,z=0. 如果點M在x軸上, 則y=z=0; 同樣在y軸上,有z=x=0; 在z軸上 的點, 有x=y=0. 如果點M為原點, 則x=y=z=0.四、利用坐標作向量的線性運算對向量進行加、減及與數(shù)相乘，只需對向量的各個坐標分別進行相應的數(shù)

6、量運算利用向量的坐標判斷兩個向量的平行:設a=(ax,ay,az)¹0,b=(bx,by,bz),向量b/aÛb=la,即b/aÛ(bx,by,bz)=l(ax,ay,az),于是.例2求解以向量為未知元的線性方程組,其中a=(2, 1, 2),b=(-1, 1,-2).解 如同解二元一次線性方程組, 可得x=2a-3b,y=3a-5b.以a、b的坐標表示式代入, 即得x=2(2,1,2)-3(-1,1,-2)=(7,-1,10),y=3(2,1,2)-5(-1,1,-2)=(11,-2,16).例3已知兩點A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)以及實數(shù)l

7、¹-1,在直線AB上求一點M, 使.解 設所求點為M (x,y,z),則,.依題意有,即(x-x1,y-y1,z-z1)=l(x2-x,y2-y,z2-z),.點M叫做有向線段的定比分點.當l=1,點M的有向線段的中點,其坐標為,.第二十三講§6.2空間向量數(shù)量積與向量積教學目的：掌握向量的數(shù)量積、向量積的定義及數(shù)量積的性質；掌握其計算方法。教學重點與難點：數(shù)量積與向量積的計算方法。教學過程：一、兩向量的數(shù)量積數(shù)量積的物理背景: 設一物體在常力F作用下沿直線從點M1移動到點M2. 以s表示位移. 由物理學知道, 力F所作的功為 W = |F| |s| cosq, 其中q 為

8、F與s的夾角. 數(shù)量積: 對于兩個向量a和b, 它們的模 |a|、|b| 及它們的夾角q 的余弦的乘積稱為向量a和b的數(shù)量積,記作a×b, 即a·b=|a|b| cosq. 數(shù)量積與投影: 當a¹0時, |b| cos(a, b) 是向量b在向量a的方向上的投影 數(shù)量積的性質: (1) a·a = |a| 2. (2)a、b, 為非零向量，a·b =0是ab的充要條件數(shù)量積的運算律: (1)交換律: a·b =b·a; (2)分配律: (a+b)×c=a×c+b×c.(3) (la)·

9、b =a·(lb) =l(a·b), 數(shù)量積的坐標表示: 設a=(ax,ay,az ), b=(bx,by,bz ), 則a·b=axbx+ayby+azbz.設q是a與b的夾角，則當a¹0、b¹0時, 有復習高中時的有代表性的例題例1 一質點在力F=4i +2j +2k的作用下,從點A(2, 1, 0)移動到點B(5, 2, 6),求F所做的功及F與間的夾角. 解 由數(shù)量積的定義知, F所做的功是W=F.s, 其中s=3i3j+6k是路程向量, 故W=F.s=(4 i +2j +2k).( 3i3j+6k )=18.如果力的單位是牛頓(N),

10、位移的單位是米(m),則F所做的功是18焦耳(J).再由式(6.7),有 cos=,因此, F與s的夾角為=.例2求向量a=(5, 2, 5)在 b=(2, 1, 2)上的投影.解Cos<a,b>=6.二、兩向量的向量積向量積: 設向量c、a、b滿足：c的模 |c|=|a|b|sin q, 其中q 為a與b間的夾角；c的方向垂直于a與b所決定的平面, c的指向按右手規(guī)則從a轉向b來確定. 則稱向量c是a與b的向量積, 記作a´b, 即c =a´b. 向量積的運算律: (1) 交換律a´b = -b´a;(2) 分配律: (a+b)´

11、c = a´c + b´c. (3)(la)´b = a´(lb) = l(a´b) (l為數(shù)). 向量積的坐標表示: 若a = ax i +ay j +az k, b = bx i +by j +bz k. 則=i j +k . = ( ay bz- az by) i + ( azbx- ax bz) j + ( ax by- aybx) k. . 例3設a=(1,2,2), b=(2,1,0), 求ab及與a、b都垂直的單位向量.解 ab=ij +k = 2i +4j +5k .所求的單位向量為(2i +4j +5k)=(2i +4j +5

12、k ).例4 已知三角形ABC的頂點分別是A (1, 2, 3)、B (3, 4, 5)、C (2, 4, 7), 求三角形ABC的面積. 解 根據(jù)向量積的定義, 可知三角形ABC的面積. 由于=(2, 2, 2), =(1, 2, 4), 因此 =4i-6j+2k.于是. 例5設a=(2, 3, 1), b=(0,1, 1), c=(1, 1, 4),三個向量是否共面?解 因為r =ab與a、b所確定的平面垂直,所以當a、b、c三個向量共面時, 應該有 rc ,即r .c=0. r =ab=(4, 2, 2) ,所以有r .c= (4i +2j +2k).( ij +4k)=42+8=100

13、,因此三個向量不共面.第二十四講§6.3 空間簡單圖形及其方程方程教學目的：掌握直線、平面、常見曲面的方程及其求法；會利用平面、直線的相互關系解決有關問題。教學重點與難點：直線、平面方程及其求法。 教學過程：一、 平面方程1、平面的點法式方程已知平面上一點M0 (x0,y0,z0)和它的一個法線向量n=(A,B,C) 則其方程為A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.例1求過點(2,-3, 0)且以n=(1,-2, 3)為法線向量的平面的方程.解 得所求平面的方程為 (x-2)-2(y+3)+3z=0,即 x-2y+3z-8=0.例2已知空間兩點M1(1,2，-1)、M2

14、(3,-1,2)，求過M1點且與直線M1 M2垂直的平面方程。例3求過三點M1(2,-1, 4)、M2(-1, 3,-2)和M3(0, 2, 3)的平面的方程.解：我們可以用作為平面的法線向量n.因為,所以.根據(jù)平面的點法式方程,得所求平面的方程為 14(x-2)+9(y+1)-(z -4)=0,即 14x+9y- z-15=0.2、平面的一般方程由平面的點法式方程A(x-x0)+B(y-y0)+C(z- z0)=0知，任一平面都可用x,y,z的一次方程來表示。方程Ax+By+Cz+D=0稱為平面的一般方程,其中x,y,z的系數(shù)就是該平面的一個法線向量n的坐標,即 n=(A,B,C).例如,方

15、程3x-4y+z-9=0表示一個平面,n=(3,-4, 1)是這平面的一個法線向量.例4求通過x軸和點(4,-3,-1)的平面的方程.解平面通過x軸,一方面表明它的法線向量垂直于x軸, 即A=0;另一方面表明 它必通過原點,即D=0.因此可設這平面的方程為By+Cz=0.又因為這平面通過點(4,-3,-1),所以有 -3B-C=0,將其代入所設方程并除以B (B¹0),便得所求的平面方程為y-3z=0.二、兩平面的位置關系兩平面的位置關系不外是相交、垂直、平行與重合，利用兩平面法向量位置關系就可判定兩平面的法線向量分別為n1=(A1,B1,C1)和n2=(A2,B2,C2),由于.:

16、 是兩平面夾角，則有A1 A2 +B1B2 +C1C2=0充要條件為平面垂直;則平面重合或平行 例5 求兩平面 x-y+2z-6=0和2x+y+z-5=0的夾角. 解 n1=(A1,B1,C1)=(1,-1,2), n2=(A2,B2,C2)=(2,1,1),所以, 所求夾角為.例6 一平面通過兩點M1(1, 1, 1)和M2(0, 1,-1)且垂直于平面x+y+z=0,求它的方程. 解1:由M1到點M2的向量為n1=(-1,0,-2),平面x+y+z=0的法線向量為n2= (1,1,1).設所求平面的法線向量為n=(A,B,C). 則有nn1,即-A-2C=0,A=-2C.又因為所求平面垂直

17、于平面x+y+z=0,所以nn1,即A+B+C=0,B=C. 所求平面為-2C(x-1)+C(y-1)+C(z-1)=0,即2x-y-z=0.解2 從點M1到點M2的向量為n1=(-1,0,-2),平面x+y+z=0的法線向量為n2= (1,1,1).設所求平面的法線向量n 可取為n1´ n2. 因為,所以所求平面方程為2x-y-z=0.三 直線的方程直線是兩平面的交線，即直線的一般式方程：直線上一點M0(x0, y0, z0)和方向向量s=m, n, p，直線的對稱式方程：例7 將直線表為對稱式解 取x0=1，代入方程組得y0=0、z0= -2，即點(1,0,-2)在直線上。兩平面

18、的法向量分別為n1=1,1,1和n2=2,-1,3，則s= n1×n2=4ij3k，所求對稱式方程為：設直線l1和l2的方向向量為a=x1, y1, z1、b=x2, y2, z2，則=|cos(a,b)|=。四 幾個曲面方程例8方程x2+y2+z2-2x+4y=0表示怎樣的曲面？解通過配方,原方程可以改寫成 (x-1)2+(y+2)2+z2=5. 這是一個球面方程,球心在點M0(1,-2, 0)、半徑為. 一般地,設有三元二次方程Ax2+Ay2+Az2+Dx+Ey+Fz+G=0,這個方程的特點是缺xy,yz,zx各項,而且平方項系數(shù)相同,只要將方程經(jīng)過配方就可以化成方程(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2. 的形式,它的圖形就是一個球面. 例9方程x2+y2=R2表示怎樣的曲面？解方程x2+y2=R2在xOy面上表示圓心在原點O、半徑為R的圓.在空間直角坐標系中,這方程不含豎坐標z, 即不論空間點的豎坐標z怎樣,只要它的橫坐標x和縱坐標y能滿足這方程,那么這些點就在這曲面上.也就是說,過xOy面上的圓x2+y2=R2,且平行于z軸的直線